Сложение вычитание деление умножение отрицательных и положительных чисел: Сложение Чисел с Разными Знаками

alexxlab / / Разное

§28. Операции с целыми числами

Планирование уроков на учебный год (по учебнику К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина, полный углубленный курс, 4 часа в неделю)

Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год (по учебнику К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина, полный углубленный курс, 4 часа в неделю) | Арифметические и логические (битовые) операции. Маски





Содержание урока

§26. Особенности представления чисел в компьютере
§27. Хранение в памяти целых чисел
§28. Операции с целыми числами

Сложение и вычитание

Умножение и деление

Сравнение

Поразрядные логические операции

Сдвиги

Вопросы и задания

Задачи

§29. Хранение в памяти вещественных чисел

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание требуются не только для расчётов по формулам, но и для организации вычислений. Например, для того чтобы повторить какое-то действие R раз, используют переменную-счётчик, к которой после каждого выполнения этого действия прибавляют единицу, а затем результат сравнивают с R.

Вместо этого можно сразу записать в счётчик значение R и после каждого повторения вычитать из него единицу, пока не получится ноль 1.

1 Второй вариант более эффективен, потому что процессор автоматически сравнивает результат очередного действия с нулём.

Благодаря тому что отрицательные числа кодируются в дополнительном коде, при сложении можно не обращать внимания на знаки слагаемых, т. е. со знаковым разрядом обращаются точно так же, как и со всеми остальными.

Например, сложим числа 510 (0000 01012) и -910 (1111 01112), используя 8-разрядную двоичную арифметику.

Применим сложение столбиком, не задумываясь о знаках чисел:

Для расшифровки получившегося отрицательного числа применим к нему схему получения дополнительного кода: 1111 1100 —< 0000 01002 = 410. Таким образом, результат равен -410, что совпадает с правилами «обычной» арифметики.

При сложении двух чисел с одинаковыми знаками может случиться переполнение — сумма будет содержать слишком большое количество разрядов. Покажем, как это выглядит для положительных и отрицательных чисел.

Сложим десятичные числа 96 и 33. Их сумма 129 выходит за 8-битную сетку. Для того чтобы обнаружить переполнение, добавим к обоим слагаемым ещё один старший бит, совпадающий со знаковым (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Знаковый разряд S результата равен 1, т. е. сумма получилась отрицательной, хотя оба слагаемых положительны! Процессор определяет переполнение, сравнивая биты S и S’: если они различны, то произошло переполнение и результат неверный (см.

рис. 4.9).

То же самое получается, если сложить два достаточно больших по модулю отрицательных числа, например -96 и -33. Добавим к кодам обоих чисел один старший разряд, равный знаковому разряду (рис. 4.10).

Рис. 4.10

Получается, что в результате бит S = 0, хотя ответ должен быть отрицательным. Биты S’ и S не совпадают, это говорит о том, что произошло переполнение. Несложно проверить (сделайте это самостоятельно), что, если переполнения нет, значения битов S и S’ всегда одинаковы независимо от знаков слагаемых.

Сложение многоразрядных двоичных чисел в компьютере выполняет специальное устройство —

сумматор (см. главу 3). Как мы уже говорили, вычитание сводится к сложению с дополнительным кодом вычитаемого, поэтому отдельного «блока вычитания» в компьютере нет.

Следующая страница Умножение и деление

Cкачать материалы урока




5.

4. Выполнение операций сложения и вычитания в д-кодах

Операции сложения и вычитания в Д-кодах выполняются над операндами по формальным правилам десятичной арифметики, описанным ранее:

1. При сложении двух положительных чисел перевод в дополнительный код исключается. В случае появления потетрадного переноса или результата больше 9 производится коррекция результата прибавлением 6.

2. Сложение отрицательных чисел выполняется аналогично сложению положительных с той лишь разницей, что результату присваивается отрицательный знак.

3. При вычитании чисел осуществляется предварительный перевод в дополнительный код, а затем сложение чисел.

Рассмотрим пример когда одно число отрицательное, а другое положительное:

1) Сложить два числа в коде Д1 A = -1000 0010 0101, B = 1001 0100 0110.

[A]l = 1. 0001 0111 0101

[B] = 0. 1001 0100 0110

1. 1010 1011 1011

+ 0110 0110 0110 поправки

[C] = 0. 0001 0010 0001

5.5. Умножение чисел в д-кодах

Выполнение операций умножения в Д-кодах принципиально производится по классической схеме. Умножение чисел сводится к последовательному суммированию частных произведений, полученных при умножении множимого на очередную цифру множителя. Так как каждая цифра множителя представляется тетрадой, то умножение сопровождается расшифровкой значения очередной тетрады множителя и сдвигом на 4 разряда сразу. Расшифровку можно осуществить разными способами. Простейшим примером является последовательное вычитание 1 из значения тетрады до получения 0 и соответственно прибавление множимого. Надо учитывать обязательно промежуточные переполнения.

Рассмотрим пример умножения двух чисел, представленных в коде Д1:

умножим X = 2510 = 0010 0101 на Y = 1210 = 0001 0010, частные произведения формируем в P. Анализ тетрад Y начинаем с младшей.

0010 0101 x 0001 0010 = 0011 0000 0000 = 30010

P 0000 0000 0000

+ X 0010 0101 0010 — 0001 = 0001 > 0, значит надо еще раз X + P

P 0000 0010 0101

+ X 0010 0101 0010 — 0001 = 0, конец анализа младшей тетрады.

P 0000 0100 1010

+ 0110 поправка

P 0000 0101 0000 сдвигаем X на 4 разряда влево и складываем с P, анализируя старшую тетраду Y.

P 0000 0101 0000

+ X 0010 0101 0000 0001 — 0001 = 0

P 0010 1010 0000

+ 0110 поправка

P 0011 0000 00002 = 30010 ответ.

5.6. Деление чисел в д-кодах

Деление десятичных чисел в Д-кодах выполняется методом последо-вательного вычитания делителя из делимого на первом шаге и из остатков — на последующих шагах. Вычитание на каждом шаге производится до тех пор, пока не получится отрицательный остаток. Каждый раз при получении положительного остатка добавляется 1 в специальный счетчик, где накапливается очередная цифра частного. Затем осуществляется сдвиг на 4 двоичных разряда и прибавление делителя до тех пор, пока не получится положительный остаток. Количество сложений (без последнего) является дополнением соответствующей цифры частного до 9, что заносится в счетчик очередной цифры частного.

Таким образом, процесс деления состоит из ряда последовательно чередующихся циклов сложения и вычитания со сдвигами. Знак частного получается как логическая сумма по модулю 2 знаков чисел.

Рассмотрим пример деления двух чисел, представленных в коде Д1:

X = 48 = 0100 1000, Y = 2 = 0000 0010, X:Y = 24 = 0010 0100 , в С1 — формируем старшую тетраду частного, а в С2 — младшую.

0100 1000 : 0010

— 0010

0010 > 0 С1 = С1 + 1 = 1

— 0010

0000 С1 = 1 + 1 = 2 = 0010

0010

-0010

+ 0010

0000 сдвигаем Y на 4 разряда (1 тетраду) вправо и выполняем те же действия:

0100 1000

— 0010

0110 >0 С2 = С2 + 1 = 1

— 0010

0100 > 0 С2 = 1 + 1 = 2

— 0010

0010 > 0 С2 = 2 + 1 = 3

— 0010

0000 С2 = 3 + 1 = 4 = 0100

Ответ С1 + С2 = 0010 0000 + 0000 0100 = 0010 0100 = 2410

Maths Genie • Сложение, вычитание, умножение и деление отрицательных чисел

Перейти к сложению и вычитанию отрицательных чисел
Перейти к умножению и делению отрицательных чисел

Чтобы складывать и вычитать отрицательные числа, мы можем использовать числовую прямую.
Когда мы складываем, мы двигаемся вправо, а когда вычитаем, мы двигаемся влево.

Пример 1:
-3 + 5

Первое число является отправной точкой. Начинаем с -3.
Мы добавляем, поэтому движемся вправо.
Перемещаемся на 5 делений вправо.

-3 + 5 = 2

Пример 2:
-2 — 6

Первое число является отправной точкой. Начинаем с -2.
Мы вычитаем, поэтому движемся влево.
Перемещаемся на 6 делений влево.
-2 — 6 = -8

Пример 3:
-4 + -5

Первое число является отправной точкой. Начинаем с -4.
Мы добавляем, поэтому движемся вправо.
Сдвигаемся на -5 делений вправо (это значит, что смещаемся на 5 делений влево)
-4 + -5 = -9

Пример 4:
2 — -5

Первое число является отправной точкой. Начинаем в 2.
Мы вычитаем, поэтому движемся влево.
Перемещаемся на -5 делений влево (это означает, что мы перемещаемся на 5 делений вправо)
2 — -5 = 7

Попробуйте эти:





Когда мы умножаем отрицательные числа, мы используем правила: .
Положительный × Положительный = Положительный
Положительный × Отрицательный = Отрицательный
Отрицательный × Положительный = Отрицательный
Отрицательный × Отрицательный = Положительный

Правила умножения и деления отрицательных чисел одинаковы: .
Положительный ÷ Положительный = Положительный
Положительный ÷ Отрицательный = Отрицательный
Отрицательный ÷ Положительный = Отрицательный
Отрицательный ÷ Отрицательный = Положительный

Пример 5:
-6 × 2

6 × 2 = 12
Отрицательный × Положительный = Отрицательный
-6 × 2 = -12

Пример 6:
7 × -5

7 × 5 = 35
Положительный × Отрицательный = Отрицательный
7 × -5 = -35

Пример 7:
-9 × -4

9 × 4 = 36
Отрицательный × Отрицательный = Положительный.
-9 × -4 = 36

Попробуйте эти:

Как учить целые числа

You are here: Home → Статьи → Целые числа

В этой статье описаны лучшие методы обучения работе с целыми числами. Узнайте, как объяснить учащимся, почему работают различные правила. В конце вы найдете для загрузки два печатных информационных бюллетеня, в которых обобщаются правила сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел.


Дополнение

  1. Числовая строка. Сложение целых чисел представляется как перемещение на определенное количество единиц вправо или влево. Первое число в выражении — это ваша «отправная точка». Если вы добавите положительное целое число, вы сдвинетесь вправо на столько же единиц. Если вы добавите отрицательное целое число, вы сдвинетесь влево на столько же единиц.

    Например, 5 + (−6) означает, что вы начинаете с 5 и перемещаетесь на 6 единиц влево. −9 + 5 означает, что вы начинаете с −9., и переместитесь на 5 единиц вправо.

    Эта идея обычно относительно проста для учащихся.



  2. Счетчики. Они представлены в виде маленьких кружков со знаками + или -, нарисованными внутри них, или чем-то подобным. Например:

     + + + + +
− − −

    Это соответствует 5 + (−3).

    Каждая пара плюс-минус отменяется, поэтому ответ положительный 2.

     – – – – – – – –
+ + +

    Это равно (−8) + 3,

    .

    Каждая пара плюс-минус отменяется, поэтому ответ равен −5.


Вычитание

У вас есть несколько вариантов представления вычитания целых чисел. Лично я при вычитании положительного целого числа думаю о скачках на числовой строке, а при вычитании отрицательного целого числа («двойное отрицательное число») я меняю их на сложения.

  1. Числовая строка. Здесь 2 — 5 означает, что вы начинаете с 2 и перемещаетесь на 5 единиц влево, заканчивая на -3. Это идентично интерпретации сложения 2 + (−5) на числовой прямой.

    Аналогично, -4 — 3 будет означать, что вы начинаете с -4 и перемещаетесь на 3 единицы влево, заканчивая -7. Это идентично интерпретации сложения -4 + (-3) на числовой прямой.

    Вычитание отрицательного целого числа с использованием движения числовой строки немного сложнее. Такая задача, как −4 − (−8), будет означать, что вы начинаете с −4, готовы переместиться на 8 единиц влево («знак минус»), но второй знак минус меняет ваше направление, и вы идете на 8 единицы вправо вместо этого, заканчиваясь на 4.

    Посмотрите также эти анимации, иллюстрирующие сложение и вычитание целых чисел в числовой строке.

  2. Образцы можно использовать для обоснования общих правил вычитания целых чисел. Сначала рассмотрим вычитание положительного целого числа. Сделайте небольшой шаблон, чтобы ученик решил, и понаблюдайте, что произойдет с ответами:
     3 − 1 =
3 - 2 =
3 - 3 =
3 - 4 =
3 - 5 =
3 - 6 =

    Вот еще один похожий узор. Попросите учащихся понаблюдать за ответами, а затем продолжите шаблон:

    .
     (−4) + 2 =
(−4) + 1 =
(−4) + 0 =
(−4) − 1 =
(−4) − 2 =
(−4) − 3 =
и т.д.

    Еще одна замечательная идея — использовать изменение температуры : 5 − 9 означает, что температура составляет 5° и падает на 9°.
    (−4) − 8 означает, что сейчас температура составляет −4° и падает на 8°. Это, конечно, концептуально то же самое, что и прыжки с числовой строки.

    Последний образец, который я здесь показываю, на самом деле оправдывает правило вычитания отрицательного целого числа, такого как 7 − (−2). Наблюдайте за шаблоном и смотрите, что происходит:

     3 - 3 =
3 - 2 =
3 - 1 =
3 - 0 =
3 - (-1) =
3 - (-2) =
3 - (-3) =
3 - (-4) =

    Учащиеся открывают для себя кратчайший путь, с помощью которого два отрицательных значения превращаются в положительное!

  3. Счетчики сложнее использовать с вычитанием, но мы можем это сделать. Основная идея состоит в том, чтобы интерпретировать вычитание как «отнимание». Например, с (−4) − (−2) вы начинаете с 4 отрицательных жетонов и убираете два отрицательных жетона. У вас осталось 2 отрицательных счетчика.

    В других ситуациях у вас изначально может не быть жетонов, которые вы должны забрать. Например, в 5 − (−3) вы начинаете с 5 положительными жетонами, но должны убрать 3 отрицательных счетчиков , когда у вас их нет. Как ты это делаешь? Хитрость заключается в том, чтобы сначала добавить к ситуации достаточное количество отрицательных-положительных пар, что равносильно добавлению нуля, поэтому это разрешено. Затем вы можете забрать то, что вам нужно.

     + + + + +

    5 − (−3)

    Мы не можем убрать три отрицательных счетчика, поэтому добавим три пары отрицательный-положительный (что эквивалентно добавлению нуля).

    		  
    → 
     + + + + + + + +
             − − −

    Теперь мы можем убрать три минуса, что оставит +8.


  4. Разница. Напомните учащимся, что 5 − 2 обозначает разность 5 и 2, которая равна 3. Разность можно представить как — расстояние между двумя числами на числовой прямой. Однако сначала нужно написать большее число! Если бы вместо этого мы написали 2 − 5, это не сработало бы, потому что расстояние не может быть отрицательным.

    Используя эту идею, (-2) — (-9) будет означать расстояние между -2 и -9, которое равно 7. Однако (-9) — (-2) будет равно -7, потому что числа не t в правильном порядке, где большее число будет первым. Точно так же 4 − (−2) будет равно 6, поскольку это расстояние между 4 и −2. В −6 − (−3) числа расположены в неправильном порядке для вычисления расстояния, поэтому мы принимаем их расстояние как отрицательное, и ответ равен −3.

В приведенном ниже видео показано, как использовать ТРИ из этих различных моделей для вычитания целых чисел: 1) модель числовой строки, 2) понятие разности и 3) счетчики.


Умножение

Самый быстрый способ умножать отрицательные числа — это запомнить эти маленькие правила:

отрицательный × отрицательный положительный
положительный × положительный положительный

отрицательный × положительный отрицательный
положительный × отрицательный отрицательный.

Другими словами, если два целых числа имеют разные знаки, то произведение отрицательное, а в противном случае положительное.

Но давайте также объясним, ПОЧЕМУ это работает именно так.

  1. Положительное × отрицательное целое число , например 3 × (−8).

    Это можно записать как многократное сложение:
    (−8) + (−8) + (−8) = −24

    См. также эту умную анимацию о схеме умножения 2 × (числа) и о том, как она переходит в отрицательные числа.

  2. Отрицательное умножается на положительное , например (−5) × 4.

    Благодаря тому, что умножение коммутативно, вы можете превратить это вокруг, а затем по (1) выше, ответ отрицательный:

    (−5) × 4 = 4 × (−5)
    = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20.
  3. Отрицательное число, умноженное на отрицательное . Сделайте выкройку:
    (−3) × 3 =
    (−3) × 2 =
    (−3) × 1 =
    (−3) × 0 =
    (−3) × (−1) =
    (−3) × (−2) =
    (−3) × (−3) =
    (−3) × (−4) =

    Обратите внимание, как произведение постоянно увеличивается на 3 на каждом шаге. Следовательно, мы получаем (например), что (−3) × (−4) = 12. Итак, отрицательное произведение на отрицательное — это положительное значение!

    Вы также можете увидеть это в этой анимации.

    Еще одно обоснование этого правила можно увидеть с помощью распределительного свойства.

    Распределительное свойство арифметики утверждает, что а ( б + с ) = аб + ак .

    Если мы выберем a = (−1), b = 3 и c = (−3), свойство распределения дает нам:

    (−1)(3 + (−3)) = (−1)(3) + (−1)(−3)

    Теперь, поскольку 3 + (−3) равно нулю, вся левая часть равна нулю.

    Таким образом, правая часть, или (−1)(3) + (−1)(−3), также должна быть равна нулю.

    (-1)(3) равно -3. Отсюда следует, что (−1)(−3) должно быть напротив из −3 или 3.

    Эта последняя часть может оказаться слишком сложной для понимания шестиклассников. Но им не нужно понимать все это; можно сказать, что иногда мы нужно просто следовать правилам и полностью понять «почему» позже. Они, вероятно, могут понять это частично


Деление целых чисел

Правила деления отрицательных чисел соблюдаются, потому что деление — это операция, обратная умножению.

Например, чему равно (−21) ÷ (−7) ? Назовем ответ на этот А.

Итак, (−21) ÷ (−7) = A. Отсюда следует, что A × (−7) = (−21)

Зная правила умножения, подходит только число 3. Итак, (−21) ÷ (−7) = 3.

Вы можете сделать аналогичные случаи для (−21) ÷ 7 и 21 ÷ (−7).

На самом деле математики использовали бы не конкретные числа вроде 21 и 7, а переменные.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта