Сложение дробей как решать: Как складывать дроби — ответ на Uchi.ru

Сложение дробей. — tutomath.ru репетитор по математике

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Решение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?

Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Решение:

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\)  б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\)   б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\)  б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\)  в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

Решение:

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Как научиться вычитать дроби с разными знаменателями. Вычитание дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Как решать примеры с дробями — практика.

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

У нас есть общий коэффициент 32 и 30, они оба делятся на два. Хорошо, как мы видели раньше, мы хотим найти общий знаменатель. Если бы у них был один и тот же знаменатель, мы могли бы просто добавить их немедленно, но мы хотим найти общий знаменатель, потому что сейчас они не одинаковы. Ну, что мы хотим найти, это кратное, общее кратное из двух и 12, и идеально мы найдем самый низкий общий кратный два и 12, и, как и раньше, давайте начнем с большего числа двух чисел. Теперь мы можем сказать, что 12 раз один из них равен 12, чтобы мы могли видеть, что 12 — делится на два.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа.

Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

Таким образом, 12 на самом деле является наименее распространенным кратным двух и двенадцати, поэтому мы могли бы записать обе эти фракции как что-то сверх Ну, чтобы перейти от двух до двенадцати, вы умножаетесь на Шесть, поэтому мы также умножим числитель на шесть.

Один из них — половина из двух, шесть — половина. Таким образом, это будет равно шести, это будет равно шести плюс 11, шесть плюс 11 и снова, приостановите видео и посмотрите, сможете ли вы это обработать, Ну, у нас здесь разные знаменатели, и мы хотим найти, мы хотим переписать их, чтобы у них были одни и те же знаменатели, поэтому нам нужно найти общий множественный, в идеале наименее общий. Итак, что же наименее распространенное кратное четыре и пять? Хорошо, давайте начнем с большего числа, и давайте посмотрим на его кратность и продолжим увеличивать их, пока не получим тот, который делится на четыре.

• Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

Так что пять не делится на четыре. 10 не делится на четыре, или отлично делится на четыре, это то, о чем мы заботимся. 15 не идеально делится на четыре. 20 делится на четыре, фактически, это пять раз четыре. Итак, что мы можем сделать, мы могли бы записать обе эти фракции как имеющие значение 20 в знаменателе, или 20 в качестве знаменателя. Итак, чтобы перейти от четырех до 20 в знаменателе, мы умножились на пять. Поэтому мы также делаем это для числителя. Ну, чтобы идти от пяти до 20, вам нужно умножить на четыре.

Сложение и вычитание числовых дробей

Поэтому мы должны сделать то же самое с числителем. Для того, чтобы вы вступили в операции сложения и вычитания алгебраических дробей, потребуется краткий пересмотр этих операций, но на этот раз с численными дробями. Существует два случая, когда происходит сложение или вычитание числовых дробей.

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Случай 1: Равные знаменатели. Чтобы добавить или вычесть числовые дроби с одинаковыми знаменателями, сохраните знаменатель и добавьте числители. Случай 2: разные знаменатели. Из знаменателей разделим его на знаменатель начальных дробей и умножим его на числитель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Затем просто добавьте полученные числители. Как и в случае численных дробей, алгебраические дроби суммируются или вычитаются, подчиняясь двум различным случаям. Для добавления или вычитания алгебраических дробей с равными знаменателями применяются те же правила, которые применяются к числовым дробям.

имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

• Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

Чтобы добавить или вычесть алгебраические дроби с разными знаменателями, следуйте тем же принципам, которые даны при решении численных долей разных знаменателей. «Цифры имеют свои собственные намерения и язык». Математика, 8 класс. — 7 изд. — Сан-Паулу: Современный.

Хотя это теоретически простой предмет, на практике это сбивает с толку многих студентов, особенно когда у них мало времени на учет, что очень часто происходит на общенациональном экзамене из-за большого количества вопросов. Итак, давайте вспомним, как правильно выполнять четыре основные операции при вовлечении фракций.

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Что касается фракции, то а называется числителем, а Ь — знаменателем. Если знаменатели равны, добавьте или вычтите только числители, сохранив общий знаменатель. Когда знаменатели разные, вы должны сделать их равными для применения предыдущего правила.

Если фракции имеют один и тот же знаменатель, просто примените предыдущее правило. Чтобы умножить дроби, умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, не обязательно имея равные знаменатели. Чтобы разделить дроби на другую, умножьте первую на обратную на вторую.

Это также показывает, что, умножая или деля часть на целое число, мы должны помнить, что любое целое число, деленное на единицу, равно самому себе. Таким образом, правила одинаковы. Расчет встроенной фракции с шагами и деталями вычислений: упрощение, сложение, вычитание, умножение, деление, мощность, обратные дроби.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Дробь также может быть определена как рациональное число. Функция фракции используется как калькулятор фракций, она предлагает возможность реализации онлайновых вычислений фракций, что позволяет упростить фракцию, помещая ее в ее неприводимую форму, что позволяет упростить фракции, а затем возвращают результат в виде уменьшенной фракции.

Некоторые напоминания о фракциях

Чтобы вычесть две фракции, калькулятор уменьшит фракции до того же знаменателя, а затем вычитает числители, калькулятор уменьшит долю, т.е. упростит ее, прежде чем возвращать результат. Калькулятор также возвращает детали расчетов, которые позволили сделать продукт фракции. Расчет доли в строке с мощностью может быть Можно поднять долю до целочисленной мощности и получить результат этого вычисления мощности фракции в виде неприводимой фракции. Таким образом, калькулятор фракций, доступный через функцию фракции, позволяет просто вычислить мощности фракций в строке. Литеральные фракции Литеральная дробь — это дробь, содержащая буквы. Результат будет возвращен как упрощенная дробь.

• Все шаги, которые позволяют суммировать дробь, возвращаются калькулятором.
• Калькулятор возвращает каждый шаг вычисления.
• Мощность фракции в строке.

Дробное число записи не изменяется при умножении или делении его числителя и знаменателя на то же число, отличное от нуля.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

Какая часть шоколадной таблетки есть? Решение: Чтобы иметь возможность ответить, легче поставить обе фракции в один и тот же знаменатель. Добавление и вычитание дробей Для вычисления суммы или разности двух чисел в дробной записи: сначала уменьшите два числа в дробной записи до одного знаменателя. Затем мы добавляем или вычитаем числители и сохраняем общий знаменатель.

• Примеры: Это упрощает фракции.
• Сначала он ест четверть пиццы.
• На втором этапе он ест две четверти пиццы.
• Г-н Матенфоли съедает треть первого шоколадного декаста.
• Затем он ест три трети второго диванчика того же размера, что и первый.

Свойство, используемое для обозначения того же знаменателя.

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Упрощение фракций в расчетах

Чтобы упростить, одним из способов является поиск кратных числителей и знаменателей. Фракции и десятичные значения имеют решающее значение для развития математических навыков, которые приводят к успеху в учебе, а затем к эффективности во многих профессиях. Эти навыки также необходимы в повседневной жизни. Нам это нужно постоянно, и мы часто используем его, даже не осознавая этого.

Лорти-Форг, Тиан и Зиглер провели инвентаризацию текущей литературы о понимании и манипулировании фракциями и десятичными числами. Для этой цели они рассмотрели четыре важных момента, чтобы понять знания, которые мы имеем о фракциях и десятичных числах, их развитии и использовании, которое мы делаем из них. В этой статье обсуждается развитие знаний и навыков, связанных с фракциями и десятичными знаками, и присущие им трудности. В следующей статье будут рассмотрены культурные вариации в изучении фракций и десятичных знаков и некоторые возможные вмешательства для содействия этому обучению.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Развитие знаний и навыков, связанных с фракциями. Лорти-Форгу и его коллеги напомнили нам прежде всего о том, что американская школьная система рекомендует, чтобы изучение фракций было постепенным в 4, 5 и 6 классах, сначала с добавлением и вычитанием фракций, имеющих Общих знаменателей, за которыми следует умножение и деление этих дробей. Они также предполагают, что отношение к решению проблемы с участием отношения, пропорции или скорости, например, должно преподаваться в 7 и 8 классах. Для сравнения, в Квебеке, если большинство ожиданий относительно знания и использования фракций находятся в 5 классе начальной школы, согласно Программе образования Квебека, ученичество начинается в 1 классе В соответствии с прогрессией обучения.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

• 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
  2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

В некоторых исследованиях основное внимание уделялось развитию знаний и процедурных навыков с фракциями, не зависящими от школьных программ. В недавнем исследовании Зиглера и Пайка, в частности, американским детям в классах 6-8 приходилось решать фракции. Результаты показывают, что ученики 6-го класса достигают 41% операций, а ученики 8-го класса достигают 57%. В целом, дети лучше дополняют и вычитают, чем в умножениях и делениях. Кроме того, в вычитании они лучше, когда знаменатель является общим для двух фракций.

При умножении, что удивительно, они также лучше, когда знаменатель является общим между двумя фракциями. Как правило, ошибки в основном связаны с обобщением правильных правил для целых чисел, которые дети применяют к фракциям, например, с добавлением числителей и знаменателей. Другие ошибки часто связаны с обобщением правил другой арифметической операции над дроби, таких как сохранение общего знаменателя при умножении, а также его умножение.

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Развитие знаний и навыков, связанных с десятичными числами. Что касается преподавания десятичных чисел в американской школьной системе, то он должен начинаться уже пятый год с четырех операций и двухзначных чисел после десятичной точки. Обучение продолжается в 6 классе, где числа добавляются к более чем двум цифрам после десятичной точки, а затем в 7 классе, с инструкцией по решению проблемы, включающей перекодирование между дроби и десятичными знаками.

В исследовании Хиберта и Вирна детям 5-9 классов приходилось решать операции с десятичными числами. Студенты 5-го класса достигли 20% дополнений, 21% вычитаний и 30% умножений, а ученики 9-го класса достигли 80% дополнений, 82% вычитаний и 75% умножений. Молодые люди обычно лучше разбираются в дополнениях и вычитаниях, когда два операнда имеют одинаковое количество десятичных знаков. Они также лучше при умножении целого числа и десятичного числа, чем два десятичных числа между ними.

Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

• Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
• Число 15 состоит из 5 х 3.
• Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

• 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
• 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и сложение дробей, имеющих различные знаменатели.

Вычитание и сложение дробей, имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

• Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
• Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
• Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
• При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Для них все числа одинаковы.

При сложении и вычитании дробей действует «знаменательное» правило — складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями. Так сказать, слияние знаменателей. Сложение и вычитание дробей возможно только при условии слияния знаменателей. А условием слияния знаменателей является их абсолютное равенство. Кстати, в термоядерном синтезе, по уверению наших ученых, сливаются только ядра одинаковых элементов: синтез водорода, синтез гелия и так далее. Почему не происходит слияние ядер различных элементов? Неужели термоядерный синтез в физике подчиняется законам сложения дробей??? Но это так, только что мне в голову пришло. Записал здесь, чтобы не забыть такой интересный вопрос.

Сложение дробей

Обычно я тупо перемножаю знаменатели и получаю общий знаменатель, не заморачиваясь со всякими там наименьшими общими кратными (НОК). После сложения всё лишнее сократится. Выглядит это приблизительно так.

Естественно, для тупых бюрократических функций правильность выполнения всех действий имеет принципиальное значение. Какой же это шаман, который даже танец с бубном правильно станцевать не может? Математике-то по барабану — делайте, как хотите, лишь бы результат был правильным. Вот как нас нас математики учат правильно складывать дроби.

Как видите, в конце нам ничего сокращать не нужно. Но зато со знаменателями возиться приходится — искать наименьшее общее кратное. Школьникам нужно делать так, как учителя требуют. Иначе хороших оценок не видать. Взрослым можно делать как угодно. Им плохие оценки не угрожают.

Это ещё не всё про сложение дробей. Теперь возьмем любимые цацки математиков — буковки — и посмотрим, как сложение дробей выглядит в буквах. Сами математики почему-то стесняются нам показывать этот фокус. Сперва складываем две дроби с одинаковыми знаменателями.

Вот такая простая формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели у складываемых дробей разные, формула по интереснее будет.

Вот какая крутая формула сложения дробей с разными знаменателями. Ну, и как из двух разных буковок выковырять наименьшее общее кратное? Математики, ау! Такая фигня, как НОК, математической формулой не предусмотрена. Это всё тупые бюрократические функции из министерства учебников придумали. С точки зрения математики, поиск наименьшего общего кратного не является обязательным элементом сложения дробей.

Ради математической справедливости нужно рассмотреть сложение дробей в древневавилонском отображении, то есть, заменить дробь умножением числа на обратное число.

В первой строчке сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше — сложение дробей с разными знаменателями. Как видите, всё чудненько работает, только грамматика записи чуть-чуть другая. Впрочем, эта грамматика нисколько не противоречит современным формам записи математических выражений. Приведенные формулы можно считать доказательством того, что в древнем Вавилоне могли легко складывать дроби. Я не думаю, что тогда люди были глупее нас. Судя по нашим школьным учебникам математики — гораздо умнее. За пять тысяч лет можно не только поумнеть, но значительно поглупеть. Особенно, если постоянно забивать мозги всякой дрянью.

Естественно, я буду не я, если к формулам сложения дробей не притяну за уши убогое определение рациональных чисел. То, в котором буквы «пэ» и «кью».

Что такое число «ка»? Это число, которое исчезает в результате сокращения дроби. Если при сложении дробей получилась несократимая дробь, значит у нас k=1 , если в результате сложения дробей получилось целое число, значит у нас k=1, q=1 .

В формулы сложения дробей вместо буковок a, b, c, d можно подставлять всё, что угодно — целые числа, дробные, квадратные корни, математические выражения… Эти формулы будут работать всегда. Это настоящая математика, которая не зависит ни от научной моды, ни от маразма научных правителей. С буковками p и q более печальная история. Маразм современных математиков разрешает подставлять вместо них только целые числа с целью получения рационального числа. Но это только в теории чисел. В других разделах математики в числителе и знаменателе дроби можно встретить всё, что угодно.

Вычитание дробей

Вычитание дробей выполняется точно так же, как и сложение, только знак плюс заменяется на знак минус. Я не стану полоскать вам мозги диссертацией про вычитание дробей с целью начитывания учебных часов. Если вы поняли принципы сложения дробей, то с вычитанием у вас проблем не будет. Формулы вычитания дробей могу показать, с тем же рациональным маразмом в конце, который нам напоминает о необходимости сокращения дроби в конце. Математиков тошнит от не сокращенных дробей.

И это ещё не конец. Теперь мы запишем формулы сложения и вычитания дробей в чистом виде, без всякого рационального маразма.

Верхние формулы показывают сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нижние формулы для дробей с разными знаменателями.

А в заключение мы возьмем формулу сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и посмотрим, как она превращается в сложение и вычитание целых чисел. То простое сложение, которому учат ещё в детском садике.

Вот так выглядит преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Если математики вам таких преобразований не показывают, значит они не хотят, чтобы вы что-то понимали в математике. Но чаще всего математики сами ничего не понимают в математике, а тупо повторяют то, чему их научили.

После сложения и вычитания дробей мы рассмотрим

Сложение и вычитание дробей с переменными

Чтобы сложить или вычесть дроби:

• У вас должен быть общий знаменатель.
• Чтобы найти L восток C оммон Д эноминатор ( ЖК ), взять наименьшее общее кратное отдельные знаменатели.

Пример

Вопрос: Объедините в одну фракцию: $$ \cssId{s12}{\frac{2}{x+3} — \frac{3x}{x-1}} $$

Решение: Обратите внимание, что LCD это $\,(x+3)(x-1)\,.$

92 — 7x — 2}{(x+3)(x-1)}$

$\displaystyle\frac{2}{x+3} — \frac{3x}{x-1}$	оригинальное выражение
$\displaystyle = \ гидроразрыва {2} {х + 3} \ cdot \ гидроразрыва {х-1} {х-1} $ $\displaystyle \qquad -\ \frac{3x}{x-1}\cdot\frac{x+3}{x+3} $	получить общий знаменатель через умножение на $\,1\,$
$\displaystyle = \frac{2(x-1)-3x(x+3)}{(x+3)(x-1)}$	объединять подобные термины; записать числитель в стандартной форме

Оставьте знаменатель в факторизованной форме для вашего окончательного ответа.

Концептуальная практика

Stephanie Stewart — Crestview Middle School

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Учащиеся должны продемонстрировать понимание одинаковых и разных знаменателей, чтобы уметь складывать и вычитать дроби. Когда дроби имеют как знаменатели , они имеют тот же самый знаменатель. Когда дроби имеют в отличие от знаменателей , их знаменатели различны. Знаменатели должны быть одинаковыми или общими, чтобы складывать или вычитать дроби.

 Дроби с одинаковыми знаменателями разбиваются на одинаковое количество частей, поэтому их части имеют одинаковый размер и их можно складывать или вычитать.
Пример:

В приведенном выше примере элементы можно легко складывать вместе, поскольку они имеют одинаковый размер. Как видите, знаменатели не складываются. На самом деле возникает вопрос: Одна пятая плюс две пятых равно количеству пятых? Ответом на этот вопрос будет три пятых , поэтому знаменатель не изменится.

Складывать дроби с разными знаменателями, к сожалению, не так просто. При сложении дробей с разными знаменателями необходимо, чтобы знаменатели были одинаковыми. Мы делаем это, находя LCD или наименьший общий знаменатель . Наименьший общий знаменатель – это наименьшее общее кратное знаменателей. В приведенном ниже примере ЖК-дисплей равен 6.
. Затем две дроби складываются в пропорции , чтобы найти эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями. Чтобы найти эквивалентную дробь, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же. В этом случае одна половина умножается на 3. Затем одна треть умножается на 2. Получаются эквивалентные дроби три шестых и две шестых. Это значительно упрощает их добавление. Что делает нашу сумму пятью шестыми.

Понедельник: ЧЕРНЫЙ
Цели обучения: Я могу решать реальные задачи на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
(5.NF-1. Сложите дроби с разными знаменателями)
(5. NF-2. Решить словесные задачи на сложение дробей, относящихся к одному и тому же целому, включая случаи с разными знаменателями)
Критерии успеха:   Я могу складывать дроби с разными знаменателями, заменяя заданную дробь эквивалентными дробями.
Я могу решать текстовые задачи на сложение дробей с одинаковыми/непохожими знаменателями, используя визуальную модель дроби.
Процедуры:

·         Продемонстрируйте сложение дробей с одинаковыми знаменателями, используя модели.

·         Используйте модели для обсуждения сложения дробей с разными знаменателями.

o   Вопросы:

§  В чем разница между сложением дробей с разными/одинаковыми знаменателями.

§  Что сложнее складывать, одинаковые или разные знаменатели?

§  Как вы думаете, какое решение можно использовать, чтобы упростить сложение дробей с разными знаменателями?

·         Используйте изображения/модели для добавления дробей с похожими/непохожими знаменателями в их группу.

·         Проверьте практические вопросы в группе.

FLEX: учащиеся выполняют тест «Простые решения» №7. Завершите Урок 29 после прохождения викторины «Простые решения №7».

Оценка: Анкетирование, групповая работа, наблюдение за разговорами учащихся. Викторина для оценки сохранения учащимися предыдущих стандартов.
Вторник: ЗОЛОТО
Цели обучения: Я могу решать реальные задачи на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
(5.NF-1. Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями)
(5.NF-2. Решить текстовые задачи на сложение и вычитание дробей, относящихся к одному и тому же целому, включая случаи с разными знаменателями)
Критерии успеха: Я могу складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, заменяя данную дробь эквивалентными дробями.
Я могу решать текстовые задачи на сложение дробей с одинаковыми/непохожими знаменателями, используя визуальную модель дроби.
Процедуры:  

·         Просмотрите сложение дробей с одинаковыми знаменателями и сложность сложения дробей с разными знаменателями.

·         Продемонстрируйте использование LCD и эквивалентных дробей, чтобы складывать дроби с разными знаменателями. (с использованием моделей/числовых представлений)

·         Учащиеся отвечают на практические вопросы вместе с партнером.

·         Обсудите практические вопросы всем классом. Учащиеся демонстрируют, как они справились с каждой задачей.

FLEX: учащиеся выполняют тест «Простые решения» №7. Завершите Урок 29 после прохождения викторины «Простые решения №7».

Оценка: Практика с партнером, наблюдение за студентами. Самооценка с партнером на красной, желтой, зеленой доске. Викторина для оценки сохранения учащимися предыдущих стандартов.
Среда: ЧЕРНЫЙ
Цели обучения: Я могу решать реальные задачи на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
(5.NF-1. Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями)
(5.NF-2. Решить текстовые задачи на сложение и вычитание дробей, относящихся к одному и тому же целому, включая случаи с разными знаменателями)
Критерии успеха: Я могу складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, заменяя заданную дробь эквивалентными дробями.
Я могу решать текстовые задачи на сложение дробей с одинаковыми/непохожими знаменателями, используя визуальную модель дроби.
Процедуры:  

·         ДАМПА ДАННЫХ: учащиеся записывают все, что могут вспомнить, о сложении дробей с разными знаменателями.

o   Поделиться/объяснить ДАМП ДАННЫХ партнеру.

o   Создайте DATA DUMP как класс.

·         Учащиеся самостоятельно решают 5 практических задач.

o   Привлекайте учащихся, которые вчера поставили свои инициалы на «красный» или «желтый» на красной, желтой, зеленой доске, для индивидуального обучения/вмешательства.

·         Вместе решите практические задачи всем классом. Учащиеся демонстрируют работу на доске.

               FLEX: Компенсация для учащихся, пропустивших контрольную оценку Discovery Education.

Пройдите Урок 29. Учащиеся завершат Урок 30. Попрактикуйтесь в математических фактах (5 минут). Учащиеся решают предыдущую математическую задачу OAA с партнером, используя контрольный список для решения задач.

Вызов отдельных учащихся на основе результатов Discovery Ed для отработки задач в тех направлениях, в которых учащиеся испытывают затруднения.

Оценка: Дамп данных — самооценка усвоения материала, практические задачи демонстрируют понимание учащимися. Индивидуальная конференция для оценки понимания учащихся.
Четверг: ЗОЛОТО
Цели обучения: Я могу решать реальные задачи на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
(5.NF-1. Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями)
(5. NF-2. Решить текстовые задачи на сложение и вычитание дробей, относящихся к одному и тому же целому, включая случаи с разными знаменателями)
Критерии успеха: Я могу складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, заменяя данную дробь эквивалентными дробями.
Я могу решать текстовые задачи на сложение дробей с одинаковыми/непохожими знаменателями, используя визуальную модель дроби.
Процедуры:  

·         Напишите абзац, объясняющий, как складывать дроби с разными знаменателями.

·         Поделитесь/сравните абзац с партнером.

·         Студенты разделены на 3 группы (группы поддержки)

o   Учащимся дается работа на уровне: группе вмешательства предоставляется дополнительная поддержка/инструкция.

FLEX: Компенсация для учащихся, пропустивших контрольную оценку Discovery Education.

Пройдите Урок 29. Учащиеся завершат Урок 30. Попрактикуйтесь в математических фактах (5 минут).