Свойства непрерывных функций в точке: Свойства непрерывных в точке функций (доказательства теорем)

3.4: Свойства непрерывных функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Lafferriere, Lafferriere, and Nguyen
• Portland State University via PDXOpen: 900 Educational Resources

  Напомним из определения 2.6.3, что подмножество \(A\) множества \(\mathbb{R}\) компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность \(\left\{a_{n}\right\}\) в \(A\) имеет подпоследовательность \(\left\{a_{n_{k}}\right\}\), которая сходится к точке \(a \in A\).

  Теорема \(\PageIndex{1}\)

  Пусть \(D\) непустое компактное подмножество \(\mathbb{R}\) и пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) быть непрерывной функцией. Тогда \(f{D}\) является компактным подмножеством \(\mathbb{R}\). В частности, \(f(D)\) замкнуто и ограничено.

  Доказательство

  Возьмем любую последовательность \(\left\{y_{n}\right\}\) в \(f(D)\). Тогда для каждого \(n\) существует \(a_{n} \in D\) такое, что \(y_{n}=f\left(a_{n}\right)\). Поскольку \(D\) компактен, существует подпоследовательность \(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) из \(\left\{a_{n}\right\}\) и точка \(a \in D\) такая, что

  \[\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \in D .\]

  Теперь из теоремы 3.3.3 следует, что

  \[\lim _{k \стрелка вправо \infty} y_{n_{k}}=\lim _{k \стрелка вправо \infty} f\left(a_{n_{k}}\right)=f(a) \в f(D).\]

  Следовательно, \(f(D)\) компактно.

  Окончательный вывод следует из теоремы 2. 6.5 \(\квадрат\)

  Определения \(\PageIndex{1}\): абсолютный минимум и абсолютный максимум

  Мы говорим, что функция \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) имеет абсолютный минимум в \(\bar{x} \in D\), если

  \[f(x) \geq f(\bar{x}) \text { для каждого } x \in D.\]

  Точно так же мы говорим, что \(f\) имеет абсолютный максимум в точке \(\bar{x}\), если

  \[f(x) \leq f(\bar{x}) \text { для каждый } x \in D.\]

  Рисунок \(3.2\): Абсолютный максимум и абсолютный минимум \(f\) на \([a, b]\).

  Теорема \(\PageIndex{2}\): Теорема об экстремальном значении

  Предположим, что \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывно и \(D\) является компактным множеством. Тогда \(f\) имеет абсолютный минимум и солидный максимум на \(D\).

  Доказательство

  Поскольку \(D\) компактно, \(A=f(D)\) замкнуто и ограничено (см. теорему 2.6.5). Пусть

  \[m=\inf A=\inf _{x \in D} f(x). \]

  В частности, \(m \in \mathbb{R}\). Для каждого \(n \in \mathbb{N}\) существует \(a_{n} \in A\) такое, что

  \[m \leq a_{n}

  Для каждого \(n\), поскольку \(a_{n} \in A=f(D)\), существует \(x_{n} \in D\) такой, что \(a_{n}=f \left(x_{n}\right)\) и, следовательно,

  \[m \leq f\left(x_{n}\right)

  В силу компактности \(D\) существуют элемент \(\bar{x} \in D\) и подпоследовательность \(\left\{x_{n_{k}}\right\}\), которые сходится к \(\bar{x} \in D\) как \(k \rightarrow \infty\). Потому что

  \[m \leq f\left(x_{n_{k}}\right)

  по теореме сжатия (теорема 2.1.6) заключаем \(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=m\). С другой стороны, по непрерывности имеем \(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=f(\bar{x})\). Мы заключаем, что \(f(\bar{x})=m \leq f(x)\) для любого \(x \in D\). Таким образом, \(f\) имеет абсолютный минимум в точке \(\bar{x}\). Доказательство аналогично для случая абсолютного максимума. \(\квадрат\)

  Замечание \(\PageIndex{3}\)

  Доказательство теоремы 3.4.2 можно сократить, применяя теорему 2.6.4. Однако вместо этого мы предоставили прямое доказательство.

  Следствие \(\PageIndex{4}\)

  Если \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна, то она имеет абсолютный минимум и абсолютный максимум на \([a , б]\).

  Доказательство

  Добавьте здесь доказательство, и оно будет автоматически скрыто

  Следствие 3.4.4 иногда называют теоремой об экстремальных значениях. Это немедленно следует из теоремы 3.4.2 и того факта, что интервал \([а, Ь]\) компактен (см. пример 2.6.4).

  Следующий результат является основным свойством непрерывных функций, которое используется в различных ситуациях.

  Лемма \(\PageIndex{5}\)

  Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна в \(c \in D\). Предположим, что \(f(c) > 0\). Тогда существует \(\delta > 0\) такое, что

  \[f(x)>0 \text { для каждого } x \in B(c ; \delta) \cap D.\]

  Доказательство

  Пусть \(\varepsilon=f(c)>0\). По непрерывности \(f\) в \(c\) существует \(\delta > 0\) такое, что \(x \in D\) и \(|x-c|<\delta\), тогда

  \(|f(x)-f(c)|<\varepsilon\).

  Отсюда следует, в частности, что \(f(x)>f(c)-\varepsilon=0\) для каждого \(x \in B(c ; \delta) \cap D\). Доказательство завершено. \(\квадрат\)

  Замечание \(\PageIndex{6}\)

  Аналогичный результат верен, если \(f(c)<0\).

  Теорема \(\PageIndex{7}\)

  Пусть \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) — непрерывная функция. Предположим, \(f(a) \cdot f(b)<0\) (это означает либо \(f(a)<00>f(b) \)). Тогда существует \(c \in (a,b)\) такое, что \(f(c)=0\).

  Доказательство

  Докажем только случай \(f(a)<00>f(b)\) совершенно аналогичен). определить

  \[A=\{x \in[a, b]: f(x) \leq 0\} .\]

  Это множество непусто, так как \(a \in A\). Это множество также ограничено, так как \(A \subset[a, b]\). Следовательно, \(c=\sup A\) существует и \(a \leq c \leq b\). Мы собираемся доказать, что \(f(c)=0\), показав, что \(f(c)<0\) и \(f(c)>0\) приводят к противоречиям.

  Предположим, \(f(c)<0\). Тогда существует \(\delta > 0\) такое, что

  \[f(x)<0 \text { для всех } x \in B(c ; \delta) \cap[a, b] .\]

  Поскольку \(c0\)), мы можем найти \(s \in(c, b)\) такие, что \(f(s) < 0\) (действительно \(s=\min \{c+ \delta/2,(c+b)/2\}\) подойдет). Это противоречие, потому что \(s \in A\) и \(s>c\).

  Предположим, \(f(c)>0\). Тогда существует \(\delta > 0\) такое, что

  \[f(x)>0 \text { для всех } x \in B(c ; \delta) \cap[a, b] .\]

  Поскольку \(a0\) для все \(x \in(t, c)\) (на самом деле, \(t=\max \{c-\delta/2,(a+c)/2\}\) подойдет). {\prime}\right) \leq 0\). Это противоречие. Мы заключаем, что \(f(c)=0\). \(\квадрат\)

  Теорема \(\PageIndex{8}\) — Теорема о промежуточном значении.

  Пусть \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) — непрерывная функция. Предположим, \(f(a)<\gamma

  Тот же вывод следует, если \(f(a)>\gamma>f(b)\).

  Рисунок \(3.3\): Иллюстрация теоремы о промежуточном значении.

  Доказательство

  Определить

  \[\varphi(x)=f(x)-\gamma, x \in[a, b].\]

  Тогда \(\varphi\) непрерывно на \([a,b]\). Более того,

  \[\varphi(a) \varphi(b)=[f(a)-\gamma][f(b)-\gamma]<0 .\]

  По теореме 3.4.7 существует \(c \in (a,b)\) такое, что \(\varphi(c)=0\). Это эквивалентно \(f(c)=\gamma\). Доказательство завершено. \(\квадрат\)

  Следствие \(\PageIndex{9}\)

  Пусть \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) — непрерывная функция. {n}=a\), как и хотелось. (Позже в примере 4.3.1 мы покажем, что такое \(x\) единственно.)

  Ниже мы приводим второе доказательство теоремы 3.4.8, которое не зависит от теоремы 3.4.7, а вместо этого опирается на теорему о вложенных интервалах (теорема 2.3.3).

  Второе доказательство теоремы 3.4.8:

  Построим последовательность вложенных интервалов следующим образом. Установите \(a_{1}=a\), \(b_{1}=b\) и пусть \(I_{1}=[a, b]\). Пусть \(c_{1}=(a+b)/2\). Если \(f\left(c_{1}\right)=\gamma\), мы закончили. В противном случае либо

  \[\begin{array}{l}
  f\left(c_{1}\right)>\gamma \quad \text { либо } \\
  f\left(c_{1}\right)<\gamma
  \end{array} .\]

  В первом случае установите \(a_{2}=a_{1}\) и \(b_{ 1}=c_{1}\). Во втором случае установите \(a_{2}=c_{1}\) и \(b_{2}=b_{1}\). Теперь установите \(I_{2}=\left[a_{2}, b_{2}\right]\). Обратите внимание, что в любом случае

  \[f\left(a_{2}\right)<\gamma

  Set \(c_{2}=\ влево(a_{2}+b_{2}\вправо) / 2\). Если \(f\left(c_{2}\right)=\gamma\), снова мы закончили. В противном случае либо

  \[\begin{array}{l}
  f\left(c_{2}\right)>\gamma \quad \text { либо } \\
  f\left(c_{2}\right)<\gamma
  \end{array} .\]

  В первом случае установите \(a_{3}=a_{2}\) и \(b_{ 3}=c_{2}\). Во втором случае установите \(a_{3}=c_{2}\) и \(b_{3}=b_{2}\). Теперь установите \(I_{3}=\left[a_{3}, b_{3}\right]\). Заметим, что в любом случае

  \[f\left(a_{3}\right)<\gamma

  Действуя таким образом, либо мы найдем некоторое \(c_{n_{0}}\) такое, что \(f\left(c_{n_{0}}\right)=\gamma\) и, следовательно, доказательство завершено, либо строим последовательность замкнутых ограниченные интервалы \(\left\{I_{n}\right\}\) с \(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]\) такие, что для всех \(n \), 9{\infty} I_{n}=\{c\}\). Более того, как мы видим из доказательства этой теоремы, \(a_{n} \rightarrow c\) и \(b_{n} \rightarrow c\) as \(n \rightarrow \infty\).

  По непрерывности \(f\) получаем

  \[\begin{array}{l}
  \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f (c) \quad \text { и } \\
  \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(b_{n}\right)=f(c)
  \end{array} . \]

  Поскольку \(f\left(a_{n}\right)<\gamma

  \[\begin{array}{l}
  f(c) \leq \gamma \quad \text { и } \\
  f(c) \geq \gamma
  \end{array} .\]

  Отсюда следует, что \(f(c)=\gamma\). Обратите внимание, что, поскольку \(f(a)<\gamma

  Теперь мы собираемся обсудить непрерывность обратной функции. Для функции \(f: D \rightarrow E\), где \(E\) — подмножество \(\mathbb{R}\), мы можем определить новую функцию \(f: D \rightarrow \mathbb{ R}\) той же функциональной записью. Функция \(f: D \rightarrow E\) называется непрерывной в точке \(\bar{x} \in D\), если соответствующая функция \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна в \(\bar{x}\). 9{-1}\left(y_{k}\right)=x_{k}\) для каждого \(k\). Предположим противное, что \(\left\{x_{k}\right\}\) не сходится к \(\bar{x}\). Тогда существует \(\varepsilon_{0}>0\) и подпоследовательность \(\left\{x_{k_{\ell}}\right\}\) из \(\left\{x_{k}\right \}\) такой, что

  \[\left|x_{k_{\ell}}-\bar{x}\right| \geq \varepsilon_{0} \text { для каждого } \ell . \]

  Поскольку последовательность \(\left\{x_{k_{\ell}}\right\}\) ограничена, она имеет дополнительную подпоследовательность, сходящуюся к \(x_{0} \in[a, b]\) . Чтобы упростить запись, мы снова будем называть новую подпоследовательность \(\left\{x_{k_{\ell}}\right\}\). Беря пределы в (3.7), получаем

  \[\left|x_{0}-\bar{x}\right| \geq \varepsilon_{0}>0 .\]

  С другой стороны, по непрерывности \(f\), \(\left\{f\left(x_{k_{\ell}}\right)\right\}\) сходится к \(f\left (x_{0}\справа)\). Поскольку \(f\left(x_{k_{\ell}}\right)=y_{k_{\ell}} \rightarrow \bar{y}\) как \(\ell \rightarrow \infty\), следует что \(f\left(x_{0}\right)=\bar{y}=f(\bar{x})\). Отсюда следует \(x_{0}=\bar{x}\), что противоречит (3.8). \(\квадрат\)

  Примечание \(\PageIndex(11)\) 9{-}} f(x)=\infty\) (снова см. упражнение 3.2.10). В этом случае мы можем показать, используя теорему о промежуточном значении, что \(f((a, b))=(c, \infty)\), и мы можем действовать, как указано выше, чтобы доказать, что \(f\) имеет непрерывную обратную из \((c, \infty)\) в \((a,b)\).

  

  Другие возможности приводят к аналогичным результатам.

  Аналогичную теорему можно доказать для строго убывающих функций.

  Упражнение \(\PageIndex{1}\)

  Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна в \(c \in D\) и пусть \(\gamma \in \mathbb{R}\). Предположим, \(f(c)>\gamma\). Докажите, что существует \(\delta>0\) такой, что

  \[f(x)>\gamma \text { для каждого } x \in B(c ; \delta) \cap D .\]

  Ответить

  Добавьте текст сюда. Не удаляйте этот текст первым.

  Упражнение \(\PageIndex{2}\)

  Пусть \(f,g\) — непрерывные функции на \([a,b]\). Предположим, \(f(a)g(b)\). Докажите, что существует \(x_{0} \in(a, b)\) такое, что \(f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)\).

  Упражнение \(\PageIndex{3}\) 9{2}-2=\cos (x+1)\) имеет по крайней мере два действительных решения. (Предположим, известно, что функция \(\cos x\) непрерывна.)

  Упражнение \(\PageIndex{5}\)

  Пусть \(f:[a, b] \rightarrow[a, b]\) — непрерывная функция.

  1. Докажите, что уравнение \(f(x)=x\) имеет решение на \([a,b]\).
  2. Предположим далее, что

  \[|f(x)-f(y)|<|x-y| \text { для всех } x, y \in[a, b], x \neq y .\]

  Докажите, что уравнение \(f(x)=x\) имеет единственное решение на \([a,b]\)

  Упражнение \(\PageIndex{6}\)

  Пусть \(f\) — непрерывная функция на \([a,b]\) и \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in[a, b]\) . Докажите, что существует \(c \in [a,b]\) с

  \[f(c)=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots f\left(x_{n}\right)}{ п}.\

  Упражнение \(\PageIndex{7}\)

  Предположим, что \(f\) — непрерывная функция на \(\mathbb{R}\) такая, что \(|f(x)| < |x| \text { для всех } x \neq 0\).

  1. Докажите, что \(f(0)=0\).
  2. Для заданных двух положительных чисел \(a\) и \(b\) с \(a < b\) докажите, что существует \(\ell \in[0,1)\) такое, что \[|f(x )| \leq \ell|х| \text { для всех } x \in[a, b].\]

  Упражнение \(\PageIndex{8}\)

  Пусть \(f, g:[0,1] \rightarrow[0,1]\) — непрерывные функции такие, что

  \[f(g(x))=g(f(x)) \text { для всех } x \in[0,1] . \номер\]

  . Предположим далее, что \(f\) монотонно. Докажите, что существует \(x_{0} \in[0,1]\) такой, что

  \[f\влево(x_{0}\вправо)=g\влево(x_{0}\вправо)=x_{0} . \номер\]

  ---

  Эта страница под заголовком 3.4: Свойства непрерывных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована Lafferriere, Lafferriere и Nguyen (PDXOpen: открытые образовательные ресурсы).

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или страница

     Автор

     Лафферьер, Лафферриер и Нгуен

     Лицензия

     СС BY-NC-SA

     Программа OER или Publisher

     PDXOpen

     Показать страницу Содержание

     нет

  2. Теги

     1. абсолютный максимум
     2. абсолютный минимум
     3. компактный комплект
     4. Теорема о промежуточном значении

  Непрерывная функция — определение, примеры

  Непрерывная функция, как следует из ее названия, — это функция, график которой непрерывен без каких-либо разрывов или скачков. т. е. если мы можем нарисовать кривую (график) функции, даже не отрывая карандаша, то мы говорим, что функция непрерывна. Изучение непрерывности функции действительно важно в исчислении, поскольку функция не может быть дифференцируемой, если она не является непрерывной.

  Давайте узнаем больше о непрерывности функции, зная определение непрерывной функции и множество других примеров.

  1.	Что такое непрерывная функция?
  2.	Непрерывность в примерах исчисления
  3.	Свойства непрерывности
  4.	Теоремы о непрерывной функции
  5.	НЕ Непрерывная функция
  6.	Часто задаваемые вопросы о непрерывной работе

  Что такое непрерывная функция?

  Функция f(x) называется непрерывной функцией в исчислении в точке x = a, если кривая функции НЕ разрывается в точке x = a. Математическое определение непрерывности функции выглядит следующим образом. Функция f(x) непрерывна в точке x = a, если

  • f(a) существует;
  • limₓ → ₐ f(x) существует;
    [т.е. limₓ → ₐ₋ f(x) = limₓ → ₐ₊ f(x)] и
  • Оба вышеуказанных значения равны. т. е. limₓ → ₐ f(x) = f(a) .

  Действительно ли это определение означает, что функция не должна иметь разрыва в точке x = a? Посмотрим. «limₓ → ₐ f(x) существует» означает, что функция должна приближаться к одному и тому же значению как слева, так и справа от значения x = a, а «limₓ → ₐ f(x) = f(a)» означает, что предел функции при x = a такой же, как f (a). Вместе эти два условия сделают функцию непрерывной (без разрыва) в этой точке. Вы можете понять это из следующего рисунка.

  Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. т. е. на этом интервале график функции не должен ломаться или прыгать.

  Непрерывность в примерах исчисления

  Вот несколько примеров функций, которые имеют непрерывность . Все приведенные ниже функции непрерывны в соответствующих областях.

  В приведенных выше примерах обратите внимание на одну особенность непрерывности: «если граф не имеет дырок или асимптот в какой-либо точке, он всегда непрерывен в этой точке».

  Свойства непрерывности

  Вот некоторые свойства непрерывности функции. Если две функции f(x) и g(x) непрерывны при x = a, то

  • f + g, f — g и fg непрерывны при x = a.
  • f/g также непрерывна при x = a, если g(a) ≠ 0,
  • Если f непрерывна в точке g(a), то функция композиции (fo g) также непрерывна в точке x = a.
  • Все полиномиальные функции непрерывны на множестве всех действительных чисел.
  • Функция абсолютного значения |x| непрерывна над множеством всех действительных чисел.
  • Экспоненциальные функции непрерывны во всех действительных числах.
  • Функции sin x и cos x непрерывны для всех действительных чисел.
  • Функции tan x, cosec x, sec x и cot x непрерывны в своих областях определения.
  • Такие функции, как log x, ln x, √x и т. д., непрерывны в соответствующих областях.

  Теоремы о непрерывной функции

  Существует несколько теорем о непрерывной функции. Вот самые важные теоремы.

  • Теорема 1: Все полиномиальные функции непрерывны на (-∞, ∞).
  • Теорема 2: Функции e ^x , sin x, cos x и arctan x непрерывны на (-∞, ∞).
  • Теорема 3: Если две функции f и g непрерывны на отрезке [a, b], то алгебра функций: f+g, f-g и fg непрерывна на [a, b]. Но f/g непрерывна на [a, b] при условии, что f/g НЕ равно нулю нигде в интервале.
  • Теорема 4:  Рациональная функция непрерывна, кроме вертикальных асимптот.

  НЕ Непрерывная функция

  Функция, которая НЕ является непрерывной, называется прерывистой функцией. т. е. график разрывной функции где-то обрывается или перескакивает. Существуют различные типы разрывов, как описано ниже. По определению непрерывности функции функция НЕ является непрерывной в одном из следующих случаев. Мы можем видеть все типы разрывов на рисунке ниже. Из рисунков ниже мы можем понять, что

  • Устранимые несплошности возникают в отверстиях.
  • На вертикальных асимптотах возникает бесконечный разрыв.

  Разрыв скачка

  limₓ → ₐ₋ f(x) и limₓ → ₐ₊ f(x) существуют, но НЕ равны. Это называется «скачковым разрывом» (или) «неустранимым разрывом».

  Устранимый разрыв

  limₓ → ₐ f(x) существует (т. е. limₓ → ₐ₋ f(x) = limₓ → ₐ₊ f(x)), но НЕ равен f(a). Это называется «устранимый разрыв».

  Бесконечный разрыв

  Значения одного или обоих пределов limₓ → ₐ₋ f(x) и limₓ → ₐ₊ f(x) составляют ± ∞. Это называется «бесконечный разрыв».

  Важные примечания о непрерывности:

  Вот некоторые моменты, на которые следует обратить внимание, связанные с непрерывностью функции.

  • Функция непрерывна в точке x = a тогда и только тогда, когда limₓ → ₐ f(x) = f(a).
  • Это означает, что для того, чтобы функция имела непрерывность в какой-то точке, она не должна прерываться в этой точке.
  • Чтобы функция была дифференцируемой, она должна быть непрерывной.
  • Все многочлены непрерывны.
  • Функции НЕ являются непрерывными на вертикальных асимптотах.
  • Функции НЕ непрерывны в отверстиях.

  ☛  Похожие темы:

  Вот некоторые темы, которые могут вас заинтересовать при изучении непрерывных функций.

  • Исчисление
  • Производные формулы
  • Дифференциальные уравнения
  • Интеграция

   

  Примеры непрерывной работы

  1. Пример 1: Проверить непрерывность функции f(x) = 3x — 7 при x = 7.

     Решение:

     Метод 1:

     Учитывая, что f(x) = 3x — 7 и х = 7 = а.

     Найдем limₓ → ₐ f(x) и f(a).

     limₓ → ₐ f(x) = limₓ → ₇ (3x — 7) = 3(7) — 7 = 21 — 7 = 14,

     f(a) = f(7) = 3(7) — 7 = 21 — 7 = 14.

     Следовательно, limₓ → ₐ f(x) = f(a). Таким образом, f(x) непрерывна при x = 7.

     Метод 2:

     Мы знаем, что полиномиальная функция непрерывна всюду.

     Здесь f(x) = 3x — 7 является полиномиальной функцией и, следовательно, непрерывна всюду и, следовательно, при x = 7.

     Ответ: Функция f(x) = 3x — 7 непрерывна при x = 7.

  2. Пример 2: Докажите, что следующая функция НЕ является непрерывной при x = 2, и проверьте то же самое, используя ее график. Также укажите тип разрыва. f (x) = \(\ left \ {\ begin {array} {l} x-3, \ text { if } x \ leq 2 \\ 8, \ text { if } x> 2 \ end {array} \ справа.\)

     Решение:

     Дано, что a = 2.

     Данная функция является кусочной функцией. Таким образом, мы должны найти левый и правый пределы отдельно. Обратите внимание, что

     • x → 2- ⇒ x < 2 ⇒ f(x) = x - 3 и
     • х → 2+ ⇒ х > 2 ⇒ f(x) = 8.

     Теперь мы вычислим пределы.

     limₓ → ₂₋ f(x) = limₓ → ₂ (x — 3) = 2 — 3 = -1

     limₓ → ₂₊ f(x) = limₓ → ₂ 8 = 8

     ₋ f(x) ≠ limₓ → ₂₊ f(x).

     Таким образом, limₓ → ₂ f(x) НЕ существует и, следовательно, f(x) НЕ является непрерывной при x = 2.

     Проверка по графику:

     Функция имеет скачкообразный разрыв.

     Ответ: Мы доказали, что функция f(x) алгебраически и графически является разрывной и имеет скачкообразный разрыв.

  3. Пример 3: Найдите соотношение между a и b, если следующая функция непрерывна в точке x = 4. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x-3, & \ text { if } x \leq 4 \\ b x+8, & \text { if } x>4\end{array}\right.\)

     Решение:

     f(x) — непрерывная функция при x = 4. По уравнению непрерывности

     limₓ → ₄₋ f(x) = limₓ → ₄₊ f(x) = f(4)

     limₓ → ₄ (ax — 3) = limₓ → ₄ (bx + 8) = а(4) — 3

     a(4) — 3 = b(4) + 8 = a(4) — 3

     Из первых двух выражений

     4a — 3 = 4b + 8

     4a — 4b = 11

     Ответ : Отношение между a и b равно 4a — 4b = 11.

  перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

  Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.

  Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

  Записаться на бесплатный пробный урок

  Практические вопросы по непрерывным функциям

   

  перейти к слайдуперейти к слайду

  Часто задаваемые вопросы о непрерывной работе

  Что такое определение непрерывной функции?

  Непрерывная функция  это функция, график которой нигде не прерывается. Математически f (x) называется непрерывным в точке x = a тогда и только тогда, когда limₓ → ₐ f (x) = f (a).

  Пример непрерывной функции? 9{3} & \text { if } x

  <-2 \\8 & ​​\text { if } x\geq-2\end{array}\right.\) — кусочно-непрерывная функция.

  Что такое

  Определение непрерывности ?

  Для непрерывности функции f(x) в точке x = a должны быть выполнены следующие 3 условия.

  • f(a) существует
  • limₓ → ₐ f(x) существует и
  • limₓ → ₐ f(x) = f(a)

  Что является примером НЕ непрерывной функции?

  Функция f(x) = [x] (целая часть x) НЕ является непрерывной для любого действительного числа. Другой пример НЕ непрерывной функции: f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}x-3, \text { if } x \leq 2 \\ 8, \text {if } x>2\end{массив}\right.\)

  Опишите непрерывность функции извлечения квадратного корня.

  График функции квадратного корня представляет собой гладкую кривую без изломов, отверстий или асимптот по всей области определения. Следовательно, функция квадратного корня непрерывна в своей области определения.

  Какая функция всегда непрерывна?

  Чтобы функция всегда была непрерывной, на ее графике не должно быть разрывов. Например, f(x) = |x| непрерывна всюду.

  Что такое формула непрерывной функции?

  Функция f(x) непрерывна при x = a, если ее предел существует при x = a и равен значению функции при x = a. т. е. limₓ → ₐ f(x) = f(a)

  Являются ли экспоненциальные функции непрерывными?

  Да, экспоненциальные функции непрерывны, так как у них нет изломов, дыр и вертикальных асимптот.

  Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

  ЛИСТКИ

  2.4 Непрерывность | Исчисление, том 1

  Цели обучения

  • Объясните три условия непрерывности в одной точке.
  • Опишите три вида разрывов.
  • Определение непрерывности на интервале.
  • Сформулируйте теорему для пределов сложных функций.
  • Приведите пример теоремы о промежуточном значении.

  Многие функции обладают тем свойством, что их графики можно рисовать карандашом, не отрывая карандаша от страницы. Такие функции называются непрерывный . Другие функции имеют точки, в которых происходит разрыв графика, но удовлетворяют этому свойству на интервалах, содержащихся в их областях определения. Они непрерывны на этих интервалах и, как говорят, имеют разрыв в точке , где происходит разрыв.

  Мы начнем наше исследование непрерывности с изучения того, что означает для функции иметь непрерывность в точке . Интуитивно понятно, что функция непрерывна в определенной точке, если в этой точке ее график не имеет разрыва.

  Прежде чем мы рассмотрим формальное определение непрерывности функции в точке, давайте рассмотрим различные функции, которые не соответствуют нашему интуитивному представлению о том, что значит быть непрерывным в точке. Затем мы создаем список условий, предотвращающих такие сбои.

  Первая интересующая нас функция показана на (Рисунок). Мы видим, что граф [latex]f(x)[/latex] имеет дыру в точке [latex]a[/latex]. На самом деле [latex]f(a)[/latex] не определен. По крайней мере, для того, чтобы [latex]f(x)[/latex] был непрерывным в [latex]a[/latex], нам нужны следующие условия:

  и. [латекс]f(a)[/латекс] определен.

  Рис. 1. Функция [latex]f(x)[/latex] не является непрерывной в точке a, поскольку [latex]f(a)[/latex] не определена.

  Однако, как мы видим на (Рисунок), одного этого условия недостаточно, чтобы гарантировать непрерывность в точке [латекс]а[/латекс]. Хотя [latex]f(a)[/latex] определен, функция имеет пробел в [latex]a[/latex]. В этом примере разрыв существует, потому что [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] не существует. Мы должны добавить еще одно условие непрерывности в [latex]a[/latex] — а именно,

  ii. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] существует.

  Рис. 2. Функция [latex]f(x)[/latex] не является непрерывной в точке a, поскольку [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] не существует .

  Однако, как мы видим на (рис.), эти два условия сами по себе не гарантируют непрерывности в точке. Функция на этом рисунке удовлетворяет обоим нашим первым двум условиям, но по-прежнему не является непрерывной в точке [latex]a[/latex]. Мы должны добавить в наш список третье условие:

  III. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)=f(a)[/latex].

  Рис. 3. Функция [latex]f(x)[/latex] не является непрерывной в точке a, поскольку [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)\ne f(a)[ /латекс].

  Теперь мы составляем наш список условий вместе и формируем определение непрерывности в точке.

  Определение

  Функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

  1. [латекс]f(a)[/латекс] определен
  2. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] существует
  3. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)=f(a)[/latex]

  Функция разрывна в точке [latex]a[/latex], если она не является непрерывной в [latex]a[/latex].

  Следующую процедуру можно использовать для анализа непрерывности функции в точке с использованием этого определения.

  Стратегия решения проблем: определение непрерывности в точке

  1. Проверьте, определен ли [latex]f(a)[/latex]. Если [latex]f(a)[/latex] не определено, дальше идти не нужно. Функция не является непрерывной в точке [latex]a[/latex]. Если [latex]f(a)[/latex] определен, перейдите к шагу 2. 9+}{\lim}f(x)[/латекс]. Если [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] не существует (то есть это не вещественное число), то функция не является непрерывной в [latex]a [/latex] и проблема решена. Если существует [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex], перейдите к шагу 3.
  2. Сравните [латекс]f(a)[/латекс] и [латекс]\underset{x\с а}{\lim}f(x)[/латекс]. Если [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)\ne f(a)[/latex], то функция не является непрерывной в [latex]a[/latex]. Если [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)=f(a)[/latex], то функция непрерывна в [latex]a[/latex]. 92+4 & \text{if} \, x \le 3 \\ 4x-8 & \text{if} \, x > 3 \end{cases}[/latex] непрерывна в [latex]x=3[ /латекс]. Обоснуйте вывод.

     Показать решение

     Определение непрерывности в точке, условие 3

     Используя определение, определите, является ли функция [latex]f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{if} \ , x \ne 0 \\ 1 & \text{if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] непрерывен в точке [latex]x=0[/latex].

     Показать решение

     Используя определение, определите, является ли функция [латекс]f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{if} \, x < 1 \\ 2 & \text{if} \, x = 1 \\ -x+4 & \text{if} \, x > 1 \end{cases}[/latex] непрерывен в [latex]x=1[/latex]. Если функция не является непрерывной в 1, укажите условие непрерывности в точке, которое не выполняется.

     Показать решение

     Применяя определение непрерывности и ранее установленные теоремы об оценке пределов, мы можем сформулировать следующую теорему.

     Непрерывность многочленов и рациональных функций

     Многочлены и рациональные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

     Доказательство

     Ранее мы показали, что если [латекс]p(x)[/латекс] и [латекс]q(x)[/латекс] являются полиномами, [латекс]\занижение{х\к а}{\ lim}p(x)=p(a)[/latex] для каждого многочлена [latex]p(x)[/latex] и [latex]\underset{x\to a}{\lim}\frac{p( x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}[/latex], если [latex]q(a)\ne 0[/latex]. Следовательно, многочлены и рациональные функции непрерывны в своих областях определения. [латекс]_\черный квадрат[/латекс] 92[/латекс] непрерывный?

     Показать решение

     Как мы видели на (Рисунок) и (Рисунок), разрывы принимают несколько различных видов. Мы классифицируем типы разрывов, которые мы видели до сих пор, как устранимые разрывы, бесконечные разрывы или скачкообразные разрывы. Интуитивно понятно, что устранимый разрыв — это разрыв, для которого есть дыра в графике, скачкообразный разрыв — это небесконечный разрыв, для которого участки функции не пересекаются, а разрыв0486 бесконечный разрыв — разрыв, расположенный на вертикальной асимптоте. (Рисунок) иллюстрирует различия в этих типах разрывов. Хотя эти термины обеспечивают удобный способ описания трех распространенных типов разрывов, имейте в виду, что не все разрывы точно подпадают под эти категории.

     Рис. 6. Разрывы классифицируются как (а) устранимые, (б) скачкообразные или (в) бесконечные.

     Эти три разрыва формально определяются следующим образом:

     Определение

     Если [латекс]f(x)[/латекс] разрывен в [латекс]а[/латекс], то

     1. [латекс]f[/латекс] имеет устранимую разрывность в точке [latex]a[/latex], если существует [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex]. (Примечание: когда мы утверждаем, что [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] существует, мы имеем в виду, что [латекс]\underset{x\to a}{\lim} f(x)=L[/latex], где [latex]L[/latex] — действительное число.)
     2. [latex]f[/latex] имеет разрыв скачка 92+4 & \text{if} \, x \le 3 \\ 4x-8 & \text{if} \, x > 3 \end{cases}[/latex] разрывается в [latex]x=3[ /латекс]. Классифицируйте этот разрыв как устранимый, скачкообразный или бесконечный.

        Показать решение

        Классификация разрыва

        Определите, является ли [латекс]f(x)=\frac{x+2}{x+1}[/latex] непрерывным в точке −1. Если функция разрывна в точке -1, классифицируйте разрыв как устранимый, скачкообразный или бесконечный. 2 & \text{if} \, x \ne 1 \\ 3 & \text{if} \, x = 1 \end{cases} [/latex], определите, является ли [latex]f[/latex] непрерывным в точке 1. Если [latex]f[/latex] не является непрерывным в точке 1, классифицируйте разрыв как устранимый, скачкообразный или бесконечный.

        Показать решение

        Теперь, когда мы изучили концепцию непрерывности в точке, мы расширим эту идею до непрерывности на интервале . Когда мы развиваем эту идею для различных типов интервалов, может быть полезно помнить об интуитивной идее, что функция непрерывна на интервале, если мы можем использовать карандаш, чтобы проследить функцию между любыми двумя точками интервала, не отрывая карандаш из бумаги. Готовясь к определению непрерывности на интервале, мы начнем с определения того, что значит для функции быть непрерывной справа в точке и непрерывной слева в точке. 9-}{\lim}f(x)=f(a)[/latex].

        Функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна на замкнутом интервале вида [latex][a,b][/latex], если она непрерывна в каждой точке [latex](a,b) [/latex] и непрерывна справа в точке [latex]a[/latex] и непрерывна слева в точке [latex]b[/latex]. Аналогично, функция [латекс]f(x)[/латекс] непрерывна на интервале вида [латекс](а,b][/латекс], если она непрерывна на [латекс](а,b)[/ латекс] и непрерывен слева в [латекс]b[/латекс]. Непрерывность на других типах интервалов определяется аналогичным образом. 92}[/latex] непрерывен.

        Показать решение

        Укажите интервал(ы), на котором функция [latex]f(x)=\sqrt{x+3}[/latex] непрерывна.

        Показать решение

        (Рисунок) позволяет нам расширить наши возможности вычисления пределов. В частности, эта теорема в конечном итоге позволяет нам показать, что тригонометрические функции непрерывны над своими областями определения.

        Теорема о сложной функции

        Если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен в [латекс]L[/латекс] и [латекс]\underset{x\to a}{\lim}g(x) =L[/латекс], тогда

        [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(g(x))=f(\underset{x\to a}{\lim}g(x))=f(L)[ /латекс].

        Прежде чем мы перейдем к (Рисунок), вспомните, что ранее, в разделе о предельных законах, мы показали [латекс]\underset{x\to 0}{\lim} \cos x=1= \cos (0) [/латекс]. Следовательно, мы знаем, что [latex]f(x)= \cos x[/latex] непрерывен в точке 0. На (рисунке) показано, как совместить этот результат с теоремой о сложной функции.

        Предел функции составного косинуса

        Вычислить [latex]\underset{x\to \pi/2}{\lim}\cos(x-\frac{\pi }{2})[/latex].

        Показать решение

        Вычислить [латекс]\underset{x\to \pi}{\lim}\sin(x-\pi)[/latex].

        Показать решение

        Доказательство следующей теоремы использует теорему о сложной функции, а также непрерывность [latex]f(x)= \sin x[/latex] и [latex]g(x)= \cos x[/latex] в точке 0, чтобы показать, что тригонометрические функции непрерывны во всей своей области определения.

        Непрерывность тригонометрических функций

        Тригонометрические функции непрерывны во всех областях определения.

        Начнем с демонстрации того, что [латекс]\cos x[/латекс] непрерывен в каждом вещественном числе. Для этого мы должны показать, что [latex]\underset{x\to a}{\lim}\cos x = \cos a[/latex] для всех значений [latex]a[/latex].

        [латекс]\begin{array}{lllll}\underset{x\to a}{\lim}\cos x & =\underset{x\to a}{\lim}\cos((xa)+a ) & & & \text{rewrite} \, x \, \text{as} \, x-a+a \, \text{and group} \, (x-a) \\ & =\underset{x\to a }{\lim}(\cos(x-a)\cos a — \sin(x-a)\sin a) & & & \text{применить тождество для косинуса суммы двух углов} \\ & = \cos( \underset{x\to a}{\lim}(xa)) \cos a — \sin(\underset{x\to a}{\lim}(xa))\sin a & & & \underset{x\ к a}{\lim}(x-a)=0, \, \text{и} \, \sin x \, \text{и} \, \cos x \, \text{непрерывны в 0} \\ & = \cos(0)\cos a — \sin(0)\sin a & & & \text{оценить cos(0) и sin(0) и упростить} \\ & =1 \cdot \cos a — 0 \ cdot \sin a = \cos a \end{массив}[/latex]

        Доказательство того, что [латекс] \sin x[/латекс] непрерывен в каждом вещественном числе, аналогично. Поскольку остальные тригонометрические функции могут быть выражены через [латекс] \sin x[/латекс] и [латекс] \cos x,[/латекс] их непрерывность следует из закона предельного отношения. [latex]_\blacksquare[/latex]

        Как видите, теорема о сложной функции бесценна для демонстрации непрерывности тригонометрических функций. Продолжая изучение исчисления, мы много раз возвращаемся к этой теореме.

        Функции, непрерывные на интервалах вида [латекс][а,б][/латекс], где [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс] — действительные числа, обладают многими полезными свойствами . На протяжении всего нашего изучения исчисления мы столкнемся со многими сильными теоремами, касающимися таких функций. Первой из этих теорем является теорема о промежуточном значении .

        Теорема о промежуточном значении

        Пусть [latex]f[/latex] непрерывен на замкнутом ограниченном интервале [latex][a,b][/latex]. Если [latex]z[/latex] — любое вещественное число между [latex]f(a)[/latex] и [latex]f(b)[/latex], то существует число [latex]c[/latex]. ] в [латексе][а,б][/латексе], удовлетворяющем [латекс]f(c)=z[/латекс]. (См. (Рисунок)).

        Рисунок 7. Существует число [latex]c \in [a,b][/latex], удовлетворяющее условию [latex]f(c)=z[/latex].

        Применение теоремы о промежуточном значении

        Покажите, что [latex]f(x)=x- \cos x[/latex] имеет хотя бы один нуль.

        Показать решение

        Когда можно применить теорему о промежуточном значении?

        Если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен над [латекс][0,2], \, f(0)>0[/латекс] и [латекс]f(2)>0, [/latex] можем ли мы использовать теорему о промежуточном значении, чтобы заключить, что [latex]f(x)[/latex] не имеет нулей в интервале [latex][0,2][/latex]? Объяснять. 92-3x+1[/latex] содержит ноль в интервале [latex][0,1][/latex].

        Показать решение

        Ключевые понятия

        • Чтобы функция была непрерывной в точке, она должна быть определена в этой точке, ее предел должен существовать в этой точке, а значение функции в этой точке должно равняться значению предела в эта точка.
        • Разрывы могут быть классифицированы как устранимые, скачкообразные или бесконечные.
        • Функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. Он непрерывен на отрезке, если он непрерывен в каждой его внутренней точке и непрерывен в своих концах.
        • Теорема о составной функции утверждает: если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен в [латекс]L[/латекс] и [латекс]\underset{x\to a}{\lim}g(x) =L[/латекс], тогда [латекс]\подсет{х\к а}{\lim}f(г(х))=f(\подсет{х\к а}{\lim}г(х)) =f(L)[/латекс].
        • Теорема о промежуточном значении гарантирует, что если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она принимает все значения между значениями в своих конечных точках.

        Для следующих упражнений определите точки, если таковые имеются, в которых каждая функция является разрывной. Классифицируйте любой разрыв как скачкообразный, устранимый, бесконечный или другой. 9x & \text{if} \, x < 0 \\ x-1 & \text{if} \, x \ge 0 \end{cases}[/latex] at [latex]x=0[/latex]

        Показать решение

        14.   [латекс]f(x)=\begin{case} x \sin x & \text{if} \, x \le \pi \\ x \tan x & \text{if} \, x > \pi \end{cases}[/latex] at [latex]x=\pi[/latex]

        В следующих упражнениях найдите значение(я) [latex]k[/latex], которое делает каждое функция, непрерывная на заданном интервале.

        15.  [латекс]f(x)=\begin{cases} 3x+2 & \text{if} \, x < k \\ 2x-3 & \text{if} \, k \le x \le 8 \end{случаи}[/latex] 92-4 & \text{if} \, x \le 2 \\ 5+4x & \text{if} \, x > 2 \end{cases}[/latex] На интервале [latex][0,4 ][/latex], не существует такого значения [latex]x[/latex], что [latex]h(x)=10[/latex], хотя [latex]h(0)<10[/latex] и [латекс]ч(4)>10[/латекс]. Объясните, почему это не противоречит IVT.

        21.  Частица, движущаяся вдоль линии, имеет в каждый момент времени [latex]t[/latex] функцию положения [latex]s(t)[/latex], которая непрерывна. Предположим, что [латекс]s(2)=5[/латекс] и [латекс]s(5)=2[/латекс]. Другая частица движется так, что ее положение определяется как [латекс]h(t)=s(t)-t[/латекс]. Объясните, почему должно существовать значение [latex]c[/latex] для [latex]2

        Показать решение

        24.  Рассмотрим график функции [latex]y=f(x)[/latex], показанный на следующем графике.

        1. Найдите все значения, для которых функция разрывна.
        2. Для каждого значения в части а. используйте формальное определение непрерывности, чтобы объяснить, почему функция разрывна при этом значении. 92-1}[/latex] для [латекс]x\ne -1,1[/латекс].
           1. Нарисуйте график [latex]f[/latex].
           2. Можно ли найти значения [latex]k_1[/latex] и [latex]k_2[/latex] такие, что [latex]f(-1)=k_1[/latex] и [latex]f(1)=k_2 [/latex], и что делает [latex]f(x)[/latex] непрерывным для всех действительных чисел? Кратко объяснить.

           27.  Нарисуйте график функции [latex]y=f(x)[/latex] со свойствами i. через VII.

           1. Домен [latex]f[/latex] — [latex](−\infty,+\infty)[/latex]. 9+}{\lim}f(x)=2[/латекс]
           2. [латекс]f(-3)=3[/латекс]
           3. [latex]f[/latex] непрерывен слева, но не непрерывен справа при [latex]x=3[/latex].
           4. [латекс]\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=-\infty[/latex] и [латекс]\underset{x\to +\infty}{\lim}f( х)=+\infty[/латекс]

           Показать решение

           28.  Нарисуйте график функции [latex]y=f(x)[/latex] со свойствами i. через IV.

           1. Домен [latex]f[/latex] — [latex][0,5][/latex]. 9+}{\lim}f(x)=2[/латекс].

           В следующих упражнениях предположим, что [latex]y=f(x)[/latex] определен для всех [latex]x[/latex]. Для каждого описания нарисуйте график с указанным свойством.

           29.  Прерывистый в [латекс]x=1[/латекс] с [латекс]\занижение{х\до -1}{\lim}f(x)=-1[/латекс] и [латекс] \underset{x\to 2}{\lim}f(x)=4[/latex]

           Показать решение

           30.   Прерывистый в [латекс]x=2[/латекс], но непрерывный в другом месте с [латекс]\занижение{х\до 0}{\lim}f(x)=\frac{1}{2} [/латекс] 9{-t}}[/latex] везде непрерывен.

           Показать решение

           32.  Если левый и правый пределы [latex]f(x)[/latex] как [latex]x\to a[/latex] существуют и равны, то [latex]f[ /latex] не может быть прерывистым в точке [latex]x=a[/latex].

           33.  Если функция не является непрерывной в какой-то точке, то она в этой точке не определена.

           Показать решение

           34.  Согласно IVT, [латекс]\cos x — \sin x — x = 2[/латекс] имеет решение на интервале [латекс][-1,1][/латекс]. 92-1}[/latex] непрерывен на интервале [latex][0,3][/latex].

           37.  Если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен всюду и [латекс]f(a), f(b)>0[/латекс], то корня [латекс] нет f(x)[/latex] в интервале [latex][a,b][/latex].

           Показать решение

           В следующих задачах рассматривается скалярная форма закона Кулона, который описывает электростатическую силу между двумя точечными зарядами, такими как электроны. 2}[/latex], где [latex]k_e[/latex] — постоянная Кулона, [latex]q_i[ /latex] — величины зарядов двух частиц, а [latex]r[/latex] — расстояние между двумя частицами. 92[/latex], где [latex]m[/latex] — масса ракеты, [latex]d[/latex] — расстояние ракеты от центра Земли, а [latex]k[/latex] ] является константой.

           40. [T] Определите значение и единицы [латекс]k[/латекс], учитывая, что масса ракеты на Земле составляет 3 миллиона кг. ( Подсказка : Расстояние от центра Земли до ее поверхности 6378 км.)

           41. [T] После прохождения определенного расстояния [латекс]D[/латекс] гравитационное воздействие Земли становится совершенно пренебрежимо мал, поэтому мы можем аппроксимировать силовую функцию следующим образом: \text{if} \, d \ge D \end{cases}[/latex] Найдите необходимое условие [latex]D[/latex], чтобы силовая функция оставалась непрерывной. 92} & \text{if} \, d \ge D \end{cases}[/latex] Существует ли значение [latex]D[/latex] такое, что эта функция непрерывна при условии [latex]m_1 \ne m_2 [/латекс]?

           Докажите, что следующие функции непрерывны везде

           43. -}{\lim}f(x)=f(b)[/latex] 9+}{\lim}f(x)=f(a)[/латекс]

           непрерывность на интервале

           функция, которую можно проследить карандашом, не отрывая карандаша; функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала; функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна на замкнутом интервале вида [latex][a,b][/latex], если она непрерывна в каждой точке [latex](a,b) [/latex], и она непрерывна справа в [latex]a[/latex] и слева в [latex]b[/latex] 9+}{\lim}f(x)=\pm \infty[/latex]

           Теорема о промежуточном значении

           Пусть [latex]f[/latex] непрерывен на замкнутом ограниченном интервале [latex][a,b][/latex]; если [latex]z[/latex] — любое вещественное число между [latex]f(a)[/latex] и [latex]f(b)[/latex], то существует число [latex]c[/latex] ] в [латексе][а,б][/латексе], удовлетворяющем [латекс]f(c)=z[/латекс]

           разрыв скачка

           Разрыв скачка происходит в точке [латекс]а[/латекс], если [латекс]\недостаток{х\к а^-}{\lim}f(x)[/латекс] и [латекс]\недостаток{х \to a^+}{\lim}f(x)[/latex] оба существуют, но [латекс]\underset{x\to a^-}{\lim}f(x) \ne \underset{x\ к a^+}{\lim}f(x)[/latex]

           съемная несплошность

           Устранимая несплошность возникает в точке [латекс]а[/латекс], если [латекс]f(x)[/латекс] разрывается в [латекс]а[/латекс], но [латекс]\недостаточно{х\к a}{\lim}f(x)[/latex] существует

           Свойства непрерывных функций — Mathonline

           Свойства непрерывных функций

           Эта страница предназначена для использования в разделе реального анализа Math Online. Подобные темы также можно найти в разделе сайта «Исчисление».

           Свернуть Содержание Свойства непрерывных функций

           Теперь мы рассмотрим целый ряд теорем о непрерывности функций в точке $c$ их области определения.

           Теорема 1: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ и $g : A \to \mathbb{R}$ — непрерывные функции в $c \in A$. Тогда функция $f + g$ непрерывна в точке $c \in A$.

           • Доказательство: Пусть $f$ и $g$ — непрерывные функции в $c \in A$.
           • Так как $f$ непрерывна в $c$, то для $\epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2} > 0$ существует $\delta_1 > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\ mid x — c \mid < \delta_1$, тогда $\mid f(x) - f(c) \mid < \epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2}$.
           • Аналогично, поскольку $g$ непрерывна в $c$, то для $\epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2} > 0$ существует $\delta_2 > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \delta_2$, то $\mid g(x) - g(c) \mid < \epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2}$.
           • Теперь мы хотим показать, что $\forall \epsilon > 0$, тогда $\существует \delta > 0$ такое, что если $\mid x — c \mid < \delta$, то $\mid (f(x) + g(x)) - (f(c) + g(c)) \mid < \epsilon$. Пусть $\delta = \mathrm{min} \{\delta_1, \delta_2 \}$. Тогда:

           (1)

           \begin{align} \quad \quad \mid (f(x) + g(x)) — (f(c) + g(c)) \mid = \mid (f(x) — f(c )) + (g(x) — g(c)) \mid ≤ \mid f(x) — f(c) \mid + \mid g(x) — g(c) \mid < \epsilon_1 + \epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}

           • Следовательно, $f + g$ непрерывна в $c$. $\blacksquare$

           Аналогичное доказательство можно построить, чтобы показать, что $f — g$ также непрерывно в $c \in A$.

           Теорема 2: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция в $c \in A$, и пусть $k \in \mathbb{R}$. Тогда функция $kf$ непрерывна в точке $c \in A$.

           • Доказательство: Пусть $f$ непрерывна в $c \in A$ и пусть $k \in \mathbb{R}$.
           • Сначала рассмотрим случай, когда $k = 0$. Тогда $kf$ будет постоянной функцией нуля, для которой мы установили, что постоянные функции непрерывны для всех $\mathbb{R}$.
           • Теперь предположим, что $k \neq 0$. Так как $f$ непрерывна в $c \in A$, то для $\epsilon_0 = \frac{\epsilon}{\mid k \mid} > 0$ существует $\delta_0 > 0$ такое, что если $x \ в A$ и $\mid x — c \mid < \delta_0$, то $\mid f(x) - f(c) \mid < \epsilon_0$.
           • Мы хотим показать, что $\forall \epsilon > 0$ $\существует \delta > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \delta$, то $\mid kf (x) - kf(c) \mid < \epsilon$.
           • Пусть $\delta = \delta_0$ и так:

           (2)

           \begin{align} \quad \mid kf(x) — kf(c) \mid = \mid k(f(x) — f(c)) \mid = \mid k \mid \mid f(x) ) — f(c) \mid < \mid k \mid \epsilon_1 = \mid k \mid \frac{\epsilon}{\mid k \mid} = \epsilon \end{align}

           • Следовательно, $kf$ непрерывна в $c$. $\blacksquare$

           Приведенные ниже теоремы 3, 4, 5 и 6 касаются произведения и частного двух непрерывных функций, а также абсолютного значения и квадратного корня непрерывной функции. Все эти результаты мы уже видели в отношении последовательностей и пределов, и их доказательства аналогичны.

           Теорема 3: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ и $g : A \to \mathbb{R}$ — непрерывные функции в $c \in A$. Тогда функция $fg$ непрерывна в точке $c \in A$.

           Теорема 4: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ и $g : A \to \mathbb{R}$ — непрерывные функции в $c \in A$. Тогда функция $\frac{f}{g}$ непрерывна в точке $c \in A$, если $g(c) \neq 0$.

           Теорема 5: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция в точке $c \in A$. Тогда функция $\mid f \mid$ непрерывна в точке $c \in A$.

           • Доказательство: Пусть $f$ — непрерывная функция в точке $c \in A$.
           • Так как $f$ непрерывна в $c$, то $\forall \epsilon > 0$ $\существует \delta > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \ delta$, то $\mid f(x) - f(c) \mid < \epsilon$.
           • Мы хотим показать, что $\mid f \mid$ также непрерывна в $c$, то есть $\forall \epsilon > 0$ $\существует \delta > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \delta$, то $\mid \mid f(x) \mid - \mid f(c) \mid \mid < \epsilon$. Теперь обратите внимание на одно из следствий Неравенства Треугольника, что:

           (3)

           \begin{align} \quad \mid \mid f(x) \mid — \mid f(c) \mid \mid ≤ \mid f(x) — f(c) \mid < \epsilon \end{ align}

           • Следовательно, $\mid f \mid$ непрерывен в $c$. $\blacksquare$

           Теорема 6: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция в точке $c \in A$ такая, что $f(x) ≥ 0$ в точке $c \in A$ . Тогда функция $\sqrt{f}$ непрерывна в точке $c \in A$.

           Следует отметить, что теоремы 1-6 можно обобщить так, что если $f$ и $g$ непрерывны на всех $A$ или даже на всех $B \subseteq A$, то все предыдущие результаты верны. .

           Если не указано иное, содержимое этой страницы находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License

           Непрерывная функция — условия, перерывы и примеры

           Вы когда-нибудь слышали о функции, описываемой как непрерывная в прошлом? Это функции, графики которых не содержат дырок, асимптот и разрывов между кривыми. Эти «хорошие» графики, с которыми мы сталкивались в прошлом, называются непрерывными функциями.

           Непрерывные функции — это функции, которые выглядят гладкими повсюду, и мы можем изобразить их, не отрывая собственных ручек.

           Мы также можем оценить непрерывность функции с помощью ограничений и высшей математики — и это наша цель в этой статье.

           • Мы узнаем об условиях непрерывных функций.
           • Мы применим наши методы для оценки пределов, чтобы подтвердить, является ли функция непрерывной.
           • Применять также графические методы, чтобы определить, является ли график непрерывным или нет.

           В исчислении мы снова столкнемся с непрерывными функциями, поэтому изучение их сейчас может быть полезным, особенно для тех, кто скоро перейдет к дифференциальному исчислению. Почему бы нам не пойти дальше и не понять, что представляют собой эти функции?

           Что такое непрерывная функция?

           Непрерывные функции — это функции, которые не имеют ограничений во всей своей области или заданном интервале. Их графики также не будут содержать ни асимптот, ни признаков разрывов. 92 – x + 10$, как показано ниже, является отличным примером графика непрерывной функции. Как видно, график проходит как по положительной, так и по отрицательной стороне оси $x$.

           Забавный факт: все полиномиальные функции считаются непрерывными во всей своей области определения, поскольку они не имеют ограничений в своей области определения.

           Мы также можем определять непрерывные функции на основе свойств их функций. Мы узнаем больше об определении непрерывных функций в следующем разделе, а также узнаем, как идентифицировать функции, которые не являются непрерывными.

           Как определить, является ли функция непрерывной?

           В этом разделе мы обсудим более формальные условия, которым должна удовлетворять функция, прежде чем мы сможем установить, что она непрерывна во всей области определения или заданном интервале.

           Это также поможет нам в процессе подтверждения того, является ли данная функция непрерывной или нет.

           Определение непрерывной функции

           Функция также является непрерывной в точке $x = a$, если она удовлетворяет всем трем условиям, показанным ниже:

           • Функция определена в $a$ или, другими словами, $a$ является частью домена $f(x)$.
           • Должен существовать предел функции при приближении $x$ к $a$.
           • Наконец, значения $f(a)$ и $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ должны быть равны.

           Это определение также поможет нам определить, является ли функция непрерывной.

           Помните, мы упоминали, что все полиномиальные функции непрерывны во всей области определения?

           Мы можем проверить это, используя три условия: 92 +1$, полиномиальная функция, точнее квадратичная функция.

           Только осмотром мы видим, что в выбранных точках значение $f(x)$ будет равно пределу $f(x)$.

           • Например, при $x = 2$ и $x = -2$ оба значения определены и являются частью области определения $f(x)$.
           • Предел $f(x)$ при приближении $x$ либо к $-2$, либо к $2$ также определен с обоих концов.
           • Мы также видим, что $\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2) = 5$ и $\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) = 5$. 92 + 1$ будет непрерывным.

             Что произойдет, если функция в точке $x = a$ не удовлетворяет трем условиям? В следующем разделе будут подробно обсуждаться разрывы. Мы также узнаем, как мы можем определить функции, которые на этот раз не являются непрерывными, и посмотрим, как мы можем переписать функцию, чтобы она стала непрерывной.

             Понимание прерывности

             Когда мы хотим понять непрерывность, нам также важно понять обстоятельства и условия, когда данная функция 9{+1}} f(x) = 4$. Отсюда мы видим, что, поскольку регулярного предела не будет, второе условие непрерывности функций не будет применяться.

             Разрывы скачков часто встречаются в кусочных функциях, поэтому всегда проверяйте односторонние пределы для этих типов функций.

             Устранимый разрыв

             Этот тип разрыва часто встречается в рациональных функциях – дыры рациональных функций фактически считаются устранимыми разрывами. Устранимые разрывы возникают, когда функция не определена при $x = a$. 92 -9},&\text{где } x \neq 3\\ \dfrac{1}{2},&\text{где }x = 3\end{matrix}\right.$

             Теперь у нас есть непрерывная функция после учета отверстия!

             Разрыв с вертикальными асимптотами

             Когда функция содержит вертикальную асимптоту в точке $x=a$, функция имеет разрыв и в точке $x=a$.

             Приведенный выше график является примером функции, которая не является непрерывной из-за разрыва в точке $x = 3$. Обратите внимание, как при приближении $x$ слева от $3$ функция приближается к $-\infty$? Точно так же, когда $x$ приближается справа от $3$, функция приближается к $\infty$.

             Это означает, что предел функции не существует и, следовательно, делает ее не непрерывной. По этой же причине другое название этой прерывности — бесконечная прерывность .

             Имейте в виду, что функция может содержать более одного разрыва, поэтому лучше перепроверьте график или пределы вашей функции.

             Теперь, когда мы рассмотрели возможные условия, при которых функция может быть не непрерывной, почему бы нам не перейти к изучению других важных свойств непрерывных функций?

             Каковы другие важные свойства непрерывных функций?

             Теперь мы научились идентифицировать непрерывные функции и умеем оценивать функции на наличие разрывов. Эти свойства ниже помогут нам подтвердить и доказать, является ли функция непрерывной, используя более простые функции.

             Свойство 1: $\boldsymbol{k \cdot f(x)}$

             Когда $k$ — константа, а $f(x)$ — непрерывная функция при $x = a$, тогда $k\cdot f(x)$ также непрерывна в точке $x= a$.

             Свойство 2: $\boldsymbol{f(x) + g(x)}$

             Когда $f(x)$ и $g(x)$ являются непрерывными функциями, когда $x = a$ , то результирующая функция при сложении $f(x)$ и $g(x)$ также будет непрерывной в точке $x =a$.

             Свойство 3: $\boldsymbol{f(x) – g(x)}$

             Когда $f(x)$ и $g(x)$ являются непрерывными функциями, когда $x = a$ , то разность между функциями также будет функцией, непрерывной при $x = a$.

             Свойство 4: $\boldsymbol{f(x) \cdot g(x)}$

             Если функции $f(x)$ и $g(x)$ являются непрерывными функциями при $x = a$ произведение двух функций также непрерывно в точке $x = a$.

             Свойство 5: $\boldsymbol{\dfrac{f(x)}{g(x)}}$

             Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны, когда $x = a$ и $g(a)\neq 0$, отношение $f(x)$ и $g(x)$ также непрерывно при $x = a$.

             Недвижимость 6: $\boldsymbol{f(g(x))}$

             Когда $g(x)$ непрерывна в точке $x = a$ и $f(x)$ непрерывна в точке $x = g(a)$ , то $f(g(x))$ также будет непрерывным в точке $x = a$.

             Общие непрерывные функции

             Вот некоторые из функций, с которыми вы, возможно, сталкивались в прошлом и которые, как известно, являются непрерывными в своей области.

             • Функция синуса: $y = \sin x$
             • Функция косинуса: $y = \cos x$
             • Функция тангенса: $y = \tan x$ 9x$
             • Натуральный логарифм: $y = \ln x$

             Вы можете задаться вопросом, касательная и радикальная функции имеют ограничения, так как же они непрерывны? Именно здесь важно подчеркнуть, что эти функции непрерывны только в своей области .

             Например, $\sqrt{x – 1}$ имеет область определения $[0, \infty)$, поэтому ожидается, что она будет непрерывной в интервале $[0, \infty)$. То есть, если спросить, непрерывна ли $\sqrt{x – 1}$ при $x = -2$, конечно, не будет, так как функция не определена при $x = -2$.

             Это может помочь вам идентифицировать непрерывные функции (наряду со свойствами, рассмотренными выше), особенно когда они имеют сложные выражения.

             Давайте продолжим и попробуем больше примеров, чтобы лучше понять непрерывные и разрывные функции.

             Пример 1

             Заполните пропуски, чтобы сделать следующие утверждения верными.

             а. Если $f(2) = -24$ и $f(x)$ — непрерывная функция, то $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ равно ____________.
             б. Если $g(x)$ имеет дырку в $(5, 4)$, то функция не является непрерывной в ____________.
             в. Если h(x) содержит вертикальную асимптоту при $x = -1$, то функция не является непрерывной при _________.

             Решение

             Напомним, что когда функция и ее предел определены при $x = a$, третье условие требует, чтобы значения двух были равны.

             а. Это означает, что для непрерывности $f(x)$ $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ также должно быть равно $\boldsymbol{-24}$.
             Когда функция имеет дырку в точке $(a, b)$, существует устранимый разрыв в точке $x = a$.
             б. Поскольку $g(x)$ имеет дырку в точке $(5, 4)$, она имеет устранимый разрыв в точке $x$-координаты дырки. Это означает, что $g(x)$ не является непрерывным в $\boldsymbol{x = 5}$.
             Когда функция содержит вертикальную асимптоту, ее значение и предел не будут определены при значении вертикальной асимптоты.
             в. Используя эту информацию, $h(x)$ непрерывен во всей области определения, за исключением того, что он равен $-1$. Следовательно, функция непрерывна при $\boldsymbol{x = -1}$. 92 + 8 = -56$.

           • Для полиномиальных функций $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$, поэтому $\lim_{x \rightarrow 4} f(4) = -56$.
           • Это также означает, что $\lim_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4)$.

           Как мы уже говорили в предыдущих разделах, все многочлены непрерывны.

           а. Все это подтверждает, что $\boldsymbol{f(x)}$ является непрерывной функцией .

            Мы можем проверить вторую функцию, $g(x) = \dfrac{5x + 1}{2x  – 3}$, используя тот же процесс. {-}} f(x)$ 92 – 2x}{4x}&= \dfrac{2x(x – 2)}{2(2x)}\\&= \dfrac{\cancel{2x}(x – 2)}{2\cancel{(2x )}}\\&=\dfrac{x-2}{2}\end{aligned}$

           Поскольку числитель и знаменатель $f(x)$ имеют общий множитель $2x$, дыра в $x = 0$.

           Чтобы найти $y$-координату дыры, мы можем подставить $x = 0$ в упрощенную форму $f(x)$.

           $\begin{aligned}f(x) &= \dfrac{x-2}{2}\\ f(0)&= \dfrac{0-2}{2}\\&=-1\end {выровнено}$

           c. Так как $f(x)$ имеет дырку и, следовательно, разрыв при $x = 0$. Поскольку у нас есть разрыв в дырке, $f(x)$ 92 – 6x + 8} = \dfrac{x – 4}{(x -2)(x – 4)}$.

           Поскольку $x – 4$ является общим множителем, общим для числителя и знаменателя $f(x)$, в точке $x = 4$ имеется пробел. Найдите координату $y$, подставив $x=4$ в упрощенную форму $f(x)$.

           $\begin{align}f(x)&= \dfrac{\cancel{x – 4}}{(x -2)\cancel{(x – 4)}}\\&= \dfrac{1} {x -2}\\\\f(4)&= \dfrac{1}{4 -2}\\&= \dfrac{1}{2}\end{aligned}$

           Из упрощенной формы $f(x)$, $\dfrac{1}{x – 2}$, мы видим, что $f(x)$ также будет иметь вертикальную асимптоту при $x = 2$. 2 – 5M(1) – N\\&=3 – 5M – N \end{выровнено}$ 9{+}} f(x)\\3 – 5M – N &= -6\\-5M – N &= -9\\ 5M + N&=9\end{aligned}$

           Это означает, что $M$ и $N$ должны удовлетворять одновременным уравнениям $2N – 6M = 3$ и $5M + N = 9$. Давайте применим полученные знания при решении систем линейных уравнений, чтобы найти $M$ и $N$.

           • Выделить $N$ из второго уравнения.
           • Подставьте это выражение в первое уравнение, чтобы найти $M$.
           • Используйте значение $M$, чтобы найти $N$.

           $\begin{align}5M + N &= 9\\N&= 9- 5M\\\\2N – 6M &= 3\\2(9 – 5M) – 6M &= 3\\18 – 10M- 6M&=3\\18 – 16M &= 3\\- 16M &= -15\\ M&= \dfrac{15}{16}\end{aligned}$

           Используя $M = \dfrac{15}{16}$, теперь мы можем найти $N$, используя $N = 9-5 миллионов долларов.

           $\begin{align}N&= 9- 5\left(\dfrac{15}{16}\right)\\&=9 – \dfrac{75}{16}\\&= \dfrac{69} {16}\end{aligned}$

           Это означает, что для того, чтобы $f(x)$ была непрерывной, нам нужно, чтобы $M$ и $N$ были равны $\dfrac{15}{16}$ и $\dfrac{69}{16}$ соответственно.

           No related posts.