Сложение и вычитание и умножение векторов: 1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение




Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Поделиться:   

Содержание

Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и
вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение
(произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным
векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости.
Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам.

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
1. Выражение, содержащее векторы 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Упрощение выражения, содержащего векторы.
2. Сумма векторов 1 вид — рецептивный среднее
3 Б.
Вычисление суммы векторов, которые отложены на сторонах параллелепипеда.
3. Сумма и разность векторов 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Сложение и вычитание векторов.
4. Сложение и вычитание векторов 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Отработка простых операций с векторами.
5. Арифметические операции с векторами 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Простейшие операции с векторами.
6. Выражение вектора суммы 1 вид — рецептивный среднее
3 Б.
Выражение вектора суммы через данный вектор.
7. Выражение вектора разности 1 вид — рецептивный среднее 3 Б. Выражение вектора разности через данный вектор.
8. Выражение с векторами 2 вид — интерпретация среднее 5 Б. Выполнение арифметических действий с векторами.
9. Сложение и вычитание векторов 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Сложение и вычитание нескольких векторов.
10. Сумма нескольких векторов 1 вид — рецептивный среднее 3 Б. Вычисление суммы нескольких векторов.
11. Умножение вектора на число 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Нахождение числового коэффициента, выражающего отношение векторов.
12. Сложение и умножение на число 3 вид — анализ сложное 10 Б. Вычисление результата нескольких операций с векторами.
13. Арифметические действия с векторами, длина вектора 3 вид — анализ сложное 8 Б. Вычисление результата нескольких операций с векторами.
14. Уравнение с векторами 3 вид — анализ сложное 8 Б. Нахождение неизвестного слагаемого.
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Геометрия, 10 класс: уроки, тесты, задания.
1. Выражение, содержащее векторы

Сложность: лёгкое

2
2. Сумма векторов

Сложность: среднее

3
3. Сумма и разность векторов

Сложность: лёгкое

2
4. Сложение и вычитание векторов

Сложность: лёгкое

2
5. Арифметические операции с векторами

Сложность: лёгкое

2
6. Выражение вектора суммы

Сложность: среднее

3
7. Выражение вектора разности

Сложность: среднее

3
8. Выражение с векторами

Сложность: среднее

5
9. Сложение и вычитание векторов

Сложность: среднее

4
10. Сумма нескольких векторов

Сложность: среднее

3
11. Умножение вектора на число

Сложность: среднее

4
12. Сложение и умножение на число

Сложность: сложное

10
13. Арифметические действия с векторами, длина вектора

Сложность: сложное

8
14. Уравнение с векторами

Сложность: сложное

8
определение, сложение, умножение, скалярное и векторное произведение

В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.

Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.

Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.

Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.

Векторные компоненты

Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.

Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координатКомпонентами вектора являются его проекции на оси системы координат

Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.

Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .

Результирующий вектор А из проекцийРезультирующий вектор А из проекций

Единичный вектор

Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.

Длина единичного вектора равна 1Длина единичного вектора равна 1

Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.

Единичные векторы на осях координат Единичные векторы на осях координат

Сложение векторов

Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:

Сумма векторов метод треугольникаСумма векторов метод треугольника

Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.

Сумма вектора метод параллелограммаСумма вектора метод параллелограмма

 В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее. Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего. При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:

Сумма вектора метод параллелограммаСумма вектора метод параллелограммаПолучение вектора используя соединения векторовПолучение вектора используя соединения векторов

Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:

Добавление векторов в трехмерном пространствеДобавление векторов в трехмерном пространстве

Умножение вектора на скаляр

умножение вектора на скалярумножение вектора на скаляр

Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:

умножение вектора на скалярумножение вектора на скаляр

Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение двух векторов

Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью

Скалярное произведение двух векторов ФОРМУЛЫСкалярное произведение двух векторов ФОРМУЛЫ

Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.

Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.

Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ехеY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Векторное произведение двух векторов

Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.

В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:

  • длина
  • направление
  • начало и конец

Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Направление

Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Длина

вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Начало и конец

Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.

Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A

В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.

скалярное произведение векторов АБ с проекциямискалярное произведение векторов АБ с проекциями

Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.

В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.

При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).

Практическое использования момента силы на примереПрактическое использования момента силы на примере

Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:

Практическое использования момента силы на примереПрактическое использования момента силы на примере

Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:

Векторное произведение двух векторов А и БВекторное произведение двух векторов А и Б

Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта

Смешанное произведение трех векторов с матрицейСмешанное произведение трех векторов с матрицей

Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:

Смешанное произведение трех векторов с матрицейСмешанное произведение трех векторов с матрицей

Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:

Смешанное произведение трех векторов с матрицейСмешанное произведение трех векторов с матрицей
сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, свойства этих операций. — Студопедия

I) Сложение векторов

а) правило треугольника

б) правило параллелограмма

в) правило ломаной

Пусть даны несколько векторов. Тогда, чтобы построить сумму этих векторов, нужно расположить эти векторы так, чтобы начало последующего совпадало с концом предыдущего, получив таким образом ломаную. Тогда вектор, замыкающий эту ломаную, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего, будет суммой векторов.

Свойства операции сложения:

1) коммуникативность a+b=b+a

2) ассоциативность a+(b+c)=(a+b)+с

3) a+0=a

II) Разностью векторов называется вектор такой, что

 

III) Умножение вектора на число

Произведением вектора на число , называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , причем

и

 

Умножение вектора на n — это растяжение этого вектора в n раз

 

Свойства умножения:

1) коммуникативность

2) ассоциативность

3) дистрибутивность

 

10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
Комментарии преподавателя

От­ме­тим, что сло­же­ние век­то­ров про­из­во­дит­ся ана­ло­гич­но пла­ни­мет­рии, толь­ко все дей­ствия вы­пол­ня­ют­ся в про­стран­стве.

Итак, пусть за­да­ны два про­из­воль­ных век­то­ра в про­стран­стве (рис. 1):

Рис. 1. Про­из­воль­ные век­то­ры в про­стран­стве

Опре­де­лим, что же на­зы­ва­ет­ся сум­мой двух этих век­то­ров.

Точно так же, как в пла­ни­мет­рии, из любой удоб­ной точки, на­зо­вем ее точ­кой А, можно един­ствен­ным об­ра­зом от­ло­жить век­тор, рав­ный век­то­ру . На­пом­ним, что за­дан­ные век­то­ры, как и любые дру­гие, сво­бод­ны, важно лишь на­прав­ле­ние и длина, сам век­тор можно па­рал­лель­но пе­ре­но­сить в любое место как на плос­ко­сти, так и в про­стран­стве. Так, мы по­лу­чи­ли век­тор  – в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку В. Те­перь из точки В от­кла­ды­ва­ем един­ствен­но воз­мож­ным об­ра­зом век­тор , по­лу­ча­ем век­тор  – так, в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка В пе­ре­ме­сти­лась в точку С. В ре­зуль­та­те точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку С, по­лу­чен век­тор , ко­то­рый и на­зы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров  и  (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух век­то­ров в про­стран­стве

Так, по­лу­че­но пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка для сло­же­ния век­то­ров в про­стран­стве.

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Из любой точки про­стран­ства (точка А) от­кла­ды­ва­ем пер­вый век­тор, из конца пер­во­го век­то­ра (точка В) от­кла­ды­ва­ем вто­рой век­тор и по­лу­ча­ем точку С. Век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го век­то­ра (точка А) и конец вто­ро­го (точка С), и будет ре­зуль­ти­ру­ю­щим.

От­ме­тим, что ре­зуль­тат сло­же­ния век­то­ров не за­ви­сит от вы­бо­ра на­чаль­ной точки, су­ще­ству­ет со­от­вет­ству­ю­щая тео­ре­ма, ко­то­рая это до­ка­зы­ва­ет на ос­но­ва­нии того, что из точки можно от­ло­жить век­тор, рав­ный за­дан­но­му, един­ствен­ным об­ра­зом.

Опре­де­ле­ние

Раз­но­стью двух век­то­ров на­зы­ва­ет­ся такой тре­тий век­тор, ко­то­рый, бу­дучи сло­жен­ным со вто­рым век­то­ром, даст пер­вый век­тор.

Вве­дем раз­ность век­то­ров  и , для этого сло­жим век­тор  с про­ти­во­по­лож­ным век­то­ром :

Итак, из про­из­воль­ной точки А от­кла­ды­ва­ем век­тор , по­лу­ча­ем точку В. Чтобы по­лу­чить век­тор  мы стро­им век­тор, рав­ный век­то­ру  по длине, но про­ти­во­на­прав­лен­ный. По­лу­чен­ный век­тор от­кла­ды­ва­ем из точки В – по­лу­ча­ем точку D. Век­тор  и будет ис­ко­мым век­то­ром раз­но­сти.

Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 3):

Рис. 3. Вы­чи­та­ние двух век­то­ров в про­стран­стве

По­стро­им на за­дан­ных век­то­рах  и  па­рал­ле­ло­грамм (рис. 4):

Рис. 4. Па­рал­ле­ло­грамм на двух за­дан­ных век­то­рах

Т. к. век­тор ; ана­ло­гич­но .

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка:

Так, одна из диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет сумме этих век­то­ров.

Рас­смот­рим раз­ность век­то­ров. По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка:

.

Так, вто­рая диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет раз­но­сти этих век­то­ров.

Для сло­же­ния и вы­чи­та­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ет­ся пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка. Пусть за­да­ны век­то­ры  и :

Рис. 5. Три век­то­ра в про­стран­стве

Необ­хо­ди­мо по­стро­ить век­тор .

Видим, что перед неко­то­ры­ми век­то­ра­ми стоят чис­лен­ные мно­жи­те­ли. На­пом­ним, что при умно­же­нии век­то­ра на число по­лу­ча­ем со­на­прав­лен­ный век­тор, длина ко­то­ро­го – это длина ис­ход­но­го век­то­ра, умно­жен­ная на за­дан­ное число. По­лу­чим век­то­ры  и . Век­тор  со­на­прав­лен с век­то­ром , длина его в три раза боль­ше. Век­тор  про­ти­во­на­прав­лен век­то­ру , длина его в два раза боль­ше. Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 6):

Рис. 6. Умно­же­ние век­то­ра на число

При­сту­па­ем к сло­же­нию. Из про­из­воль­ной точки А от­кла­ды­ва­ем по­лу­чен­ный век­тор  – по­лу­ча­ем точку В. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор  – по­лу­ча­ем точку С. Из точки С от­кла­ды­ва­ем век­тор  – по­лу­ча­ем точку D. Со­глас­но пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка, век­тор  со­от­вет­ству­ет ис­ко­мо­му век­то­ру :

Рис. 7. Сло­же­ние век­то­ров по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка

За­да­ча 1:

Задан тет­ра­эдр ABCD (ри­су­нок 8). До­ка­зать:

  

Рис. 8. Тет­ра­эдр, за­да­ча 1

Ре­ше­ние:

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка: 

Ана­ло­гич­но: 

, ч. т. д.

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка: 

Ана­ло­гич­но: , ч. т. д.

За­да­ча 2

Упро­стить вы­ра­же­ние: 

Рас­смот­рим от­дель­но сумму двух век­то­ров: , ее зна­че­ние оче­вид­но:

Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух век­то­ров

Те­перь со­кра­тим про­ти­во­по­лож­ные век­то­ры:

Можно было сразу за­ме­тить:

.

В ре­зуль­та­те упро­ще­ния по­лу­че­но:

.

Итак, мы ввели опе­ра­ции сло­же­ния и вы­чи­та­ния век­то­ров, умно­же­ния век­то­ра на число в сте­рео­мет­рии, от­ме­ти­ли, что опе­ра­ции ана­ло­гич­ны таким же для пла­ни­мет­рии. Кроме того, ре­ши­ли несколь­ко задач, ба­зи­ру­ю­щих­ся на опи­сан­ных опе­ра­ци­ях.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo

http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ

http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0

http://www.youtube.com/watch?v=sKCfeWlmsLk

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt3.jpg

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2364/7703/4155

 http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt4.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/143950352.jpg?1445058118

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

 

Сложение и вычитание векторов [wiki.eduVdom.com]

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).


Сложение двух векторов

Рис.1

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .



Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .

б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).


Сложение трех векторов

Рис.2

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,,\,\overrightarrow{b}\,,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\,,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).


Вычитание векторов

Рис.3

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .


Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).


Умножение вектора на число

Рис.4

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .


Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Таким образом, получаем следующую теорему.


Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.



добавление векторов — вычитание векторов

    • Классы
      • Класс 1 — 3
      • Класс 4 — 5
      • Класс 6 — 10
      • Класс 11 — 12
    • КОНКУРСЫ
      • BBS
      • 000000000 Книги
        • NCERT Книги для 5 класса
        • NCERT Книги Класс 6
        • NCERT Книги для 7 класса
        • NCERT Книги для 8 класса
        • NCERT Книги для 9 класса
        • NCERT Книги для 10 класса
        • NCERT Книги для 11 класса
        • NCERT Книги для 12-го класса
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT Exemplar Class 12
        • 9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 11
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • Решения класса RD Sharma
          • Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • ФИЗИКА
          • Механика
          • 000000 Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • МАТС
          • Теорема Пифагора
          • Отношения и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Делительные дроби
        • 000 ФОРМУЛЫ
          • Математические формулы
          • Алгебровые формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • S000
          • S0003
          • Pегипс Класс 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 11
          • Образец образца CBSE pers for Class 12
        • CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
          • CBSE Документы за предыдущий год Class 10
          • CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • Решения HC Verma Class 12 Physics
        • Решения Lakhmir Singh
          • Решения Lakhmir Singh Class 9
          • Решения Lakhmir Singh Class 10
          • Решения Lakhmir Singh Class 8
        • Примечания
        • CBSE
        • Notes
            CBSE Класс 7 Примечания CBSE
          • Класс 8 Примечания CBSE
          • Класс 9 Примечания CBSE
          • Класс 10 Примечания CBSE
          • Класс 11 Примечания CBSE
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания пересмотра
        • CBSE Редакция
        • CBSE
        • CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
        • CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
        • Замечания по пересмотру CBSE класса 12
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
        • CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
        • CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE
        • 9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
      • Класс CBSE
        • Класс 3
        • Класс 4
        • Класс 5
        • Класс 6
        • Класс 7
        • Класс 8
        • Класс 9
        • Класс 10
        • Класс 11
        • Класс 12
      • Решения для учебников
    • Решения NCERT
      • Решения NCERT для класса 11
          Решения NCERT для физики класса 11
        • Решения NCERT для класса 11 Химия
        • Решения для класса 11 Биология
        • NCERT Решения для класса 11 Математика
        • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия
        • NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования
        • NCERT Solutions Class 11 Экономика
        • NCERT Solutions Class 11 Статистика
        • NCERT Solutions Class 11 Коммерция
      • NCERT Solutions для класса 12
        • NCERT Solutions для Класс 12 Физика
        • Решения NCERT для 12 класса Химия
        • Решения NCERT для 12 класса Биология
        • Решения NCERT для 12 класса Математика
        • Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
        • Решения NCERT Класс 12 Экономика
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
        • NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
        • NCERT Solutions Class 12 Коммерция
        • NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика
      • NCERT Solutions Для Класс 4
        • Решения NCERT для математики класса 4
        • Решения NCERT для класса 4 EVS
      • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для математики класса 5
        • Решения NCERT для класса 5 EVS
      • Решения NCERT для класса 6
        • Решения NCERT для класса 6 Maths
        • Решения NCERT для класса 6 Science
        • Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
        • Решения NCERT для класса 6 Английский
      • Решения NCERT для класса 7
        • Решения NCERT для класса 7 Математика
        • Решения NCERT для 7 класса Science
        • Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
        • Решения NCERT для 7 класса Английский
      • Решения NCERT для 8 класса Математические решения
        • для 8 класса Математика
        • Решения NCERT для класса 8 Science
        • Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
        • NCERT Solutio ns для класса 8 Английский
      • Решения NCERT для класса 9
        • Решения NCERT для класса 9 Общественные науки
      • Решения NCERT для класса 9 Математика
        • Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
        • Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 9 класса
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
        • Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 Общественные науки
      • Решения NCERT для математики класса 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 3
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 4
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 5
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 6
        • решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 8
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 9
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 10
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 11
        • решения NCERT для математики класса 10, глава 12
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
        • соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 10 класса
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
      • Программа NCERT
      • NCERT
    • Коммерция
      • Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
      • Учебный курс по бизнес-классу 11000
      • Учебная программа по экономическому классу
    • Учебная программа по коммерческому классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по экономическому классу
          000000 000000 000000
        • Образцы коммерческих документов класса 11
        • Образцы коммерческих документов класса 12
      • Решения TS Grewal
        • Решения TS Grewal Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения TS Grewal Класс 11 Бухгалтерский учет
      • Отчет о движении денежных средств
      • eurship
      • Защита потребителей
      • Что такое фиксированный актив
      • Что такое баланс
      • Формат баланса
      • Что такое акции
      • Разница между продажами и маркетингом
    • P000S Документы ICSE
    • ML Решения Aggarwal
      • ML Решения Aggarwal Class 10 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 9 Математика
      • ML Решения Aggarwal Class 8 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 7 Математические решения
      • ML 6 0004
      • ML 6
    • Selina Solutions
      • Selina Solution для 8 класса
      • Selina Solutions для 10 класса
      • Selina Solution для 9 класса 9
    • Frank Solutions
      • Frank Solutions для класса 10 Maths
      • Frank Solutions для класса 9 Maths
    • ICSE Class 9000 2
    • ICSE Class 6
    • ICSE Class 7
    • ICSE Class 8
    • ICSE Class 9
    • ICSE Class 10
    • ISC Class 11
    • ISC Class 12
  • IAS
  • Сервисный экзамен
  • UPSC Syllabus
  • Бесплатно IAS Prep
  • Текущая информация
  • Список статей IAS
  • IAS 2019 Mock Test
    • IAS 2019 Mock Test 1
    • IAS 2019 Mock Test 2
    • KPSC KAS экзамен
    • UPPSC PCS экзамен
    • MPSC экзамен
    • RPSC RAS ​​экзамен
    • TNPSC группа 1
    • APPSC группа 1
    • BPSC экзамен
    • экзамен
    • JPS
    • экзамен
    • экзамен
    • WPSS
    • экзамен
    • JPS
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
  • Вопросник UPSC 2019
    • Ключ ответа UPSC 2019
  • Коучинг IAS
    • IA S Коучинг Бангалор
    • IAS Коучинг Дели
    • IAS Коучинг Ченнаи
    • IAS Коучинг Хайдарабад
    • IAS Коучинг Мумбаи
  • JEE
    • Бумага
    • JEE JEE 9000
    • JEE
    • JEE-код
    • JEE
    • J0003 S0004000
    • JEE Вопрос
    • Биноминальная теорема
    • JEE Статьи
    • Квадратичное уравнение
  • NEET
    • Программа Бьюя NEET
    • NEET 2020
    • NEET Подготовка к экзамену NEET
    • S0003
    • образца
    • Поддержка
      • Жалоба Разрешение
      • Customer Care
      • Поддержка центр
  • Государственные платы
    • GSEB
      • GSEB Силабус
      • GSEB Вопрос бумаги
      • GSEB образец бумаги
      • GSEB Книги
      90 004
    • MSBSHSE
      • MSBSHSE Syllabus
      • MSBSHSE Учебники
      • MSBSHSE Образцы документов
      • MSBSHSE Вопросные записки
    • AP Board
      • -й год APSERT
      • -й год SBSUS
      • -й год
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS SUBSUS SUBSUS SUBSUS SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS SUBSUS
      • SUBSUS
      • Всеобщая справка
    • MP Board
      • MP Board Syllabus
      • MP Board Образцы документов
      • MP Board Учебники
    • Assam Board
      • Assam Board Syllabus
      • Assam Board Учебники
      • Sample Board Paperss Sample3 P0003 BSEB
        • Бихарская доска Syllabus
        • Бихарская доска Учебники
        • Бихарская доска Вопросные бумаги
        • Бихарская модель Бумажные макеты
      • БСЭ Одиша
        • доска
        • Sislabus
        • Совет 9408 S0008
        • Sisplus
        • S0008
        • Sample P000S
        • Sample
        • S000S PSEB Syllabus
        • Учебники PSEB
        • Документы PSEB
      • RBSE
        • Учебное пособие Раджастхана Syllabus
        • Учебники RBSE
        • Документы RBSE
      • PCB
      • HPE HPSBE
      • JKBOSE
        • JKBOSE Syllabus
        • JKBOSE Образцы документов
        • JKBOSE Образец экзамена
      • TN Board
        • TN Board Syllabus
        • Board 931 JAC
          • JAC Силабус
          • JAC учебники
          • JAC Вопрос Papers
        • Telangana Совет
          • Telangana Совет Силабус
          • Telangana совет учебники
          • Telangana Совет Вопрос Papers
          • KSEEB KSEEB Силабус
          • KSEEB Модель Вопрос Papers
        • KBPE
          • KBPE Силабус
          • KBPE Учебники
          • KBPE Вопрос Papers
        • UPMSP
          • UP Совет Силабус
          • UP Совет Книги
          • UP Совет Вопрос Papers
        • Западная Бенгалия Совет
          • Западная Бенгалия Совет Силабус
          • Западная Бенгалия Совет учебниками
          • West Bengal совет Вопрос документы
        • UBSE
        • TBSE
        • Goa Board
        • NbSe
        • CGBSE
        • MBSE
        • Meghalaya Совет
        • Manipur Совет
        • Харьяны Совет
      • Государственные экзамены
        • Банк экзаменов
          • SBI Exams
          • PIL, Exams
          • RBI Exams
          • PIL, РРБ экзамен
        • SSC Exams
          • SSC JE
          • SSC GD
          • SSC CPO 900 04
          • SSC CHSL
          • SSC CGL
        • RRB экзаменов
          • RRB JE
          • RRB NTPC
          • RRB ALP
        • L0003000000 L0003000000000000 UPSC CAPF
        • Список государственных экзаменов Статьи
      • Обучающие дети
        • Класс 1
        • Класс 2
        • Класс 3
      • Академические вопросы
        • Вопросы физики
        • Вопросы химии
        • Химические вопросы
        • Химические вопросы
        • Вопросы химии
        • Биология
        • Вопросы
        • Вопросы по науке
        • Вопросы ГК
      • Обучение онлайн
        • Обучение на дому
      • Полные формы
      • CAT
        • Программа CAT BYJU’S
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • FreeBS
        • 40004 CAT 2020 Exam Pattern
        • Обзор приложения Byju на CAT
    • КУПИТЬ КУРС
    • +91924350046
  • .
    сложение и вычитание векторов — учебный материал для IIT JEE
    • Кинематика и вращательное движение
    • Предлагаемая цена: рупий636

