Свойства непрерывных функций в точке: Свойства непрерывных в точке функций (доказательства теорем)

Содержание

Свойства непрерывных в точке функций (доказательства теорем)

Свойства и теоремы

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.
Доказательство ⇓

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x0) > 0     ( f(x0) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x0) точки x0, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x0).
Доказательство ⇓

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x0.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x0.
Если  g(x0) ≠ 0, то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x0.
Доказательство ⇓

Свойство непрерывности слева и справа
Функция  f  непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в x0 слева и справа.
Доказательство ⇓

Доказательства свойств и теорем

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Все свойства ⇑ Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.

Доказательство

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
.
Раскроем знак модуля и преобразуем неравенства.
;
.
Пусть M есть наибольшее из чисел: . Тогда
, или
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена числом :
.

Теорема доказана.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции

Все свойства ⇑ Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x0) > 0     ( f(x0) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x0) точки x0, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x0).

Доказательство

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
(1)   .

Пусть . Раскроем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена снизу положительным числом:
.
Поэтому на этой окрестности функция имеет положительное значение:
.
Для случая теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай . Также раскрываем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
;
.

Тем самым мы нашли окрестность , на которой функция ограничена сверху отрицательным числом:
.
Поэтому на этой окрестности .

Теорема доказана.

Арифметические свойства непрерывных функций

Все свойства ⇑ Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x0.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x0.
Если  g(x0) ≠ 0, то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x0.

Доказательство

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, Функция называется непрерывной в точке , если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при стремящемся к существует и равен значению функции в :
.

Поскольку функции и непрерывны в точке , то они определены на некоторых окрестностях и , соответственно, этой точки. Пусть окрестность является пересечением окрестностей и . Тогда обе функции и определены на окрестности .

Поскольку функции и определены на окрестности , то они определены и на проколотой окрестности точки , которая получается из исключением точки .

Итак, функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной точки , и существуют их пределы:
  и  .
Тогда, согласно арифметическим свойствам пределов функции, существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
;
;
.
Если , то существует предел частного:
.

Свойства доказаны.

Свойство непрерывности слева и справа

Все свойства ⇑ Функция  f  непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в x0 слева и справа.

Доказательство

1)   Пусть функция непрерывна в точке . Докажем, что она непрерывна в справа и слева.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению, имеется такая функция , так что для любого ,
(2)     при  .

Поскольку неравенство выполняется для любых значений , принадлежащих окрестности , то наложим дополнительное ограничение: . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в справа.

Теперь, в (2), наложим ограничение . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в слева.

Первая часть свойства доказана.

2)   Теперь пусть функция непрерывна в точке x0 слева и справа.

Поскольку функция непрерывна слева, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Поскольку функция непрерывна в точке справа, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Пусть . Тогда . Если принадлежит окрестности , то также принадлежит окрестности . Поэтому
  при  .
Аналогично, если , то . Поэтому
  при  .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого ,
  при  .
Это означает, что . То есть функция является непрерывной в точке .

Свойство доказано.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

17. Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю)

Пусть функции инепрерывны на некотором множестве Х и- любое значение из этого множества.

2) Пусть функции непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогдасложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке.

В силу непрерывности функции ,, т.е. приимеем. В следствии непрерывности функцииимеем :

3) Если функция непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy.

18. Точки разрыва и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются

точками разрыва этой функции. Если — точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции.

  1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке.

  2. Функция определена в точкеи в ее окрестности, но не существует пределаf(x) при

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), т.е.и. При этом:

    1. Если , то точканазываетсяточкой устранимого разрыва.

    2. Если , то точканазываетсяточкой конечного разрыва

Величину называютскачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка называетсяточкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Функция называетсянепрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называетсянепрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на отрезке (a;b) и в точке x = a непрерывна справа , а в точкеx = b непрерывна слева .

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

1’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2) Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

2’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах разные по знаку значения, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль. F(c) = 0

21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется

дифференцированием.

22. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Физический смысл. Производная – скорость протекания процесса.

Геометрический смысл. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона) к графику функциив точке, абсцисса которой равна х.

23. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Уравнение касательной.

Уравнение нормали.

24. Односторонние производные функции в точке.

Возьмем функцию y = |x| в точке х=0. ,.

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные(или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно и.

Если, значит, производная в точке не существует.

25. Основные правила дифференцирования.

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций. .

Производная произведения двух функций равна произведению первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: . Выполняется, когда.

Непрерывность функции в точке и на промежутке. С примерами

  • Примеры и условия непрерывности функции. Непрерывность в точке и на промежутке
  • Установить непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Что такое непрерывное изменение функции
  • Основные свойства непрерывных функций

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних — правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не «разрывается» в этой точке. График такой непрерывной функции — показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

1. Функция определена в точке .

2. Существует предел функции в точке , при этом правый и левый пределы равны: . Правый и левый пределы вычисляются как предел вообще: в выражение функции вместо икса подставляется то, к чему стремится икс, причём вместе с плюс нулём при правом пределе и с минус нулём при левом пределе.

3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

А могут ли правый и левый пределы хоть когда-нибудь быть не равны, если к значению, к которому стремится икс, прибавляется или вычитается всего лишь нуль? Могут. Когда и почему — это объяснено на уроке о

точках разрыва функции и их видах.

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 — на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0, x = 1, x = 3?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена

в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0.

Точка x = 1. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви.

Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1.

Точка x = 3. Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3.

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Пример 2. Установить, непрерывна ли функция в точке x = 2.

Правильное решение и ответ.

Пример 3. Установить, непрерывна ли функция в точке x = 8.

Правильное решение и ответ.

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m, то есть l = f(m), m≥0.

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l. Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f(m) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f(m) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Непрерывность функции на промежутке

Пусть функция y = f(x) определена в интервале ]ab[ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]ab[. Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b[, ]a, + ∞[, ]- ∞, + ∞[. Пусть теперь функция y = f(x) определена на отрезке [ab]. Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a, оставаясь на отрезке [ab], мы можем приближаться только справа, а к точке b — только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [ab], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [ab], функция непрерывна на отрезке [0b], функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2.


Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках — 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

.


Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax:

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пройти тест по теме Предел


Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

.

Найдём левосторонний функции в точке :

.

Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t).

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f(x), непрерывная на интервале [ab], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b). В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m — наименьшее, а M — наибольшее значение функции на интервале [ab], то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 7. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2].

Решение.

Пусть .

Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2.

.

.

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков:
и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a, при котором f(a) = 0. То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Пример 8. Есть ли у уравнения хотя бы один вещественный корень?

Решение.
Функция определена на интервале .

Вычислим значения функции при x = 0 и .

.

.

Получили
и .

Следовательно, существует такое число a, при котором f(a) = 0. Ответ на вопрос задачи: уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень.

НазадЛистатьВперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Весь раздел «Исследование функций»

  • Непрерывность функции
  • Точки разрыва функции и их виды
  • Экстремумы функции
  • Наименьшее и наибольшее значения функции
  • Асимптоты
  • Возрастание, убывание и монотонность функции
  • Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
  • Полное исследование функций и построение графиков
  • Функции двух и трёх переменных
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа

Непрерывность функции, свойства непрерывных функций

  • Математическое определение непрерывности функций
  • Свойства непрерывных функций
  • Непрерывность полиномов и рациональных функций
  • Непрерывность сложной функции
  • Теорема о промежуточной функции

Непрерывность функции становится очевидной из этого графика

Разрывная функция: если f(x) не определена в x = c

Разрывная функция: если f(x) имеет разрыв x = c.

Разрывная функция: не определена x = c.

Функция имеет различные функциональные и предельные значения в x =c.
  • f(x) не определена в c
  • Предел limx → cf(x) не существует.
  • Значения f(x) и значения предела различны в точке c

      Определение
Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке c если выполняются следующие условия
f(c) определена
-limx → c f(x) существует
-limx → c f(x) = f(c)
— Если f(x) непрерывна во всех точках на интервале (a, b), тогда f(x) есть непрерывной на (a, b)

— Функция, являющаяся непрерывной на интервале (-∞; +∞) называется непрерывной функцией


      Пример

— f(x) разрывается в x = 2 потому что f(2) не определена
По условию для g g(2) = 3
limx → 2 g(x) = limx → 2 (x2 — 4)/(x — 2) = limx → 2 (x + 2) = 4
g(x) разрывная потому что
limx → 2 g(x) ≠ g(2)
      Пример
f(x) = x2 — 2x + 1
limx → c f(x) = limx → c (x2 — 2x + 1)
f(x) = c2 — 2c + 1
f(x) = f(c)
Так, f непрерывная в x = c
      Tеорема 2. 7.2
Полиномы являются непрерывными функциями
Если P есть полином и c есть любым действительным числом, тогда
limx → c p(x) = p(c)
      Пример

Если c f(c) = -c
limx → c f(x) = limx → c |x| = -c
x может быть сначала отрицательным, но так как он стремится к c, которое положительно или равно нулю, мы используем первую часть определения f(x), чтобы вычислить предел
      TЕОРЕМА 2.7.3
Если функции f и g непрерывны в c тогда
    — f + g есть непрерывной в c;
    — f — g есть непрерывной в c;
    — f.g есть непрерывной в c;
    — f/g есть непрерывной в c если g(c) ≠ 0 и разрывной в c если g(c)=0
      Докажите
Пусть f и g есть непрерывной функцией в числе c
limx → c f(x) = f(c)
limx → c g(x) = g(c)
limx → c [f(x). g(x)] = limx → c f(x).limx → c g(x) = f(c).g(c)
      Пример
h(x) = (x2 — 9)/(x2 — 5x + 6) = f(x)/g(x)
h(x) будет непрерывной во всех точках c если g(c) ≠ 0
h(x) есть непрерывной везде, кроме точек x = 2 и x = 3

(a) F разрывна в x = a

(b) F разрывна в x = b

(c) F разрывна в x = a, b
      ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке c если выполняются условия в левом столбце (см. ниже) и называется непрерывной справа в точке c если выполняются условия в правом столбце (см. ниже).
f(c) определена   f(c) определена
limx → c- f(x) существует   limx → c+ f(x) существует
limx → c- f(x) = f(c)   limx → c+ f(x) = f(c)

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Говорят, что функция f(x) непрерывна на закрытом интервале [a, b] если выполняются следующие условия:
-f(x) есть непрерывной на [a, b];
-f(x) есть непрерывной справа в a;
-f(x) есть непрерывной слева в b.

      Пример
Покажем, что f(x) непрерывна на [-3, 3]
f(x) = √9 — x2
для c in (-3, 3)
limx → c f(x) = limx → c √9 — x2 = √limx → c 9 — x2 = √9 — c2 = f(c)
Тогда f(x) есть непрерывной на (-3, 3)
Также
limx → 3- f(x) = limx → 3- √9 — x2 = √limx → 3- 9 — x2 = 0 = f(3) limx → 3+ f(x) = limx → 3+ √9 — x2 = √limx → 3+ 9 — x2 = 0 = f(3)
Тогда f(x) есть непрерывной на [-3, 3]
      Теорема о промежуточной функции
Если f(x) есть непрерывной на закрытом интервале [a, b] и c есть любым числом f(x) и f(b) включительно, тогда существует, по крайней мере, одно число x на интервале [a, b] такое, что f(x) = c

      TЕОРЕМА 2. 7.10
Если f(x) есть непрерывной на [a, b], и если f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, тогда существует, по крайней мере, одно решение уравнения f(x) = 0 в интервале (a, b)

      Пример
    x3 — x — 1 = 0
f(1) = -1         f(2) = 5
Это уравнение не может быть решено разложением на множители, потому что левая часть не имеет простых множителей.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывность функции в некоторой точке, которую мы обсуждали на прошлой лекции — это её локальное свойство — оно характеризует, как функция ведёт себя близко к этой точке. Сегодня мы поговорим о том, какими глобальными свойствами обладают непрерывные функции.

14.1Определение и примеры

Определение 1. Рассмотрим функцию f. Пусть есть некоторый отрезок [a,b], принадлежащий области определения этой функции. Скажем, что функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех точках интервала (a,b), а на концах выполняется условие односторонней непрерывности: в точке a функция непрерывна справа, а в b слева.

Пример 1. Рассмотрим функцию

f(x)=⎧⎨⎩x−1,x<1,x2,1≤x≤2,x,x>2.

Она непрерывна на отрезке [1,2], но не является непрерывной в точках 1 и 2.

Вопрос 1. Является ли эта функция непрерывной на отрезке [0,1]?

  Да

Неверный ответ. К чему стремится значение функции когда x→1−? Чему равно значение функции в точке x=1?

  Нет

Верный ответ. Верно, условие односторонней непрерывности слева в точке 1 нарушается.

Пример 2. Рассмотрим функцию

f(x)={1/x,x≠0,0,x=0.

Она является непрерывной на интервале (0,1), но не является непрерывной на отрезке [0,1].

14.2Ограниченность

Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограничена на этом отрезке.

Вопрос 2. В чём проблема с этим рассуждением, почему оно не работает?

  Узнать ответ

Верный ответ. Дело в том, что для разных точек мы получаем разные окрестности, и в каждой окрестности число C, которое ограничивает модуль функции, своё. Этих точек и их окрестностей бесконечно много, и среди них может быть невозможно выбрать одно универсальное значение C, которое обслуживало бы сразу все окрестности.

Доказательство. Мы хотим доказать, что найдётся такое C, что для всех x∈[a,b] выполняется неравенство |f(x)|<C. Докажем от противного. Пусть это не так. Тогда для всякого C найдётся такое x=x(C)∈[a,b], что |f(x)|>C.

Построим последовательность {xn} следующим образом. Положим Cn=n и пусть xn=x(Cn)=x(n). Тогда для всех n выполняется неравенство |f(xn)|>n.

Последовательность {xn} является ограниченной, поскольку для всех n выполняются неравенства

a≤xn≤b. (14.1)

По теореме Больцано — Вейерштрасса, из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, то есть существует такая последовательность натуральных чисел {nk} и такое число x∞, что xnk→x∞. По теореме о предельном переходе в неравенствах, примененной к неравенствам (14.1), имеем:

a≤x∞≤b,

то есть x∞ также лежит на отрезке [a,b]. Поскольку значения f(xnk) не меньше nk (по построению последовательности xn), и nk стремится к бесконечности при k→∞, значения f(xnk) также стремятся к бесконечности при k→∞.

Функция f определена в точке x∞ (поскольку она определена на всём отрезке [a,b]) и непрерывна в этой точке. Значит, её предел при x→x∞ существует (может быть односторонний, если x∞ совпадает с граничными точками a или b) и равен f(x∞). Но xnk→x∞ и по определению предела по Гейне, это означает, что f(xnk)→f(x∞). (Из-за непрерывности функции f в точке x∞ в определении предела по Гейне можно убрать требование о том, чтобы последовательность не посещала точку x∞, см. упражнение 1 из предыдущей лекции.) Но f(xnk)→∞ и значит этот предел не может существовать. Противоречие!∎

Вопрос 3. Где в этом доказательстве мы воспользовались тем, что имеем дело именно с отрезком, а не, например, с интервалом? Иными словами, где доказательство «сломается», если мы попробуем с его помощью доказать, что функция 1/x ограничена на интервале (0,1) (что неверно).

  Узнать ответ

Верный ответ. Ключевой шаг состоит в предельном переходе в неравенстве (14.1). Если взять интервал (a,b) вместо отрезка, x∞ может ему не принадлежать: строгие неравенства при предельном переходе превращаются в нестрогие.

14.3Теорема о корне

Теорема 2. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a,b], а на концах отрезка принимает значения разных знаков: это можно записать как f(a)f(b)<0 (произведение чисел отрицательно тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки). Тогда существует точка c∈(a,b), являющаяся корнем функции f, то есть такая точка, что f(c)=0.

Доказательство. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы Больцано — Вейерштрасса. Попробуем поймать наш корень в ловушку. Пусть x1 — середина отрезка [a,b], который мы обозначим через I1. Если f(x1)=0, положим c=x1, и всё доказано. Пусть теперь f(x1)≠0. Тогда знак f(x1) не совпадает либо со знаком f(a), либо со знаком f(b) (потому что знаки f(a) и f(b) разные — если совпадает с одним, значит, не совпадает с другим). Положим I2:=[a,x1], если знаки f(a) и f(x1) разные, и I2:=[x1,b] в противном случае. Тогда на концах отрезка I2 функция гарантированно принимает значения разных знаков, и с ним можно повторить ту же процедуру: разделить отрезок пополам, обозначить середину за x2, если f(x2)=0, всё доказано, если нет, выбрать ту из половинок, на концах которой функция принимает значения разных знаков, обозначить её за I3 и т.д.

Если этот процесс никогда не прекратится (то есть ни одна из точек xn не является корнем), мы получим бесконечную последовательность вложенных отрезков I1⊃I2⊃I3⊃…, длины которых стремятся к нулю.

Значит, по лемме о вложенных отрезках 1, существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, и она является пределом последовательностей концов этих отрезков. Пусть Ik:=[lk,rk], то есть мы обозначили левый конец через lk, а правый через rk. Тогда

lr→c,rk→c.

Кроме того, мы знаем, что для всех натуральных k функция принимает разные знаки на концах Ik, и следовательно f(lk)f(rk)<0. Сделаем предельный переход в этом неравенстве при k→∞. Имеем:

limk→∞f(lk)f(rk)≤0.

С другой стороны, согласно определению предела по Гейне и исходя из непрерывности функции f,

limk→∞f(lk)=f(c),limk→∞f(rk)=f(c).

По теореме о пределе произведения отсюда следует, что

limk→∞f(lk)f(rk)=limk→∞f(lk)⋅limk→∞f(rk)=f(c)⋅f(c)=f(c)2.

limk→∞f(lk)f(rk)=limk→∞f(lk)⋅limk→∞f(rk)==f(c)⋅f(c)=f(c)2.

Таким образом, f(c)2≤0. Но квадрат любого вещественного числа неотрицателен! Значит, единственная альтернатива — f(c)=0. Значит, c — искомый корень.∎

Теорема 3. (Теорема о промежуточном значении) Пусть f непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда для всякого y, лежащего между f(a) и f(b), найдётся такой x∈[a,b], что f(x)=y.

Эта теорема является следствием из теоремы о корне, доказательство оставим в качестве упражнения для семинаров.

14.4Заключение

Мы обсудили два важных свойства функций, непрерывных на отрезке. Это первый в нашем курсе пример перехода от локальных свойств функции, выражающихся в терминах пределов, к каким-то глобальным свойствам. В дальнейшем мы ещё не раз столкнёмся с аналогичными задачами. Отметим также, что хорошие свойства непрерывных функций этими двумя не исчерпываются, и мы ещё к ним вернёмся.


← Предыдущая глава Следующая глава →

Свойства непрерывных функций — Мегаобучалка

Теорема 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство. Пусть функции и непрерывны в точке a. Тогда

Согласно свойству пределов функций существование пределов функций и гарантирует существование предела их суммы. При этом

что и требовалось доказать.

Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство. Каждую пару непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. Затем каждую пару полученных непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. В конечном итоге останется одна непрерывная функция.

Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

Свойство. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

Доказательство теорем 2 и 3 по своей сути не отличается от доказательства теоремы 1 и предоставляется читателю.

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.



Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа a из области определения элементарной функции выполняется условие

Продемонстрируем справедливость теоремы на некоторых конкретных примерах.

  1. Пусть , где n – целое положительное число. Тогда


Первый член в правой части этого равенства представляет собой бесконечно малую функцию при xa и, следовательно,

  1. Покажем, что показательная функция является непрерывной в каждой точке a. Действительно,



Условия непрерывности.

  1. Функция f (x) определена в точке x = a;
  2. Предел существует;
  3. Выполняется равенство .

4. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

5.

6. Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

7. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Производные.

Произво́дная — определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):


Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:


где — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0) имеет вид:

y = f ’( x0) · x + b .

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0) = f ’( x0) · x0 + b ,

отсюда, b = f ( x0) – f ’( x0) · x0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x0) + f ’( x0) · ( x – x0) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) —x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

Непрерывность функций, свойства непрерывных функций

  • Математическое определение непрерывности функций
  • Свойства непрерывных функций
  • Непрерывность полиномов и рациональных функций
  • Непрерывность составных функций
  • Теорема о промежуточном значении

Непрерывность функции становится очевидной из ее графика

Прерывистый: как f(x) не определен в x = c

Прерывистый: поскольку f(x) имеет разрыв в x = c .

Прерывистый: не определен в x = c .

Функция имеет разные функциональные и предельные значения при x =c .
  • f(x) не определено в c
  • lim x → c f(x) не существует.
  • Значения f(x) и значения предела различаются в точке c

      Определение
Функция f(x) называется непрерывной в точке c , если выполняются следующие условия
f(c) определена
-lim x → c f (x) существуют
-lim x → c f(x) = f(c)
— Если f(x) непрерывно во всех точках интервала (a, b) , то f(x) непрерывно на (a, b)

— Функция, непрерывная на интервале (-∞; +∞), называется непрерывной функцией


      Пример

— f(x) разрывна в точке x = 2 , поскольку f(2) не определена
По определению г г(2) = 3
lim x → 2 g(x) = lim x → 2 (x /-4 /2
2) = lim x → 2 (x + 2) = 4
g(x) разрывно, потому что
lim x → 2 g(x) ≠ g(2)
      Пример
f(x) = x 2 — 2x + 1
LIM x → C F (x) = Lim x → C (x 2 — 2x + 1)
F (x) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C) = C). 2 — 2c + 1
f(x) = f(c)
Итак, f непрерывно в точке x = c
      ТЕОРЕМА 2.7.2
Многочлены являются непрерывными функциями
Если P является полиномом и c является любым вещественным числом, то
lim x → c р(х) = р(с)
      Пример

Если с f(c) = -c
lim x → c f(x) = lim x → c |x| = -c
x может быть отрицательным для начала, но поскольку ot приближается к c , что положительно или равно 0, мы используем первую часть определения f(x) для оценки предела
      ТЕОРЕМА 2.7.3
Если функции f и g непрерывны в c , то
     — f + g непрерывна в c;
    — f — g непрерывна в точке c;
    — f.g непрерывна в c;
    — f/g непрерывна в точке c, если g(c) ≠ 0 , и прерывиста в точке c , если g(c)=0
Доказательство
Let F ​​ и G Непрерывная функция под номером C
LIM x → C F (x) = F (C)
Lim x → C G (x x x → c
G (x x → C G (x x → C G (x x → C ) = g(c)
lim x → c [f(x). g(x)] = lim x → c f(x).lim x → c g(x) = f(c).g(c)
      Пример
h(x) = (x 2 — 9)/(x 2 — 5x + 6) = f(x)/g(x)
h(x) будет непрерывным при все точки c Если g(c) ≠ 0
h(x) непрерывен везде, кроме точек x = 2 и x = 3

(a) F разрывна в точке x = a

(b) F разрывна в точке x = b

(в) F разрывается в точке х = а, б
      ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке c , если выполняются условия в левом столбце ниже, и называется непрерывной справа в точке c , если выполняются условия в правая колонка устраивает.
f(c) определено   f(c) определено
lim x → c- f(x) существует   lim x → c+ f(x) существует
lim x → c- f(x) = f(c)   lim х → с+ f(x) = f(c)

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если выполняются следующие условия:
-f(x) непрерывна на [a, b];
-f(x) продолжается справа от до ;
-f(x) непрерывен слева в точке б .

      Пример
Покажите, что f(x) непрерывно на [-3, 3]
f(x) = √9 — x 2
для c in (-3, 1 lim 3) 9 x → C F (x) = LIM x → C √9 — x 2 = √lim x → C 9 -x 2 = C 9 -x 2 . — c 2 = f(c)
Итак, f(x) непрерывно на (-3, 3)
Также
лим x → 3- f(x) = lim x → 3- √9 — x 2 = √lim x → 3- 9 — x 2 = 0 = f(3) lim x → 3+ f(x) = lim x → 3+ √9 — x 2 = √lim x → 3+ 9 — x 2 = 0 = f(3)
Итак, f(x) непрерывна на [-3, 3]
      ТЕОРЕМА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ
Если f(x) непрерывно на отрезке [a, b] и c — любое число между f(x) и f(b) включительно, то существует хотя бы одно число x в интервале [a, b] такие, что f(x) = c

      ТЕОРЕМА 2. 7.10
Если f(x) непрерывно на [a, b] и если ) и f(b) имеют противоположные знаки, то существует хотя бы одно решение уравнения f(x) = 0 в интервале (a, b)

      Пример
    x 3 — x — 1 = 0
f(1) = -1         f(2) = 5

3.4: Свойства непрерывных функций

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    49109
    • Lafferriere, Lafferriere, and Nguyen
    • Portland State University via PDXOpen: 900 Educational Resources

      Напомним из определения 2.6.3, что подмножество \(A\) множества \(\mathbb{R}\) компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность \(\left\{a_{n}\right\}\) в \(A\) имеет подпоследовательность \(\left\{a_{n_{k}}\right\}\), которая сходится к точке \(a \in A\).

      Теорема \(\PageIndex{1}\)

      Пусть \(D\) непустое компактное подмножество \(\mathbb{R}\) и пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) быть непрерывной функцией. Тогда \(f{D}\) является компактным подмножеством \(\mathbb{R}\). В частности, \(f(D)\) замкнуто и ограничено.

      Доказательство

      Возьмем любую последовательность \(\left\{y_{n}\right\}\) в \(f(D)\). Тогда для каждого \(n\) существует \(a_{n} \in D\) такое, что \(y_{n}=f\left(a_{n}\right)\). Поскольку \(D\) компактен, существует подпоследовательность \(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) из \(\left\{a_{n}\right\}\) и точка \(a \in D\) такая, что

      \[\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \in D .\]

      Теперь из теоремы 3.3.3 следует, что

      \[\lim _{k \стрелка вправо \infty} y_{n_{k}}=\lim _{k \стрелка вправо \infty} f\left(a_{n_{k}}\right)=f(a) \в f(D).\]

      Следовательно, \(f(D)\) компактно.

      Окончательный вывод следует из теоремы 2. 6.5 \(\квадрат\)

      Определения \(\PageIndex{1}\): абсолютный минимум и абсолютный максимум

      Мы говорим, что функция \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) имеет абсолютный минимум в \(\bar{x} \in D\), если

      \[f(x) \geq f(\bar{x}) \text { для каждого } x \in D.\]

      Точно так же мы говорим, что \(f\) имеет абсолютный максимум в точке \(\bar{x}\), если

      \[f(x) \leq f(\bar{x}) \text { для каждый } x \in D.\]

      Рисунок \(3.2\): Абсолютный максимум и абсолютный минимум \(f\) на \([a, b]\).

      Теорема \(\PageIndex{2}\): Теорема об экстремальном значении

      Предположим, что \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывно и \(D\) является компактным множеством. Тогда \(f\) имеет абсолютный минимум и солидный максимум на \(D\).

      Доказательство

      Поскольку \(D\) компактно, \(A=f(D)\) замкнуто и ограничено (см. теорему 2.6.5). Пусть

      \[m=\inf A=\inf _{x \in D} f(x). \]

      В частности, \(m \in \mathbb{R}\). Для каждого \(n \in \mathbb{N}\) существует \(a_{n} \in A\) такое, что

      \[m \leq a_{n}

      Для каждого \(n\), поскольку \(a_{n} \in A=f(D)\), существует \(x_{n} \in D\) такой, что \(a_{n}=f \left(x_{n}\right)\) и, следовательно,

      \[m \leq f\left(x_{n}\right)

      В силу компактности \(D\) существуют элемент \(\bar{x} \in D\) и подпоследовательность \(\left\{x_{n_{k}}\right\}\), которые сходится к \(\bar{x} \in D\) как \(k \rightarrow \infty\). Потому что

      \[m \leq f\left(x_{n_{k}}\right)

      по теореме сжатия (теорема 2.1.6) заключаем \(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=m\). С другой стороны, по непрерывности имеем \(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=f(\bar{x})\). Мы заключаем, что \(f(\bar{x})=m \leq f(x)\) для любого \(x \in D\). Таким образом, \(f\) имеет абсолютный минимум в точке \(\bar{x}\). Доказательство аналогично для случая абсолютного максимума. \(\квадрат\)

      Замечание \(\PageIndex{3}\)

      Доказательство теоремы 3.4.2 можно сократить, применяя теорему 2.6.4. Однако вместо этого мы предоставили прямое доказательство.

      Следствие \(\PageIndex{4}\)

      Если \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна, то она имеет абсолютный минимум и абсолютный максимум на \([a , б]\).

      Доказательство

      Добавьте здесь доказательство, и оно будет автоматически скрыто

      Следствие 3.4.4 иногда называют теоремой об экстремальных значениях. Это немедленно следует из теоремы 3.4.2 и того факта, что интервал \([а, Ь]\) компактен (см. пример 2.6.4).

      Следующий результат является основным свойством непрерывных функций, которое используется в различных ситуациях.

      Лемма \(\PageIndex{5}\)

      Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна в \(c \in D\). Предположим, что \(f(c) > 0\). Тогда существует \(\delta > 0\) такое, что

      \[f(x)>0 \text { для каждого } x \in B(c ; \delta) \cap D.\]

      Доказательство

      Пусть \(\varepsilon=f(c)>0\). По непрерывности \(f\) в \(c\) существует \(\delta > 0\) такое, что \(x \in D\) и \(|x-c|<\delta\), тогда

      \(|f(x)-f(c)|<\varepsilon\).

      Отсюда следует, в частности, что \(f(x)>f(c)-\varepsilon=0\) для каждого \(x \in B(c ; \delta) \cap D\). Доказательство завершено. \(\квадрат\)

      Замечание \(\PageIndex{6}\)

      Аналогичный результат верен, если \(f(c)<0\).

      Теорема \(\PageIndex{7}\)

      Пусть \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) — непрерывная функция. Предположим, \(f(a) \cdot f(b)<0\) (это означает либо \(f(a)<00>f(b) \)). Тогда существует \(c \in (a,b)\) такое, что \(f(c)=0\).

      Доказательство

      Докажем только случай \(f(a)<00>f(b)\) совершенно аналогичен). определить

      \[A=\{x \in[a, b]: f(x) \leq 0\} .\]

      Это множество непусто, так как \(a \in A\). Это множество также ограничено, так как \(A \subset[a, b]\). Следовательно, \(c=\sup A\) существует и \(a \leq c \leq b\). Мы собираемся доказать, что \(f(c)=0\), показав, что \(f(c)<0\) и \(f(c)>0\) приводят к противоречиям.

      Предположим, \(f(c)<0\). Тогда существует \(\delta > 0\) такое, что

      \[f(x)<0 \text { для всех } x \in B(c ; \delta) \cap[a, b] .\]

      Поскольку \(c0\)), мы можем найти \(s \in(c, b)\) такие, что \(f(s) < 0\) (действительно \(s=\min \{c+ \delta/2,(c+b)/2\}\) подойдет). Это противоречие, потому что \(s \in A\) и \(s>c\).

      Предположим, \(f(c)>0\). Тогда существует \(\delta > 0\) такое, что

      \[f(x)>0 \text { для всех } x \in B(c ; \delta) \cap[a, b] .\]

      Поскольку \(a0\) для все \(x \in(t, c)\) (на самом деле, \(t=\max \{c-\delta/2,(a+c)/2\}\) подойдет). {\prime}\right) \leq 0\). Это противоречие. Мы заключаем, что \(f(c)=0\). \(\квадрат\)

      Теорема \(\PageIndex{8}\) — Теорема о промежуточном значении.

      Пусть \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) — непрерывная функция. Предположим, \(f(a)<\gamma

      Тот же вывод следует, если \(f(a)>\gamma>f(b)\).

      Рисунок \(3.3\): Иллюстрация теоремы о промежуточном значении.

      Доказательство

      Определить

      \[\varphi(x)=f(x)-\gamma, x \in[a, b].\]

      Тогда \(\varphi\) непрерывно на \([a,b]\). Более того,

      \[\varphi(a) \varphi(b)=[f(a)-\gamma][f(b)-\gamma]<0 .\]

      По теореме 3.4.7 существует \(c \in (a,b)\) такое, что \(\varphi(c)=0\). Это эквивалентно \(f(c)=\gamma\). Доказательство завершено. \(\квадрат\)

      Следствие \(\PageIndex{9}\)

      Пусть \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) — непрерывная функция. {n}=a\), как и хотелось. (Позже в примере 4.3.1 мы покажем, что такое \(x\) единственно.)

      Ниже мы приводим второе доказательство теоремы 3.4.8, которое не зависит от теоремы 3.4.7, а вместо этого опирается на теорему о вложенных интервалах (теорема 2.3.3).

      Второе доказательство теоремы 3.4.8:

      Построим последовательность вложенных интервалов следующим образом. Установите \(a_{1}=a\), \(b_{1}=b\) и пусть \(I_{1}=[a, b]\). Пусть \(c_{1}=(a+b)/2\). Если \(f\left(c_{1}\right)=\gamma\), мы закончили. В противном случае либо

      \[\begin{array}{l}
      f\left(c_{1}\right)>\gamma \quad \text { либо } \\
      f\left(c_{1}\right)<\gamma
      \end{array} .\]

      В первом случае установите \(a_{2}=a_{1}\) и \(b_{ 1}=c_{1}\). Во втором случае установите \(a_{2}=c_{1}\) и \(b_{2}=b_{1}\). Теперь установите \(I_{2}=\left[a_{2}, b_{2}\right]\). Обратите внимание, что в любом случае

      \[f\left(a_{2}\right)<\gamma

      Set \(c_{2}=\ влево(a_{2}+b_{2}\вправо) / 2\). Если \(f\left(c_{2}\right)=\gamma\), снова мы закончили. В противном случае либо

      \[\begin{array}{l}
      f\left(c_{2}\right)>\gamma \quad \text { либо } \\
      f\left(c_{2}\right)<\gamma
      \end{array} .\]

      В первом случае установите \(a_{3}=a_{2}\) и \(b_{ 3}=c_{2}\). Во втором случае установите \(a_{3}=c_{2}\) и \(b_{3}=b_{2}\). Теперь установите \(I_{3}=\left[a_{3}, b_{3}\right]\). Заметим, что в любом случае

      \[f\left(a_{3}\right)<\gamma

      Действуя таким образом, либо мы найдем некоторое \(c_{n_{0}}\) такое, что \(f\left(c_{n_{0}}\right)=\gamma\) и, следовательно, доказательство завершено, либо строим последовательность замкнутых ограниченные интервалы \(\left\{I_{n}\right\}\) с \(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]\) такие, что для всех \(n \), 9{\infty} I_{n}=\{c\}\). Более того, как мы видим из доказательства этой теоремы, \(a_{n} \rightarrow c\) и \(b_{n} \rightarrow c\) as \(n \rightarrow \infty\).

      По непрерывности \(f\) получаем

      \[\begin{array}{l}
      \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f (c) \quad \text { и } \\
      \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(b_{n}\right)=f(c)
      \end{array} . \]

      Поскольку \(f\left(a_{n}\right)<\gamma

      \[\begin{array}{l}
      f(c) \leq \gamma \quad \text { и } \\
      f(c) \geq \gamma
      \end{array} .\]

      Отсюда следует, что \(f(c)=\gamma\). Обратите внимание, что, поскольку \(f(a)<\gamma

      Теперь мы собираемся обсудить непрерывность обратной функции. Для функции \(f: D \rightarrow E\), где \(E\) — подмножество \(\mathbb{R}\), мы можем определить новую функцию \(f: D \rightarrow \mathbb{ R}\) той же функциональной записью. Функция \(f: D \rightarrow E\) называется непрерывной в точке \(\bar{x} \in D\), если соответствующая функция \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна в \(\bar{x}\). 9{-1}\left(y_{k}\right)=x_{k}\) для каждого \(k\). Предположим противное, что \(\left\{x_{k}\right\}\) не сходится к \(\bar{x}\). Тогда существует \(\varepsilon_{0}>0\) и подпоследовательность \(\left\{x_{k_{\ell}}\right\}\) из \(\left\{x_{k}\right \}\) такой, что

      \[\left|x_{k_{\ell}}-\bar{x}\right| \geq \varepsilon_{0} \text { для каждого } \ell . \]

      Поскольку последовательность \(\left\{x_{k_{\ell}}\right\}\) ограничена, она имеет дополнительную подпоследовательность, сходящуюся к \(x_{0} \in[a, b]\) . Чтобы упростить запись, мы снова будем называть новую подпоследовательность \(\left\{x_{k_{\ell}}\right\}\). Беря пределы в (3.7), получаем

      \[\left|x_{0}-\bar{x}\right| \geq \varepsilon_{0}>0 .\]

      С другой стороны, по непрерывности \(f\), \(\left\{f\left(x_{k_{\ell}}\right)\right\}\) сходится к \(f\left (x_{0}\справа)\). Поскольку \(f\left(x_{k_{\ell}}\right)=y_{k_{\ell}} \rightarrow \bar{y}\) как \(\ell \rightarrow \infty\), следует что \(f\left(x_{0}\right)=\bar{y}=f(\bar{x})\). Отсюда следует \(x_{0}=\bar{x}\), что противоречит (3.8). \(\квадрат\)

      Примечание \(\PageIndex(11)\) 9{-}} f(x)=\infty\) (снова см. упражнение 3.2.10). В этом случае мы можем показать, используя теорему о промежуточном значении, что \(f((a, b))=(c, \infty)\), и мы можем действовать, как указано выше, чтобы доказать, что \(f\) имеет непрерывную обратную из \((c, \infty)\) в \((a,b)\).

      Другие возможности приводят к аналогичным результатам.

      Аналогичную теорему можно доказать для строго убывающих функций.

      Упражнение \(\PageIndex{1}\)

      Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) непрерывна в \(c \in D\) и пусть \(\gamma \in \mathbb{R}\). Предположим, \(f(c)>\gamma\). Докажите, что существует \(\delta>0\) такой, что

      \[f(x)>\gamma \text { для каждого } x \in B(c ; \delta) \cap D .\]

      Ответить

      Добавьте текст сюда. Не удаляйте этот текст первым.

      Упражнение \(\PageIndex{2}\)

      Пусть \(f,g\) — непрерывные функции на \([a,b]\). Предположим, \(f(a)g(b)\). Докажите, что существует \(x_{0} \in(a, b)\) такое, что \(f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)\).

      Упражнение \(\PageIndex{3}\) 9{2}-2=\cos (x+1)\) имеет по крайней мере два действительных решения. (Предположим, известно, что функция \(\cos x\) непрерывна.)

      Упражнение \(\PageIndex{5}\)

      Пусть \(f:[a, b] \rightarrow[a, b]\) — непрерывная функция.

      1. Докажите, что уравнение \(f(x)=x\) имеет решение на \([a,b]\).
      2. Предположим далее, что

      \[|f(x)-f(y)|<|x-y| \text { для всех } x, y \in[a, b], x \neq y .\]

      Докажите, что уравнение \(f(x)=x\) имеет единственное решение на \([a,b]\)

      Упражнение \(\PageIndex{6}\)

      Пусть \(f\) — непрерывная функция на \([a,b]\) и \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in[a, b]\) . Докажите, что существует \(c \in [a,b]\) с

      \[f(c)=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots f\left(x_{n}\right)}{ п}.\

      Упражнение \(\PageIndex{7}\)

      Предположим, что \(f\) — непрерывная функция на \(\mathbb{R}\) такая, что \(|f(x)| < |x| \text { для всех } x \neq 0\).

      1. Докажите, что \(f(0)=0\).
      2. Для заданных двух положительных чисел \(a\) и \(b\) с \(a < b\) докажите, что существует \(\ell \in[0,1)\) такое, что \[|f(x )| \leq \ell|х| \text { для всех } x \in[a, b].\]

      Упражнение \(\PageIndex{8}\)

      Пусть \(f, g:[0,1] \rightarrow[0,1]\) — непрерывные функции такие, что

      \[f(g(x))=g(f(x)) \text { для всех } x \in[0,1] . \номер\]

      . Предположим далее, что \(f\) монотонно. Докажите, что существует \(x_{0} \in[0,1]\) такой, что

      \[f\влево(x_{0}\вправо)=g\влево(x_{0}\вправо)=x_{0} . \номер\]


      Эта страница под заголовком 3.4: Свойства непрерывных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована Lafferriere, Lafferriere и Nguyen (PDXOpen: открытые образовательные ресурсы).

      1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Автор
        Лафферьер, Лафферриер и Нгуен
        Лицензия
        СС BY-NC-SA
        Программа OER или Publisher
        PDXOpen
        Показать страницу Содержание
        нет
      2. Теги
        1. абсолютный максимум
        2. абсолютный минимум
        3. компактный комплект
        4. Теорема о промежуточном значении

      Непрерывная функция — определение, примеры

      Непрерывная функция, как следует из ее названия, — это функция, график которой непрерывен без каких-либо разрывов или скачков. т. е. если мы можем нарисовать кривую (график) функции, даже не отрывая карандаша, то мы говорим, что функция непрерывна. Изучение непрерывности функции действительно важно в исчислении, поскольку функция не может быть дифференцируемой, если она не является непрерывной.

      Давайте узнаем больше о непрерывности функции, зная определение непрерывной функции и множество других примеров.

      1. Что такое непрерывная функция?
      2. Непрерывность в примерах исчисления
      3. Свойства непрерывности
      4. Теоремы о непрерывной функции
      5. НЕ Непрерывная функция
      6. Часто задаваемые вопросы о непрерывной работе

      Что такое непрерывная функция?

      Функция f(x) называется непрерывной функцией в исчислении в точке x = a, если кривая функции НЕ разрывается в точке x = a. Математическое определение непрерывности функции выглядит следующим образом. Функция f(x) непрерывна в точке x = a, если

      • f(a) существует;
      • limₓ → ₐ f(x) существует;
        [т.е. limₓ → ₐ₋ f(x) = limₓ → ₐ₊ f(x)] и
      • Оба вышеуказанных значения равны. т. е. limₓ → ₐ f(x) = f(a) .

      Действительно ли это определение означает, что функция не должна иметь разрыва в точке x = a? Посмотрим. «limₓ → ₐ f(x) существует» означает, что функция должна приближаться к одному и тому же значению как слева, так и справа от значения x = a, а «limₓ → ₐ f(x) = f(a)» означает, что предел функции при x = a такой же, как f (a). Вместе эти два условия сделают функцию непрерывной (без разрыва) в этой точке. Вы можете понять это из следующего рисунка.

      Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. т. е. на этом интервале график функции не должен ломаться или прыгать.

      Непрерывность в примерах исчисления

      Вот несколько примеров функций, которые имеют непрерывность . Все приведенные ниже функции непрерывны в соответствующих областях.

      В приведенных выше примерах обратите внимание на одну особенность непрерывности: «если граф не имеет дырок или асимптот в какой-либо точке, он всегда непрерывен в этой точке».

      Свойства непрерывности

      Вот некоторые свойства непрерывности функции. Если две функции f(x) и g(x) непрерывны при x = a, то

      • f + g, f — g и fg непрерывны при x = a.
      • f/g также непрерывна при x = a, если g(a) ≠ 0,
      • Если f непрерывна в точке g(a), то функция композиции (fo g) также непрерывна в точке x = a.
      • Все полиномиальные функции непрерывны на множестве всех действительных чисел.
      • Функция абсолютного значения |x| непрерывна над множеством всех действительных чисел.
      • Экспоненциальные функции непрерывны во всех действительных числах.
      • Функции sin x и cos x непрерывны для всех действительных чисел.
      • Функции tan x, cosec x, sec x и cot x непрерывны в своих областях определения.
      • Такие функции, как log x, ln x, √x и т. д., непрерывны в соответствующих областях.

      Теоремы о непрерывной функции

      Существует несколько теорем о непрерывной функции. Вот самые важные теоремы.

      • Теорема 1: Все полиномиальные функции непрерывны на (-∞, ∞).
      • Теорема 2: Функции e x , sin x, cos x и arctan x непрерывны на (-∞, ∞).
      • Теорема 3: Если две функции f и g непрерывны на отрезке [a, b], то алгебра функций: f+g, f-g и fg непрерывна на [a, b]. Но f/g непрерывна на [a, b] при условии, что f/g НЕ равно нулю нигде в интервале.
      • Теорема 4:  Рациональная функция непрерывна, кроме вертикальных асимптот.

      НЕ Непрерывная функция

      Функция, которая НЕ является непрерывной, называется прерывистой функцией. т. е. график разрывной функции где-то обрывается или перескакивает. Существуют различные типы разрывов, как описано ниже. По определению непрерывности функции функция НЕ является непрерывной в одном из следующих случаев. Мы можем видеть все типы разрывов на рисунке ниже. Из рисунков ниже мы можем понять, что

      • Устранимые несплошности возникают в отверстиях.
      • На вертикальных асимптотах возникает бесконечный разрыв.

      Разрыв скачка

      limₓ → ₐ₋ f(x) и limₓ → ₐ₊ f(x) существуют, но НЕ равны. Это называется «скачковым разрывом» (или) «неустранимым разрывом».

      Устранимый разрыв

      limₓ → ₐ f(x) существует (т. е. limₓ → ₐ₋ f(x) = limₓ → ₐ₊ f(x)), но НЕ равен f(a). Это называется «устранимый разрыв».

      Бесконечный разрыв

      Значения одного или обоих пределов limₓ → ₐ₋ f(x) и limₓ → ₐ₊ f(x) составляют ± ∞. Это называется «бесконечный разрыв».

      Важные примечания о непрерывности:

      Вот некоторые моменты, на которые следует обратить внимание, связанные с непрерывностью функции.

      • Функция непрерывна в точке x = a тогда и только тогда, когда limₓ → ₐ f(x) = f(a).
      • Это означает, что для того, чтобы функция имела непрерывность в какой-то точке, она не должна прерываться в этой точке.
      • Чтобы функция была дифференцируемой, она должна быть непрерывной.
      • Все многочлены непрерывны.
      • Функции НЕ являются непрерывными на вертикальных асимптотах.
      • Функции НЕ непрерывны в отверстиях.

      ☛  Похожие темы:

      Вот некоторые темы, которые могут вас заинтересовать при изучении непрерывных функций.

      • Исчисление
      • Производные формулы
      • Дифференциальные уравнения
      • Интеграция

       

      Примеры непрерывной работы

      1. Пример 1: Проверить непрерывность функции f(x) = 3x — 7 при x = 7.

        Решение:

        Метод 1:

        Учитывая, что f(x) = 3x — 7 и х = 7 = а.

        Найдем limₓ → ₐ f(x) и f(a).

        limₓ → ₐ f(x) = limₓ → ₇ (3x — 7) = 3(7) — 7 = 21 — 7 = 14,

        f(a) = f(7) = 3(7) — 7 = 21 — 7 = 14.

        Следовательно, limₓ → ₐ f(x) = f(a). Таким образом, f(x) непрерывна при x = 7.

        Метод 2:

        Мы знаем, что полиномиальная функция непрерывна всюду.

        Здесь f(x) = 3x — 7 является полиномиальной функцией и, следовательно, непрерывна всюду и, следовательно, при x = 7.

        Ответ: Функция f(x) = 3x — 7 непрерывна при x = 7.

      2. Пример 2: Докажите, что следующая функция НЕ является непрерывной при x = 2, и проверьте то же самое, используя ее график. Также укажите тип разрыва. f (x) = \(\ left \ {\ begin {array} {l} x-3, \ text { if } x \ leq 2 \\ 8, \ text { if } x> 2 \ end {array} \ справа.\)

        Решение:

        Дано, что a = 2.

        Данная функция является кусочной функцией. Таким образом, мы должны найти левый и правый пределы отдельно. Обратите внимание, что

        • x → 2- ⇒ x < 2 ⇒ f(x) = x - 3 и
        • х → 2+ ⇒ х > 2 ⇒ f(x) = 8.

        Теперь мы вычислим пределы.

        limₓ → ₂₋ f(x) = limₓ → ₂ (x — 3) = 2 — 3 = -1

        limₓ → ₂₊ f(x) = limₓ → ₂ 8 = 8

        ₋ f(x) ≠ limₓ → ₂₊ f(x).

        Таким образом, limₓ → ₂ f(x) НЕ существует и, следовательно, f(x) НЕ является непрерывной при x = 2.

        Проверка по графику:

        Функция имеет скачкообразный разрыв.

        Ответ: Мы доказали, что функция f(x) алгебраически и графически является разрывной и имеет скачкообразный разрыв.

      3. Пример 3: Найдите соотношение между a и b, если следующая функция непрерывна в точке x = 4. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x-3, & \ text { if } x \leq 4 \\ b x+8, & \text { if } x>4\end{array}\right.\)

        Решение:

        f(x) — непрерывная функция при x = 4. По уравнению непрерывности

        limₓ → ₄₋ f(x) = limₓ → ₄₊ f(x) = f(4)

        limₓ → ₄ (ax — 3) = limₓ → ₄ (bx + 8) = а(4) — 3

        a(4) — 3 = b(4) + 8 = a(4) — 3

        Из первых двух выражений

        4a — 3 = 4b + 8

        4a — 4b = 11

        Ответ : Отношение между a и b равно 4a — 4b = 11.

      перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

      Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.

      Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

      Записаться на бесплатный пробный урок

      Практические вопросы по непрерывным функциям

       

      перейти к слайдуперейти к слайду

      Часто задаваемые вопросы о непрерывной работе

      Что такое определение непрерывной функции?

      Непрерывная функция  это функция, график которой нигде не прерывается. Математически f (x) называется непрерывным в точке x = a тогда и только тогда, когда limₓ → ₐ f (x) = f (a).

      Пример непрерывной функции? 9{3} & \text { if } x

      <-2 \\8 & ​​\text { if } x\geq-2\end{array}\right.\) — кусочно-непрерывная функция.

      Что такое

      Определение непрерывности ?

      Для непрерывности функции f(x) в точке x = a должны быть выполнены следующие 3 условия.

      • f(a) существует
      • limₓ → ₐ f(x) существует и
      • limₓ → ₐ f(x) = f(a)

      Что является примером НЕ непрерывной функции?

      Функция f(x) = [x] (целая часть x) НЕ является непрерывной для любого действительного числа. Другой пример НЕ непрерывной функции: f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}x-3, \text { if } x \leq 2 \\ 8, \text {if } x>2\end{массив}\right.\)

      Опишите непрерывность функции извлечения квадратного корня.

      График функции квадратного корня представляет собой гладкую кривую без изломов, отверстий или асимптот по всей области определения. Следовательно, функция квадратного корня непрерывна в своей области определения.

      Какая функция всегда непрерывна?

      Чтобы функция всегда была непрерывной, на ее графике не должно быть разрывов. Например, f(x) = |x| непрерывна всюду.

      Что такое формула непрерывной функции?

      Функция f(x) непрерывна при x = a, если ее предел существует при x = a и равен значению функции при x = a. т. е. limₓ → ₐ f(x) = f(a)

      Являются ли экспоненциальные функции непрерывными?

      Да, экспоненциальные функции непрерывны, так как у них нет изломов, дыр и вертикальных асимптот.

      Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

      ЛИСТКИ

      2.4 Непрерывность | Исчисление, том 1

      Цели обучения

      • Объясните три условия непрерывности в одной точке.
      • Опишите три вида разрывов.
      • Определение непрерывности на интервале.
      • Сформулируйте теорему для пределов сложных функций.
      • Приведите пример теоремы о промежуточном значении.

      Многие функции обладают тем свойством, что их графики можно рисовать карандашом, не отрывая карандаша от страницы. Такие функции называются непрерывный . Другие функции имеют точки, в которых происходит разрыв графика, но удовлетворяют этому свойству на интервалах, содержащихся в их областях определения. Они непрерывны на этих интервалах и, как говорят, имеют разрыв в точке , где происходит разрыв.

      Мы начнем наше исследование непрерывности с изучения того, что означает для функции иметь непрерывность в точке . Интуитивно понятно, что функция непрерывна в определенной точке, если в этой точке ее график не имеет разрыва.

      Прежде чем мы рассмотрим формальное определение непрерывности функции в точке, давайте рассмотрим различные функции, которые не соответствуют нашему интуитивному представлению о том, что значит быть непрерывным в точке. Затем мы создаем список условий, предотвращающих такие сбои.

      Первая интересующая нас функция показана на (Рисунок). Мы видим, что граф [latex]f(x)[/latex] имеет дыру в точке [latex]a[/latex]. На самом деле [latex]f(a)[/latex] не определен. По крайней мере, для того, чтобы [latex]f(x)[/latex] был непрерывным в [latex]a[/latex], нам нужны следующие условия:

      и. [латекс]f(a)[/латекс] определен.

      Рис. 1. Функция [latex]f(x)[/latex] не является непрерывной в точке a, поскольку [latex]f(a)[/latex] не определена.

      Однако, как мы видим на (Рисунок), одного этого условия недостаточно, чтобы гарантировать непрерывность в точке [латекс]а[/латекс]. Хотя [latex]f(a)[/latex] определен, функция имеет пробел в [latex]a[/latex]. В этом примере разрыв существует, потому что [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] не существует. Мы должны добавить еще одно условие непрерывности в [latex]a[/latex] — а именно,

      ii. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] существует.

      Рис. 2. Функция [latex]f(x)[/latex] не является непрерывной в точке a, поскольку [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] не существует .

      Однако, как мы видим на (рис.), эти два условия сами по себе не гарантируют непрерывности в точке. Функция на этом рисунке удовлетворяет обоим нашим первым двум условиям, но по-прежнему не является непрерывной в точке [latex]a[/latex]. Мы должны добавить в наш список третье условие:

      III. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)=f(a)[/latex].

      Рис. 3. Функция [latex]f(x)[/latex] не является непрерывной в точке a, поскольку [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)\ne f(a)[ /латекс].

      Теперь мы составляем наш список условий вместе и формируем определение непрерывности в точке.

      Определение

      Функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

      1. [латекс]f(a)[/латекс] определен
      2. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] существует
      3. [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)=f(a)[/latex]

      Функция разрывна в точке [latex]a[/latex], если она не является непрерывной в [latex]a[/latex].

      Следующую процедуру можно использовать для анализа непрерывности функции в точке с использованием этого определения.

      Стратегия решения проблем: определение непрерывности в точке

      1. Проверьте, определен ли [latex]f(a)[/latex]. Если [latex]f(a)[/latex] не определено, дальше идти не нужно. Функция не является непрерывной в точке [latex]a[/latex]. Если [latex]f(a)[/latex] определен, перейдите к шагу 2. 9+}{\lim}f(x)[/латекс]. Если [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] не существует (то есть это не вещественное число), то функция не является непрерывной в [latex]a [/latex] и проблема решена. Если существует [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex], перейдите к шагу 3.
      2. Сравните [латекс]f(a)[/латекс] и [латекс]\underset{x\с а}{\lim}f(x)[/латекс]. Если [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)\ne f(a)[/latex], то функция не является непрерывной в [latex]a[/latex]. Если [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)=f(a)[/latex], то функция непрерывна в [latex]a[/latex]. 92+4 & \text{if} \, x \le 3 \\ 4x-8 & \text{if} \, x > 3 \end{cases}[/latex] непрерывна в [latex]x=3[ /латекс]. Обоснуйте вывод.

        Показать решение

        Определение непрерывности в точке, условие 3

        Используя определение, определите, является ли функция [latex]f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{if} \ , x \ne 0 \\ 1 & \text{if} \, x = 0 \end{cases}[/latex] непрерывен в точке [latex]x=0[/latex].

        Показать решение

        Используя определение, определите, является ли функция [латекс]f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{if} \, x < 1 \\ 2 & \text{if} \, x = 1 \\ -x+4 & \text{if} \, x > 1 \end{cases}[/latex] непрерывен в [latex]x=1[/latex]. Если функция не является непрерывной в 1, укажите условие непрерывности в точке, которое не выполняется.

        Показать решение

        Применяя определение непрерывности и ранее установленные теоремы об оценке пределов, мы можем сформулировать следующую теорему.

        Непрерывность многочленов и рациональных функций

        Многочлены и рациональные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

        Доказательство

        Ранее мы показали, что если [латекс]p(x)[/латекс] и [латекс]q(x)[/латекс] являются полиномами, [латекс]\занижение{х\к а}{\ lim}p(x)=p(a)[/latex] для каждого многочлена [latex]p(x)[/latex] и [latex]\underset{x\to a}{\lim}\frac{p( x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}[/latex], если [latex]q(a)\ne 0[/latex]. Следовательно, многочлены и рациональные функции непрерывны в своих областях определения. [латекс]_\черный квадрат[/латекс] 92[/латекс] непрерывный?

        Показать решение

        Как мы видели на (Рисунок) и (Рисунок), разрывы принимают несколько различных видов. Мы классифицируем типы разрывов, которые мы видели до сих пор, как устранимые разрывы, бесконечные разрывы или скачкообразные разрывы. Интуитивно понятно, что устранимый разрыв — это разрыв, для которого есть дыра в графике, скачкообразный разрыв — это небесконечный разрыв, для которого участки функции не пересекаются, а разрыв0486 бесконечный разрыв — разрыв, расположенный на вертикальной асимптоте. (Рисунок) иллюстрирует различия в этих типах разрывов. Хотя эти термины обеспечивают удобный способ описания трех распространенных типов разрывов, имейте в виду, что не все разрывы точно подпадают под эти категории.

        Рис. 6. Разрывы классифицируются как (а) устранимые, (б) скачкообразные или (в) бесконечные.

        Эти три разрыва формально определяются следующим образом:

        Определение

        Если [латекс]f(x)[/латекс] разрывен в [латекс]а[/латекс], то

        1. [латекс]f[/латекс] имеет устранимую разрывность в точке [latex]a[/latex], если существует [latex]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex]. (Примечание: когда мы утверждаем, что [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(x)[/latex] существует, мы имеем в виду, что [латекс]\underset{x\to a}{\lim} f(x)=L[/latex], где [latex]L[/latex] — действительное число.)
        2. [latex]f[/latex] имеет разрыв скачка 92+4 & \text{if} \, x \le 3 \\ 4x-8 & \text{if} \, x > 3 \end{cases}[/latex] разрывается в [latex]x=3[ /латекс]. Классифицируйте этот разрыв как устранимый, скачкообразный или бесконечный.

          Показать решение

          Классификация разрыва

          Определите, является ли [латекс]f(x)=\frac{x+2}{x+1}[/latex] непрерывным в точке −1. Если функция разрывна в точке -1, классифицируйте разрыв как устранимый, скачкообразный или бесконечный. 2 & \text{if} \, x \ne 1 \\ 3 & \text{if} \, x = 1 \end{cases} [/latex], определите, является ли [latex]f[/latex] непрерывным в точке 1. Если [latex]f[/latex] не является непрерывным в точке 1, классифицируйте разрыв как устранимый, скачкообразный или бесконечный.

          Показать решение

          Теперь, когда мы изучили концепцию непрерывности в точке, мы расширим эту идею до непрерывности на интервале . Когда мы развиваем эту идею для различных типов интервалов, может быть полезно помнить об интуитивной идее, что функция непрерывна на интервале, если мы можем использовать карандаш, чтобы проследить функцию между любыми двумя точками интервала, не отрывая карандаш из бумаги. Готовясь к определению непрерывности на интервале, мы начнем с определения того, что значит для функции быть непрерывной справа в точке и непрерывной слева в точке. 9-}{\lim}f(x)=f(a)[/latex].

          Функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна на замкнутом интервале вида [latex][a,b][/latex], если она непрерывна в каждой точке [latex](a,b) [/latex] и непрерывна справа в точке [latex]a[/latex] и непрерывна слева в точке [latex]b[/latex]. Аналогично, функция [латекс]f(x)[/латекс] непрерывна на интервале вида [латекс](а,b][/латекс], если она непрерывна на [латекс](а,b)[/ латекс] и непрерывен слева в [латекс]b[/латекс]. Непрерывность на других типах интервалов определяется аналогичным образом. 92}[/latex] непрерывен.

          Показать решение

          Укажите интервал(ы), на котором функция [latex]f(x)=\sqrt{x+3}[/latex] непрерывна.

          Показать решение

          (Рисунок) позволяет нам расширить наши возможности вычисления пределов. В частности, эта теорема в конечном итоге позволяет нам показать, что тригонометрические функции непрерывны над своими областями определения.

          Теорема о сложной функции

          Если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен в [латекс]L[/латекс] и [латекс]\underset{x\to a}{\lim}g(x) =L[/латекс], тогда

          [латекс]\underset{x\to a}{\lim}f(g(x))=f(\underset{x\to a}{\lim}g(x))=f(L)[ /латекс].

          Прежде чем мы перейдем к (Рисунок), вспомните, что ранее, в разделе о предельных законах, мы показали [латекс]\underset{x\to 0}{\lim} \cos x=1= \cos (0) [/латекс]. Следовательно, мы знаем, что [latex]f(x)= \cos x[/latex] непрерывен в точке 0. На (рисунке) показано, как совместить этот результат с теоремой о сложной функции.

          Предел функции составного косинуса

          Вычислить [latex]\underset{x\to \pi/2}{\lim}\cos(x-\frac{\pi }{2})[/latex].

          Показать решение

          Вычислить [латекс]\underset{x\to \pi}{\lim}\sin(x-\pi)[/latex].

          Показать решение

          Доказательство следующей теоремы использует теорему о сложной функции, а также непрерывность [latex]f(x)= \sin x[/latex] и [latex]g(x)= \cos x[/latex] в точке 0, чтобы показать, что тригонометрические функции непрерывны во всей своей области определения.

          Непрерывность тригонометрических функций

          Тригонометрические функции непрерывны во всех областях определения.

          Начнем с демонстрации того, что [латекс]\cos x[/латекс] непрерывен в каждом вещественном числе. Для этого мы должны показать, что [latex]\underset{x\to a}{\lim}\cos x = \cos a[/latex] для всех значений [latex]a[/latex].

          [латекс]\begin{array}{lllll}\underset{x\to a}{\lim}\cos x & =\underset{x\to a}{\lim}\cos((xa)+a ) & & & \text{rewrite} \, x \, \text{as} \, x-a+a \, \text{and group} \, (x-a) \\ & =\underset{x\to a }{\lim}(\cos(x-a)\cos a — \sin(x-a)\sin a) & & & \text{применить тождество для косинуса суммы двух углов} \\ & = \cos( \underset{x\to a}{\lim}(xa)) \cos a — \sin(\underset{x\to a}{\lim}(xa))\sin a & & & \underset{x\ к a}{\lim}(x-a)=0, \, \text{и} \, \sin x \, \text{и} \, \cos x \, \text{непрерывны в 0} \\ & = \cos(0)\cos a — \sin(0)\sin a & & & \text{оценить cos(0) и sin(0) и упростить} \\ & =1 \cdot \cos a — 0 \ cdot \sin a = \cos a \end{массив}[/latex]

          Доказательство того, что [латекс] \sin x[/латекс] непрерывен в каждом вещественном числе, аналогично. Поскольку остальные тригонометрические функции могут быть выражены через [латекс] \sin x[/латекс] и [латекс] \cos x,[/латекс] их непрерывность следует из закона предельного отношения. [latex]_\blacksquare[/latex]

          Как видите, теорема о сложной функции бесценна для демонстрации непрерывности тригонометрических функций. Продолжая изучение исчисления, мы много раз возвращаемся к этой теореме.

          Функции, непрерывные на интервалах вида [латекс][а,б][/латекс], где [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс] — действительные числа, обладают многими полезными свойствами . На протяжении всего нашего изучения исчисления мы столкнемся со многими сильными теоремами, касающимися таких функций. Первой из этих теорем является теорема о промежуточном значении .

          Теорема о промежуточном значении

          Пусть [latex]f[/latex] непрерывен на замкнутом ограниченном интервале [latex][a,b][/latex]. Если [latex]z[/latex] — любое вещественное число между [latex]f(a)[/latex] и [latex]f(b)[/latex], то существует число [latex]c[/latex]. ] в [латексе][а,б][/латексе], удовлетворяющем [латекс]f(c)=z[/латекс]. (См. (Рисунок)).

          Рисунок 7. Существует число [latex]c \in [a,b][/latex], удовлетворяющее условию [latex]f(c)=z[/latex].

          Применение теоремы о промежуточном значении

          Покажите, что [latex]f(x)=x- \cos x[/latex] имеет хотя бы один нуль.

          Показать решение

          Когда можно применить теорему о промежуточном значении?

          Если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен над [латекс][0,2], \, f(0)>0[/латекс] и [латекс]f(2)>0, [/latex] можем ли мы использовать теорему о промежуточном значении, чтобы заключить, что [latex]f(x)[/latex] не имеет нулей в интервале [latex][0,2][/latex]? Объяснять. 92-3x+1[/latex] содержит ноль в интервале [latex][0,1][/latex].

          Показать решение

          Ключевые понятия

          • Чтобы функция была непрерывной в точке, она должна быть определена в этой точке, ее предел должен существовать в этой точке, а значение функции в этой точке должно равняться значению предела в эта точка.
          • Разрывы могут быть классифицированы как устранимые, скачкообразные или бесконечные.
          • Функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. Он непрерывен на отрезке, если он непрерывен в каждой его внутренней точке и непрерывен в своих концах.
          • Теорема о составной функции утверждает: если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен в [латекс]L[/латекс] и [латекс]\underset{x\to a}{\lim}g(x) =L[/латекс], тогда [латекс]\подсет{х\к а}{\lim}f(г(х))=f(\подсет{х\к а}{\lim}г(х)) =f(L)[/латекс].
          • Теорема о промежуточном значении гарантирует, что если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она принимает все значения между значениями в своих конечных точках.

          Для следующих упражнений определите точки, если таковые имеются, в которых каждая функция является разрывной. Классифицируйте любой разрыв как скачкообразный, устранимый, бесконечный или другой. 9x & \text{if} \, x < 0 \\ x-1 & \text{if} \, x \ge 0 \end{cases}[/latex] at [latex]x=0[/latex]

          Показать решение

          14.   [латекс]f(x)=\begin{case} x \sin x & \text{if} \, x \le \pi \\ x \tan x & \text{if} \, x > \pi \end{cases}[/latex] at [latex]x=\pi[/latex]

          В следующих упражнениях найдите значение(я) [latex]k[/latex], которое делает каждое функция, непрерывная на заданном интервале.

          15.  [латекс]f(x)=\begin{cases} 3x+2 & \text{if} \, x < k \\ 2x-3 & \text{if} \, k \le x \le 8 \end{случаи}[/latex] 92-4 & \text{if} \, x \le 2 \\ 5+4x & \text{if} \, x > 2 \end{cases}[/latex] На интервале [latex][0,4 ][/latex], не существует такого значения [latex]x[/latex], что [latex]h(x)=10[/latex], хотя [latex]h(0)<10[/latex] и [латекс]ч(4)>10[/латекс]. Объясните, почему это не противоречит IVT.

          21.  Частица, движущаяся вдоль линии, имеет в каждый момент времени [latex]t[/latex] функцию положения [latex]s(t)[/latex], которая непрерывна. Предположим, что [латекс]s(2)=5[/латекс] и [латекс]s(5)=2[/латекс]. Другая частица движется так, что ее положение определяется как [латекс]h(t)=s(t)-t[/латекс]. Объясните, почему должно существовать значение [latex]c[/latex] для [latex]2

          Показать решение

          24.  Рассмотрим график функции [latex]y=f(x)[/latex], показанный на следующем графике.

          1. Найдите все значения, для которых функция разрывна.
          2. Для каждого значения в части а. используйте формальное определение непрерывности, чтобы объяснить, почему функция разрывна при этом значении. 92-1}[/latex] для [латекс]x\ne -1,1[/латекс].

            1. Нарисуйте график [latex]f[/latex].
            2. Можно ли найти значения [latex]k_1[/latex] и [latex]k_2[/latex] такие, что [latex]f(-1)=k_1[/latex] и [latex]f(1)=k_2 [/latex], и что делает [latex]f(x)[/latex] непрерывным для всех действительных чисел? Кратко объяснить.

            27.  Нарисуйте график функции [latex]y=f(x)[/latex] со свойствами i. через VII.

            1. Домен [latex]f[/latex] — [latex](−\infty,+\infty)[/latex]. 9+}{\lim}f(x)=2[/латекс]
            2. [латекс]f(-3)=3[/латекс]
            3. [latex]f[/latex] непрерывен слева, но не непрерывен справа при [latex]x=3[/latex].
            4. [латекс]\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=-\infty[/latex] и [латекс]\underset{x\to +\infty}{\lim}f( х)=+\infty[/латекс]

            Показать решение

            28.  Нарисуйте график функции [latex]y=f(x)[/latex] со свойствами i. через IV.

            1. Домен [latex]f[/latex] — [latex][0,5][/latex]. 9+}{\lim}f(x)=2[/латекс].

            В следующих упражнениях предположим, что [latex]y=f(x)[/latex] определен для всех [latex]x[/latex]. Для каждого описания нарисуйте график с указанным свойством.

            29.  Прерывистый в [латекс]x=1[/латекс] с [латекс]\занижение{х\до -1}{\lim}f(x)=-1[/латекс] и [латекс] \underset{x\to 2}{\lim}f(x)=4[/latex]

            Показать решение

            30.   Прерывистый в [латекс]x=2[/латекс], но непрерывный в другом месте с [латекс]\занижение{х\до 0}{\lim}f(x)=\frac{1}{2} [/латекс] 9{-t}}[/latex] везде непрерывен.

            Показать решение

            32.  Если левый и правый пределы [latex]f(x)[/latex] как [latex]x\to a[/latex] существуют и равны, то [latex]f[ /latex] не может быть прерывистым в точке [latex]x=a[/latex].

            33.  Если функция не является непрерывной в какой-то точке, то она в этой точке не определена.

            Показать решение

            34.  Согласно IVT, [латекс]\cos x — \sin x — x = 2[/латекс] имеет решение на интервале [латекс][-1,1][/латекс]. 92-1}[/latex] непрерывен на интервале [latex][0,3][/latex].

            37.  Если [латекс]f(x)[/латекс] непрерывен всюду и [латекс]f(a), f(b)>0[/латекс], то корня [латекс] нет f(x)[/latex] в интервале [latex][a,b][/latex].

            Показать решение

            В следующих задачах рассматривается скалярная форма закона Кулона, который описывает электростатическую силу между двумя точечными зарядами, такими как электроны. 2}[/latex], где [latex]k_e[/latex] — постоянная Кулона, [latex]q_i[ /latex] — величины зарядов двух частиц, а [latex]r[/latex] — расстояние между двумя частицами. 92[/latex], где [latex]m[/latex] — масса ракеты, [latex]d[/latex] — расстояние ракеты от центра Земли, а [latex]k[/latex] ] является константой.

            40. [T] Определите значение и единицы [латекс]k[/латекс], учитывая, что масса ракеты на Земле составляет 3 миллиона кг. ( Подсказка : Расстояние от центра Земли до ее поверхности 6378 км.)

            41. [T] После прохождения определенного расстояния [латекс]D[/латекс] гравитационное воздействие Земли становится совершенно пренебрежимо мал, поэтому мы можем аппроксимировать силовую функцию следующим образом: \text{if} \, d \ge D \end{cases}[/latex] Найдите необходимое условие [latex]D[/latex], чтобы силовая функция оставалась непрерывной. 92} & \text{if} \, d \ge D \end{cases}[/latex] Существует ли значение [latex]D[/latex] такое, что эта функция непрерывна при условии [latex]m_1 \ne m_2 [/латекс]?

            Докажите, что следующие функции непрерывны везде

            43. -}{\lim}f(x)=f(b)[/latex] 9+}{\lim}f(x)=f(a)[/латекс]

            непрерывность на интервале
            функция, которую можно проследить карандашом, не отрывая карандаша; функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала; функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна на замкнутом интервале вида [latex][a,b][/latex], если она непрерывна в каждой точке [latex](a,b) [/latex], и она непрерывна справа в [latex]a[/latex] и слева в [latex]b[/latex] 9+}{\lim}f(x)=\pm \infty[/latex]
            Теорема о промежуточном значении
            Пусть [latex]f[/latex] непрерывен на замкнутом ограниченном интервале [latex][a,b][/latex]; если [latex]z[/latex] — любое вещественное число между [latex]f(a)[/latex] и [latex]f(b)[/latex], то существует число [latex]c[/latex] ] в [латексе][а,б][/латексе], удовлетворяющем [латекс]f(c)=z[/латекс]
            разрыв скачка
            Разрыв скачка происходит в точке [латекс]а[/латекс], если [латекс]\недостаток{х\к а^-}{\lim}f(x)[/латекс] и [латекс]\недостаток{х \to a^+}{\lim}f(x)[/latex] оба существуют, но [латекс]\underset{x\to a^-}{\lim}f(x) \ne \underset{x\ к a^+}{\lim}f(x)[/latex]
            съемная несплошность
            Устранимая несплошность возникает в точке [латекс]а[/латекс], если [латекс]f(x)[/латекс] разрывается в [латекс]а[/латекс], но [латекс]\недостаточно{х\к a}{\lim}f(x)[/latex] существует

            Свойства непрерывных функций — Mathonline

            Свойства непрерывных функций

            Эта страница предназначена для использования в разделе реального анализа Math Online. Подобные темы также можно найти в разделе сайта «Исчисление».

            Свернуть

            Содержание

            Свойства непрерывных функций

            Теперь мы рассмотрим целый ряд теорем о непрерывности функций в точке $c$ их области определения.

            Теорема 1: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ и $g : A \to \mathbb{R}$ — непрерывные функции в $c \in A$. Тогда функция $f + g$ непрерывна в точке $c \in A$.
            • Доказательство: Пусть $f$ и $g$ — непрерывные функции в $c \in A$.
            • Так как $f$ непрерывна в $c$, то для $\epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2} > 0$ существует $\delta_1 > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\ mid x — c \mid < \delta_1$, тогда $\mid f(x) - f(c) \mid < \epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2}$.
            • Аналогично, поскольку $g$ непрерывна в $c$, то для $\epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2} > 0$ существует $\delta_2 > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \delta_2$, то $\mid g(x) - g(c) \mid < \epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2}$.
            • Теперь мы хотим показать, что $\forall \epsilon > 0$, тогда $\существует \delta > 0$ такое, что если $\mid x — c \mid < \delta$, то $\mid (f(x) + g(x)) - (f(c) + g(c)) \mid < \epsilon$. Пусть $\delta = \mathrm{min} \{\delta_1, \delta_2 \}$. Тогда:

            (1)

            \begin{align} \quad \quad \mid (f(x) + g(x)) — (f(c) + g(c)) \mid = \mid (f(x) — f(c )) + (g(x) — g(c)) \mid ≤ \mid f(x) — f(c) \mid + \mid g(x) — g(c) \mid < \epsilon_1 + \epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}

            • Следовательно, $f + g$ непрерывна в $c$. $\blacksquare$

            Аналогичное доказательство можно построить, чтобы показать, что $f — g$ также непрерывно в $c \in A$.

            Теорема 2: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция в $c \in A$, и пусть $k \in \mathbb{R}$. Тогда функция $kf$ непрерывна в точке $c \in A$.
            • Доказательство: Пусть $f$ непрерывна в $c \in A$ и пусть $k \in \mathbb{R}$.
            • Сначала рассмотрим случай, когда $k = 0$. Тогда $kf$ будет постоянной функцией нуля, для которой мы установили, что постоянные функции непрерывны для всех $\mathbb{R}$.
            • Теперь предположим, что $k \neq 0$. Так как $f$ непрерывна в $c \in A$, то для $\epsilon_0 = \frac{\epsilon}{\mid k \mid} > 0$ существует $\delta_0 > 0$ такое, что если $x \ в A$ и $\mid x — c \mid < \delta_0$, то $\mid f(x) - f(c) \mid < \epsilon_0$.
            • Мы хотим показать, что $\forall \epsilon > 0$ $\существует \delta > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \delta$, то $\mid kf (x) - kf(c) \mid < \epsilon$.
            • Пусть $\delta = \delta_0$ и так:

            (2)

            \begin{align} \quad \mid kf(x) — kf(c) \mid = \mid k(f(x) — f(c)) \mid = \mid k \mid \mid f(x) ) — f(c) \mid < \mid k \mid \epsilon_1 = \mid k \mid \frac{\epsilon}{\mid k \mid} = \epsilon \end{align}

            • Следовательно, $kf$ непрерывна в $c$. $\blacksquare$

            Приведенные ниже теоремы 3, 4, 5 и 6 касаются произведения и частного двух непрерывных функций, а также абсолютного значения и квадратного корня непрерывной функции. Все эти результаты мы уже видели в отношении последовательностей и пределов, и их доказательства аналогичны.

            Теорема 3: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ и $g : A \to \mathbb{R}$ — непрерывные функции в $c \in A$. Тогда функция $fg$ непрерывна в точке $c \in A$.
            Теорема 4: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ и $g : A \to \mathbb{R}$ — непрерывные функции в $c \in A$. Тогда функция $\frac{f}{g}$ непрерывна в точке $c \in A$, если $g(c) \neq 0$.
            Теорема 5: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция в точке $c \in A$. Тогда функция $\mid f \mid$ непрерывна в точке $c \in A$.
            • Доказательство: Пусть $f$ — непрерывная функция в точке $c \in A$.
            • Так как $f$ непрерывна в $c$, то $\forall \epsilon > 0$ $\существует \delta > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \ delta$, то $\mid f(x) - f(c) \mid < \epsilon$.
            • Мы хотим показать, что $\mid f \mid$ также непрерывна в $c$, то есть $\forall \epsilon > 0$ $\существует \delta > 0$ такое, что если $x \in A$ и $\mid x — c \mid < \delta$, то $\mid \mid f(x) \mid - \mid f(c) \mid \mid < \epsilon$. Теперь обратите внимание на одно из следствий Неравенства Треугольника, что:

            (3)

            \begin{align} \quad \mid \mid f(x) \mid — \mid f(c) \mid \mid ≤ \mid f(x) — f(c) \mid < \epsilon \end{ align}

            • Следовательно, $\mid f \mid$ непрерывен в $c$. $\blacksquare$
            Теорема 6: Пусть $f : A \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция в точке $c \in A$ такая, что $f(x) ≥ 0$ в точке $c \in A$ . Тогда функция $\sqrt{f}$ непрерывна в точке $c \in A$.

            Следует отметить, что теоремы 1-6 можно обобщить так, что если $f$ и $g$ непрерывны на всех $A$ или даже на всех $B \subseteq A$, то все предыдущие результаты верны. .

            Если не указано иное, содержимое этой страницы находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License

            Непрерывная функция — условия, перерывы и примеры

            Вы когда-нибудь слышали о функции, описываемой как непрерывная в прошлом? Это функции, графики которых не содержат дырок, асимптот и разрывов между кривыми. Эти «хорошие» графики, с которыми мы сталкивались в прошлом, называются непрерывными функциями.

            Непрерывные функции — это функции, которые выглядят гладкими повсюду, и мы можем изобразить их, не отрывая собственных ручек.

            Мы также можем оценить непрерывность функции с помощью ограничений и высшей математики — и это наша цель в этой статье.

            • Мы узнаем об условиях непрерывных функций.
            • Мы применим наши методы для оценки пределов, чтобы подтвердить, является ли функция непрерывной.
            • Применять также графические методы, чтобы определить, является ли график непрерывным или нет.

            В исчислении мы снова столкнемся с непрерывными функциями, поэтому изучение их сейчас может быть полезным, особенно для тех, кто скоро перейдет к дифференциальному исчислению. Почему бы нам не пойти дальше и не понять, что представляют собой эти функции?

            Что такое непрерывная функция?

            Непрерывные функции — это функции, которые не имеют ограничений во всей своей области или заданном интервале. Их графики также не будут содержать ни асимптот, ни признаков разрывов. 92 – x + 10$, как показано ниже, является отличным примером графика непрерывной функции. Как видно, график проходит как по положительной, так и по отрицательной стороне оси $x$.

            Забавный факт: все полиномиальные функции считаются непрерывными во всей своей области определения, поскольку они не имеют ограничений в своей области определения.

            Мы также можем определять непрерывные функции на основе свойств их функций. Мы узнаем больше об определении непрерывных функций в следующем разделе, а также узнаем, как идентифицировать функции, которые не являются непрерывными.

            Как определить, является ли функция непрерывной?

            В этом разделе мы обсудим более формальные условия, которым должна удовлетворять функция, прежде чем мы сможем установить, что она непрерывна во всей области определения или заданном интервале.

            Это также поможет нам в процессе подтверждения того, является ли данная функция непрерывной или нет.

            Определение непрерывной функции

            Функция также является непрерывной в точке $x = a$, если она удовлетворяет всем трем условиям, показанным ниже:

            • Функция определена в $a$ или, другими словами, $a$ является частью домена $f(x)$.
            • Должен существовать предел функции при приближении $x$ к $a$.
            • Наконец, значения $f(a)$ и $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ должны быть равны.

            Это определение также поможет нам определить, является ли функция непрерывной.

            Помните, мы упоминали, что все полиномиальные функции непрерывны во всей области определения?

            Мы можем проверить это, используя три условия: 92 +1$, полиномиальная функция, точнее квадратичная функция.

            Только осмотром мы видим, что в выбранных точках значение $f(x)$ будет равно пределу $f(x)$.

            • Например, при $x = 2$ и $x = -2$ оба значения определены и являются частью области определения $f(x)$.
            • Предел $f(x)$ при приближении $x$ либо к $-2$, либо к $2$ также определен с обоих концов.
            • Мы также видим, что $\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2) = 5$ и $\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) = 5$. 92 + 1$ будет непрерывным.

              Что произойдет, если функция в точке $x = a$ не удовлетворяет трем условиям? В следующем разделе будут подробно обсуждаться разрывы. Мы также узнаем, как мы можем определить функции, которые на этот раз не являются непрерывными, и посмотрим, как мы можем переписать функцию, чтобы она стала непрерывной.

              Понимание прерывности

              Когда мы хотим понять непрерывность, нам также важно понять обстоятельства и условия, когда данная функция 9{+1}} f(x) = 4$. Отсюда мы видим, что, поскольку регулярного предела не будет, второе условие непрерывности функций не будет применяться.

              Разрывы скачков часто встречаются в кусочных функциях, поэтому всегда проверяйте односторонние пределы для этих типов функций.

              Устранимый разрыв

              Этот тип разрыва часто встречается в рациональных функциях – дыры рациональных функций фактически считаются устранимыми разрывами. Устранимые разрывы возникают, когда функция не определена при $x = a$. 92 -9},&\text{где } x \neq 3\\ \dfrac{1}{2},&\text{где }x = 3\end{matrix}\right.$

              Теперь у нас есть непрерывная функция после учета отверстия!

              Разрыв с вертикальными асимптотами

              Когда функция содержит вертикальную асимптоту в точке $x=a$, функция имеет разрыв и в точке $x=a$.

              Приведенный выше график является примером функции, которая не является непрерывной из-за разрыва в точке $x = 3$. Обратите внимание, как при приближении $x$ слева от $3$ функция приближается к $-\infty$? Точно так же, когда $x$ приближается справа от $3$, функция приближается к $\infty$.

              Это означает, что предел функции не существует и, следовательно, делает ее не непрерывной. По этой же причине другое название этой прерывности — бесконечная прерывность .

              Имейте в виду, что функция может содержать более одного разрыва, поэтому лучше перепроверьте график или пределы вашей функции.

              Теперь, когда мы рассмотрели возможные условия, при которых функция может быть не непрерывной, почему бы нам не перейти к изучению других важных свойств непрерывных функций?

              Каковы другие важные свойства непрерывных функций?

              Теперь мы научились идентифицировать непрерывные функции и умеем оценивать функции на наличие разрывов. Эти свойства ниже помогут нам подтвердить и доказать, является ли функция непрерывной, используя более простые функции.

              Свойство 1: $\boldsymbol{k \cdot f(x)}$

              Когда $k$ — константа, а $f(x)$ — непрерывная функция при $x = a$, тогда $k\cdot f(x)$ также непрерывна в точке $x= a$.

              Свойство 2: $\boldsymbol{f(x) + g(x)}$

              Когда $f(x)$ и $g(x)$ являются непрерывными функциями, когда $x = a$ , то результирующая функция при сложении $f(x)$ и $g(x)$ также будет непрерывной в точке $x =a$.

              Свойство 3: $\boldsymbol{f(x) – g(x)}$

              Когда $f(x)$ и $g(x)$ являются непрерывными функциями, когда $x = a$ , то разность между функциями также будет функцией, непрерывной при $x = a$.

              Свойство 4: $\boldsymbol{f(x) \cdot g(x)}$

              Если функции $f(x)$ и $g(x)$ являются непрерывными функциями при $x = a$ произведение двух функций также непрерывно в точке $x = a$.

              Свойство 5: $\boldsymbol{\dfrac{f(x)}{g(x)}}$

              Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны, когда $x = a$ и $g(a)\neq 0$, отношение $f(x)$ и $g(x)$ также непрерывно при $x = a$.

              Недвижимость 6: $\boldsymbol{f(g(x))}$

              Когда $g(x)$ непрерывна в точке $x = a$ и $f(x)$ непрерывна в точке $x = g(a)$ , то $f(g(x))$ также будет непрерывным в точке $x = a$.

              Общие непрерывные функции

              Вот некоторые из функций, с которыми вы, возможно, сталкивались в прошлом и которые, как известно, являются непрерывными в своей области.

              • Функция синуса: $y = \sin x$
              • Функция косинуса: $y = \cos x$
              • Функция тангенса: $y = \tan x$ 9x$
              • Натуральный логарифм: $y = \ln x$

              Вы можете задаться вопросом, касательная и радикальная функции имеют ограничения, так как же они непрерывны? Именно здесь важно подчеркнуть, что эти функции непрерывны только в своей области .

              Например, $\sqrt{x – 1}$ имеет область определения $[0, \infty)$, поэтому ожидается, что она будет непрерывной в интервале $[0, \infty)$. То есть, если спросить, непрерывна ли $\sqrt{x – 1}$ при $x = -2$, конечно, не будет, так как функция не определена при $x = -2$.

              Это может помочь вам идентифицировать непрерывные функции (наряду со свойствами, рассмотренными выше), особенно когда они имеют сложные выражения.

              Давайте продолжим и попробуем больше примеров, чтобы лучше понять непрерывные и разрывные функции.

              Пример 1

              Заполните пропуски, чтобы сделать следующие утверждения верными.

              а. Если $f(2) = -24$ и $f(x)$ — непрерывная функция, то $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ равно ____________.
              б. Если $g(x)$ имеет дырку в $(5, 4)$, то функция не является непрерывной в ____________.
              в. Если h(x) содержит вертикальную асимптоту при $x = -1$, то функция не является непрерывной при _________.

              Решение

              Напомним, что когда функция и ее предел определены при $x = a$, третье условие требует, чтобы значения двух были равны.

              а. Это означает, что для непрерывности $f(x)$ $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ также должно быть равно $\boldsymbol{-24}$.
              Когда функция имеет дырку в точке $(a, b)$, существует устранимый разрыв в точке $x = a$.
              б. Поскольку $g(x)$ имеет дырку в точке $(5, 4)$, она имеет устранимый разрыв в точке $x$-координаты дырки. Это означает, что $g(x)$ не является непрерывным в $\boldsymbol{x = 5}$.
              Когда функция содержит вертикальную асимптоту, ее значение и предел не будут определены при значении вертикальной асимптоты.
              в. Используя эту информацию, $h(x)$ непрерывен во всей области определения, за исключением того, что он равен $-1$. Следовательно, функция непрерывна при $\boldsymbol{x = -1}$. 92 + 8 = -56$.

            • Для полиномиальных функций $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$, поэтому $\lim_{x \rightarrow 4} f(4) = -56$.
            • Это также означает, что $\lim_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4)$.

            Как мы уже говорили в предыдущих разделах, все многочлены непрерывны.

            а. Все это подтверждает, что $\boldsymbol{f(x)}$ является непрерывной функцией .

             Мы можем проверить вторую функцию, $g(x) = \dfrac{5x + 1}{2x  – 3}$, используя тот же процесс. {-}} f(x)$ 92 – 2x}{4x}&= \dfrac{2x(x – 2)}{2(2x)}\\&= \dfrac{\cancel{2x}(x – 2)}{2\cancel{(2x )}}\\&=\dfrac{x-2}{2}\end{aligned}$

            Поскольку числитель и знаменатель $f(x)$ имеют общий множитель $2x$, дыра в $x = 0$.

            Чтобы найти $y$-координату дыры, мы можем подставить $x = 0$ в упрощенную форму $f(x)$.

            $\begin{aligned}f(x) &= \dfrac{x-2}{2}\\ f(0)&= \dfrac{0-2}{2}\\&=-1\end {выровнено}$

            c. Так как $f(x)$ имеет дырку и, следовательно, разрыв при $x = 0$. Поскольку у нас есть разрыв в дырке, $f(x)$ 92 – 6x + 8} = \dfrac{x – 4}{(x -2)(x – 4)}$.

            Поскольку $x – 4$ является общим множителем, общим для числителя и знаменателя $f(x)$, в точке $x = 4$ имеется пробел. Найдите координату $y$, подставив $x=4$ в упрощенную форму $f(x)$.

            $\begin{align}f(x)&= \dfrac{\cancel{x – 4}}{(x -2)\cancel{(x – 4)}}\\&= \dfrac{1} {x -2}\\\\f(4)&= \dfrac{1}{4 -2}\\&= \dfrac{1}{2}\end{aligned}$

            Из упрощенной формы $f(x)$, $\dfrac{1}{x – 2}$, мы видим, что $f(x)$ также будет иметь вертикальную асимптоту при $x = 2$. 2 – 5M(1) – N\\&=3 – 5M – N \end{выровнено}$ 9{+}} f(x)\\3 – 5M – N &= -6\\-5M – N &= -9\\ 5M + N&=9\end{aligned}$

            Это означает, что $M$ и $N$ должны удовлетворять одновременным уравнениям $2N – 6M = 3$ и $5M + N = 9$. Давайте применим полученные знания при решении систем линейных уравнений, чтобы найти $M$ и $N$.

            • Выделить $N$ из второго уравнения.
            • Подставьте это выражение в первое уравнение, чтобы найти $M$.
            • Используйте значение $M$, чтобы найти $N$.

            $\begin{align}5M + N &= 9\\N&= 9- 5M\\\\2N – 6M &= 3\\2(9 – 5M) – 6M &= 3\\18 – 10M- 6M&=3\\18 – 16M &= 3\\- 16M &= -15\\ M&= \dfrac{15}{16}\end{aligned}$

            Используя $M = \dfrac{15}{16}$, теперь мы можем найти $N$, используя $N = 9-5 миллионов долларов.

            $\begin{align}N&= 9- 5\left(\dfrac{15}{16}\right)\\&=9 – \dfrac{75}{16}\\&= \dfrac{69} {16}\end{aligned}$

            Это означает, что для того, чтобы $f(x)$ была непрерывной, нам нужно, чтобы $M$ и $N$ были равны $\dfrac{15}{16}$ и $\dfrac{69}{16}$ соответственно.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.