Первый замечательный предел как решать: Первый замечательный предел, следствия, примеры

Обновление: По состоянию на сентябрь 2022 года у нас есть гораздо дополнительных интерактивных способа узнать об основополагающей концепции пределов, активно используя графические калькуляторы Desmos. Пожалуйста, посетите нашу Главу Ограничений до действительно запишите этот материал для себя. Все это бесплатно и ждет вас!

I. Идея пределов и

Вам, наверное, уже говорили что-то вроде

Вы уже на пути к пониманию пределов, если это утверждение имеет для вас смысл, и вы можете посмотреть на рисунок, подобный приведенному ниже, и сразу увидеть, что
$$\lim_{x \to 2}f(x) = 4 $$
потому что независимо от того, движемся ли мы к $x=2$ слева или справа, мы приближаемся к высоте $y = 4$.

В этом случае пределом является просто значение функции при x = 2: $\displaystyle{\lim_{x \to 2}f(x)} = f(2) = 4$.

А в некоторых домашних заданиях и тестовых вопросах (если ваш учитель чувствует себя хорошо), чтобы найти предел, вы просто подставляете значение x в функцию и находите значение в этом месте. Мы назовем этот подход Тактика №1: Замена .

Пример 1 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 2}x+2}$.

Решение .
Давайте попробуем просто подставить $x=2$ в выражение:
$$\lim_{x \to 2}x+2 = 2 + 2 = 4 \quad \cmark$$

Это тот же предел, что показан на графике выше: на графике изображена функция $f(x) = x+2$, поэтому, приближаясь к $x =2$ слева или справа, мы приближаемся к фактическому значению функции по адресу $x=2$, то есть $y = f(2) = 4$.

В этом случае простая подстановка значения x = 2 в функцию работает: вы получаете число ($f(2) =4$), и все готово. Достаточно было простой техники «Подстановки».
[Конец примера 1.]

Пример 2 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to \pi/2}\sin x}$.

Решение .
Давайте снова попробуем Подстановку и установим $x = \dfrac{\pi}{2}$:
$$\lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}}\sin x = \sin \dfrac{ \pi}{2} = 1 \quad \cmark$$

График показывает $y = \sin x$. Когда вы приближаетесь к $x = \dfrac{\pi}{2}$ слева или справа, вы приближаетесь к высоте y = 1, которая является значением функции на $x = \dfrac {\pi}{2}$. Следовательно, предел как $x \to \dfrac{\pi}{2}$ sin x равен 1.

В этом случае снова работает подстановка: вы подставляете значение $x = \dfrac{\pi} {2}$, и вы получите число $\left(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =1 \right)$. Вы закончили; легкий. 92-4}{x-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$$

Это проблема. Давайте на мгновение остановим этот пример. . .

Почти во всех ваших домашних заданиях и тестовых вопросах, когда вы пытаетесь заменить, вы получите 0, деленное на 0. Затем вам понадобится другая тактика, чтобы найти предел.

Морщина : Нам не понадобилось бы понятие предела, если бы вы всегда могли просто подставить число и найти там значение функции. Вместо этого, правда в том, что когда вы попробуете замену почти со всеми домашними заданиями и контрольными вопросами, вы получите $\dfrac{0}{0}$, «ноль, деленный на ноль». Этот результат известен как неопределенный предел , что является причудливым способом сказать «еще не известно». Он говорит вам, что на самом деле ответ может быть любым — вы просто еще не знаете — и поэтому у вас есть еще над чем поработать.

В частности, результат   $\dfrac{0}{0}$  указывает на необходимость использования другого метода для нахождения предела. К счастью, три простые тактики позволят вам решить большинство проблем. Давайте посмотрим на каждый.

II. Когда вы получите 0, деленное на 0, сначала попробуйте

. Если вы попытаетесь заменить и получите   $\dfrac{0}{0}$, вашим следующим шагом будет попытка 92-4}{x-2}} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$.
[Конец примера 3.]

Если вы изучаете математический анализ, мы гарантируем, что вы столкнетесь со многими задачами, требующими факторизации функции для нахождения предела. Действительно, на каждом экзамене по математическому анализу, который мы видели, была по крайней мере одна проблема, когда вы изначально получаете  $\dfrac{0}{0}$  и должны учитывать, чтобы получить окончательный ответ. Откройте следующее поле, чтобы увидеть больше примеров.

Откройте, чтобы увидеть больше примеров факторинга для нахождения предела. 92 -3x+2} &&= \lim_{x \to 1}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)} &&= \lim_{x \to 1}\frac{x+2}{x-2} &&= \frac{1+2}{1-2} = -3 \quad \cmark
\end{align*}

[collapse]

Эти Проблемы становятся простыми, как только вы научитесь их распознавать и умеете учитывать.

Если можете, помножьте.

Результат : Если подстановка дает результат в виде   $\dfrac{0}{0}$,  первое, что вы должны попробовать, – это факторинг. Если вы можете факторизовать числитель и/или знаменатель, проблемный член в знаменателе отменяется. Гарантировано.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

• Наша глава о пределах (все, что вам нужно знать, с интерактивными компонентами, которые помогут вам почувствовать пределы)

• Оценка пределов: проблемы и полные решения 90 (материал 1184)

III. Прием № 3: Используйте

Если функция имеет квадратный корень и Подстановка дает $\dfrac{0}{0}$, 0 делится на 0, затем умножьте числитель и знаменатель на
$$1 = \frac{\text{сопряжение члена (числитель или знаменатель) с корнем}}{\text{сопряжение члена (числитель или знаменатель) с корнем}}$$
Как и факторинг, это подход, вероятно, приведет к возможности отмены термина. Пример 4 иллюстрирует.

Пример 4 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x}}$.
Решение .
Сначала попробуем замену:
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} = \frac{\sqrt{0+5}-\ sqrt{5}}{0} = \frac{0}{0}$$
Поскольку предел представлен в виде   $\dfrac{0}{0}$ , он не определен — мы еще не знаем, что это такое. Нам нужно проделать некоторую работу, чтобы привести его в форму, в которой мы сможем определить предел.

Итак, давайте избавимся от квадратных корней, используя сопряжение, как вы тренировались в алгебре: умножьте и числитель, и знаменатель на сопряжение числителя, $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$.
\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\ sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5}\sqrt{x+5} + \sqrt{x+5}\sqrt{5} — \sqrt{5}\sqrt{ x+5} -\sqrt{5}\sqrt{5}}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\ dfrac{(x+5) – 5}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{x [\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}[\sqrt{ x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\ \ \
&=\dfrac{1}{\sqrt{0+5} + \sqrt{5}} = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} \quad \cmark
\end{align*}
Функция, с которой мы начали,  $\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x}$, , и та, с которой мы закончили (после умножения на сопряженное ),  $\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}$,  одинаковы, за исключением того, что первая функция не определена при

[Конец примера 4.]

Как показано в примере 4, если подстановка дает вам   $\dfrac{0}{0}$  и функция имеет квадратные корни, тактика умножения числителя и знаменателя на сопряженное части квадратного корня даст вам новую функцию, в которой работает подстановка. Всегда.

Откройте, чтобы увидеть еще один пример с квадратными корнями.

Пример 5 .
Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to 9}\dfrac{9-x}{3-\sqrt{x}}}$.
Решение .
Сначала попробуем замену:
$$\lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}} = \frac{9-9}{3-\sqrt{9}} = \frac{0}{0} $$
Поскольку предел представлен в виде   $\dfrac{0}{0}$ , он не определен – мы пока не знаем, что это такое. Итак, давайте умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, $3+\sqrt{x}$:
\begin{align*}
\lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\ sqrt{x}} &= \lim_{x \to 9}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}} \cdot \frac{3+\sqrt{x}}{3+\sqrt{ х}} \\[8px] &= \lim_{х \до 9}\frac{(9-x)\left(3+\sqrt{x} \right)}{9 +3 \sqrt{x} -3 \sqrt{x} -x} \\[8px] &= \lim_{x \to 9}\frac{(9-x)\left(3+\sqrt{x} \right)}{9 -x} \\[8px] &= \lim_{x \to 9}\frac{\cancel{(9-x)}\left(3+\sqrt{x} \right)}{\cancel{9-x}} \\[8px] &= \lim_{x \to 9}3+\sqrt{x} \\[8px] &= 3+ \sqrt{9} = 3+3 = 6 \quad \cmark
\end{align*}

[свернуть]

Результат: Если у вас есть квадратные корни, умножьте числитель и знаменатель сопряженной частью квадратного корня.

Мы рассмотрим более важные тактики работы с 0, деленным на 0, в нашей следующей статье «Как решать задачи с ограничениями в исчислении — часть 2». Мы познакомим вас с некоторыми другими ограничениями, которые вы должны просто научиться распознавать.

Конечно вам нужно потренироваться.

Конечно, недостаточно прочитать наше обсуждение. Вместо этого вам нужно попрактиковаться и сделать несколько ошибок для себя, чтобы все это стало для вас рутиной, когда вы будете сдавать экзамен. У нас есть много задач, которые вы можете попробовать, все с полными решениями одним щелчком мыши, чтобы вы могли быстро проверить свою работу или избавиться от зависаний без хлопот.

А пока посетите наш форум и сообщите нам:

• Какие у вас есть вопросы?
• Чем вам помог этот пост? Запутанно или менее полезно?
• Как у вас дела с исчислением?

Вы можете поддержать нашу работу чашечкой кофе

Мы — небольшая самофинансируемая команда, задача которой — предоставить высококачественные полезные материалы всем, кто хочет хорошо изучить исчисление. Мы предоставляем этот сайт без рекламы (!), и мы никому не продаем ваши данные . Мы потратили тысячи часов на создание всего, что здесь есть, и с вашей помощью мы можем продолжать расти и предлагать больше!

Если мы сэкономили вам время или вы нашли наши материалы полезными, рассмотрите возможность предоставления любой суммы, которую вы считаете подходящей. Это может занять менее 60 секунд, и все, что вы дадите, поможет . . . и если вы можете внести немного больше, это позволит нам продолжать обеспечивать тех, у кого меньше.

Мы заранее благодарим вас за все, что вы решите дать.

Да, отдам через PayPal!

Другие способы оплаты
(включая Google Pay и Apple Pay)

Платежная информация полностью защищена и никогда не касается наших серверов.

Спасибо! ❤️

последовательностей и серий — Как доказать этот прекрасный предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}=\frac{12}{\log{432}}$

Это действительно красивая задача!

Поскольку в вопросе/комментариях/одном из ответов есть обсуждение истории этой проблемы, позвольте мне рассказать здесь, что я нашел. Я создаю эту вики-сообщество, так как это не совсем ответ на вопрос.

В Mathematics Magazine , который издается пять раз в год Математической ассоциацией Америки, в выпуске за ноябрь 1982 г. (том 55, № 5), в разделе задач (стр. 300), следующее ( гораздо проще) задача была задана анонимно (точнее, «Аноном, Эревхон-на-Испанской реке», который, кажется, активно участвует) как задача 1158 (обозначение немного изменено):

Положим $a_0 = 1$ и для $n \ge 1$ $a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor}$. Найдите $\lim_{n\to\infty} a_n/n$.

Это гораздо более простая задача, так как $\frac12 + \frac13 \neq 1$. (Подсказка: попробуйте полиномиальный рост.)

Решения этой задачи 1158 были даны в январском выпуске 1984 г. (том 57, № 1) в разделе «Проблемы» (стр. 49–50) под заголовком Псевдо- Предел Фибоначчи, , где он был решен множеством людей.

Одним из них был Daniel A. Rawsthorne , Wheaton, Maryland, который в том же разделе того же номера (стр. 42) предложил более сложную задачу *1185 . Звездочка означает, что он предложил задачу, не предлагая решения самостоятельно.

Положим $a_0 = 1$ и для $n \ge 1$ $a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + a_{\lfloor n/6 \rfloor }$. Найдите $\lim_{n\to\infty} a_n/n$.

Это гораздо более сложная задача, так как нам нужно определить не только скорость роста («линейную»), но и постоянный коэффициент пропорциональности.

Решения приведены в январском номере 1985 г. (т. 58, № 1), в разделе «Задачи» (стр. 51–52), под заголовком Очень медленно сходящаяся последовательность , авторы (вместе) П. Эрдёш, А. Хильдебранд, А. Одлызко, П. Пудайте и Б. Резник .

Обратите внимание, что на той же странице также указано:

Также решил Ноам Элкис (студент), который использовал ряды Дирихле и теорему о вычетах; и частично (в предположении, что предел существует) Доном Копперсмитом, который дал явную формулу $$ a_n = 1 + 2 \sum \frac{(r+s+t)!}{r!s!t!} $$ где сумма распространяется на все тройки $(r, s, t)$ целых неотрицательных чисел такие, что $2^r3^s6^t \le n$.

No related posts.