Сколько слов можно составить из слова математика: комбинаторика / Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «математика»? / Математика

комбинаторика / Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «математика»? / Математика

Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова "математика"?

старыеновыеценные

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Лекция 4.Комбинаторика (прод)

4. Комбинаторика (продолжение).

4.6. Перестановки с повторениями.

Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.

Пусть имеется n₁ предметов 1-го типа, n₂ предмета 2-го, n_k пред­метов k-го типа и при этом n₁ + n₂ + … + n_k = n. Количество разных перестановок предметов:

(5)

Для обоснования сначала будем переставлять n предметов в предположении, что они все различны. Число таких перестановок равно n!

Затем заметим, что в любой выбранной перестановке пере­становка n₁ одинаковых предметов не меняет комбинации, аналогично перестановка n₂ одинаковых предметов также не меняет комбинации и т. д. Поэтому получаем выражение (5).

Задача. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии шахматной доски?

Решение. На первой линии могут находиться король, ферзь, 2 ладьи, 2 коня и 2 слона. Без учета общепринятых шахматных правил образуются кортежи длины 8, имеющие указанный состав (1, 1, 2, 2, 2). Тогда число перестановок с размещениями найдем по формуле (5):

Задача. Сколько разных слов можно составить из всех букв слова МАТЕМАТИКА?

Решение. Имеем следующее количество разных букв: М – 2, А – 3, Т – 2, Е – 1, И – 1, К – 1. Всего 10 букв.

Т.о., образуются кортежи длины 10, имеющие указанный состав (2, 3, 2, 1, 1, 1). Число перестановок с размещениями найдем по формуле (5):

Задача. В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?

Решение. Каждая покупка – это выборка из 4 элементов по 7, причем с повторениями, так как 4 < 7. Порядок следования сорта пирожных внутри выборки не важен. Следовательно, число таких покупок равно числу всех сочетаний с повторениями:

Решение. Порядок приёма таблеток важен. Есть повторяющиеся таблетки. Общее число таблеток 3 + 2 + 4 = 9 равно числу дней приема лекарств. Решение задачи сводится к нахождению числа всех перестановок с повторениями из 9 элементов:

Задача. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова огород так, чтобы три буквы «о» не стояли бы рядом?

Решение. Общее количество различных слов, полученных перестановкой букв слова огород, равно

Если в каком-то слове все три буквы «о» стоят рядом, то тройную «о» можно считать единым символом, и количество слов, в которых три буквы «о» стоят рядом, равно Р(4) = 4! =24.

В итоге получаем: 120 — 24 = 96.

Задача. Найти разложение (a+b)⁶, используя треугольник Паскаля.

Решение.

Задача. Написать разложение бинома (x–2y)⁵.

Решение.

Задача. Найти наибольший член разложения бинома .

Решение.

Задача. Из данной пропорции найти x и y.

Решение.

Записав отдельно отношение первого члена пропорции ко второму и второго к третьему, после сокращения получим:

В силу условия задачи мы приходим к системе:

Решая её, получаем

В скольких словах можно расположить буквы слова «Математика» так, чтобы (i) гласные стояли вместе (ii) гласные не стояли вместе

Подсказка: Сначала найдите количество способов, которыми можно составить слово «Математика» записано, а затем мы используем формулу перестановки с повторением, которая приведена ниже,
Количество перестановок $n$ объектов с $n$, идентичными объектами типа $1,{n_2}$, идентичными объектами типа \[2{\text { }} \ldots \ldots . ,{\text{ }}{n_k}\]идентичные объекты типа $k$ — это \[\dfrac{{n!}}{{{n_1}!\,{n_2}! …….{n_k}!}}\] 9{{\text{11}}} \]
В котором M, A, T повторяются дважды.
Используя формулу \[\dfrac{{n!}}{{{n_1}!\,{n_2}!…….{n_k}!}}\], сначала мы должны найти число способов написания слова «Математика» равно
$
  P = \dfrac{{11!}}{{2!2!2!}} \\
   = \dfrac{{11 \times 10 \ раз 9 \ раз 8 \ раз 7 \ раз 6 \ раз 5 \ раз 4 \ раз 3 \ раз 2 \ раз 1}} {{2 \ раз 1 \ раз 2 \ раз 1 \ раз 2 \ раз 1}} \\
   = 11 х 10 х 9 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 х
   = 4989600 \\
 $
\[4989600\]различными способами можно записать букву слова «Математика».

(i) Когда гласные взяты вместе:
В слове «Математика» мы рассматриваем гласные A, E, A, I как одну букву. Таким образом, мы имеем MTHMTCS (AEAI).
Теперь нам нужно расположить буквы, из которых М встречается дважды, Т встречается дважды, а остальные разные.
$\следовательно $Количество способов упорядочивания слова «Математика», когда согласные встречаются вместе
$
  {P_1} = \dfrac{{8!}}{{2!2!}} \\
   = \dfrac{{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{2 \times 1 \times 2 \times 1}} \\
   = 10080 \\
 $
Теперь гласные A, E, I, A состоят из $4$ букв, в которых A встречается $2$ раз и остальные разные.
$\поэтому $Число расположения буквы
\[
  {P_2} = \dfrac{{4!}}{{2!}} \\
   = \dfrac{{4 \times 3 \times 2 \times 1 }}{{2 \times 1}} \\
   = 12 \\
 \]
$\следовательно $За количество слов $ = (10080) \times (12)$
В котором гласные собираются вместе $ = 120960$ способами

(ii) Если гласные не взяты вместе:
Когда гласные не взяты вместе, то количество способов расположения букв в слове «Математика» равно
$
   = 4989600 — 120960 \\
   = 4868640 \\
 $

Примечание: В этом типе вопросов мы используем формулу перестановки для слова, в котором буквы повторяются. В противном случае просто решите вопрос, подсчитав количество букв в слове, которое в нем есть, и в случае подсчета гласных мы будем рассматривать гласные как единое целое.

Количество способов, которыми можно расположить четыре буквы слова МАТЕМАТИКА, определяется следующим образом: A) 136B) 192C) 1680D) 2454

Ответ

Проверено

223,5 тыс. + просмотров

Подсказка проверить количество букв в заданном слове. Тогда мы можем рассмотреть 3 случая. Случай 1 — это количество способов расположить так, чтобы все 4 буквы были разными. Тогда мы можем найти количество способов расположения 2 пар повторяющихся букв и 1 пары повторяющихся букв, а остальные 2 различны. Сумма их комбинаций даст необходимое количество способов. 9n{P_r} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n — r} \right)!}}$ .
При подстановке получаем
\[ \Rightarrow {N_1} = \dfrac{{8!}}{{\left( {8 — 4} \right)!}}\]
При упрощении получаем
\[ \Rightarrow {N_1} = \dfrac{{8!}}{{4!}}\]
Теперь расширим факториалы.
\[ \Rightarrow {N_1} = \dfrac{{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}}{{4!}}\]
При упрощении получаем
\[ \Rightarrow {N_1 } = 8 \times 7 \times 6 \times 5\]
При умножении получаем
\[ \Rightarrow {N_1} = 1680\] 97{C_2} \times \dfrac{{4!}}{{2!}}$
Раскладывая комбинации, получаем
$ \Rightarrow {N_2} = \dfrac{{3!}}{{1!\ left( {3 — 1} \right)!}} \times \dfrac{{7!}}{{2!\left( {7 — 2} \right)!}} \times \dfrac{{4!} }{{2!}}$
При упрощении получаем
$ \Rightarrow {N_2} = \dfrac{{3!}}{{2!}} \times \dfrac{{7!}}{{2! \times 5!}} \times \dfrac{{4!}}{{2!}}$
Раскладывая факториал, получаем
$ \Rightarrow {N_2} = 3 \times \dfrac{{7 \times 6 \times 5!}}{{2 \times 5!}} \times 4 \times 3$ 93{C_2} \times \dfrac{{4!}}{{2! \times 2!}}$
При расширении комбинаций получаем
$ \Rightarrow {N_3} = \dfrac{{3!}}{{2!}} \times \dfrac{{4!}}{{2 ! \times 2!}}$
Раскладывая факториал, получаем
$ \Rightarrow {N_3} = \dfrac{{3 \times 2}}{2} \times \dfrac{{4 \times 3 \times 2} }{{2 \times 2}}$
При сокращении общих членов получаем

$ \Rightarrow {N_3} = 3 \times 3 \times 2$
При дальнейшем упрощении получаем
$ \Rightarrow {N_3} = 18$
Теперь общее количество способов расставить 4 буквы равно сумме количества способов в трех случаях.

No related posts.