Сложение дробей и деление дробей: Упражнения на тему сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.

Умножение дробей. Деление дробей .

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля . Это преобразование называется расширением дроби . Например,

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля . Это преобразование называется сокращением дроби .

Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

П р и м е р .  Сравнить две дроби:

Р е ш е н и е .

Расширим первую дробь на знаменатель второй , а вторую — на знаменатель первой:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю .

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

П р и м е р .

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе

.

П р и м е р .

Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь . Это правило вытекает из определения деления (см. раздел «Арифметические операции» ).

П р и м е р .

Назад

Деление обыкновенных дробей / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Обыкновенные дроби
5. Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Примеры:

Обратите внимание, если возможно, то прежде, чем перемножить числа, выполняем сокращение (такой ход действий облегчит вычисления).

Деление смешанных чисел

Чтобы выполнить деление смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления дробей.

Примеры:

Обратите внимание, если возможно, то прежде, чем перемножить числа, выполняем сокращение (такой ход действий облегчит вычисления).

Деление на натуральное число

При делении дроби на натуральное число, учитываем то, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, затем пользуемся правилом деления дробей.

Примеры:

Обратите внимание, если возможно, то прежде, чем перемножить числа, выполняем сокращение (такой ход действий облегчит вычисления).

Нахождения числа по его дроби

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь

Примеры:

1) Найдите число, если данного числа равны 27:

2) Найдите число, если данного числа равны :

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 446, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 891, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1345, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 638, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 644, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 668, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 925, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1435, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 23, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 43, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 74, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 348, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 527, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 618, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 787, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 846, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1127, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 13, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 91, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 118, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 135, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 205, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 223, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 278, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 315, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 354, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 402, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Введение

Прежде чем вы сможете освоить более сложные понятия алгебры и геометрии, вам необходимо сначала освоить все математические функции, связанные с дробями. В этой статье мы рассмотрим, как складывать, вычитать, умножать и делить две дроби, а также дробь и целое число. Мы также введем сложные дроби вместе с методами их упрощения. Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы полностью понимаете четыре основных математических операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Основные термины

o Общий знаменатель

o Обратный

o Комплексная дробь

Цели

o Узнать 90 007

o Понимать, как интерпретировать дроби, содержащие отрицательные числа

o Распознавать и упрощать сложные дроби

Теперь, когда мы разработали прочную основу относительно того, что такое дроби, а также о некоторых различных типах дробей, мы можем теперь перейти к применению основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) к дробям.

Сложение и вычитание

В случаях, когда речь идет о простых числах, сложение и вычитание дробей выполняется достаточно просто. Например, добавление одной трети и одной трети, очевидно, дает нам две трети. Точно так же три пятых минус две пятых — это одна пятая. Первый случай проиллюстрирован ниже.

А как быть с такими случаями, как половина плюс одна треть?

Обратите внимание, что складывать (вычитать) дроби с одинаковым знаменателем очень просто — мы просто складываем (вычитаем) числители и делим на тот же знаменатель. Мы уже должны знать, что можем написать эквивалентные дроби, которые имеют разные числители и знаменатели. Таким образом, если мы просто преобразуем одну или обе дроби, которые мы складываем или вычитаем, в эквивалентные дроби с тем же знаменателем, то мы можем складывать дроби простым способом, описанным выше. Затем, при необходимости, мы можем уменьшить результат до минимальных значений.

Задача при сложении и вычитании дробей состоит в том, чтобы найти общий знаменатель . Самый простой способ найти общий знаменатель — просто умножить два существующих знаменателя, а затем соответствующим образом преобразовать числители, чтобы получить эквивалентные дроби. Хотя этот подход концептуально прост, он может быть математически сложным, когда знаменатели велики. Тем не менее, давайте попробуем этот подход для иллюстрации. Обратите внимание на упомянутое выше дополнение.

Общий знаменатель равен 6 (или 23), потому что мы можем умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы получить , и мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить . Добавление тогда просто.

Практическая задача: Подсчитайте результат в каждом случае.

а. б. в.

Решение: В каждом случае найдите общий знаменатель и преобразуйте члены в эквивалентные дроби с этим знаменателем. Для каждого случая дается один возможный общий знаменатель. Сумма (разность) дробей есть сумма (разность) числителей над общим знаменателем. Если применимо, уменьшите результат до самых низких значений.

а. Общий знаменатель: 21

б. Общий знаменатель: 8

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Pre-Algebra?

в. Общий знаменатель: 45

Умножение и деление

Умножение и деление дробей в некоторых отношениях проще, чем их сложение и вычитание. Допустим, мы хотим умножить на . Интуитивно ответ довольно очевиден: половина половины — это четверть (или одна четвертая). Например, если у вас есть 50 центов (полдоллара) и вы хотите умножить их на половину, то вы получите 25 центов (четверть доллара).

Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение. В некоторых случаях товар уже будет в наименьших условиях; в других вам может потребоваться уменьшить его до самых низких значений. Например, произведение и будет следующим:

При умножении дроби на целое число обратите внимание, что любое целое число — это просто дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе. Например,

Практическая задача : Рассчитайте следующие произведения.

а. б. в.

Решение : В каждом случае произведение равно произведению числителей на произведение знаменателей. Если один из множителей является целым числом, рассматривайте его как дробь, имеющую целое число в числителе и 1 в знаменателе. Сократите продукт до самых низких условий, если это применимо.

а.

б.

в.

Теперь рассмотрим случай деления. Допустим, мы хотим разделить на . Интуитивно ответ равен 2. Например, 25 центов (четверть доллара) могут дважды превратиться в 50 центов (полдоллара).

 

Обратите внимание, что если бы мы перевернули второй множитель так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем, а также изменили операцию деления на умножение, мы получили бы тот же результат.

На самом деле это удобный способ деления дробей. Деление на дробь равносильно умножению на 9.0004 обратное этой дроби. Обратное — это просто «перевернутая» дробь. Так, например, обратная величина равна (или ).

Как и при умножении дробей, помните, что целое число также можно записать в виде дроби. Так, например, обратное число 6 равно . Поэтому мы можем делить дроби на целые числа так же, как и на другие дроби. Кроме того, обратите внимание, что произведение дроби и ее обратной всегда равно 1. Рассмотрим пример ниже.

В свете того, как мы определили деление и умножение, мы можем дать более строгое обоснование нашего метода вычисления эквивалентных дробей. Обратите внимание, что число 1 можно записать как любое другое число, разделенное само на себя. Например,

Таким образом, процесс нахождения эквивалентных дробей есть не что иное, как умножение данной дроби на 1! Рассмотрим пример ниже.

Практическая задача : Вычислите следующие частные.

а. б. в.

Решение : В каждом случае умножьте делимое на обратную величину делителя. Сократите продукт до самых низких условий, если это применимо.

а.

б.

г.

  

Дроби и отрицательные числа

Поскольку дроби — это не что иное, как представление деления, у нас уже есть инструменты, необходимые для понимания роли отрицательных чисел в дробях. Напомним, что произведение (или частное) двух отрицательных или двух положительных чисел положительно, а произведение (или частное) одного отрицательного числа и одного положительного числа отрицательно. Итак, рассмотрим на примере дроби ; мы рассмотрим каждый возможный случай.

В первом случае (числитель и знаменатель имеют одинаковый знак) результатом является положительное число. Во втором случае (числитель и знаменатель имеют противоположные знаки) результатом является отрицательное число. Таким образом, во втором случае мы можем иногда просто ставить знак минус рядом со всей дробью, а не рядом с числителем или знаменателем. Тем не менее, обратите внимание, что все три представления равны, и в некоторых ситуациях одно может быть более полезным, чем другое.

Сложные дроби

Напомним, что дробь — это просто способ выражения деления двух чисел (где числитель — это делимое, а знаменатель — делитель). Поскольку мы можем делить дроби, мы можем также выразить это деление как «дробь дробей» или сложных дробей. Ниже приведен пример сложной дроби. Обратите внимание, что для ясности дроби в числителе и знаменателе сложной дроби показаны «наклонными» — однако это изменение не означает никакой математической разницы.

Такие дроби можно и часто нужно упрощать. Для этого мы можем воспользоваться одним из нескольких подходов. Напомним, что мы можем найти эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Таким образом, один из подходов состоит в том, чтобы умножить как числитель, так и знаменатель сложной дроби на произведение знаменателей простых дробей, как показано ниже.

В качестве альтернативы мы можем умножить и числитель, и знаменатель сложной дроби на обратную величину ее знаменателя. Поскольку знаменатель становится равным 1, результатом является просто значение числителя.

Другой способ взглянуть на этот последний подход состоит в том, что мы просто выполняем деление:

В зависимости от конкретной ситуации один подход может быть проще другого; однако все они одинаково приемлемы.

Практическая задача : Упростите следующие сложные дроби.

а. б. в.

Решение : Одним из возможных способов упрощения сложных дробей является умножение дроби в числителе на обратную дробь в знаменателе. Если применимо, уменьшите результат до самых низких значений. В случае части c обратите внимание, что обратная величина 5 равна и что частное (или произведение) положительного числа, деленного (умноженного) на отрицательное число, является отрицательным числом.

а.

б.

г.

Если у вас все еще возникают проблемы с дробями, вы также можете прочитать эту статью здесь: Как сделать дроби простым способом.

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

главная » математика » статьи » как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Бекки Клеантус | Последнее обновление: 25 февраля 2020 г.

В то время как некоторые люди могут глубоко дышать в бумажный пакет при мысли о вычислениях с дробями, если вы понимаете каждый шаг и почему это необходимо, это может быть проще простого. Или 1/6 торта, если хотите.

Помните правило:

Независимо от того, складываете ли вы, вычитаете, умножаете или делите дроби, вы всегда должны стремиться к максимально аккуратному ответу. Сообщите своей дроби, если «ее задница выглядит большой в этом», и упростите ее до самого маленького варианта (например, 3/6 становится 1/2, что сохраняет те же пропорции, но менее неуклюже).

Как складывать и вычитать дроби

1. Проверить: совпадают ли знаменатели?
2. Если нет, умножьте их вместе (и соответствующим образом сбалансируйте числители)
3. Сложите или вычтите, используя числители, оставив прежним знаменатель.

Для задачи на сложение или вычитание нужно составить « общих знаменателей ». Самое сложное в общих знаменателях — это попытаться их произнести. Продолжайте, быстро прочитайте ее десять раз и вернитесь, чтобы прочитать остальную часть статьи, когда вы перестанете плакать.

ОК? Хороший.

Что такое знаменатели и числители?

Знаменатель — это число, выходящее за черту дроби, поэтому «общий знаменатель» просто означает, что вам нужно, чтобы все эти числа в сумме совпадали друг с другом. Число, стоящее над чертой дроби, называется 9.0235 числитель .

Когда дело доходит до сложения и вычитания дробей, это очень просто, если вы проверили (или создали, если необходимо) общий знаменатель.

Шаг 1) Проверьте: совпадают ли ваши знаменатели?

Если вам очень повезет, ваши знаменатели уже будут одинаковыми, поэтому вы просто складываете числители из верхних половин и сохраняете существующий знаменатель под чертой.

Пример: 1/4 + 1/4 = 2/4

. .. И то же самое для суммы вычитания, за исключением того, что вместо этого вы вычитаете числители:

Пример: 2/3 — 1/3 = 1/3

Шаг 2) Если знаменатели не совпадают

Если знаменатели уже не совпадают (например, если вы хотите добавить 1/4 + 2 /3), вам нужно будет перемножить их вместе. Число, которое вы получите от умножения, становится общим знаменателем и, следовательно, образует нижнюю часть каждой дроби в сумме.

Пример: Если вам нужно сделать 1/4 + 2/3, сделайте общий знаменатель:

4 x 3 = 12. Теперь 12 идет в нижней части каждой дроби.

Теперь вы работаете с одним и тем же числом в каждой дроби. И, конечно же, вам нужно соответствующим образом скорректировать числители, иначе ваши дроби не будут эквивалентны. Подумайте об этом… Если бы вы заплатили за 1/4 чизкейка, вы были бы в ярости и голодны, если бы вам только что вручили 1/12 чизкейка. Они не эквивалентны, поэтому вам нужно настроить числитель, чтобы он был пропорционально того же размера.

Вы делаете это, умножая числитель на то же число, которое вы использовали для умножения знаменателя. Смотри:

1/4 становится 3/12 (обе части, верхняя и нижняя, умножаются на 3)

И 2/3 становится 8/12 (обе части, верхняя и нижняя, умножаются на 4)

Шаг 3) Сложите или вычтите ваши числители

Итак, вы убедились, что есть общий знаменатель, и что никто не отнял у вас меньший кусок пирога (т.е. вы соответствующим образом скорректировали свой числитель). Теперь вы можете делать свою простую сумму, добавляя или вычитая, используя числители. Оставьте общий знаменатель таким, какой он есть; это не меняется сейчас. Вот и все!

Пример: СУММ: 1/4 + 2/3

Умножьте ваши знаменатели (4 x 3 = 12) и пропорционально измените числители: 3/12 + 8/12

Подсчитайте сумму сверху дробь = 11/12

Моя попа в этом выглядит большой? Неа. Это наименьшая из возможных дробей.

Давайте попробуем другой пример…

Пример: СУММ: 3/4 — 1/8

Перемножьте ваши знаменатели (4 x 8 = 32) и пропорционально измените числители: 24/32 — 4/ 32

Сумма над дробью = 20/32

Моя задница выглядит большой в этом? Извините, да, немного. 20/32 можно упростить до 5/8. Намного лучше!

---

Образовательная ссылка: Ознакомьтесь с фантастическими математическими таблицами для сложения и вычитания дробей на DadsWorksheets.com.

---

Как умножать дроби

Когда вы хотите перемножать дроби, это очень просто.

1. Умножьте числители вместе: все, что находится на вершине дроби, умножается вместе. Это становится числителем вашего ответа.
2. Умножьте знаменатели вместе: все, что скрывается в дроби под чертой, умножается вместе. Это становится знаменателем в вашем ответе.
3. Моя попа в этом выглядит большой? Сократите дробь до наименьшего возможного знаменателя.

Пример: 4/5 x 1/4 = 4/20 = упрощенно равно 1/5.

---

Как делить дроби

[СОВЕТ] При делении дробей вам не нужно ничего делить. Странно, да? Вместо этого мы будем умножать. Это имеет больше смысла, если вы считаете, что деление противоположно умножению, поэтому мы переворачиваем одну из дробей вверх дном, чтобы компенсировать это.

Шаг 1

Первое, что вы хотите сделать, это вычислить сумму умножения. Избавьтесь от этого символа деления и замените его на X.

Но теперь это совсем другая сумма, верно? Это собирается сделать большее число вместо меньшего? Ага! Ну…

Шаг 2

Переверните вторую дробь вверх ногами, поместив старый знаменатель на ВЕРХ строки, а числитель под ним.

Пример:

Допустим, у вас есть следующая сумма дробей:

1/2 ÷ 3/4

Оставьте первую дробь без изменений:

1/2

Измените ÷ до х:
1 /2 x 3/4

И переверните вторую дробь вверх ногами.

1/2 x 4/3

Итак, ваш расчет (и вы знаете, как умножать из предыдущего раздела):

1/2 ÷ 3/4
что становится
1/2 x 4/3
= 2/3

Моя попа в этом выглядит большой? Нет, ты прекрасно выглядишь, 2/3! Ты такой простой, какой ты есть.

---

Ссылка для обучения: Ознакомьтесь с рабочими листами для деления дробей на DadsWorksheets.