    • Подробнее
     


    Скалярные величины могут быть добавлены алгебраически.например, 4 кг сахара и 3 кг сахара при любом сочетании всегда дают 7 кг сахара. Это не всегда так в случае векторов, так как они имеют направления, в дополнение к величинам.

    Ниже приведены некоторые моменты, касающиеся сложения векторов:

    (а) Добавление или составление векторов означает нахождение результирующего числа векторов, действующих на тело.

    (b) Векторы могут быть добавлены геометрически, а не алгебраически.

    (c) Векторы, результат которых должен быть рассчитан, ведут себя независимо друг от друга.Другими словами, каждый вектор ведет себя так, как если бы другие векторы отсутствовали.

    (d) Добавление вектора является коммутативным.

    Итак, \vec{a}+\vec{b} =\vec{b}+\vec{a}

    Это означает, что закон сложения векторов не зависит от порядка векторов.

    Графическое представление сложения векторов

    geometrical-method

    Чтобы найти \vec{a}+\vec{b}, сдвиньте вектор \vec{b} так, чтобы его начальная точка совпадала с конечной точкой вектора \vec{a}.Теперь вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой вектора \vec{a}, а конечная точка совпадает с конечной точкой вектора \vec{b}, представляет \vec{a}+\vec{b}, как показано на приведенном выше рисунке.

    Чтобы найти \vec{b}+\vec{a}, сдвиньте \vec{a} так, чтобы его начальная точка совпадала с конечной точкой \vec{b}. Вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой \vec{b}, а конечная точка совпадает с конечной точкой \vec{a}, представляет \vec{b}+\vec{a}.

    addition-of-two-vectors

    Закон векторного сложения треугольника

    Это закон для сложения двух векторов.Это можно сформулировать следующим образом:

    «Если два вектора представлены (по величине и направлению) двумя сторонами треугольника, взятыми в одном и том же порядке, то их результирующая величина будет представлена ​​(по величине и направлению) третьей стороной треугольника, взятой в противоположном порядке. »

    Рассмотрим два вектора \vec{A} и \vec{B} [ниже], действующих одновременно на тело. Представьте вектор \vec{B} линией \vec{OB}. На A нарисуйте еще одну линию \vec{OA}, представляющую \vec{B}. Присоединяйтесь к OC.Затем \vec{OC} (= \vec{R}) дает результат \vec{A} и \vec{B}. Можно отметить, что \vec{OB} и \vec{BC} находятся в одном и том же порядке, а \vec{R} — в противоположном. Это соответствует закону треугольника.

    \vec{R}

    Итак, \vec{R} = \vec{OC}

    = \vec{A} + \vec{B}

    = \vec{B} + \vec{A}

    Кроме того, ясно, что порядок векторов в сложении векторов не имеет значения. Итак, сложение векторов коммутативно.

    Если θ — угол между \vec{A} и \vec{B}, то величина результирующего вектора \vec{R} будет равна

    R = √ (A 2 + B 2 ) + 2AB cos θ

    и

    если? угол между \vec{B} и \vec{R}, то

    ? = tan -1 [A sinθ / (B + A cosθ)]

    Если три вектора, действующих одновременно на частицу, могут быть представлены тремя сторонами треугольника, взятыми в одном и том же порядке, то частица останется в равновесии.

    Математически это можно выразить следующим образом:

    \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=0

    Закон параллелограмма векторов

    Сложение двух векторов также может быть понято по закону параллелограмма. В нем говорится, что «если два вектора, действующих одновременно в точке, представлены по величине и направлению двумя сторонами параллелограмма, нарисованного из точки, их результирующее значение будет дано по величине и направлению диагональю параллелограмма, проходящего через эту точку.”

    Согласно этому закону, если два вектора \vec{P} и \vec{Q} представлены двумя смежными сторонами параллелограмма, оба из которых направлены наружу, как показано на рисунке ниже, то диагональ, проведенная через пересечение двух векторов, представляет результирующий результат (т.е. векторную сумму \vec{P} и \vec{Q}). Если Q — это смещение от положения AD к BC, смещая его параллельно себе, этот метод становится эквивалентным методу треугольника.

    parallelogram-method

    В случае сложения двух векторов методом параллелограмма, как показано на рисунке, полученная величина будет иметь вид,

    (AC) 2 = (AE) 2 + (EC) 2

    или R 2 = (P + Q cos θ) 2 (Q sin θ) 2

    или R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ

    И направление результирующего от вектора P будет дано

    загар? = CE / AE = Qsinθ / (P + Qcosθ)

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    Особые случаи

    (a) Когда θ = 0 °, cos θ = 1, sin θ = 0 °

    Подставляя для cos θ в уравнение R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ, получаем

    R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ

    = √ (P + Q) 2

    или R = P + Q (максимум)

    Подставляя для sin θ и cos θ в уравнение? = tan-1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)], получаем

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    = загар -1 [(Q × 0) / (P + (Q × 1))]

    = загар -1 (0)

    = 0 °

    Результат двух векторов, действующих в одинаковых направлениях, равен сумме двух.Направление результирующего совпадает с направлением двух векторов.

    (b) Когда θ = 180 °, cos θ = -1, sin θ = 0 °

    Подставляя для cos θ в уравнение R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ, получаем

    R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQ (-1)

    = √P 2 + Q 2 — 2PQ

    = √ (P — Q) 2 (минимум)

    R = P — Q (минимум)

    Подставляя для sin θ и cos θ в уравнение? = tan-1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)], получаем

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    = загар -1 [(Q × 0) / (P + (Q × (-1)))]

    = загар -1 (0)

    = 0 °

    Эта величина результирующего двух векторов, действующих в противоположном направлении, равна разности величин двух и представляет минимальное значение.Направление результирующего в направлении большего.

    (c) Когда θ = 90 °, cos θ = 0, sin θ = 1

    Подставляя для cos θ в уравнение R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ, получаем

    R = √ (P 2 + Q 2 ) + (2PQ × 0)

    = √P 2 + Q 2

    Подставляя для sin θ и cos θ в уравнение? = tan-1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)], получаем

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    = загар -1 [(Q × 1) / (P + (Q × (0)))]

    = загар -1 (Q / P)

    Результирующее значение двух векторов, действующих под прямым углом друг к другу, равно квадратному корню из суммы квадратов величин двух векторов.Направление результирующего зависит от их относительных величин.

    вектор вычитание

    Процесс вычитания одного вектора из другого эквивалентен добавлению вектора отрицательного вектора, который необходимо вычесть. Предположим, есть два вектора \vec{A} и \vec{B}, показанные на рисунке (А), и мы должны вычесть \vec{B} и \vec{A}. Это то же самое, что добавить векторы — от \vec{B} до \vec{A}. Результат показан на рисунке (B).

    vector-subtraction
    Рисунок (A)

    resultant-of-vector-subtraction
    Рисунок (B)

    vector-subtract
    Свойства векторного добавления: — Добавление вектора соответствует следующим свойствам.

    1. Сложение векторов является коммутативным: — Это означает, что порядок векторов, добавляемых вместе, не влияет на результат сложения. Если два вектора \vec{a} и \vec{b} должны быть сложены вместе, то


    example-of-vector-addition
    vector-addition-is-commutative
    2. Добавление вектора является ассоциативным: — При суммировании трех трех или более векторов взаимная группировка векторов не влияет на результат.

    Математически,

    example-of-associative-vector-addition

    3. Сложение векторов является дистрибутивным: — Это означает, что скалярное время равно сумме двух векторов и равно сумме скалярного времени двух векторов в отдельности.

    Математически,

    m\vec{a}+m\vec{b} = m(\vec{a}+\vec{b})

    Геометрическое представление сложения векторов


    vector-addition-is-associative
    Величина и направление \vec{a}+\vec{b}: —
    Пусть угол между вектором \vec{a} и \vec{b} будет θ.
    На рисунке вектор (\vec{OA}) = вектор \vec{a}, вектор (\vec{AB}) = вектор \vec{b}
    От ADB,

    AD = b cos θ
    BD = b sin θ

    magnitude-and-direction-of-vectors
    В прямом угле ΔODB,

    OD = a + b cosθ
    BD = b sin θ

    Следовательно, OB = √ (OD 2 + BD 2 )
    => | A + b | = √ (a 2 + b 2 + 2ab cos θ)
    | a + b | макс. = a + b, когда θ = 2nπ

    | a + b | мин = | a — b | когда θ = (2n + 1) π
    (где n = 0, 1, 2,…..)
    Если a + b наклонен под углом α с вектором a, то
    tan α = ((b sin θ) / (a ​​+ b cosθ))

    Связанные ресурсы

    Чтобы узнать больше, купите учебные материалы Units & Dimensions, включающие в себя учебные заметки, заметки о пересмотре, видео-лекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д. Также ищите больше учебных материалов по физике здесь.

    magnitude-and-direction-of-vectors

    Особенности курса

    • 731 Видео Лекции
    • Редакция Примечания
    • Документы за предыдущий год
    • Mind Map
    • Планировщик исследования
    • NCERT Solutions
    • Дискуссионный форум
    • Тестовая бумага с Video Solution

    ,
    python — перегрузка операторов сложения, вычитания и умножения Переполнение стека
    1. Товары
    2. Клиенты
    3. Случаи использования
    1. Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
    2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
    3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
    4. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
    5. Талант Нанимать технический талант
    6. реклама Связаться с разработчиками по всему миру

    Загрузка…

    1. Авторизоваться зарегистрироваться
    .

    сложение и вычитание векторов

    РАЗДЕЛ 7-4 Алгебраические векторы

    SECTION 7-4 Algebraic Vectors 7-4 алгебраических векторов 531 SECTIN 7-4 алгебраических векторов От геометрических векторов до алгебраических векторов Векторное сложение и единица скалярного умножения Векторы алгебраических свойств Статическое равновесие Геометрические векторы

    Дополнительная информация

    Фигура 1.1 вектор A и вектор F

    Figure 1.1 Vector A and Vector F ГЛАВА I ВЕКТОРНЫЕ КОЛИЧЕСТВА Количества — это все, что можно измерить и указать числом. Количества в физике делятся на два типа; скалярные и векторные величины. Скалярные величины имеют

    Дополнительная информация

    Аффинные преобразования

    Affine Transformations A P P E N D I X C Аффинные преобразования СОДЕРЖАНИЕ C Потребность в геометрических преобразованиях 335 C2 Аффинные преобразования 336 C3 Матри представление линейных преобразований 338 C4 Однородные координаты

    Дополнительная информация

    Вектор или перекрестный продукт

    The Vector or Cross Product Вектор или произведение Росса 1 Приложение Вектор или произведение Росса Мы увидели в приложении, что скалярное произведение двух векторов является скалярной величиной, которая является максимумом, когда два вектора параллельны и равна нулю

    Дополнительная информация

    Перекрестные продукты и моменты силы

    Cross Products and Moments of Force 4 Перекрестные произведения и моменты силы Ссылка: Хиббелер 4.2-4.3, edford & Fowler: Statics 2.6, 4.3 В геометрических терминах перекрестное произведение двух векторов A и создает новый вектор C с перпендикулярным направлением

    Дополнительная информация

    КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРОВ

    COMPONENTS OF VECTORS КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРОВ Для описания движения в двух измерениях нам понадобится система координат с двумя перпендикулярными ae, и. В такой системе координат вектор A может быть уникально разложен на сумму двух

    Дополнительная информация

    Обзор А: векторный анализ

    Review A: Vector Analysis МАССАЧУСЕТСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНОЛОГИЙ Физический факультет 8.02 Обзор A: Анализ векторов A … A-0 A.1 Векторы A-2 A.1.1 Введение A-2 A.1.2 Свойства вектора A-2 A.1.3 Применение векторов

    Дополнительная информация

    Унифицированная лекция № 4 Векторы

    Unified Lecture # 4 Vectors Объединенная лекция № 4 «Векторы» осени 2005 г. Эти заметки были написаны Дж. Перайром в качестве обзора векторов для динамики 16.07. Они были адаптированы для унифицированного проектирования Р. Радовицким. Список литературы [1] Фейнманн,

    Дополнительная информация

    Механика 1: Векторы

    Mechanics 1: Vectors Механика 1: Векторы, если говорить грубо, механические системы будут описываться комбинацией скалярных и векторных величин.скаляр — это просто (реальное) число. Например, масса или вес характеризуется

    Дополнительная информация

    13.4 КРЕСТОВЫЙ ПРОДУКТ

    13.4 THE CROSS PRODUCT 710 Глава 13 ОСНОВНОЙ ИНСТРУМЕНТ: ВЕКТОРЫ 62. Используйте следующие шаги и результаты Задач 59 60, чтобы показать (без тригонометрии), что геометрические и алгебраические определения точечного произведения

    Дополнительная информация

    Лабораторная работа 2: векторный анализ

    Lab 2: Vector Analysis Лабораторная работа 2: векторный анализ. Цели: попрактиковаться в использовании графических и аналитических методов для добавления векторов в двух измерениях. Оборудование: Измерительная палка Линейка транспортира Таблица сил Кольцевые шкивы с насадками

    Дополнительная информация

    Секция 1.1. Введение в R n

    Section 1.1. Introduction to R n Сечение исчисления функций нескольких переменных. Введение в исчисление R n — это изучение функциональных связей и того, как связанные величины меняются друг с другом. В вашем первом воздействии на

    Дополнительная информация

    Раздел V.3: Точечный продукт

    Section V.3: Dot Product Раздел V.3: Введение в многоточечный продукт До сих пор мы рассматривали операции с одним вектором.Есть несколько способов объединить два вектора. Вектор сложения и вычитания здесь не рассматривается,

    Дополнительная информация

    Векторное исчисление: краткий обзор

    Vector Calculus: a quick review Приложение A Векторное исчисление: краткий обзор Избранные материалы Ч.М. Ще ,. Div, Grad, Curl и все такое: неофициальный документ по исчислению векторов, W.W. Norton and Co., (1973). (Хорошее физическое введение в тему)

    Дополнительная информация

    Геометрическая трансформация CS 211A

    Geometric Transformation CS 211A Геометрическое преобразование CS 211A Что такое преобразование? Перемещение точек (x, y) перемещается в (x + t, y + t). Может быть в любом измерении. Дополнительная информация

    МАТ 1341: ОБЗОР II Сангхун Баек

    MAT 1341: REVIEW II SANGHOON BAEK МАТ 1341: ОБЗОР II Сангхун Баек 1.Прогнозы и перекрестный продукт 1.1. Прогнозы. Определение 1.1. Для данного вектора u прямоугольные (или перпендикулярные или ортогональные) компоненты представляют собой два вектора u 1 и

    Дополнительная информация

    Линейная алгебра: векторы

    Linear Algebra: Vectors Линейная алгебра: векторы A Приложение A: линейная алгебра: векторы СОДЕРЖАНИЕ Страница A Мотивация A 3 A2 Векторы A 3 A2 Условные обозначения A 4 A22 Визуализация A 5 A23 Специальные векторы A 5 A3 Вектор

    Дополнительная информация

    Плоскостные преобразования напряжения

    Plane Stress Transformations 6 Преобразования напряжения в плоскости ASEN 311 — Структуры ASEN 311 Лекция 6 Слайд 1 Состояние напряжения плоскости ASEN 311 — Структуры Напомним, что в теле в плоском напряжении общее трехмерное напряженное состояние с 9 компонентами

    Дополнительная информация

    Тригонометрия Обзор Мастерская 1

    Trigonometry Review Workshop 1 Определения семинара по обзору тригонометров: Пусть P (,) будет точкой (не началом координат) на терминальной стороне угла с мерой θ, и пусть r будет расстоянием от начала координат до P.Тогда функции Си Триг

    Дополнительная информация

    Введение в поляризацию света

    Introduction to polarization of light Глава 2 Введение в поляризацию света В этой главе рассматривается поляризация электромагнитных волн. В разделе 2.1 обсуждается понятие поляризации света и представлен его формализм Джонса.

    Дополнительная информация

    5.3. Кросс-продукт в R 3

    5.3 The Cross Product in R 3 53 Перекрестное произведение в R 3 Определение 531 Пусть u = [u 1, u 2, u 3] и v = [v 1, v 2, v 3] Тогда вектор, заданный как [u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1] называется перекрестным произведением (или

    Дополнительная информация

    Концепции в исчислении III

    Concepts in Calculus III Концепции в исчислении III Бета-версия УНИВЕРСИТЕТСКИЙ ПРЕССА ФЛОРИДЫ Флоридский университет A & M, Таллахасси Флоридский Атлантический университет, Бока-Ратон Флоридский университет побережья Мексиканского залива, Ft.Майерс Флорида Интернэшнл

    Дополнительная информация

    Обзор линейной алгебры. векторы

    Linear Algebra Review. Vectors Обзор линейной алгебры Тим К. Маркс UCSD Заимствует в значительной степени от: Яна Косецка [email protected] http://cs.gmu.edu/~kosecka/cs682.html Вирджиния де Са Когши 8F Обзор линейной алгебры UCSD Векторы Длина

    Дополнительная информация

    Linear Algebra Review. Vectors α α λ α = = λ λ α ψ = = α α α λ λ ψ α = + β => θθ β> ββθθθθβθβ γθβ = γθ> β> γθβ γ = θ β = θ β = θ β = β θ = β β θ = = = β β θ = + α α α α α = = λ λ λ λ λ λ λ = λ λ α α α α λ ψ + α =

    Дополнительная информация

    Точка и Крест Продукты

    The Dot and Cross Products Точечные и перекрестные произведения Две общие операции с векторами — это точечное произведение и перекрестное произведение.Пусть даны два вектора = ,, и = ,,. Точечный продукт Точечный продукт и написано и

    Дополнительная информация

    Треугольник Тригонометрия и Круги

    Triangle Trigonometry and Circles Математические задачи Учащиеся поймут, что тригонометрические функции угла зависят не от размера треугольника, в котором содержится угол, а от соотношения сторон

    Дополнительная информация

    ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 2 ПЕРЕМЕННЫХ

    LINEAR FUNCTIONS OF 2 VARIABLES ГЛАВА 4: ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 2 ПЕРЕМЕННЫХ 4.1 СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЙ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ Из Precalculus мы знаем, что это линейная функция, если скорость изменения функции постоянна. Т.е. за

    Дополнительная информация

    Основная математика C3. Редакция Примечания

    Core Maths C3. Revision Notes Базовые математические заметки о пересмотре C Октябрь 0 Основные математические дисциплины C Алгебраические дроби … Отмена общих множителей … Умножение и деление дробей … Сложение и вычитание дробей … Уравнения …4 функции …

    Дополнительная информация

    Векторы и Скаляры. AP Physics B

    Vectors and Scalars. AP Physics B Векторы и скаляры P Физика Скалярная SCLR — это количество Нью-Йорка в физике, которое имеет MGNITUDE, но НЕ является направлением, связанным с ним. Числовое значение величины в единицах. Скалярный пример Скорость Расстояние ge Величина

    Дополнительная информация

    ТРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

    THREE DIMENSIONAL GEOMETRY Глава 8 ТРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 8.1 Введение В этой главе мы представляем подход векторной алгебры к трехмерной геометрии. Цель состоит в том, чтобы представить стандартные свойства линий и плоскостей,

    Дополнительная информация

    МАТ188х2С Lec0101 Бурбулла

    MAT188h2S Lec0101 Burbulla Зима 206 Линейные преобразования Линейное преобразование T: R m R n — это функция, которая переводит векторы в R m в векторы в R n такие, что и T (u + v) T (u) + T (v) T (kv) k T (v), для всех векторов u

    Дополнительная информация

    Векторные пространства; Пространство Р н

    Vector Spaces; the Space R n Векторные пространства; Пространство R n. Векторные пространства. Векторное пространство (над действительными числами) — это набор V математических объектов, называемых векторами, U, V, W и т. д., в которых определена операция сложения + и в которых

    Дополнительная информация

    ГРАММ.Графические функции

    G. GRAPHING FUNCTIONS G. Графические функции Чтобы быстро понять, как выглядит график функции, очень полезно знать, как определенные простые операции на графике связаны с тем, как выражается функция

    . Дополнительная информация

    C3: функции. Цели обучения

    C3: Functions. Learning objectives ГЛАВА C3: Функции Цели обучения После изучения этой главы вы должны: быть знакомыми с терминами «сопоставления один-один» и «человек-один», понимать термины «область и область действия», понимать «

    ». Дополнительная информация

    Основная математика C2.Редакция Примечания

    Core Maths C2. Revision Notes Базовая математика C Примечания к редакции Ноябрь 0 Основная математика C Алгебра … Многочлены: + ,,, …. Факторизация … Длинное деление … Теорема о остатке … Теорема о факторе … 4 Выбор подходящего фактора .. .5 кубических уравнений …

    Дополнительная информация

    Глава 15 Теория столкновений

    Chapter 15 Collision Theory Глава 15 Теория столкновений 151 Введение 1 15 Относительные системы отсчета и скорости 1 151 Система отсчета центра масс 15 Относительные скорости 3 153 Характеризация столкновений 5 154 Одномерная

    Дополнительная информация

    ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

    TWO-DIMENSIONAL TRANSFORMATION ГЛАВА 2 ДВУМЕРНАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ 2.1 Введение Как указывалось ранее, автоматизированное проектирование состоит из трех компонентов: проектирования (геометрическое моделирование), анализа (ВЭД и т. Д.) И визуализации

    . Дополнительная информация ,

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *