Скалярные произведения векторов: Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

A · B = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10 0003

A · B = 36 + 410 3

A · B = 36 + 70

A · B = 36 + 70 0003

A · B = 36 + 700003

A · B = 36 + 700003

A. b = 122

Теперь другая формула:

a · b = | и | × | б | × cos(θ)

Но что такое | и | ? Это величина или длина вектора a . Мы можем использовать Пифагор:

• | и | = √(4 ² + 8 ² + 10 ² )
• | и | = √(16 + 64 + 100)
• | и | = √180

Аналогично для | б |:

• | б | = √(9 ² + 2 ² + 7 ² )
• | б | = √(81 + 4 + 49)
• | б | = √134

И мы знаем из вычислений выше, что a · b = 122, поэтому:

a · b = | и | × | б | × cos(θ)

122 = √180 × √134 × cos(θ)

cos(θ) = 122 / (√180 × √134)

cos(θ) = 0,7855. ..

θ cos ^-1 (0,7855…) = 38,2…°

Готово!

Я когда-то пробовал такое вычисление, но работал все в углах и расстояниях… это было очень тяжело, включало много тригонометрии, и у меня болел мозг. Способ выше намного проще.

Перекрестное произведение

Скалярное произведение дает скалярный ответ (обычное число) и иногда называется скалярным произведением .

Но есть также перекрестное произведение, которое дает вектор в качестве ответа, и иногда его называют векторный продукт .

3036, 3037, 3030, 3031, 3032, 3033, 3034, 3035, 3903, 3904

Понимание скалярного произведения – BetterExplained

Я думаю о скалярном произведении как о направленном умножении. Умножение выходит за рамки повторного подсчета: это применение сущности одного элемента к другому. (Например, сложное умножение — это вращение, а не повторный счет.)

При работе с простыми темпами роста умножение масштабирует одну скорость на другую:

• «3 x 4» может означать «Возьмите свой 3-кратный рост и увеличьте его в 4 раза, чтобы получить 12-кратный»

При работе с векторами («направленный рост») мы можем выполнить несколько операций:

• Добавить векторы: Накопить рост, содержащийся в нескольких векторах.
• Умножить на константу : сделать существующий вектор сильнее (в том же направлении).
• Скалярный продукт: Применение направленного роста одного вектора к другому. Результат — насколько сильнее мы сделали исходный вектор (положительный, отрицательный или нулевой).

Сегодня мы построим наше интуитивное представление о том, как работает скалярное произведение.

Избавьтесь от формулы

Вы везде видели уравнение скалярного произведения:

А также обоснование: «Ну, Билли, закон косинусов (ты ведь помнишь это, не так ли? ) говорит, что следующие вычисления одинаковы, так что они есть». Недостаточно хорошо — это не щелкает! Помимо вычислений, что это значит?

Цель состоит в том, чтобы применить один вектор к другому. Уравнение выше показывает два способа сделать это:

• Прямоугольная перспектива: объединить компоненты x и y
• Полярная перспектива: объединить величины и углы

Уравнение «тот материал = тот материал» просто означает «Вот два эквивалентных способа ‘направленного умножения’ векторов».

Восприятие чисел как векторов

Давайте начнем с простого и рассмотрим 3 x 4 как скалярное произведение:

Число 3 означает «направленный рост» в одном измерении (скажем, по оси X), а 4 является «направленным ростом» в том же направлении. 3 x 4 = 12 означает, что мы получаем 12-кратный рост в одном измерении. Ok.

Теперь предположим, что 3 и 4 относятся к разным измерениям. Допустим, 3 означает «втрое больше бананов» (ось X), а 4 означает «вчетверо больше апельсинов» (ось Y). Теперь они не одного и того же типа чисел: что произойдет, если применить рост (использовать скалярное произведение) в нашей вселенной «бананы, апельсины»?

• (3,0) означает «Утроить количество бананов, уничтожить апельсины»
• (0,4) означает «Уничтожьте свои бананы, увеличьте количество апельсинов в четыре раза»

Применение (0,4) к (3,0) означает «Уничтожьте рост бананов, увеличьте рост апельсинов в четыре раза». Но у (3, 0) изначально не было оранжевого роста, поэтому конечный результат равен 0 («Уничтожь все свои фрукты, приятель»).

Видите, как мы «применяем», а не просто добавляем? При регулярном сложении мы смешаем векторы вместе: (3,0) + (0, 4) = (3, 4) [вектор, который утроит ваши апельсинов, а увеличит ваши бананы в четыре раза].

«Приложение» другое. Мы мутируем исходный вектор на основе правил второго. И правила (0, 4) таковы: «Уничтожьте рост бананов и увеличьте рост апельсинов в четыре раза». Применительно к чему-то, состоящему только из бананов, например (3, 0), мы остаемся ни с чем.

Конечным результатом процесса скалярного произведения может быть:

• Ноль: у нас нет роста в исходном направлении
• Положительное число: есть некоторый рост в исходном направлении
• Отрицательное число: у нас отрицательный (обратный) рост в исходном направлении

Понимание расчета

«Применение векторов» все еще немного абстрактно. Я думаю: «Сколько энергии/толчка отдает один вектор другому?». Вот как я себе это представляю:

Прямоугольные координаты: перекрытие компонентов

Подобно умножению комплексных чисел, посмотрите, как взаимодействует каждая компонента x и y: х с у, у с у). Поскольку координаты x и y не влияют друг на друга (как держать ведро боком под водопадом — ничего не падает), полное поглощение энергии равно поглощению (x) + поглощению (y):

Полярные координаты: Проекция

Слово «проекция» настолько бесплодно: я предпочитаю «по пути». Сколько энергии на самом деле идет в нашем первоначальном направлении?

Вот как это можно увидеть:

Возьмем два вектора a и b. Поверните наши координаты так, чтобы b стала горизонтальной: она становится (|b|, 0), и все находится на этой новой оси x. Что такое точечный продукт сейчас? (Это не должно измениться только потому, что мы наклонили голову).

Итак, вектор a имеет новые координаты (a1, a2), и мы получаем:

a1 на самом деле «Какова координата x точки a, если предположить, что b является осью x?». Это |a|cos(θ), также известная как «проекция»:

Аналогии скалярного произведения

Общепринятая интерпретация — «геометрическая проекция», но она такая пресная. Вот некоторые аналогии, которые меня зацепили:

Поглощение энергии

Один вектор — солнечные лучи, другой — куда указывает солнечная панель (да-да, нормальный вектор). Большие числа означают более сильные лучи или большую панель. Сколько энергии поглощается?

• Энергия = Перекрытие в направлении * Сила лучей * Размер панели

Если вы держите панель боком к солнцу, лучи не попадают (cos(θ) = 0).

Фото предоставлено

Но… но… солнечные лучи уходят от солнца, и панель обращена к солнцу, и скалярное произведение отрицательно, когда векторы противоположны! Сделайте глубокий вдох и помните, что цель состоит в том, чтобы принять аналогию (кроме того, физики все время теряют из виду отрицательные знаки).

Mario-Kart Speed ​​Boost

В Mario Kart на земле есть «ускорители», которые увеличивают вашу скорость (Никогда не играл? Извините.)

Источник фото

Представьте, что красный вектор — это ваша скорость (направление x и y), а синий вектор — это ориентация площадки усиления (направление x и y). Чем больше число, тем больше сила.

Сколько буста вы получите? Для аналогии представьте, что пэд дает бонус к скорости, подобный этому:

• Если вы входите и уходите с 0, вы ничего не получите. (Если вас уронили на площадку, ускорение не будет.)
• Если вы пересечете площадку перпендикулярно, вы получите 0 преимуществ. (Как и при уничтожении банана, в перпендикулярном направлении есть ускорение 0x.)
• Если наше направление и контактная площадка выровнены, наша скорость по оси x увеличивает скорость по оси x, а скорость по оси y увеличивает скорость по оси y:

Аккуратно, да? Другой способ увидеть это: ваша входящая скорость равна $|a|$, а максимальное ускорение равно $|b|$. Процент повышения, который вы фактически получаете (в зависимости от того, как вы выстроились в очередь), составляет $\cos(\theta)$, для общего повышения $|a||b|\cos(\theta)$, что является скалярное произведение.

Физика Физика Физика

Скалярное произведение появляется во всей физике: какое-то поле (электрическое, гравитационное) притягивает какую-то частицу. Мы хотели бы размножаться, и мы могли бы, если бы все было выстроено в ряд. Но это не так, поэтому мы берем скалярное произведение для учета возможных различий в направлении.

Это полезное обобщение: интегралы — это «умножение с учетом изменений», а скалярное произведение — «умножение с учетом направления».

А что, если ваше направление изменится? Да взять, конечно, интеграл скалярного произведения!

Вперед и вверх

Не соглашайтесь на «Скалярное произведение — это геометрическая проекция, оправдываемая законом косинусов». Найдите аналогии, которые подходят именно вам! Счастливая математика.

Другие сообщения из этой серии

1. Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
2. Векторное исчисление: понимание перекрестного произведения
3. Векторное исчисление: понимание потока
4. Векторное исчисление: понимание дивергенции
5. Векторное исчисление: понимание циркуляции и завитка
6. Векторное исчисление: понимание градиента
7. Понимание пифагорейского расстояния и градиента

Скалярное произведение двух векторов

Векторы можно умножать двумя способами, а именно скалярным произведением или скалярным произведением, в котором результатом является скаляр, и векторным произведением или перекрестным произведением, в котором результатом является вектор. Скалярное произведение двух векторов означает скалярное произведение двух заданных векторов. Это скалярное число, которое получается путем выполнения определенной операции над различными компонентами вектора. Скалярное произведение применимо только для пар векторов с одинаковым числом измерений. Символ, используемый для скалярного произведения, — толстая точка. Это скалярное произведение широко используется в математике и физике. В этой статье мы подробно обсудим скалярное произведение векторов, определение скалярного произведения, формулу скалярного произведения и пример скалярного произведения.

Определение скалярного произведения

Скалярное произведение двух различных ненулевых векторов обозначается буквой a.b и определяется как:

0 ≤ θ ≤ π

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Если a = 0 или b = 0, θ не будет определено, и в этом случае

a.b= 0

Формула скалярного произведения

Вы можете определить скалярное произведение двух векторов двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Определение геометрии скалярного произведения

Геометрический смысл скалярного произведения гласит, что скалярное произведение двух заданных векторов a и b обозначается следующим образом:

a.b = |a||b| cos θ

Здесь |a| и |б| называются величинами векторов a и b, а θ — угол между векторами a и b.

Если два вектора ортогональны, то есть угол между ними равен 90, то a.b = 0, так как cos 90 = 0.

Если два вектора параллельны друг другу, то a.b =|a||b| так как cos 0 = 1,

Алгебра скалярного произведения Определение

Алгебра скалярного произведения говорит, что скалярное произведение данных двух произведений – a = (a1, a2, a3) и b= (b1, b2, b3) определяется как:

a.b= (a1b1 + a2b2 + a3b3)

Свойства скалярного произведения двух векторов

Ниже приведены свойства векторов:

1. Коммутативное свойство

b|cos θ

a. b =|b||a|cos θ

2. Распределительное свойство

A. (B + C) = A.B + A.C

3. Билинейное свойство

A. (RB + C) = R. (A.B) + (A.C)

4. Scalar Scalar. Свойство умножения

(xa) . (yb) = xy (a.b)

5. Неассоциативность

Поскольку скалярное произведение между скаляром и вектором не допускается.

6. Ортогональное свойство

Два вектора ортогональны только тогда, когда a.b = 0

Скалярное произведение векторнозначных функций

Скалярное произведение векторнозначных функций, т. время t, и, следовательно, функция r(t)⋅u(t) называется скалярной функцией.

Решенные примеры

Пример 1:

Найдите скалярное произведение a= (1, 2, 3) и b= (4, −5, 6). Какой угол образуют векторы?

Решение:

Используя формулу скалярных произведений,

a.b = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

Скалярное произведение можно рассчитать следующим образом:

= 1(4) + 2(−5) + 3(6)

= 4 − 10 + 18 12

Поскольку a.b — положительное число, можно сделать вывод, что векторы образуют острый угол.

Пример 2:

Два вектора A и B задаются формулой:

A = 2i − 3j + 7k и B= −4i + 2j −4k

Найдите скалярное произведение данных двух векторов.

Решение:

A.B = (2i − 3j +7k) . (−4i + 2j − 4k)

= 2 (-4) + (-3)2 + 7 (-4)

= -8 — 6 — 28

= -42 продукты, выходной сигнал представляет собой вектор, ортогональный двум заданным векторам.

Заключение

Вектор – это величина, которая имеет как величину, так и направление. К векторам можно применить несколько математических операций, таких как сложение и умножение. Умножение векторов можно выполнить двумя способами: точечным произведением и перекрестным произведением. Скалярное произведение двух векторов представляет собой сумму произведений их соответствующих компонентов. Это произведение их величин на косинус угла между ними. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его величины.

12.3: Скалярный продукт — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
• ОпенСтакс

Цели обучения

• Вычислить скалярное произведение двух заданных векторов.
• Определить, перпендикулярны ли два заданных вектора.
• Найдите направляющие косинусы заданного вектора.
• Объясните, что подразумевается под векторной проекцией одного вектора на другой вектор, и опишите, как ее вычислить.
• Рассчитайте работу, совершаемую данной силой.

Если мы прикладываем силу к объекту, чтобы объект двигался, мы говорим, что сила совершает работу. Раньше мы рассматривали постоянную силу и предполагали, что сила приложена в направлении движения объекта. В этих условиях работу можно выразить как произведение силы, действующей на объект, и расстояния, которое этот объект перемещает. Однако в этой главе мы увидели, что и сила, и движение объекта могут быть представлены векторами.

В этом разделе мы разработаем операцию, называемую скалярным произведением, которая позволяет вычислить работу в случае, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления. Скалярное произведение, по сути, говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат. Он даже обеспечивает простой тест, чтобы определить, пересекаются ли два вектора под прямым углом.

Скалярный продукт и его свойства

Мы уже научились складывать и вычитать векторы. В этой главе мы исследуем два типа умножения векторов. Первый тип векторного умножения называется скалярным произведением, основанным на обозначениях, которые мы используем для него, и определяется следующим образом:

Определение: скалярное произведение

скалярное произведение векторов \(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) и \(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) задается суммой произведений компонент

\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3. \nonumber \]

Обратите внимание, что если \(u\) и \(v\) являются двумерными векторами, скалярное произведение вычисляется аналогичным образом. Таким образом, если \(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2⟩\) и \(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2⟩,\), то

\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v }=u_1v_1+u_2v_2. \nonumber \]

Когда два вектора объединяются при сложении или вычитании, результатом является вектор. Когда два вектора объединяются с помощью скалярного произведения, результатом является скаляр. По этой причине скалярное произведение часто называют числом 9.0899 скалярное произведение. Его также можно назвать внутренним продуктом .

Пример \(\PageIndex{1}\): вычисление скалярных произведений

1. Найдите скалярное произведение \(\vecs{ u}=⟨3,5,2⟩\) и \(\vecs{ v} =⟨−1,3,0⟩\).
2. Найдите скалярное произведение \(\vecs{ p}=10\hat{\textbf i}−4 \hat{\textbf j}+7 \hat{\textbf k}\) и \(\vecs{ q} = −2 \ шляпа {\ textbf i} + \ шляпа {\ textbf j} +6 \ шляпа {\ textbf k}. \)

Раствор :

а. Подставляем компоненты вектора в формулу скалярного произведения:

\[ \begin{align*} \vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \\[4pt] &=3(−1)+5(3)+2(0) \\[4pt] &=−3+15+0 \\[4pt] &=12. \end{выравнивание*}\]

б. Расчет такой же, если векторы записываются с использованием стандартных единичных векторов. У нас все еще есть три компонента для каждого вектора, которые нужно подставить в формулу скалярного произведения:

\[ \begin{align*} \vecs{ p}⋅\vecs{ q} &=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3 \\[4pt ] &=10(−2)+(−4)(1)+(7)(6) \\[4pt] &=−20−4+42 \\[4pt] &=18. \end{align* }\]

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Найти \(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}\), где \(\vecs{ u}=⟨2,9,−1⟩\) и \(\vecs{v}=⟨−3,1,−4⟩.\)

Подсказка

Умножьте соответствующие компоненты, а затем сложите их произведения.

Ответить

\(7\)

Подобно сложению и вычитанию векторов, скалярное произведение имеет несколько алгебраических свойств. Мы докажем три из этих свойств, а остальные оставим в качестве упражнений.

Свойства скалярного произведения

Пусть \(\vecs{ u}\), \(\vecs{ v}\) и \(\vecs{ w}\) — векторы, и пусть \(c\) быть скаляром.

1. Коммутативное свойство \[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=\vecs{ v}⋅\vecs{ u} \nonumber \]
2. Распределительное свойство \[\vecs{ u}⋅(\vecs{ v}+\vecs{ w})=\vecs{ u}⋅\vecs{ v}+\vecs{ u}⋅\vecs{ w} \номер\]
3. Ассоциативное свойство \[c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v})=(c\vecs{ u})⋅\vecs{ v}=\vecs{ u}⋅(c\vecs{ v} ) \номер\] 92 \номер\]

Доказательство

Пусть \(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) и \(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩. \) Тогда

\[ \begin{ выровнять*} \vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt] &=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \\[4pt] &= v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3 \\[4pt] &= ⟨v_1,v_2,v_3⟩⋅⟨u_1,u_2,u_3⟩ \\[4pt] &=\vecs{ v}⋅\vecs{ u}.\end{align *}\]

Ассоциативное свойство похоже на ассоциативное свойство для умножения действительных чисел, но обратите особое внимание на разницу между скалярными и векторными объектами:

\[ \begin{align*} c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}) &=c(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3) \\[4pt] &=c(u_1v_1)+c(u_2v_2) +c(u_3v_3) \\[4pt] &=(cu_1)v_1+(cu_2)v_2+(cu_3)v_3 \\[4pt] &=⟨cu_1,cu_2,cu_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt ] &=c⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt] &=(c\vecs{ u})⋅\vecs{ v}.\end{align*}\]

Доказательство того, что \(c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v})=\vecs{ u}⋅(c\vecs{ v})\), аналогично.

Четвертое свойство показывает связь между величиной вектора и его скалярным произведением на самого себя: 92.\end{align*}\]

□

Обратите внимание, что определение скалярного произведения дает \(\vecs{ 0}⋅\vecs{ v}=0. \) По свойству iv. если \(\vecs{ v}⋅\vecs{ v}=0,\), то \(\vecs{ v}=\vecs{ 0}.\)

Пример \(\PageIndex{2}\): Использование Свойства скалярного произведения

Пусть \(\vecs{ a}=⟨1,2,−3⟩\), \(\vecs{ b}=⟨0,2,4⟩\) и \(\vecs { c} =⟨5,−1,3⟩\).

Найдите каждый из следующих продуктов.

1. \(( \vecs{a} ⋅ \vecs{b}) \vecs{c} \)
2. \(\vecs{a}⋅(2\vecs{c})\) 92\)

Раствор

а. Обратите внимание, что это выражение запрашивает скалярное число, кратное \(\vecs{ c}\) на \(\vecs{ a}⋅\vecs{ b}\):

\[ \begin{align*} (\vecs{ a}⋅\vecs{ b})\vecs{ c} &=(⟨1,2,−3⟩⋅⟨0,2,4⟩)⟨5,−1,3⟩ \\[4pt] &=( 1(0)+2(2)+(−3)(4))⟨5,−1,3⟩ \\[4pt] &=−8⟨5,−1,3⟩ \\[4pt] &= ⟨−40,8,−24⟩.\end{align*}\]

б. Это выражение представляет собой скалярное произведение вектора \(\vecs{ a}\) и скалярного числа, кратного 2\(\vecs{ c}\):

\[ \begin{align*} \vecs{ a}⋅(2\ vecs{ c}) &=2(\vecs{a}⋅\vecs{c}) \\[4pt] &=2(⟨1,2,−3⟩⋅⟨5,−1,3⟩) \\ [4pt] &=2(1(5)+2(-1)+(-3)(3)) \\[4pt] &=2(-6)=-12. \end{align*}\] 92=53\)

Использование скалярного произведения для нахождения угла между двумя векторами

Когда два ненулевых вектора помещаются в стандартное положение в двух или трех измерениях, они образуют между собой угол (рис. \(\PageIndex{1}\) ). Скалярное произведение позволяет найти меру этого угла. Это свойство является результатом того факта, что мы можем выразить скалярное произведение через косинус угла, образованного двумя векторами.

Оценка скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов представляет собой произведение величины каждого вектора на косинус угла между ними:

\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=‖\ vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ. \label{evaldot} \]

Доказательство

Поместите векторы \(\vecs{ u}\) и \(\vecs{ v}\) в стандартное положение и рассмотрим вектор \(\vecs{ v}−\vecs { u}\) (Рисунок \(\PageIndex{2}\)). Эти три вектора образуют треугольник с длинами сторон \(‖\vecs{ u}‖,‖\vecs{ v}‖\) и \(‖\vecs{ v}−\vecs{ u}‖\). 92−2‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ \\[4pt] −2\vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=−2‖\vecs{ u}‖‖ \vecs{ v}‖\cos θ \\[4pt] \vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ. \end{align*}\]

□

Мы можем использовать форму скалярного произведения в уравнении \ref{evaldot}, чтобы найти меру угла между двумя ненулевыми векторами, перестроив уравнение \ref{evaldot} для решения для косинуса угла:

\[\cos θ=\dfrac{\vecs{u}⋅\vecs{v}}{‖\vecs{u}‖‖\vecs{v}‖}. \метка{точка2} \]

Используя это уравнение, мы можем найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами. Поскольку мы рассматриваем наименьший угол между векторами, мы предполагаем \(0°≤θ≤180°\) (или \(0≤θ≤π\), если мы работаем в радианах). Арккосинус уникален в этом диапазоне, поэтому мы можем определить меру угла \(θ\).

Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение угла между двумя векторами

Найдите меру угла между каждой парой векторов. 2}} \\[4pt] &=\dfrac{-2}{\sqrt{3}\sqrt{14}} =\ dfrac{−2}{\sqrt{42}}. \end{выравнивание*}\] 92}} \\[4pt] &=\dfrac{0}{\sqrt{65}\sqrt{36}}=0.\end{align*}\]

Теперь \(\cos θ=0\ ) и \(0≤θ≤π\), поэтому \(θ=π/2\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Найдите меру угла в радианах, образованного векторами \(\vecs{ a}=⟨1,2,0⟩\) и \(\vecs{ б}=⟨2,4,1⟩\). Округлить до сотых.

Подсказка

Используйте уравнение \ref{dot2}.

Ответить

\(θ≈0,22\) рад

Угол между двумя векторами может быть острым \((0<\cos θ<1),\), тупым \((−1<\cos θ<0)\) или прямым \((\cos θ=− 1)\). Если \(\cos θ=1\), то оба вектора имеют одинаковое направление. Если \(\cos θ=0\), то векторы в стандартном положении образуют прямой угол (рисунок \(\PageIndex{3}\)). Мы можем формализовать этот результат в виде теоремы об ортогональных (перпендикулярных) векторах.

Ортогональные векторы

Ненулевые векторы \(\vecs{u}\) и \(\vecs{v}\) являются ортогональными векторами тогда и только тогда, когда \(\vecs{u}⋅\vecs{v}= 0.\)

Доказательство

Пусть \(\vecs{u}\) и \(\vecs{v}\) ненулевые векторы, и пусть \(θ\) обозначает угол между ними. Сначала предположим \(\vecs{u}⋅\vecs{v}=0.\)Затем

\[‖\vecs{u}‖‖\vecs{v}‖\cos θ=0. \nonumber \]

Однако \(‖\vecs{u}‖≠0\) и \(‖\vecs{v}‖≠0,\), поэтому мы должны иметь \(\cos θ=0\). Следовательно, \(θ=90°\) и векторы ортогональны.

Теперь предположим, что \(\vecs{u}\) и \(\vecs{v}\) ортогональны. Тогда \(θ=90°\) и мы имеем

\[ \begin{align*} \vecs{u}⋅\vecs{v} &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\ cos θ \\[4pt] &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos 90° \\[4pt] &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖(0 ) \\[4pt] &=0. \end{align*}\]

□

Термины ортогональный, перпендикулярный, и нормальный каждый указывает на то, что математические объекты пересекаются под прямым углом. Использование каждого термина определяется главным образом его контекстом. Мы говорим, что векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны. Срок норма используется чаще всего при измерении угла, выполненного с плоскостью или другой поверхностью.

Пример \(\PageIndex{4}\): определение ортогональных векторов ,−2⟩\) — ортогональные векторы.

Решение

Используя определение, нам нужно только проверить скалярное произведение векторов:

\[ \vecs{ p}⋅\vecs{ q}=1(10)+(0)(3)+ (5)(-2)=10+0-10=0. \nonumber \]

Поскольку \(\vecs{p}⋅\vecs{q}=0,\) векторы ортогональны (рис. \(\PageIndex{4}\)).

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Для какого значения \(x\) \(\vecs{ p}=⟨2,8,−1⟩\) ортогонально \(\vecs{ q} =⟨x,−1,2⟩\)?

Подсказка

Векторы \(\vecs{ p}\) и \(\vecs{ q}\) ортогональны тогда и только тогда, когда \(\vecs{ p}⋅\vecs{ q}=0\).

Ответить

\(х=5\)

Пример \(\PageIndex{5}\): измерение угла, образованного двумя векторами

Пусть \(\vecs{ v}=⟨2,3,3⟩.\) Найдите меры углов, образованных двумя векторами следующие векторы.

1. \(\vecs{v}\) и \(\mathbf{\шляпа i}\)
2. \(\vecs{v}\) и \(\mathbf{\hat j}\)
3. \(\vecs{v}\) и \(\mathbf{\шляпа k}\)

Решение

а. Пусть α будет углом, образованным \(\vecs{ v}\) и \(\mathbf{\hat i}\): 92}\sqrt{1}}=\dfrac{3}{\sqrt{22}} \\[4pt]γ &=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{22}}≈0,877\,\text{ рад.} \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Пусть \(\vecs{ v}=⟨3,−5,1⟩.\) Найдите меру углы, образованные каждой парой векторов.

1. \(\vecs{v}\) и \(\mathbf{\шляпа i}\)
2. \(\vecs{v}\) и \(\mathbf{\hat j}\)
3. \(\vecs{v}\) и \(\mathbf{\шляпа k}\)

Подсказка

\(\mathbf{\hat i}=⟨1,0,0⟩, \mathbf{\hat j}=⟨0,1,0⟩,\) и \(\mathbf{\hat k}=⟨0 ,0,1⟩\)

Ответить

\(а. α≈1,04\) рад; б. \(β≈2,58\) рад; в. \(γ≈1,40\) рад

Угол, который вектор образует с каждой из осей координат, называемый углом направления, очень важен в практических вычислениях, особенно в таких областях, как инженерия. Например, в космонавтике угол запуска ракеты должен определяться очень точно. Очень маленькая ошибка в угле может привести к тому, что ракета отклонится от курса на сотни миль. Углы направления часто рассчитываются с помощью скалярного произведения и косинусов углов, называемых направляющими косинусами. Поэтому мы определяем как эти углы, так и их косинусы.

Определение: углы направления

Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления для вектора (рисунок \(\PageIndex{5}\)). Косинусы этих углов называются косинусами направления .

В примере \(\PageIndex{5}\) направляющие косинусы \(\vecs{ v}=⟨2,3,3⟩\) равны \(\cos α=\dfrac{2}{\sqrt{ 22}}, \cos β=\dfrac{3}{\sqrt{22}},\) и \(\cos γ=\dfrac{3}{\sqrt{22}}\). Углы направления \(\vecs{v}\) равны \(α=1,130\) рад, \(β=0,877\) рад и \(γ=0,877\) рад.

До сих пор мы в основном фокусировались на векторах, связанных с силой, движением и положением в трехмерном физическом пространстве. Однако векторы часто используются более абстрактно. Например, предположим, что продавец фруктов продает яблоки, бананы и апельсины. В данный день он продает 30 яблок, 12 бананов и 18 апельсинов. Он может использовать количественный вектор \(\vecs{ q}=⟨30,12,18⟩,\) для представления количества фруктов, которое он продал в тот день. Точно так же он может захотеть использовать ценовой вектор \(\vecs{ p}=⟨0,50,0,25,1⟩,\), чтобы указать, что он продает свои яблоки по 50 центов за штуку, бананы по 25 центов за штуку и апельсины по 1 доллар за штуку. В этом примере, хотя мы все еще можем изобразить эти векторы, мы не интерпретируем их как буквальное представление положения в физическом мире. Мы просто используем векторы для отслеживания отдельных фрагментов информации о яблоках, бананах и апельсинах.

Эта идея может показаться немного странной, но если мы будем рассматривать векторы просто как способ упорядочивания и хранения данных, мы обнаружим, что они могут быть весьма мощным инструментом. Возвращаясь к продавцу фруктов, давайте подумаем о скалярном произведении \(\vecs{ q}⋅\vecs{ p}\). Мы вычисляем его, умножая количество проданных яблок (30) на цену одного яблока (50 центов), количество проданных бананов на цену одного банана и количество проданных апельсинов на цену одного апельсина. Затем мы складываем все эти значения вместе. Итак, в этом примере скалярный продукт говорит нам, сколько денег было у продавца фруктов в продажах в этот конкретный день.

Когда мы используем векторы более общим образом, нет причин ограничивать число компонентов тремя. Что, если продавец фруктов решит начать продавать грейпфруты? В этом случае он хотел бы использовать четырехмерные векторы количества и цены для представления количества проданных яблок, бананов, апельсинов и грейпфрутов и их цены за единицу. Как и следовало ожидать, чтобы вычислить скалярное произведение четырехмерных векторов, мы просто складываем произведения компонентов, как и раньше, но сумма состоит из четырех членов вместо трех.

Пример \(\PageIndex{6}\): Использование векторов в экономическом контексте

Магазин товаров для вечеринок AAA продает приглашения, подарки для вечеринок, украшения и предметы общественного питания, такие как бумажные тарелки и салфетки. Когда AAA покупает свой инвентарь, она платит 25 центов за упаковку за приглашения и сувениры для вечеринок. Украшения стоят 50 центов AAA за штуку, а предметы общественного питания — 20 центов за упаковку. AAA продает приглашения по 2,50 доллара за упаковку и сувениры для вечеринок по 1,50 доллара за упаковку. Украшения продаются по 4,50 доллара за штуку, а предметы общественного питания по 1,25 доллара за упаковку.

В течение мая в магазине товаров для вечеринок AAA было продано 1258 приглашений, 342 сувенира для вечеринок, 2426 украшений и 1354 предмета общественного питания. Используйте векторы и скалярные произведения, чтобы рассчитать, сколько денег AAA заработала на продажах в мае месяце. Какую прибыль получил магазин?

Решение

Векторы стоимости, цены и количества: p} &=⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩ \\[4pt] \vecs{q} &=⟨1258,342,2426,1354⟩. \end{выравнивание*}\]

Продажи AAA в мае можно рассчитать с помощью скалярного произведения \(\vecs{ p}⋅\vecs{ q}\). У нас есть

\[ \begin{align*} \vecs{ p}⋅\vecs{ q} &=⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\[4pt] & =3145+513+10917+1692,5 \\[4pt] &= 16267,5. \end{align*}\]

Итак, в мае ААА заработала 16 267,50 долларов. Чтобы рассчитать прибыль, мы должны сначала подсчитать, сколько ААА заплатила за проданные товары. Мы используем скалярное произведение \(\vecs{c}⋅\vecs{q}\), чтобы получить

\[ \begin{align*} \vecs{ c}⋅\vecs{ q} &=⟨0,25,0,25,0,50,0,20⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\[4pt] &=314,5+ 85,5+1213+270,8 \\[4pt] &=1883,8. \end{align*}\]

Итак, AAA заплатила 1 883,80 долларов за проданные товары. Таким образом, их прибыль равна

\[\vecs{ p}⋅\vecs{ q}−\vecs{ c}⋅\vecs{ q}=16267,5−1883,8 =14383,7. \nonumber \]

Таким образом, в мае магазин товаров для вечеринок AAA заработал 14 383,70 долларов США.

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

1 июня магазин товаров для вечеринок AAA решил повысить цену на сувениры для вечеринок до 2 долларов за упаковку. Они также сменили поставщиков своих приглашений и теперь могут покупать приглашения всего за 10 центов за упаковку. Все остальные их расходы и цены остаются прежними. Если ААА продаст 1408 приглашений, 147 подарков для вечеринок, 2112 украшений и 1894 пункта общественного питания в июне месяце, используйте векторы и точечные произведения, чтобы рассчитать их общий объем продаж и прибыль за июнь.

Подсказка

Используйте четырехмерные векторы для стоимости, цены и проданного количества.

Ответить

Продажи = 15 685,50 долларов США; прибыль = 14 073,15

долл. США

Проекции

Как мы видели, сложение объединяет два вектора для создания результирующего вектора. Но что, если нам дан вектор и нужно найти его составные части? Мы используем векторные проекции для выполнения противоположного процесса; они могут разбить вектор на его компоненты. Величина векторной проекции является скалярной проекцией. Например, если ребенок тянет ручку тележки под углом 55°, мы можем использовать проекции, чтобы определить, какая сила на ручке фактически двигает тележку вперед (\(\PageIndex{6}\)) . Мы вернемся к этому примеру и научимся его решать после того, как увидим, как вычислять проекции.

Определение: вектор и проекция

Проекция вектора из \(\vecs{ v}\) на \(\vecs{ u}\) — это вектор с меткой \(\text{proj}_\vecs{ u} \vecs{ v}\) на рисунке \(\PageIndex{7}\). Он имеет ту же начальную точку, что и \(\vecs{ u}\) и \(\vecs{ v}\), и то же направление, что и \(\vecs{ u}\), и представляет компонент \(\vecs { v}\), который действует в направлении \(\vecs{ u}\). Если \(θ\) представляет собой угол между \(\vecs{ u}\) и \(\vecs{ v}\), то по свойствам треугольников мы знаем длину \(\text{proj}_ \vecs{ u}\vecs{ v}\) равно \(\|\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\|=‖\vecs{ v}‖\cos θ.\) Когда выражая \(\cos θ\) через скалярное произведение, это становится 92}\vecs{у}. \nonumber \]

Длина этого вектора также известна как скалярная проекция из \(\vecs{ v}\) на \(\vecs{ u}\) и обозначается как

\[\| \text{proj}_\vecs{u}\vecs{v}\|=\text{comp}_\vecs{u}\vecs{v}=\dfrac{\vecs{u}⋅\vecs{v} }{‖\vecs{ u}‖.} \nonumber \]

Иногда бывает полезно разложить векторы, то есть разбить вектор на части в виде суммы. Этот процесс называется разложением вектора на компоненты. Проекции позволяют нам идентифицировать два ортогональных вектора, имеющих желаемую сумму. Например, пусть \(\vecs{ v}=⟨6,−4⟩\) и пусть \(\vecs{ u}=⟨3,1⟩.\) Мы хотим разложить вектор \(\vecs{ v }\) на ортогональные компоненты, так что один из векторов компонентов имеет то же направление, что и \(\vecs{ u}\). 92}\vecs{ u} \\[4pt] = \dfrac{18−4}{9+1}\vecs{ u} \\[4pt] = \dfrac{7}{5}\vecs{ u}= \dfrac{7}{5}⟨3,1⟩=⟨\dfrac{21}{5},\dfrac{7}{5}⟩. \end{align*}\]

Теперь рассмотрим вектор \(\vecs{ q}=\vecs{ v}−\vecs{ p}. \) У нас есть

\[\begin{align*} \vecs { q} =\vecs{ v}−\vecs{ p} \\[4pt] = ⟨6,−4⟩−⟨\dfrac{21}{5},\dfrac{7}{5}⟩ \\[ 4pt] = ⟨\dfrac{9}{5},−\dfrac{27}{5}⟩. \end{align*}\]

Очевидно, по тому, как мы определили \(\vecs{ q}\), имеем \(\vecs{ v}=\vecs{ q}+\vecs{ p},\ ) и

\[\begin{align*}\vecs{ q}⋅\vecs{ p} =⟨\dfrac{9}{5},−\dfrac{27}{5}⟩⋅⟨\dfrac{21}{5 },\dfrac{7}{5}⟩ \\[4pt] = \dfrac{9(21)}{25}+−\dfrac{27(7)}{25} \\[4pt] = \dfrac{ 189}{25}−\dfrac{189}{25}=0. \end{align*}\]

Следовательно, \(\vecs{ q}\) и \(\vecs{ p}\) ортогональны.

Пример \(\PageIndex{8}\): преобразование векторов в компоненты

Выразите \(\vecs{ v}=⟨8,−3,−3⟩\) в виде суммы ортогональных вектора имеют то же направление, что и \(\vecs{ u}=⟨2,3,2⟩.\) 92}⟨2,3,2⟩ \\[4pt] &=\dfrac{1}{17}⟨2,3,2⟩ \\[4pt] &=⟨\dfrac{2}{17},\dfrac {3}{17},\dfrac{2}{17}⟩. \end{align*} \nonumber \]

Затем

\[ \begin{align*} \vecs{q} &=\vecs{v}-\vecs{p}=⟨8,-3,- 3⟩−⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3}{17},\dfrac{2}{17}⟩\\[4pt] &=⟨\dfrac{134}{17},−\ dfrac{54}{17},−\dfrac{53}{17}⟩. \end{align*} \nonumber \]

Чтобы проверить нашу работу, мы можем использовать скалярное произведение, чтобы убедиться, что векторы \(\vecs{ p}\) и \(\vecs{ q}\) являются ортогональными векторами:

\[ \begin{align*}\vecs{ p}⋅\vecs{ q}&=⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3}{17},\dfrac{2}{17}⟩ ⋅⟨\dfrac{134}{17},−\dfrac{54}{17},−\dfrac{53}{17}⟩\\[4pt] &=\dfrac{268}{289}-\dfrac{162}{289}-\dfrac{106}{289}=0. \end{align*} \nonumber \]

Затем

\[\vecs{ v}=\vecs{ p}+\vecs{ q}=⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3 }{17},\dfrac{2}{17}⟩+⟨\dfrac{134}{17},-\dfrac{54}{17},-\dfrac{53}{17}⟩. \nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Выразите \(\vecs{ v}=5\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}\) в виде суммы ортогональных такие, что один из векторов имеет то же направление, что и \(\vecs{u}=4\mathbf{\hat i}+2\mathbf{\hat j}\).

Подсказка

Начните с нахождения проекции \(\vecs{ v}\) на \(\vecs{ u}\).

Ответить

\(\vecs{v}=\vecs{p}+\vecs{q},\) где \(\vecs{p}=\dfrac{18}{5}\mathbf{\hat i}+\dfrac {9}{5}\mathbf{\hat j}\) и \(\vecs{q}=\dfrac{7}{5}\mathbf{\hat i}−\dfrac{14}{5}\mathbf {\ шляпа j} \)

Пример \(\PageIndex{9}\): Скалярная проекция скорости

Контейнеровоз выходит из порта и движется \(15°\) к северу от востока. Его двигатель развивает на этом пути скорость 20 узлов (см. следующий рисунок). Кроме того, океанское течение перемещает корабль на северо-восток со скоростью 2 узла. Учитывая и двигатель, и течение, с какой скоростью корабль движется в направлении \(15°\) к северу от востока? Округлите ответ до двух знаков после запятой.

Решение

Пусть \(\vecs{ v}\) будет вектором скорости, создаваемой двигателем, и пусть \(\vecs{w}\) будет вектором скорости течения. Мы уже знаем \(‖\vecs{ v}‖=20\) вдоль нужного маршрута. Нам просто нужно добавить скалярную проекцию \(\vecs{w}\) на \(\vecs{v}\). Получаем

\[ \begin{align*} \text{comp}_\vecs{ v}\vecs{w}=\dfrac{\vecs{ v}⋅\vecs{w}}{‖\vecs{ v }‖} \\[4pt] =\dfrac{‖\vecs{ v}‖‖\vecs{ w}‖\cos(30°)}{‖\vecs{ v}‖} =‖\vecs{ w}‖ \cos(30°) =2\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}≈1,73\,\text{узлы.}\end{align*}\]

Судно движется со скоростью 21,73 узла в направлении \(15°\) к северо-востоку.

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Повторите предыдущий пример, но предположите, что океанское течение движется на юго-восток, а не на северо-восток, как показано на следующем рисунке.

Подсказка

Вычислить скалярную проекцию \(\vecs{w}\) на \(\vecs{v}\).

Ответить

21 узел

Работа

Теперь, когда мы понимаем точечные произведения, мы можем увидеть, как применять их в реальных ситуациях. Чаще всего скалярное произведение двух векторов применяется для расчета работы.

Из физики мы знаем, что работа совершается, когда объект перемещается под действием силы. Когда сила постоянна и приложена в том же направлении, в котором движется объект, тогда мы определяем проделанную работу как произведение силы на расстояние, которое проходит объект: \(W=Fd\). Мы видели несколько примеров этого типа в предыдущих главах. Теперь представьте, что направление силы отличается от направления движения, как в примере с ребенком, тянущим тележку. Чтобы найти совершенную работу, нужно умножить составляющую силы, действующей в направлении движения, на величину перемещения. Скалярный продукт позволяет нам сделать именно это. Если представить приложенную силу вектором \(\vecs{ F}\), а перемещение объекта вектором \(\vecs{ s}\), то работа, выполненная силой , является скалярным произведением \(\vecs{F}\) и \(\vecs{s}\).

Определение: постоянная сила

Когда к объекту приложена постоянная сила, так что объект движется по прямой из точки \(P\) в точку \(Q\), работа \(W\), выполненная сила \(\vecs{ F}\), действующая под углом θ от линии движения, равна

\[W=\vecs{ F}⋅\vecd{PQ}=∥\vecs{ F }∥∥\vecd{PQ}∥\cos θ. \nonumber \]

Давайте вернемся к проблеме детской тележки, представленной ранее. Предположим, ребенок тянет тележку с силой 8 фунтов на ручке под углом 55° . Если ребенок протащит тележку на 50 футов, найдите работу силы (рисунок \(\PageIndex{8}\)).

Имеем

\[W=∥\vecs{ F}∥∥\vecd{PQ}∥\cos θ=8(50)(\cos(55°))≈229\,\text{ft⋅lb. } \nonumber \]

В стандартных единицах США мы измеряем величину силы \(∥\vecs{ F}∥\) в фунтах. Величина вектора смещения \(∥\vecd{PQ}∥\) говорит нам, как далеко переместился объект, и измеряется в футах. Таким образом, общепринятой единицей измерения труда является футо-фунт. Один футо-фунт — это количество работы, необходимой для перемещения объекта весом 1 фунт на расстояние 1 фут по прямой. В метрической системе единицей измерения силы является ньютон (Н), а единицей измерения величины работы — ньютон-метр (Н·м) или джоуль (Дж).

Пример \(\PageIndex{10}\): Расчет работы

Конвейерная лента создает силу \(\vecs{ F}=5\mathbf{\hat i}−3\mathbf{\hat j}+\ mathbf{\hat k}\), который перемещает чемодан из точки \((1,1,1)\) в точку \((9,4,7)\) по прямой. Найдите работу, совершенную конвейерной лентой. Расстояние измеряется в метрах, а сила измеряется в ньютонах.

Решение

Вектор смещения \(\vecd{PQ}\) имеет начальную точку \((1,1,1)\) и конечную точку \((9,4,7)\):

\[\vecd{PQ}=⟨9−1,4−1,7−1⟩=⟨8,3,6⟩=8\mathbf{\шляпа i}+3 \mathbf{\шляпа j}+6\mathbf{\шляпа k}. \nonumber \]

Работа есть точечный продукт силы и перемещения:

\[\begin{align*} W &=\vecs{ F}⋅\vecd{PQ} \\[4pt] &= (5\ mathbf {\ шляпа i} −3 \ mathbf {\ шляпа j} + \ mathbf {\ шляпа k}) ⋅ (8 \ mathbf {\ шляпа i} +3 \ mathbf {\ шляпа j} +6 \ mathbf {\ шляпа k}) \\[4pt] = 5(8)+(−3)(3)+1(6) \\[4pt] &=37\,\text{N⋅m} \\[4pt] &= 37\,\text{J} \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Постоянная сила 30 фунтов приложена под углом 60°, чтобы протащить ручную тележку на 10 футов по земле. Какую работу совершает эта сила?

Подсказка

Используйте определение работы как скалярного произведения силы и расстояния.

Ответить

150 фут-фунт

Ключевые понятия

• Скалярное произведение двух векторов \(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) и \(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3 ⟩\) равно \(\vecs{u}⋅\vecs{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\). 92\)

Работа совершается, когда к объекту прикладывается сила, вызывающая его перемещение. Если сила представлена ​​вектором \(\vecs{F}\), а перемещение представлено вектором \(\vecs{s}\), то выполненная работа \(W\) определяется формулой (W=\vecs{F}⋅\vecs{s}=∥\vecs{F}∥‖\vecs{s}‖\cos θ. \)

Ключевые уравнения

• Скалярное произведение \(\vecs{ u}\) и \(\vecs{ v}\)

\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ\)

• Косинус образуемого угла по \(\vecs{u}\) и \(\vecs{v}\)

\(\cos θ=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{v}}{‖\vecs{ u}‖‖\vecs{v}‖}\)

• Векторная проекция \ (\vecs{v}\) на 92}\vecs{ u}\)
  • Скалярная проекция \(\vecs{ v}\) на \(\vecs{ u}\)

  \(\text{comp}_\vecs{ u}\vecs{v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{v}}{‖\vecs{u}‖}\)

  • Работа, совершаемая силой \(\vecs{ F}\) для перемещения объекта через вектор смещения \(\vecd{PQ}\)

  \(W=\vecs{ F}⋅\vecd{PQ}=∥\vecs{ F}∥∥\vecd{PQ}∥\cos θ\)

  Глоссарий

  Углы направления

  углы, образованные ненулевым вектором и осями координат

  направление косинусов

  косинусы углов, образованных ненулевым вектором и осями координат

  скалярное произведение

  \(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\), где \(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) и \(\vecs{ v}=⟨ v_1,v_2,v_3⟩\)

  скалярная проекция

  величина векторной проекции вектора

  ортогональные векторы

  векторов, образующих прямой угол при размещении в стандартном положении

  векторная проекция

  составляющая вектора, следующего заданному направлению

  работа силы

  работа обычно понимается как количество энергии, необходимое для перемещения объекта; если мы представим приложенную силу вектором \(\vecs{F}\), а перемещение объекта вектором \(\vecs{s}\), то работа, выполненная силой, будет скалярным произведением \ (\vecs{F}\) и \(\vecs{s}\).

  Авторы и авторство

  ---

  Эта страница под названием 12.3: Дот-продукт распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован. к стилю и стандартам платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или страница

     Автор

     ОпенСтакс

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Программа OER или Publisher

     ОпенСтакс

     Показать страницу Оглавление

     нет

  2. Метки

     1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
     2. автор@Гилберт Странг
     3. углы направления
     4. направление косинусов
     5. скалярный продукт
     6. внутренний продукт
     7. ортогональных векторов
     8. скалярное произведение
     9. скалярная проекция
     10. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
     11. Точечный продукт
     12. векторная проекция
     13. работа, совершаемая силой

  Engineering at Alberta Courses » Дополнительный продукт

  Скалярный продукт и его свойства

  Скалярное произведение, также называемое скалярным произведением, представляет собой операцию, которая берет два вектора и возвращает скаляр. Скалярное произведение векторов и , обозначаемое и читаемое как «точка», определяется как:

  (2.14)  

  где угол между двумя векторами (рис. 2.24)

  Рис. 2.24 Конфигурация двух векторов для скалярного произведения.

  Из определения очевидно, что результат скалярного произведения является скаляром. Скалярный продукт обладает тремя следующими свойствами:

  1. Коммутативность:
  2. Ассоциативность (скалярное умножение):
  3. Дистрибутивность:

  Доказательства первых двух свойств осуществляются прямым использованием определения скалярного произведения (уравнение 2. 14). Доказательство третьего свойства заключается в расширении правой части уравнения с использованием CVN и свойств, объясненных ниже.

  Другие свойства скалярного произведения
  1. Скалярное произведение вектора само по себе дает его квадрат величины: .
  2. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю: .
  3. Скалярное произведение нулевого вектора равно нулю: .

  Эти свойства можно легко доказать с помощью уравнения. 2.14.

  Составление скалярного произведения с использованием CVN

  Позвольте и быть два вектора с их скалярными компонентами и . Используя CVN, мы можем написать:

     

  Скалярное произведение единичных векторов на свойства скалярного произведения:

     

  Следовательно,

  (2,15)  

  Этот результат показывает, что скалярное произведение двух векторов, записанных в их CVN, может быть получено путем умножения их соответствующих скалярных компонентов и алгебраического суммирования этих произведений. Уравнение 2.15 показывает, что для вычисления скалярного произведения (уравнение 2.14) не нужны величины двух векторов и угол между ними, если векторы выражены в CVN.

  Применение скалярного произведения: нахождение угла между двумя векторами

  Скалярное произведение можно использовать для нахождения угла между двумя векторами или двумя пересекающимися прямыми. Это особенно полезно при решении задач в трех измерениях. Угол между двумя векторами получается путем решения уравнения. 2.14 для углового члена:

  (2.16)  

  Приведенным выше уравнением можно управлять как:

  (2.17)  

  , в котором и являются единичными векторами и соответственно. Этот результат естественным образом утверждает, что угол между двумя векторами зависит только от их направлений, а не от их величин.

  Применение скалярного произведения: ортогональная проекция вектора

  Во многих задачах нам нужно разрешить вектор на определенной линии или линиях в пространстве. Точнее, нужно найти составляющую вектора вдоль определенного направления или оси. Разложение вектора по декартовым осям уже продемонстрировано. В этом разделе мы объясняем разложение вектора на общую прямую в пространстве с помощью скалярного произведения. Использование скалярного произведения упрощает вычисления, особенно в трех измерениях.

  Рассмотрим ненулевой вектор в трехмерном пространстве и прямую, пересекающую хвост вектора в точке (рис. 2.25а). Единичный вектор связан с линией, чтобы задать направление линии. Другими словами, положительное направление линии определяется . Как показано на рис. 2.25b, вектор можно записать как

  (2.18)  

  где параллельно и перпендикулярно . Символы и обозначают параллельность и перпендикулярность соответственно.

  Рис. 2.25 Ортогональная проекция.

  Вектор называется ортогональной проекцией (или проекцией) на линию или вдоль направления . Мы обозначаем as, чтобы указать, что это проекция вдоль направления .

  Для получения достаточно заметить, что векторы и образуют прямоугольный треугольник (рис. 2.25б). Поэтому по теореме Пифагора . Это вдохновляет нас использовать уравнение 2.14 и пишем,

  (2.19)  

  Следует отметить, что ​ является скалярной составляющей ​, разрешенной вдоль направления ​. Использование скалярного произведения для расчета может привести к отрицательной скалярной величине, если угол между и больше, чем . В таком случае направление ​ находится в направлении, противоположном ​.

  Следующий интерактивный инструмент иллюстрирует ортогональную проекцию вектора на направление, определяемое единичным вектором.

  Перпендикулярный компонент можно получить, написав

  (2,20)  

  Величина перпендикулярной составляющей может быть рассчитана с помощью или .

  На практике и может быть легко использовано, если известно, в противном случае , и может быть использовано, если известны компоненты векторов в CVN.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт