Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ 4 ΡΠΈΡΡ?
ΠΡΠΎΡΠ΅Π΅ βΊ ΠΠΎΠ΄ βΊ Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ²?
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 9999. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ 10 000. ΠΡΠ²Π΅Ρ: 10 000 ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ.
- ΠΠ°ΠΊ ΡΠ³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1 2 3 4?
- ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ?
- ΠΠ°ΠΊ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ?
- ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Ρ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ?
- ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ·?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 3 ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 3 ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ?
- ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π² ΠΈΠ³ΡΠ΅ 4 ΠΈΠ· 20?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 999 ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π² ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠΊΠ΅?
- ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Ρ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ 6 Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1 2 3 4 Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· 1 2 3 4 5?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1 2 3 4?
- ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π»ΡΠ΄ΠΈ ΡΡΠ°Π²ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»ΠΈ?
- Π§ΡΠΎ Π»ΡΠ΄ΠΈ ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ?
- Π§ΡΠΎ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ?
- ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ?
- Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 3 ΡΠΈΡΡ?
- ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ?
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ?
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ 4-Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ
ΠΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΡ ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ = Π’ΠΠΠ‘Π’ (Π‘Π’Π ΠΠΠ (A1) -1; Β«0000Β») Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Enter Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡΡ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π΄Π΅ΡΠΊΡΠΈΠΏΡΠΎΡ Π°Π²ΡΠΎΠ·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1 2 3 4?
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ: 4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ?
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ ΠΎΡ 0000 Π΄ΠΎ 9999.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ?
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: nCr = n! / Ρ! (Π½-Ρ)!
ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Ρ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ?
0000, 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ pin-ΠΊΠΎΠ΄ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΡΡ: 10 / 10000 = 0,001. ΠΡΠ²Π΅Ρ: 0,001.
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡ?
ΠΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ k ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄: Ckn=n!(nβk)!β k!.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ·?
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 120 ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡ 1, 3, 5, 7 ΠΈ 9 ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ Π² Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΡΡ. 3=1000. ΠΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΡΠΉ Π·Π°ΠΌΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ 1000 ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π½Ρ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ 6 Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄?
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΡ β 50%. Π Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ β ΡΠΆΠ΅ 85%.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ?
ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ 6 ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ: 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 = 66 = 46 656.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ?
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ N=6, ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ N!, 6!= 720 Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ².
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1 2 3 4 Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ 120 ΡΠΈΡΠ΅Π», Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π½ΠΈΡ .
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· 1 2 3 4 5?
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1, 2, 3, 4, 5? Π ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠΌΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ? = 5Γ 4Γ3 = 60.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1 2 3 4?
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 48 ΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π»ΡΠ΄ΠΈ ΡΡΠ°Π²ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»ΠΈ?
Π’ΠΎΠΏ-10 ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π² Π ΠΎΡΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ:
- 123456;
- qwerty;
- 123456789;
- 12345;
- password;
- qwerty123;
- 1q2w3e;
- 12345678;
Π§ΡΠΎ Π»ΡΠ΄ΠΈ ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ?
Π‘Π°ΠΌΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»ΠΈ β ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡ
ΠΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 123456) ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 111111) ΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π°ΡΡΡΡ Π² 8 ΠΈΠ· 10 ΠΈ 13 ΠΈΠ· 30 ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ.
Π§ΡΠΎ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Ρ?
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π±ΡΠΊΠ²Ρ.ΠΠ°ΡΠΎΠ»ΠΈ ΠΠ ΠΠΠΠΠΠ« ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·:- ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΈΠ»ΠΈΠΈ Π½ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ (Ρ.
- ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° (login) Π½ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
- ΠΠΌΠ΅Π½ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΉ(Π΅Π³ΠΎ) ΡΡΠΏΡΡΠ³ΠΈ(Π°) ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΡΠ΅ΠΉ.
- ΠΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅.
- Π’ΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ Π±ΡΠΊΠ².
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ?
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
- Π‘ΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ Π½Π°Ρ Π±Π»ΠΎΠΊΠΎΠ² β 4 ΡΡΡΠΊΠΈ.
- ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠΈΠΊΠ».
- ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΊΠ».
- ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΠΊΠ».
- ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²ΡΡΡΡΠΉ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΠΊΠ».
- ΠΠ½ΡΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π· ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π±Π»ΠΎΠΊ Π½Π΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π»ΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 3 ΡΠΈΡΡ?
3 = 60 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΠΈΡΡ, Ρ. Π΅. ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π΅ΡΡΡ 60. (ΠΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»: 243, 541, 514, 132, )
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· 6 ΡΠΈΡΡ?
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ N=6, ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ N!, 6!= 720 Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ².
ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Ρ «ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ°»
ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ° — ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ². ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠΈΠΉ, Ρ.ΠΊ. ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ
ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ k Π³ΡΡΠΏΠΏ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ i-Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· n i ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ N ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠΎΡΡΠ½ΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅. ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· n 1 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ — ΠΈΠ· n 2 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π² ΠΏΠ°ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ? ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΌΡ Π²Π·ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΈ, Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΅Π³ΠΎ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΡΠ°Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ, ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΡ ΠΏΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ n 2 . ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΡ ΠΏΠ°Ρ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ n 2 . Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ n 1 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ n 1 *n 2 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ
ΡΡΠ΅Ρ
Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Π΅ΡΠ»ΠΈ
ΡΠΈΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: n 1 =6
(Ρ.ΠΊ. Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7
(Ρ.ΠΊ. Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6), n 3 =4 (Ρ.ΠΊ. Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· 0, 2, 4,
6).
ΠΡΠ°ΠΊ, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.
Π ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Ρ.Π΅. n 1 =n 2 =…n k =n ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π³ΡΡΠΏΠΏΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ n k . Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ
Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 1, 5, 6, 7, 8?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΡΠ΄Π°
ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ
Π·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ N=5*5*5*5=5 4 =625.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡΡ .
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ m
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ m Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΈΠ· m ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ· Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² {1, 2, 3} ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° Π±ΡΠ΄ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΡ (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ A n m ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: n!=1*2*3*…*n (ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ: «ΡΠ½ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ°Π»»), ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ 0!=1.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5 . Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄Π²ΡΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π», Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠΈΡΡΠ° Π΄Π΅ΡΡΡΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅
ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Ρ.ΠΊ. Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΡ
ΠΏΡΡΡ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ 1, 3, 5, 7, 9, ΡΠΎ ΡΡΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ Π²ΡΠ±ΠΎΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°
Π΄Π²Π΅ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ
ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΡ, Ρ. Π΅. ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» Π±ΡΠ΄Π΅Ρ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ m Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΈΠ· m ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ· Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6 . ΠΠ»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° {1, 2, 3}ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ m
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ C n m ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΡ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΠΈ ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎ Π΄Π²Π΅, Ρ.Π΅. ΡΠ°Π²Π½ΠΎ:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7a. ΠΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² {1, 2, 3} ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ P n ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ P n =n!.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π°Π²ΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠ΅ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠ΄?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΡΡΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³. ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³.ΠΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ) ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ, Ρ.ΠΊ. ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² Π½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΡ (Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ° Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²).
ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½Π°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Ρ.
Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² Π½Π°Π±ΠΎΡΠ΅. ΠΠΎΡΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9. ΠΠ° ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠΎΠ±ΡΠ°Π½ΠΈΠΈ
ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 20 ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π°
ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π²ΠΎΠΉΡΠΈ 5 ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ?
ΠΠ½Π°ΡΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΎΡΡΡ Π΄Π΅Π»Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠ° ΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°Π΅Ρ Π·Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΈΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠ°, Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π½Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ 5! Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ (ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Ρ, ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ) Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 20 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ 5.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ
1. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ΅Ρ
Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ?
Π’.
2. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ?
ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΡΡ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ° ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ 0, Ρ.Π΅. 9 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΡΡ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ°, Ρ.Π΅. 10 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΠ° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΡΡ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ° ΠΈΠ·, Ρ.Π΅. 10 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. Π§Π΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» 9*10*10=900.
3. Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡΡΡ ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ² Π² Π΄Π΅Π½Ρ. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅Π½Ρ?
4. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ 4 Π΄Π΅Π»Π΅Π³Π°ΡΠ° Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π³ΡΡΠΏΠΏΠ΅ 20 ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ?
n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16!))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ 1 ΠΈΠ· Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΡ ΡΡ, Π² ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ. Π΄. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. ΠΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡΠΎΠ² Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΠΈ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡΠΎΠ². Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ?
ΠΡΡΠ·ΡΡ! Π Π°Π· ΡΠΆ Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ²ΡΠΉ Π±Π»ΠΎΠΊΠ½ΠΎΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ-ΠΊΠ° Ρ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π²Π°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΊΡ, Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΠ΅ΡΠ° Π±ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°, Π΄Π²Π° ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡΠ°, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅Ρ ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π³ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΉ. ΠΡ ΡΠ»ΠΎΠΌΠ°Π»ΠΈ ΡΠ΅Π±Π΅ Π²Π΅ΡΡ ΠΌΠΎΠ·Π³ ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ. ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π²Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΡΡ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅, Π·Π°Π΄Π°ΡΠΊΠ° Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠ°Ρ, Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°. ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π±ΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π½ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ-ΡΠΎ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Ρ. ΠΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΡΠΎΡΠΈΡ.
ΠΠ½Π΅ Π²ΡΠ΄Π°Π»ΠΈ Π½ΠΎΠ²ΡΡ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΡΡ ΠΊΠ°ΡΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ, ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ³Π°Π΄Π°Π»Π° Π΅Π΅ ΠΏΠΈΠ½-ΠΊΠΎΠ΄. ΠΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΄. Π ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΏΠΈΠ½-ΠΊΠΎΠ΄ Π±ΡΠ» 8794, Π° Ρ Π½Π°Π·Π²Π°Π»Π° 9748. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Ρ ΡΡΠΈΡΠΌΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ³Π°Π΄Π°Π»Π° Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π»ΠΈΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅. ΠΡ Π΄Π°, Π½Π΅ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ , Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Ρ Π³Π°Π΄Π°Π»Π°. ΠΠΎ ΡΠΈΡΡΡ-ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠ΅! ΠΠ ΠΠΠΠ§ΠΠΠΠ — Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π»Π° Π½Π°ΡΠ³Π°Π΄, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΌΠ½Π΅ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π»Π° Π² Π΄ΡΡ Π΅: Π²ΠΎΡ ΡΡΡ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½Π΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ, ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ 9, 7, 4 ΠΈ 8, Π° ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΡ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½. ΠΡ ΡΡΡ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² (Π½Π°Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΊΡΡΡΠΎ, ΡΡΠΎ Ρ Π²ΠΎΡ Π²Π·ΡΠ»Π° ΠΈ ΡΠ³Π°Π΄Π°Π»Π°). Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΈΠ· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ? Π ΡΡΡ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΡ Π°Π΄. Π£ Π½Π°Ρ Π²Π΅ΡΡ Π²Π΅ΡΠ΅Ρ Π²Π·ΡΡΠ²Π°Π»Π°ΡΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π°, ΠΈ Ρ Π²ΡΠ΅Ρ , Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅, Π²ΡΡΠ»ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°! Π― Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π² Π±Π»ΠΎΠΊΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΄ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΠ»Π°, ΡΡΠΎ ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅Π½ (Π²ΠΎ Π²ΡΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ³Π»ΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° Π’ΡΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π΅ΡΡΠ» ΠΌΠ΅Π½Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΈ, Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ) — ΠΈ ΡΠ΄Π°Π»Π°ΡΡ.
Π‘ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ³Π°Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ (Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅) ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅?
ΠΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ (Ρ Π³ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ΅, Ρ ΠΎΡΡ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠΈΡΠ°Π»Π° ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΡΡ ΡΠ»Π°Π±ΠΎΡΡΡ), ΡΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΡΠ½Π΅Π΅ ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΠ΅. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠ΄Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 9999? (ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, Π½Π΅ ΠΏΡΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΎ Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ «ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠΈΡΡ»!! ! ΡΠΈΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ! Π² ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, 2233 ΠΈ 3322 — ΡΡΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠ° ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ!!).
ΠΠ»ΠΈ Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½Π΅Π΅. ΠΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π° ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· Π΄Π΅ΡΡΡΠΈ. ΠΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΄.
ΠΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΡΡ ΠΏΠΈΠ½-ΠΊΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΡΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅, Π»ΡΠ΄ΠΈ Π΄ΠΎΠ±ΡΡΠ΅! Π’ΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ, Π½Π΅ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠΈΡ 9999 (Π²ΡΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ ΠΏΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»Ρ), ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π³Π»ΡΠΏΠΎΡΡΠΈ — Π²Π΅Π΄Ρ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΡΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 1234, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3421, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 4312 ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅! ΠΡ ΠΈ Π΄Π°, ΡΠΈΡΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ, Π²Π΅Π΄Ρ Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠΈΠ½-ΠΊΠΎΠ΄ 1111 ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 0007. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΏΠΈΠ½-ΠΊΠΎΠ΄Π° Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ? ΠΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ — ΠΈΠ· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ?
ΠΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π²ΡΠ΅ΡΠ° ΠΈ ΡΠ°ΠΊ ΡΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠ²ΠΈΡ Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ. ΠΠ°ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΏΠ°ΡΠΈΠ±ΠΎ!
P.S. ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΌΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΡ, Ρ ΡΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ΄Π°ΡΠΈΠ² ΠΌΠ½Π΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ: «ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅: Ρ Π½Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ-ΠΊΠΎΠΌΠΏ ΡΠ»ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅: Π·Π°ΠΌΡΠΆ ΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ΄ΠΎΡΡ. ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½Π° Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²Π°Π» Π½Π΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Β«ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΒ», Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Β«ΡΡ ΡΡ Π»ΠΈ Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Ρ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΡΒ»? Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ-ΡΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ:)
ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ m ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠΌ.
ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ
ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΡΡΡΡΡ Π² Π»Π΅ΠΊΡΠΈΠΊΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ Ρ 1, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, 1 2 3 4 5.
Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° m = 3.
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈΠ½ΠΈΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° m — ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ
1 2 3
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, Ρ. Π΅. i = 3. ΠΡΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ n — m + i, ΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠ½ΠΊΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° 1.
1 2 4
Π‘Π½ΠΎΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΈ ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΎΠ½ ΠΈΠ½ΠΊΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ.
1 2 5
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌΡ: n — m + i = 5 — 3 + 3 = 5, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Ρ i = 2.
ΠΡΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ n — m + i, ΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠ½ΠΊΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° 1, Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
Π·Π° Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠ»ΡΡ 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° Π΄Π»Ρ i = 3.
1 3 5
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ — ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° Π΄Π»Ρ i = 2.
1 4 5
ΠΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Π Π΄Π°Π»Π΅Π΅,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ n — m + i.
ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ PIN-ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π² ΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΠ°ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅, Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ, ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π»ΡΠ΄ΠΈ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Ρ.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ° ΠΠ΅ΠΌΠ±ΡΠΈΠ΄ΠΆΠ° SΓΆren Preibusch ΠΈ Ross Anderson ΠΈΡΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ, ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π² ΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ³Π°Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ 4-ΡΠΈΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Π°.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ± ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π½Π΅Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π°Π½ΠΊΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊ Π²ΡΠ±ΠΎΡΡ PIN-ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ·Π½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΊ Π²ΡΠ±ΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π΄Π»Ρ Π²Π΅Π±-ΡΠ°ΠΉΡΠΎΠ²: Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠΈΡΡ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ, ΠΈ Π΄Π½ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, — ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅Π·Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π»ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ Π·Π°Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄.
ΠΡΠΏΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ» Π½Π°Π±ΠΎΡ 4-ΡΠΈΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΠΏΠ°ΡΠΎΠ»ΡΡ ΠΈΠ· Π±Π°Π·Ρ RockYou (1.7 ΠΌΠ»Π½), ΠΈ Π±Π°Π·Ρ ΠΈΠ· 200 ΡΡΡΡΡ PIN-ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π±Π»ΠΎΠΊΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° iPhone (Π±Π°Π·Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΡΠΈΠΊ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Daniel Amitay). Π Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ , ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ, ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ — Π΄Π°ΡΡ, Π³ΠΎΠ΄Π°, ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠΈΡΡΡ, ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Ρ, Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π° 69. ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΡΠΈΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ΅Π³ΡΠ΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Π° Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ 25 ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², — Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠ΄ Π΄Π°ΡΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ ΠΠΠΠ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ, ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ΠΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ 79% ΠΈ 93% PIN-ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ 4-ΡΠΈΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ΄Ρ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΠ°ΠΊ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΈ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠ΅ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Ρ, 8-9% ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π° ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠΈ! ΠΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΊ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ΄Π°ΠΌ Π»ΡΠ΄ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π΅Π΅. ΠΠ²ΠΈΠ΄Ρ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΡ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 1300 ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ . Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΠΊΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Ρ ΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠ½Π΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΏΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈΡ ΠΊΠΎΠ΄Π°Ρ , Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· Π²ΡΡΠ΅Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ ΠΠΠΠ, ΠΈ Ρ.Π΄.).
ΠΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ΄ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΡΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π΅Π΅ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠ΅ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Ρ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ PIN, ΡΠ³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠΌ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠΈ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉ PIN-ΠΊΠΎΠ΄, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½Π°, Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΈΠ»Π΅ΡΠ°, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΌ. Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌ, 64% Π²Π»Π°Π΄Π΅Π»ΡΡΠ΅Π² ΠΊΠ°ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ PIN-ΠΊΠΎΠ΄, — ΡΡΠΎ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ 23-27% Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Ρ Ρ Π½Π΅-Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ. ΠΡΡ 5% ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 4545), Π° 9% ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ Π½Π° ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°ΡΡΡΠ΅ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 2684). Π ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ, Π·Π»ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΈΠΊ Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ (ΡΡΠΈ Ρ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠΌΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΡΠΈ Ρ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΠΌ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 2% ΡΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ PIN-ΠΊΠΎΠ΄ ΡΡΠΆΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΡΡ.
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡ | ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ | RockYou | iPhone | ΠΠΏΡΠΎΡ |
---|---|---|---|---|
ΠΠ°ΡΡ | ||||
ΠΠΠΠ | 2311 | 5.26 | 1.38 | 3.07 |
ΠΠΠΠ | 3876 | 9.26 | 6.46 | 5.54 |
ΠΠΠΠ | 1123 | 10.00 | 9.35 | 3.66 |
ΠΠΠΠ | 0683 | 0.67 | 0.20 | 0.94 |
ΠΠΠΠ | 1984 | 33.39 | 7.12 | 4.95 |
ΠΡΠΎΠ³ΠΎ | 58.57 | 24.51 | 22.76 | |
ΠΠ»Π°Π²ΠΈΠ°ΡΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ | ||||
ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠ΅ | 6351 | 1.52 | 4.99 | — |
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ | 1425 | 0.01 | 0.58 | — |
ΡΠ³Π»Ρ | 9713 | 0.19 | 1. 06 | — |
ΠΊΡΠ΅ΡΡ | 8246 | 0.17 | 0.88 | — |
Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ | 1590 | 0.10 | 1.36 | — |
Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ | 5987 | 0.34 | 1.42 | — |
ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ | 5683 | 0.70 | 8.39 | — |
Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ | 8520 | 0.06 | 4.28 | — |
ΠΡΠΎΠ³ΠΎ | 3.09 | 22.97 | 8.96 | |
Π¦ΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ | ||||
Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° 69 | 6869 | 0.35 | 0.57 | — |
ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΡΡ 0-3 | 2000 | 3.49 | 2.72 | — |
ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΡΡ 0-6 | 5155 | 4.66 | 5.96 | — |
ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ | 2525 | 2.31 | 4.11 | — |
ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ | 6666 | 0. 40 | 6.67 | — |
ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ | 3210 | 0.13 | 0.29 | — |
Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ | 4567 | 3.83 | 4.52 | — |
ΠΡΠΎΠ³ΠΎ | 15.16 | 24.85 | 4.60 | |
Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠΈΡΡ | 23.17 | 27.67 | 63.68 |
ΠΡΡ Π±Ρ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ, Π½ΠΎ, ΠΊ ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ (23%) Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅Ρ PIN-ΠΊΠΎΠ΄ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π°ΡΡ, — ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅Ρ Π΄Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅Π»ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ (99%) ΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠ½Π΄Π΅Π½ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ Ρ ΡΠ°Π½ΡΡ Π² Π±ΡΠΌΠ°ΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ Π±Π°Π½ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ° Π΄Π°ΡΠ° Π½Π°ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠ°Π½Π°. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π»ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΈΠΊ Π·Π½Π°Π΅Ρ Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π»ΡΡΠ° ΠΊΠ°ΡΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π³ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π΅ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ³Π°Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ PIN-ΠΊΠΎΠ΄Π° Π²Π·Π»Π΅ΡΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎ 9%.
100 ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ PIN-ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ²
0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.
P.S. ΠΠ° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, Π·Π»ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΈΠΊΡ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²Π°Ρ PIN-ΠΊΠΎΠ΄, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ³Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ. ΠΠΎ ΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄Π³Π»ΡΠ΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΡΠΈΡΠΈΡΡΡΡ — Π΄Π°ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ, Π² Π±Π΅Π·Π²ΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ:
ΠΠΠΠΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠΠ
ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ° — ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΠ° Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠΈΠΉ ΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½. ΠΡΠΎ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΏΡΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Π΅ ΠΈ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ΅.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ΅
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π ΠΈ Π Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Π°, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ m ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, Π° Π — n ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ (Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ n + m ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΡΡ 16 ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡΠ΅ΠΊ. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΆΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π΅Π²ΠΎΡΠΊΡ, Ρ.Π΅. Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· 16 ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠΎΠ², Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΠΈΠ· 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡΠ΅ΠΊ.
ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ 16+10=26 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ k Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ n 1 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ n 2 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ — n 3 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄ΠΎ k-Π³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ n k ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ k Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ:
ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.
Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΡΡ 16 ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡΠ΅ΠΊ. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΡΡ ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π΅Π²ΠΎΡΠΊΡ. Π’.ΠΊ. Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΡΡ 16 ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ 16+10=26 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΡ ΡΡ 25 ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, Ρ.Π΅. 25-Ρ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΆΡΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Ρ 26*25=650 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ m ΠΈΠ· n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ?
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π°ΡΠΎΠΊ 4 ΠΈΠ· 10 ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΌ ΠΈΠ· 10 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ 4, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 10 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ 4:
.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ: ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ r ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ²; ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ m () ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ (n*r) ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²?
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4.
Π ΠΊΠΎΠ½Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΡΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΈΡΡ 4 ΡΠΎΡΡΠ° ΠΏΠΈΡΠΎΠΆΠ½ΡΡ : Π½Π°ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΎΠ½Ρ, ΡΠΊΠ»Π΅ΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ΅Π½ΡΠ΅. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡΠΏΠΈΡΡ 7 ΠΏΠΈΡΠΎΠΆΠ½ΡΡ ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π’.ΠΊ. ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ 7 ΠΏΠΈΡΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΈΡΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°, ΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡΠΏΠΈΡΡ 7 ΠΏΠΈΡΠΎΠΆΠ½ΡΡ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· 7 ΠΏΠΎ 4.
.
Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ m ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌ m ΠΈΠ· n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²?
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5.
Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³Π°Π·Π΅ΡΠ΅ 12 ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°Ρ ΡΡΠΎΠΉ Π³Π°Π·Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° Π³Π°Π·Π΅ΡΡ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, Π° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°Ρ Π³Π°Π·Π΅ΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° Π³Π°Π·Π΅ΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 12 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ 4 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, 4 ΡΠΎΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π° 12 ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ 11880 ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ Π± ΡΠ°ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ m ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌ m ΠΈΠ· n ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², Ρ ΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅?
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6.
Π£ ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊΠ° ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΎΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ³ΡΡ ΡΡΠ°ΠΌΠΏΡ Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ 1, 3 ΠΈ 7. ΠΠ½ ΡΠ΅ΡΠΈΠ» Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΠΌΠΏΠΎΠ² Π½Π°Π½Π΅ΡΡΠΈ Π½Π° Π²ΡΠ΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΡΡΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°- ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°Π»ΠΎΠ³. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ°Π»ΡΡΠΈΠΊ?
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ . ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π½Π° n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ?
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Β«ΡΠ»ΠΎΠ²Β» ΠΈΠ· Π±ΡΠΊΠ² ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Β«Π±ΡΠ°ΠΊΒ»?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅Π½Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ 4 Π±ΡΠΊΠ²Ρ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Β«Π±ΡΠ°ΠΊΒ» (Π±, Ρ, Π°, ΠΊ). Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Β«ΡΠ»ΠΎΠ²Β» ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΈΡ 4 Π±ΡΠΊΠ², Ρ. Π΅.
ΠΠ»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ (Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ° Ρ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ), Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ n ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ n ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ k ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² (k
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π±ΡΠΊΠ² ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Β«ΠΠΈΡΡΠΈΡΠΈΠΏΠΈΒ»?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΄Π΅ΡΡ 1 Π±ΡΠΊΠ²Π° Β«ΠΌΒ», 4 Π±ΡΠΊΠ²Ρ Β«ΠΈΒ», 3 Π±ΡΠΊΠ²Ρ Β«cΒ» ΠΈ 1 Π±ΡΠΊΠ²Π° Β«ΠΏΒ», Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ 9 Π±ΡΠΊΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
ΠΠΠΠ ΠΠ«Π ΠΠΠΠ‘ΠΠΠΠ’ ΠΠ Π ΠΠΠΠΠΠ£ «ΠΠΠΠΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠΠ»
ΠΡΠ΅ N ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΠΎ ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ . ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Π² ΡΡΠ΄Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· N ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ N Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ². ΠΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ — Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠΆΠ΅ Π±ΡΠ» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· N ΡΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ
Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ (N — 1) Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ N*(N — 1).
ΠΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΄Π°. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠΉΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ — Π΄Π²Π° Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°, ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΄Π° ΠΈΠ· N Π½Π΅ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΡ
ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ N. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° N ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ N! (ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Β«ΡΠ½ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ°Π»Β»).
Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ΄Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΈ, ΠΈ ΠΈΡ
ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ N. ΠΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡΡΠ΄Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ M, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ M ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ
, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π² ΡΡΠ΄ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ
, ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½, Π½ΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Ρ
ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΡΡ N ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ (N — 1), ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ΠΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ
Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π° (N — M + 1), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½ΠΎ, ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ (N — M) Π½Π΅ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΡ (N — M + 1) Π΄ΠΎ N, ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ N!/(N — M)!.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΅ΡΡΡ M! Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N Π½Π° N!. ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ M ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· N ΡΠ°Π²Π½ΠΎ N!/(M!*(N — M)!).
ΠΠ΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ— ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ $4$-Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Ρ $3$ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π²ΡΠ΅ $3$ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ .
ΠΠ°Π΄Π°Π²Π°ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ
ΡΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»
ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ 4 Π³ΠΎΠ΄Π°, 3 ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ° Π½Π°Π·Π°Π΄
ΠΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΎ 14 ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π·
$\begingroup$
ΠΠΎΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ: Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΅ΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΈΡΡΡ $\{1,2,3\}$, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ ΠΌΠΎΠ³Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ?
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ:
$\{1,1,2,3\}$
$\{1,1,3,2\}$
$\{3,2,1,2\}$
$\{2,2,3,1\}$
ΠΠ΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ:
$\{1,1,2,1\}$ Π¦ΠΈΡΡΡ Π½Π΅Ρ $\{3\}$
$\ {1,1,3,3\}$ Π¦ΠΈΡΡΡ Π½Π΅Ρ $\{2\}$
$\{2,2,2,3\}$ Π¦ΠΈΡΡΡ Π½Π΅Ρ $\{1\}$
Π ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ? Π― ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ.
- Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ
- ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ
$\endgroup$
$\begingroup$
{1,2,3,A} ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ: 4x3x2x1=24
{1,2,3,1} ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ: 4x3x2x1/2=12, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ 1,1 Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ 1,A A,1
{1,2,3,1} ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ: 12
{1,2,3,2} ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ: 12
{1,2,3,3} ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ: 12
ΠΡΠΎΠ³ΠΎ: 12×3=36
ΠΠ°Π΄Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π»Ρ $2$ ΡΠΈΡΡ Π½Π° $4$ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΌΡ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ $2$ ΡΠΈΡΡΡ Π½Π° Π»ΡΠ±ΡΠ΅ $2$ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ $1$ (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΎΠ±Π΅). Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΅ΡΡΡ $2$ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ ΠΏΡΡΡΡ. ΠΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ 94=0,875$.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΡΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡ. ΠΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ΅ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡ (Π·Π΄Π΅ΡΡ Π²Ρ ΡΠΏΡΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ $(2)$). ΠΠ°Π΄Π΅ΡΡΡ, Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
ΠΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·ΠΊΠ°: ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΡΡ β ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ? ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ½ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ β ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ? ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π²Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ Π² ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΡΡ. ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΈΡΡ β ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ?
$\endgroup$
$\begingroup$
ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΠΈΡΡΡ $3$:
Π‘ΡΡΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ:
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΡ $3$ Π½Π° $4$ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ , Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΡ Π² ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ . ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ $3$ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ $1$.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΠΈΡΡ $3$ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ $1$ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΏΡΡΡΠΎ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ $3$ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ (ΡΡΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ $3$). 94= 4/9$.
$\endgroup$
1
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΡ 1000 Π΄ΠΎ 2999 Π²ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ?
$\begingroup$
ΠΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Ρ Ρ ΠΎΡΠ΅Π» Π±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ:
Π― ΠΈΠΌΠ΅Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 2000 ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ 1000 ΠΈ 2999 Π²ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅. ΠΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 2324 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ 2342, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΈΠ· 4 ΡΠΈΡΡ. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ — ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
- ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΡΠΈΡΠ»Π° 2341, 1432, 1342, 2431, 2143 ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ΅Π»: 1, 2, 3 ΠΈ 4.
ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ° ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 9ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ. (2222, 1111 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ).
Π§Π΅ΡΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ Ρ 1 ΠΈΠ»ΠΈ 2. ΠΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΏΡΠ΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ-ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΡ.
Π― ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π» ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠ°Π»ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ, Π½ΠΎ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ»ΡΡ…
Π― Π΄ΡΠΌΠ°Π», ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ 2000, Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π° 2! Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ 2 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡ. ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ 3 ΠΈΠ»ΠΈ 4 ΡΠΈΡΡ.
ΠΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·ΠΊΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΠ΄Π°. Π― ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠΌ, ΡΠ΅ΠΌ Ρ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ.
- ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ
$\endgroup$
2
$\begingroup$
ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π½Π° $0000-1999$
Π‘ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ $0$, ΠΌΡ, ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΈ, Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ (ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ), ΡΠ»Π°Π±ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΡ, $1\leq x \leq y \leq Π³ \leq9$
ΠΡΠΎ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ $1\leq x < (y+1) < (z+2) \leq 12= \binom{12}3 = 220$
ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½ΠΈ ΡΠΈΡΡΡ $0$, Π½ΠΈ $1$
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ans $ =\binom{12}3 + \binom{11}3 = 385$
$\endgroup$
$\begingroup$
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ ΠΎΡ 1000$ Π΄ΠΎ 1999$.