Система уравнений — Mathcracker.com
Алгебра Учебники
Система уравнений — это просто набор из двух или более одновременных уравнений, которые необходимо решить.Как правило, у вас будет одинаковое количество уравнений и неизвестных (переменных), но это не должно быть.
Единственное, что ясно, это то, что для того, чтобы иметь систему уравнений, вам нужно иметь два или более одновременных уравнений.Например, система ниже
Это система уравнений, с двумя уравнениями и двумя неизвестными (\(x\) и \(y\)).
2\) в первом уравнении делает его нелинейным.
В общем, стратегия, используемая для решения системы уравнений, зависит от того, линейна ли она линейна.Для линейных систем уравнений есть систематические методы для их решения, такие как ПРАВИЛО КРАМЕРА ОтказДля нелинейных систем уравнений нет фиксированной стратегии, и нам нужно идти по делу.
Количество решений системы уравнений
Сколько решений имеет систему уравнений, если таковые имеются?Общий ответ на этот вопрос может быть дан только в случае систем линейных уравнений, основанных на взаимосвязи между количеством уравнений и количеством неизвестных.
Как правило, в системе линейных уравнений, где количество уравнений такое же, как или больше, чем количество неизвестных, может быть уникальное решение, нет решения или бесконечных растворов.
Когда количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, может быть бесконечное количество решений, либо вообще никакого решения, но не могло быть уникальным решением.
Как вы найдете систему уравнений?
Этот вопрос связан с тем, как попадаются в систему уравнений.Есть несколько контекстов.
Например, вы можете иметь дело с проблемой слова, в которой вы производим три различных типа продуктов питания, и у вас есть несколько типов ограничений на эти продукты с точки зрения стоимости, калорий и т. Д. Каждый из этих ограничений, вероятно, может бытьпредставлен как уравнение.
Пример 1.
Система уравнений Пример: это следующая система уравнений линейных или нелинейных?
\[\large x — 2y + z = 1\] \[\large 5x — 2y + z = 4\] \[\large 3x + 2y + \sin(z) = 3\]ОТВЕЧАТЬ:
Прежде всего, вышеизложенная является системе уравнений, с тремя уравнениями и тремя неизвестными (\(x\), \(y\) и \(z\)).
Таким образом, вышеуказанная система уравнений не является линейным, даже если первые два уравнения линейны, третий нет.Для системы достаточно, чтобы одно уравнение не было линейным для всей системы, чтобы быть нелинейными.
Пример 2.
Предположим, что вы продуктете три типа рубашек в следующих количествах: \(x\), \(y\) и \(z\).Тип 1 имеет стоимость 1 доллара США, тип 2 стоимостью 1,2 доллара и тип 3 стоимостью 1,5 доллара.
Кроме того, требуется 1 час, чтобы изготовить тип 1, 0,5 часа для получения типа 2 и 0,8 часа до продукта типа 3.
Я знаю, что у меня есть 800 долларов, чтобы потратить и 500 часов доступны.Также, основываясь на оценках моего спроса, я хочу произвести общее количество рубашек типа 1, которое является уравнением в общей сложности типа 2 и типа 3.
Напишите систему уравнений на основе этих ограничений.Эта система линейна?
ОТВЕЧАТЬ:
Обратите внимание, что есть три неизвестных (__xyx_a__, \(y\) и \(z\)), что соответствует количеству рубашек каждого типа, которые необходимо производить.
Кроме того, у нас есть три уравнения: один для стоимости, по одному на количество часов, доступных и один для ограничения количества рубашек типа 1 и другие типы.
Следующие уравнения представляют ситуацию:
\[\large x + 1.2y + 1.5z = 800\] \[\large x + 0.5y + 0.8z = 500\] \[\large x = y + z\] Используя Конвенцию о выходе из всех терминов, которые зависят от неизвестных с левой стороны, мы переписываем последнее уравнение, чтобы получить: \[\large x + 1.2y + 1.5z = 800\] \[\large x + 0.5y + 0.8z = 500\] \[\large x — y — z = 0\]
Обратите внимание, что каждое уравнение линейно, поэтому система представляет собой систему линейных уравнений.
Как вы решаете системы равенств в целом?
Как было упомянуто выше, нет ни одной стратегии, которая будет соответствовать всем делам.Только в случае линейных систем уравнения будет четкая, четко определенная стратегия.
Тем не менее, есть несколько хороших практик или шаги, которые вы должны следовать, которые могут помочь вам решить все виды систем уравнений:
Шаг 1: Определите каждое уравнение в системе
Шаг 2: Переместите в одну сторону уравнения все термины, которые зависят от неизвестных (обычно к левой стороне), и константы на другой стороне
Шаг 3: Упростить как левую сторону (с неизвестными) и правой стороны (с константами)
Шаг 4:
Определите структуру уравнений.
Шаг 5: Если все уравнения являются линейными, используйте один из систематических способов решения линейных систем (правило Крамера, замена, устранение, уменьшение гауса и т. Д.)
Шаг 6:
Если хотя бы одно уравнение не является линейным, вы можете попытаться использовать подход для замещения, начиная с простейшего уравнения.
Подробнее о системах уравнений
Система уравнений появляется везде в математике, во всех предметах.Возможность систематически решать системы уравнений окажутся важным навыком для освоения.
Самая типичная система, которую вы найдете, — это система линейных уравнений.И зачастую, вы найдете системы уравнений, которые являются линейными, с двумя уравнениями и двумя неизвестными.Эти системы обычно называют системой 2×2 линейных уравнений.
Система графики уравнений
Для системы 2×2 системы линейных уравнений у нас есть возможность использовать графическое представление на координированных осях.
Линейное уравнение представлено линией в плоскости X-Y.Графически решение системы 2×2 — это точка, когда две линии пересекаются, если таковые имеются.
Затем в этом случае у нас есть следующие: линии параллельны и не касаются друг друга (без решений), линии пересекаются в одной точке (уникальное решение), или линии параллельны и касаются друг друга (бесконечно много решенийНесомненно
Система уравнений калькулятора
Используйте этот решатель, если вы хотите
РЕШИТЬ СИСТЕМУ 2×2 ЛЮНИНЫЫ
ОтказЭтот калькулятор использует правило Крамера для решения систем 2×2.Для больших систем уравнений лучшая альтернатива — использовать
Мет устранения гауссов
, который систематически занимается линейными системами любого размера.
Учебники алгебры Система уравнений Система линейных уравнений Система нелинейных уравнений
системы уравнений с двумя неизвестными 7 класс | Методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме:
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. ( слайд 1_)
7 класс. Учитель высшей категории: Бабина Наталья Алексеевна.
Цели:
- Образовательные: отработка и закрепление умений и навыков решения систем линейных уравнений; знакомство учащихся с методикой решения систем с тремя уравнениями; закрепление умений определять решения системы с учетом угловых коэффициентов при неизвестных.
- Воспитательные : воспитание чувства ответственности; формирование творческих способностей, математической культуры, навыков самоконтроля, познавательного интереса к предмету.
- Развивающие: развитие внимания, логического мышления.
Тип урока: урок применения и совершенствования знаний.
Ход урока.
- Проверка домашнего задания.
- Устная работа:
а) из предложенных уравнений выбрать линейные уравнения с двумя неизвестными. ( слайд 2).
Вопросы: 1) уравнение какого вида называется линейным с двумя неизвестными? Приведите примеры.
2) Что является графиком данного уравнения?
3) составьте из данных уравнений систему. ( слайд 3).
4) какими способами можно решить данную систему уравнений?
5) Что называется решением системы линейных уравнений с двумя неизвестными?
6) Что значит решить систему уравнений?
7) Найдите решение вашей системы устно.
б) Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя неизвестными?
( на доске записаны три системы уравнений: — 2х + 5у = 50
10у – 4х = 10
х + у = 10 2х – у = 5
2х – 3у = 1 и 4х _ 2у = 10 .
- Самостоятельное решение:
Составьте из нижеприведенных уравнений системы так, чтобы они:
- имели одно решение
- не имели решения
- имели бесконечно много решений.
2х + 5у =16; 8х + 20у = 50; 4у – х = 8 ; 10у + 4х = 32. ( Слайд 4).
Проверка задания у доски и по слайдам 5, 6,7.
Вывод: связь между угловыми коэффициентами при неизвестных и количеством решений системы уравнений.
- Решение заданий:
а)( слайд 8 ).
Ученик решал систему уравнений
х + 0,5у = 2
2х +у = 8 , но у него получился странный ответ: 4=8.
Помогите разобраться! А для этого надо решить систему уравнений или заметить некоторую особенность ( ученик решает у доски).
б) ( слайд 9). Докажите, что прямые у = -2х +6, у = 3х -4 и у = 2х -2 имеют общую точку( не строя графиков заданных функций).
( ученики должны сделать вывод о методике решения системы , содержащей три уравнения).
- ( слайд 10) Итог урока.
- ( слайд 11 ) Домашнее задание:
- Мальчику дали на дом задание составить и решить систему уравнений. Однако одну цифру с доски он не списал. Помогите найти « потерянное» число ( обозначенное звездочкой), если известно, что уравнения и имели вид : 11х +1 = -3у ; у + 2х =3; 2у +5х = ¤.
- № 674(2), 676.
2 — Уникальные решения
Раздел 2
Существование единственного решения
Система линейных одновременных уравнений может иметь (i) единственное решение, (ii) не иметь решения или (iii) бесконечно много решений.
В системе линейных одновременных уравнений единственное решение существует тогда и только тогда, когда (a) число неизвестных и число уравнений равны, (b) все уравнения согласованы и (c) не существует линейного зависимость между любыми двумя или более уравнениями, то есть все уравнения независимы.
В системе линейных одновременных уравнений, если одно или несколько уравнений несовместимы, система не имеет решения.
Например, если в системе линейных одновременных уравнений с двумя уравнениями и двумя неизвестными одно уравнение имеет вид \(x+y=2\), а другое уравнение имеет вид \(3x+3y=5\), эти два уравнения несовместимы в пределах данная система. Они противоречивы, потому что если \(x+y=2\), то \(3x+3y\) должно быть \(6\), а не \(5\). Систему линейных одновременных уравнений \(x+y=2\) и \(3x+3y=5\) решить нельзя, так как они несовместны.
Графически решение двух линейных одновременных уравнений с двумя неизвестными эквивалентно нахождению пересечения линий двух уравнений. Если эти два уравнения несовместимы, соответствующие прямые на декартовой плоскости параллельны и никогда не пересекутся (см. практический вопрос 2).
В системе линейных одновременных уравнений, если все уравнения непротиворечивы, но (а) число независимых уравнений меньше числа неизвестных и/или (б) существует линейная зависимость между двумя или более уравнениями в системе системы может существовать бесконечно много решений, удовлетворяющих системе.
Линейная зависимость, например, между двумя линейными уравнениями, относится к ситуации, когда одно уравнение в системе кратно другому уравнению. Например, уравнения \(y=x+2\) и \(2y=2x+4\) линейно зависимы, поскольку последнее можно получить, умножив предыдущее уравнение на \(2\).
Рассмотрим более общий пример. Предположим, что два линейных одновременных уравнения: $$a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} = b_{1}$$ $$a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} = b_{2}$$ Где \(a_{ij}\) — коэффициент, \(x_j\) — переменная, а \(b_i\) — константа. В этой системе, если \(a_{1j}=ka_{2j}\) и \(b_1=kb_2\), где \(k\) — константа, уравнения линейно зависимы. Графически линии, представляющие графики двух уравнений, совпадают, если уравнения линейно зависимы, и каждая точка на любой линии является решением. [См. практический вопрос 3]
Одна интересная форма линейной зависимости может возникнуть в системе \(m×n\) линейных одновременных уравнений, когда одно уравнение является суммой или разностью более чем одного уравнения в системе.
Например, уравнения (i) \(x+y+z=10\), (ii) \(2x-2y-2z=4\) и (iii) \(3x-y-z=14\) имеют линейную зависимость . (Почему?)
Подводя итог, рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, в которой все уравнения непротиворечивы, однако из-за линейной зависимости между некоторыми уравнениями число независимых уравнений меньше числа неизвестных. Такая система имеет бесконечно много решений.
Из обсуждения в этом разделе следует, что два линейных одновременных уравнения с двумя неизвестными могут иметь единственное решение, не иметь решения или иметь бесконечно много решений, и это верно для любой системы линейных одновременных уравнений с \(m\) уравнениями и \(n\) неизвестные. Чтобы узнать больше о существовании уникального решения, несогласованности и линейной зависимости, обратитесь к рекомендуемым книгам.
Решения систем линейных уравнений
На этом уроке будут рассмотрены 3 типа решений систем линейных уравнений. Система линейных уравнений может иметь одно решение, не иметь решения или иметь бесконечно много решений.
Наклоны и точки пересечения у линий будут определять тип решения, которое будет иметь система.
Решения систем линейных уравнений: 1 решение
Система линейных уравнений имеет 1 решение, если линии имеют разные наклоны независимо от значений их пересечений по оси Y.
Например, следующие системы линейных уравнений будут иметь одно решение. Мы показываем наклоны для каждой системы синим цветом. Обратите внимание, как различаются склоны.
1. y = (-2 /9 ) x + 6
2x + — 9 0007
2. y = -8x + 6
y = 8x + -10
3. y = 0,5x + 3
y = 6x + 3
, когда система из двух линейных уравнений имеет разные склоны, 6x + 3
, когда система из двух линейных уравнений имеет разные склоны, 6x + 3
. они встретятся в космосе в 1 точке. Точка пересечения и есть решение.
Если изобразить первую систему слева, то решение или точку пересечения можно увидеть оранжевой точкой.
Если вы не понимаете, как мы построили линии ниже, перейдите к урокам по построению графика наклона.
y = (-2/9)x + 6
y = 2x + -3
Решения систем линейных уравнений: нет решения
Система линейных уравнений не имеет решения, если линии имеют одинаковый наклон, но разные y-перехваты.
Например, следующие системы линейных уравнений не имеют решений. Мы показываем наклоны для каждой системы красным цветом, а точки пересечения у — синим. Обратите внимание, что наклон тот же, но точки пересечения по оси y разные.
4. y = -2x +1
y = -2x -2
5. y = 3x +5
y = 3x +-8
6. y = (2/5) x +-6
y = (2/5)x + 1
Когда система двух линейных уравнений имеет одинаковый наклон, но разные точки пересечения y, они никогда не встречаются в пространстве. Поскольку они никогда не встречаются, решений нет.
После построения графика четвертой системы вы можете видеть, что линии параллельны.