Сложная производная функция: Производная сложной функции (u(v(x))’

2\rightarrow \ln\boxdot \)

п.2. Теорема о производной сложной функции

Введем следующее обозначение производной (обозначение Лейбница):
\(f'(x)\overset{def}{=}\frac{df}{dx}\) — читается «де эф по де икс».
Это обозначение удобно, т.к. показывает и функцию и аргумент, по которому идет дифференцирование. Например:
\(z'(y)=\frac{dz}{dy},\ \ \varphi ‘(t)=\frac{d\varphi}{dt}\) и т.д.

Пусть внутренняя функция \(y=f(x)\), а внешняя \(z=g(y)=g(f(x))\).
При этом внутренняя функция дифференцируема в точке \(x_0\), а внешняя функция дифференцируема в точке \(y_0=f(x_0)\).
Справедлива следующая теорема:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции: $$ \begin{cases} y=f(x)\\ z=g(y)=g\circ f \end{cases} \Rightarrow \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx} $$

Доказательство:
По определению производная внешней функции в точке $y_0$ равна:
$$ g'(y_0)=\lim_{\triangle y\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle y}=\frac{dz}{dy} $$ Перепишем это выражение в виде: \(\triangle z=g'(y_0)\triangle y+\varepsilon(\triangle y)\cdot\triangle y\),

где отклонение \(\varepsilon(\triangle y)\) зависит от величины приращения \(\triangle y\), причем: $$ \lim_{\triangle y\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon(0)=0 $$ Кроме того, т. к. внутренняя функция непрерывна: $$ \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)=\varepsilon\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\triangle y\right)=\varepsilon(0)=0 $$ Также, поскольку внутренняя функция дифференцируема, существует предел: $$ f'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx} $$ Составим отношение: $$ \frac{\triangle z}{\triangle x}=g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x} $$ Перейдем к пределу: \begin{gather*} z'(x_0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle z}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(g'(y_0)\frac{\triangle y}{\triangle x}+\varepsilon(\triangle y)\cdot\frac{\triangle y}{\triangle x}\right)=\\ =g'(y_0)\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\varepsilon(\triangle y)\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=g'(y_0)\cdot f'(x_0)+0=g'(y_0)\cdot f'(x_0) \end{gather*} Или: $$ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} $$ Что и требовалось доказать. 2+2x-1)} \end{gather*}

в) \( y=\sqrt{cos(2x+1)} \) \begin{gather*} x\rightarrow (2x+1)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot} \end{gather*}

	Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ \sqrt{\boxdot} $$	$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}} $$	$$ \boxdot=cos(2x+1) $$	$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}}=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}} $$
2	$$ cos\boxdot $$	$$ -sin\boxdot $$	$$ \boxdot=2x+1 $$	$$ -sin\boxdot=-sin(2x+1) $$
3	$$ 2x+1 $$	$$ 2 $$	$$ — $$	$$ 2 $$

\begin{gather*} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{cos(2x+1)}}\cdot(-sin(2x+1))\cdot 2=-\frac{sin(2x+1)}{\sqrt{cos(2x+1)}} \end{gather*}

г) \( y=\frac{3}{\sqrt{cos(5x-3)}} \) \begin{gather*} x\rightarrow (5x-3)\rightarrow cos\boxdot\rightarrow \sqrt{\boxdot}\rightarrow\frac{3}{\boxdot} \end{gather*}

	Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ \frac{3}{\boxdot} $$	$$ -\frac{3}{\boxdot^2} $$	$$ \boxdot=\sqrt{cos(5x-3)} $$	$$ -\frac{3}{\boxdot^2}=-\frac{3}{\left(\sqrt{cos(5x-3)}\right)^2} $$
2	$$ \sqrt{\boxdot} $$	$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}} $$	$$ \boxdot=cos(5x-3) $$	$$ \frac{1}{2\sqrt{\boxdot}}=\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}} $$
3	$$ cos\boxdot $$	$$ -sin\boxdot $$	$$ \boxdot=5x-3 $$	$$ -sin\boxdot=-\boxdot(5x-3) $$
4	$$ 5x-3 $$	$$ 5 $$	$$ — $$	$$ 5 $$

\begin{gather*} y'(x)=-\frac{3}{cos(5x-3)}\cdot\frac{1}{2\sqrt{cos(5x-3)}}\cdot(-sin(5x-3))\cdot 5=\frac{15tg(5x-3)}{2\sqrt{cos(5x-3)}} \end{gather*}

Пример 3*. 8\)

в) \( y=sin(sin(sinx)),\ \ x_0=\pi \) \begin{gather*} x\rightarrow sinx\rightarrow sin\boxdot\rightarrow sin\boxdot \end{gather*}

	Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ sin\boxdot $$	$$ cos\boxdot $$	$$ sin(sinx) $$	$$ cos(sin(sinx)) $$
2	$$ sin\boxdot $$	$$ cos\boxdot $$	$$ sinx $$	$$ cos(sinx) $$
3	$$ sinx $$	$$ cosx $$	$$ — $$	$$ cosx $$

\begin{gather*} y'(x)=cos(sin(sinx))\cdot cos(sinx)\cdot cosx \end{gather*} Подставляем \(x_0=\pi\): \begin{gather*} y'(\pi)=cos(sin(sin\pi))\cdot cos(sin\pi)\cdot cos\pi=cos 0\cdot cos 0\cdot(-1)=1\cdot 1\cdot(-1)=-1 \end{gather*} Ответ: -1

г) \( y=\ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}},\ \ x_0=\frac\pi 6 \)
Преобразуем выражение под логарифмом: \begin{gather*} \ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=\frac12\ln\left(\frac{1-sinx}{1+sinx}\right)=\frac12(\ln(1-sinx)-\ln(1+sinx)) \end{gather*} Для первого слагаемого: \(x\rightarrow (1-sinx)\rightarrow\ln\boxdot\) \begin{gather*} (\ln(1-sinx))’=\frac{1}{1-sinx}\cdot(1-sinx)’=\frac{-cosx}{1-sinx} \end{gather*} Аналогично для второго слагаемого: \begin{gather*} (\ln(1+sinx))’=\frac{1}{1+sinx}\cdot(1+sinx)’=\frac{cosx}{1+sinx} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} y'(x)=\frac12\left(\frac{-cosx}{1-sinx}-\frac{cosx}{1+sinx}\right)=-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{(1+sinx)+(1-sinx)}{(1-sinx)(1+sinx)}=\\ =-\frac{cosx}{2}\cdot\frac{2}{1-sin^2x}=-\frac{cosx}{cos^2x}=-\frac{1}{cosx} \end{gather*} Подставляем \(x_0=\frac\pi 6\): \begin{gather*} y’\left(\frac\pi 6\right)=-\frac{1}{cos\frac\pi 6}=-2 \end{gather*} Ответ: -2

Пример 4*. При каких значениях x производная функции \(f(x)\) равна нулю?
a) \( f(x)=sin3x-\sqrt{3}cos3x+3(cosx-\sqrt{3}sinx) \)
Берем производную: \begin{gather*} f'(x)=3cos3x+3\sqrt{3}sin3x+3(-sinx-\sqrt{3}cosx)=\\ =3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx) \end{gather*} По условию: \begin{gather*} 3(cos3x+\sqrt{3}sin3x)-3(sinx+\sqrt{3}cosx)=0\\ cos3x+\sqrt{3}sin3x=sinx+\sqrt{3}cosx\ |\cdot\frac12\\ \frac12cos3x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x=\frac12sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\\ cos\frac\pi 3cos3x+sin\frac\pi 3sin3x=sin\frac\pi 6sinx+cos\frac\pi 6cosx\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)=cos\left(x-\frac\pi 6\right)\\ cos\left(3x-\frac\pi 3\right)-cos\left(x-\frac\pi 6\right)=0\\ -2sin\frac{3x-\frac\pi 3+x\frac\pi 6}{2}sin\frac{3x-\frac\pi 3-x+\frac\pi 6}{2}=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin\left(2x-\frac\pi 4\right)=0\\ sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac\pi 4=\pi k\\ x-\frac{\pi}{12}=\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac\pi 4+\pi k\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2}\\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
Ответ: \(\left\{\frac\pi 8+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{12}+\pi k\right\}\)

б) \( f(x)=20cos3x+12cos5x-15cos4x \)
Берем производную: \begin{gather*} f'(x)=-3\cdot 20sin3x-5\cdot 12sin5x+4\cdot 15sin4x=\\ =60(-sin3x-sin5x+sin4x) \end{gather*} По условию: \begin{gather*} 60(-sin3x-sin5x+sin4x)=0\\ (sin3x+sin5x)-sin4x=0\\ 2sin\frac{3x+5x}{2}cos\frac{3x-5x}{2}-sin4x=0\\ 2sin4xcosx-sin4x=0\\ sin4x(2cosx-1)=0\\ \left[ \begin{array}{l} sin4x=0\\ 2cosx-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x=\pi k\\ cosx=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi k}{4}\\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}
Ответ: \(\left\{\frac{\pi k}{4};\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right\}\)

Производная сложной функции — вычисление и определение с примерами решения

Содержание:

1. Производная от сложной функции
2. Сложная функция и производная
3. Формула производной сложной функции
4. Производная сложной функции подробное определение и примеры
5. Примеры на вычисление производных сложных функций:

Производная от сложной функции

Пусть у есть функция от аргумента u, то есть y = f (u), и пусть аргумент  u — некоторая функция от независимой переменной x: . Тогда y есть функция от x: В таких случаях говорят, что у является функцией от функции или сложной функцией от аргумента x.

Пусть мы умеем вычислять производную от у по аргументу u, а также производную от аргумента u по независимой переменной х. Установим, как вычисляется производная от у по независимой переменной х.

ТЕОРЕМА. Если функции y = f (u) и  имеют производные, то производная сложной функции равна производной от функции y по промежуточному аргументу u, умноженной на производную от промежуточного аргумента u по независимой переменной х.

То есть, .

Доказательство.

Дадим x произвольно малое приращение . Тогда функция  получит приращение , а функция y = f (u) получит приращение , вызванное приращением . Поскольку производная   по  условию существует, то   Откуда   где вместе с .
А поэтому   Разделив обе части равенства на , получим 
 Перейдем к пределу при и, учитывая, что  вследствие непрерывности функции u, что обусловливает и , получим:
    или   ,  что и доказывает теорему.

Замечание. В данной теореме рассмотрена сложная функция, где y зависит от x через промежуточную переменную u. Возможна и более сложная зависимость с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных. При этом правило дифференцирования остается тем же.

Так, например, если

y = f (u), где , а, то 

Пример 1. Найти производную функции y = sin³ x.

Решение. Положим  u = sin x, тогда y = u³. Отсюда  Итак,

При определенном опыте промежуточный аргумент не пишут, а используют его неявно.

Пример 2. Найти y’, если y = tg (x² + 4).

Решение. Помня, что u = x² + 4,  находим

Пример 3. Найти производную функции y = cos² (3x + 2).

Решение. Эту функцию можно рассматривать как сложную с двумя промежуточными переменными: y = u², где u = cos t, t = 3x + 2

.

Сложная функция и производная

B классе 10, еще не известно ни о какой производной или её возможном применении для нахождения промежутков монотонности, вы использовали в различных задачах свойства основных элементарных функций. Так, например, чтобы доказать возрастание функции достаточно заметить, что большему значению соответствует большее значение выражения большему значению соответствует большее значение выражения большему значению соответствует большее значение выражения и, наконец, большему значению соответствует большее значение выражения т.е. самой функции

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Эти выводы основаны на том, что линейная функция показательная функция линейная функция и логарифмическая функция и являются возрастающими. То есть при увеличении значений их аргументов увеличиваются и значения самих функций. Таким образом, функция оказывается, подобно русской матрёшке, сложена из других, более простых функций

Можно сказать, что эта сложная функция у составлена из функций и

Рассмотрим сложную функцию где функция v имеет производную в точке а функция и имеет производную в точке Функцию иногда называют внешней, а функцию — внутренней.

Заметим, что приращению соответствует приращение которому, как приращению аргумента функции в свою очередь, соответствует приращение Тогда:

По условию функция дифференцируема в точке а значит, её приращение стремится к нулю при Имеем:

(нижние индексы показывают, по какому аргументу находится производная).

Производная сложной функции равна произведению производных внешней и внутренней функции:

В выводе этой формулы есть небольшая тонкость — функция не должна в окрестности точки представлять собой постоянную. В противном случае приращение в этой окрестности будет тождественно равно нулю, и выражение — лишится смысла.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Целые числа

Уравнение 4 степени

Скалярное произведение векторов примеры решения

Обратная матрица примеры решения

Примеры с решением

Пример 1:

Найти значение производной функции при

Решение:

Функция у сложная. Она составлена из двух функций: внутренней и внешней Применим формулу производной сложной функции: Найдём

Ответ:

Пример 2:

Найти уравнение касательной к кривой, заданной уравнением в её точке

Решение:

Переменная у задана уравнением неявно. Однако из этого уравнения её можно выразить, если рассмотреть его как квадратное относительно Данная кривая состоит из графиков двух функций, соответствующих знакам или График, которому принадлежит точка соответствует знаку Используя правила и формулы дифференцирования, можно найти вычислить и подставить это значение в уравнение касательной. Однако намного проще решить эту задачу иначе. В некоторой окрестности точки переменная является переменной Рассматривая левую часть равенства как сложную функцию и используя формулу производной сложной функции, найдём производные от обеих частей данного в условии уравнения: Подставим в полученное уравнение координаты точки и найдём значение Остаётся подставить найденный угловой коэффициент касательной в её уравнение

Ответ:

Упражнения:

Составьте сложную функцию

Сложная функция. Производная сложной функции.

Рассмотрим вопрос, как можно из двух простых функций построить сложную функцию. Например, возьмем две элементарные функции: — тригонометрическая функция — квадратичная функция и построим из них сложную.

Определение:

Функцию называют сложной, если областью определения функции является множество значений функции т.е. если аргументом функции является другая функция При этом называется внешней функцией, а внутренней функцией.

Для выбранных функций мы получим сложную функцию

Таким образом, одна функция оказалась внутри другой, для функции вместо подставили

Если в нашем примере поменять внешнюю и внутреннюю функцию местами, то мы получим следующую сложную функцию: .

Запишем несколько сложных функций и укажем для них внешнюю и внутреннюю функции: , -внешняя функция -внутренняя функция. , -внешняя функция -внутренняя функция.

Необходимо понимать, для того чтобы найти значение сложной функции, необходимо вначале обратиться к внутренней функции, а уж затем находить значение самой сложной функции.

Рассмотрим правило нахождения производной сложной функции:

Производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней функции:

Пример 3:

, -внешняя функция, -внутреняя функция

Пример 4:

Пусть требуется вычислить по заданному значению соответствующее значение функции заданной формулой Для этого надо сначала вычислить по заданному значение а затем уже по этому вычислить Итак, функция ставит в соответствие числу число а функция — числу число Говорят, что есть сложная функция, составленная из функций и и пишут:

Чтобы вычислить значение сложной функции в произвольной точке сначала вычисляют значение «внутренней» функции в этой точке, а затем

Какова область определения сложной функции Это — множество всех тех из области определения функции для которых входит в область определения функции

В рассматриваемом примере областью определения функции является вся числовая прямая. Значение определено, если значение принадлежит области определения функции Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство т. е. и, значит, область определения функции — это отрезок

Формула производной сложной функции

В предыдущих пунктах вы научились находить производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень большого объема работы: надо представить в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.

Если функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке то сложная функция также имеет производную в точке причем

Для доказательства формулы надо (как и раньше) при рассмотреть дробь — и установить, что при Введем обозначения: Тогда при так как дифференцируема в точке Далее доказательство проведем только для таких функций у которых в некоторой окрестности точки Тогда при так как при а при что выполнено при (это отмечалось выше).

Пример 4:

Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции Функцию можно представить в виде сложной функции Так как имеем

Пример 5:

Найдем производную функции Так как где , то и откуда

Производная сложной функции подробное определение и примеры

Теперь мы можем установить весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций. V. Пусть: 1) функция имеет в некоторой точке производную 2) функция имеет в соответствующей точке производную Тогда сложная функция в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций и или, короче,

Для доказательства придадим произвольное приращение пусть — соответствующее приращение функции и, наконец, —приращение функции вызванное приращением Воспользуемся соотношением которое, заменяя на перепишем в виде (а зависит от и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на получим

Если устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и [88, 2°], а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от величина Следовательно, существует предел который и представляет собою искомую производную

Замечание:

Здесь сказывается полезность замечания в относительно величины при покуда есть приращение независимой переменной, мы могли предполагать его *) Подчеркнем, что символ означает производную функцию по ее аргументу и (а не по ), вычисленную при значении этого аргумента. отличным от нуля, но когда заменено приращением функции то даже при мы уже не вправе считать, что

Примеры с решением

Сначала приведем несколько примеров приложения правил I—IV.

Пример:

Рассмотрим многочлен: По правилу II, а затем I, будем иметь: Использовав же формулы I, 2, 3 окончательно получим

Пример:

По правилу III Опираясь на предыдущий пример и формулу найдем

Пример:

Здесь приходится пользоваться сначала правилом IV, а затем правилами II и III (и формулами 6, 7,

Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не расчленяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные сразу.

Иногда сложные выглядящие функции могут быть значительно упрощены, если выразить их как совокупность двух или более различных функций. Тогда невозможно дифференцировать их напрямую, как мы делаем с простыми функциями.

Мы обсудим правило с доказательством только для композиции двух функций, но его можно распространить и на функции, включающие несколько композиций. Итак, начнем!

Примеры на вычисление производных сложных функций:

Пример:

Пусть иначе говоря, где По правилу V, Производная (формула 5) должна быть взята при Таким образом, (формула 6).

Пример:

*) Буквами ниже обозначены переменные, а другими буквами — постоянные величины. Конечно, в отдельном выписывании составляющих функций на деле нет надобности.

Пример:

Пример:

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила V:

Пример:

тогда

Дадим еще несколько примеров на применение всех правил:

Пример:

Пример:

Пример:

В виде упражнения исследуем еще вопрос о производной степенно-показательного выражения где и суть функции от имеющие в данной точке производные Прологарифмировав равенство получим

Таким образом, выражение для у можно переписать в виде откуда уже ясно, что производная существует. Самое же вычисление ее проще осуществить, приравнивая производные по от обеих частей равенства (4), При этом мы используем правила V и III (помня о том, что и суть функции от ). Мы получим и откуда или, подставляя вместо у его выражение,

Эта формула впервые была установлена Лейбницем и И. Бернулли. Например, если

Производная сложной функции — Энциклопедия по экономике

Цепное правило связывает частные производные сложной функции h = g о f с частными производными функций fug. Обсудим теперь следствие из цепного правила, которое связывает дифференциал h с дифференциалами g и /. Этот результат (известный как правило инвариантности Коши 1) весьма полезен при вычислении дифференциалов.  [c.132]
В одномерном случае первая и вторая производные сложной функции h = go/, заданной уравнением  [c.153]

Функция х тождественно равна нулю на множестве Т, а значит, все ее частные производные также равны нулю на Т. В частности, Dx( 0) = 0. Далее, поскольку h дифференцируема в IQ и g дифференцируема в (ZQ to), то по правилу производной сложной функции  [c.181]

Автором учтены также изменения в математике, произошедшие в 90-х гг. XX в. — появление универсальных пакетов символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи отыскивать производные сложных функций, строить графики, вычислять непростые пределы, решать системы уравнений и многое другое.

 [c.10]

Если у есть дифференцируемая функция от и (у = /(w)), а и есть дифференцируемая функция от х (и = м(ж)), то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции, т. е.  [c.116]

Более кратко сформулированное утверждение можно записать так производная сложной функции равна произведению производных, из которых она состоит.  [c.116]

П Вначале докажем формулу вычисления производной сложной функции в предположении Aw ф 0  [c.117]

Производная сложной функции 291  [c.291]

Производная сложной функции  [c.291]

Частные производные, дифференциал и связь между ними. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции.  [c.15]

В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.  [c.14]

Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению неявной функции у = /(ж) удовлетворяет уравнению (14.3). Левая часть этого уравнения представляет собой сложную функцию от ж, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Воспользовавшись формулой (14.1) дифференцирования сложной функции, получаем  [c.298]

Второй метод определения оптимальной мощности предприятия — аналитический. Он основан на построении сложных экономико-математических моделей затрат, как функции объемов выпускаемой предприятием продукции. Оптимальную мощность в этом случае находят, приравнивая нулю первую производную рассматриваемой математической функции.  [c.168]

Газовая промышленность, включающая добычу газа, магистральные газопроводы, газоперерабатывающие заводы, машиностроение и другие подотрасли, представляет собой сложное хозяйство с неодинаковыми функциями и разной производственно-хозяйственной направленностью ее объектов. Однако все элементы газовой промышленности объединены основной целью — производство и доставка газа и его производных к потребителям в заданных планом количествах.  [c.121]

Таким способом решаются многие задачи предельного анализа экономики. Применение В.з. в экономике, в исследовании операций имеет ряд ограничений 1) поиск экстремума реально приходится вести не только в точках, где производные обращаются в нуль, но и на границе области допустимых решений 2) нередко применяются функции, для которых производные могут просто не существовать (напр., разрывные, кусочно-линейные) 3) само решение системы уравнений, полученной путем дифференцирования основной функции, может оказаться не проще, а сложнее, чем поиск экстремума другими методами.  [c.41]

Физическое содержание задачи. Уравнения (1) описывают средние значения концентраций радиоактивных ксенона (ж1) и йода (ж2) в ядерном реакторе, причем используется простейшая точечная математическая модель. В действительности а 1 и ж2 — суть функции не только времени, но и трех пространственных координат, а уравнения (1) в более точной постановке задачи были бы заменены существенно более сложной системой уравнений с частными производными. Функция и (t) есть среднее значение потока нейтронов в реакторе. Это значение поддается регулированию и в данной постановке задачи играет роль управления. Ограничение и (t) 0 имеет очевидный физический смысл, ограничение и (t) 1 связано с техническими возможностями аппарата. А, В, С, D, А — некоторые заданные постоянные  [c.295]

Эти рассуждения возможны только потому, что функция потребления (2.6) является простой в математическом отношении (имеет один максимум, вторая производная нигде не меняет своего знака). В более сложных случаях методы классического анализа дают отказ — обстоятельство, приведшее к созданию нелинейного программирования. Наша задача является простейшей задачей нелинейного программирования, не требующей применения тонких и сложных методов, характерных для этой области математической экономики.  [c.60]

РИС. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции «цена-доходность» на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т.д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации.  [c.139]

Проблема вычисления сил к моментов, действующих на твердое тело в жидкости, крайне сложна. Поэтому естественно использовать вариационное уравнение. (10.3) для определения сил и моментов, задавая функционалы Л»-и 3) из феноменологических соображений. Заметим, что между X и 3) имеется универсальная зависимость, в силу которой их нельзя задавать произвольно. Действительно, положим в (10.3) в момент времени t 8qK =0. Тогда для любых функций 8qK(r), обращающихся в нуль вместе со своими первыми и вторыми производными в начальный момент времени и равными нулю в момент времени /, должно выполняться равенство  [c.252]

О других формах классической теории оболочек.. Плотность энергии Ф является сложной нелинейной функцией от производных закона движения оболочки f (Jf, t). Возникает вопрос об упрощении выражения для Ф, учитывая, что оно является приближенным. Меры растяжения А квадратичны по г а и от этой нелинейности вряд ли можно избавиться в общем случае. Поэтому энергия растяжения будет полиномом по г а четвертой степени. Компоненты второй» квадратичной формы, а следовательно, меры изгиба Вар, зависят от производных г крайне сложным образом  [c.268]

Оценка потерь эффективности при помощи изменения потребительского излишка. Как было отмечено выше, для возможности сравнения наиболее широкого класса размещений от функции общественного благосостояния требуется наличие свойства отделимости. В частном случае такая отделимость обеспечивается, когда функция общественного благосостояния равна сумме полезностей отдельных экономических агентов. Сопоставимость функций, отражающих индивидуальные предпочтения, можно обеспечить, например, переходя к функции полезности в денежном выражении или к функции расходов. Непосредственная оценка функции расходов сложна из-за необходимости наличия большого массива данных для такой оценки. Поэтому благосостояние потребителей обычно анализируется на основе оценки функции спроса и производных из нее показателей.  [c.99]

Положения о подразделениях и ДИ являются производными от основополагающих и общих нормативно-технических документов, регламентирующих функционирование предприятия в целом. Такими документами могут быть классификаторы функций и управленческих решений, схемы функциональных взаимосвязей или регламенты по распределению прав и ответственности между органами управления высшего уровня, технологические карты принятия управленческих решений со сложной технологией, проекты организации рабочих мест служащих, регламенты рабочей недели, месяца руководителей, документы по делегированию прав и ответственности руководителей всех уровней управления, словари производственных ситуаций и варианты их решений и др.  [c.88]

Цепное правило для матриц Гессе дает выражение для вторых производных сложной функции h = go/ в терминах производных первого и второго порядка функций g и /. Следующая теорема дает представление второго дифференциала h в терминах первого и второго дифференциалов функций g и /.  [c.154]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [derivation] — операция определения производной рассматриваемой функции. Напр., производная линейной функции (Ьх + а У = Ъ, т.е. является константой производная степенной функции [х») -= ах» 1 (>0), т.е. дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу или дифференцирование логарифмической функции (logoJt) = 1/х log/ (0 0), в частности (In x) = Их. Для Д.ф., представляющей собой комбинацию элементарных функций, применяются специальные правила напр., производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной для дифференцирования произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений (производная первой функции на вторую функцию, плюс первая функция на производную второй функции — (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + + u(x)v(x) ). Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций, правила вычисления производных высших порядков, а также правила Д.ф. многих переменных.  [c.92]

Производная суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной функции. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.  [c.14]

Фактическое вычисление (численное, например) производной Гато (10) существенно сложнее вычисления производных Фреше для функционалов, рассмотренных в 3 вычисление и использование последних требует однократного решения краевой задачи типа (3.8) и запоминания функции одного переменного ф (t). Для того чтобы работать с производной Гато, нужно вычислить и запомнить функцию двух переменных ф (t, t ). Вводя на М некоторую достаточно плотную конечную сетку t lt t z,.. ., t t, мы можем получить достаточно точную аппроксимацию производной Гато после /-кратного решения краевых задач типа (8), запомнив функции ф (t, t j), ф (t, t 2),. . ., ф (t, t t). Хотя эта процедура отпугивает своей громоздкостью, именно она использовалась автором в многочисленных расчетах в сочетании с некоторыми дополнительными приемами, этот подход позволил эффективно решить ряд сложных задач с функционалами типа (1), причем расход машинного времени был сравнительно невелик. Теперь обсудим одну нестрогость, допущенную в проведенном выше анализе. Речь идет о переходе  [c.36]

Однако и сведение вариационной задачи (1)—(3) к конечномерной задаче минимизации Ф (а) еще не дает метода, поскольку поиск минимума Ф (а) оказывается чрезвычайно трудоемким и большие затраты машинного времени приводят к довольно ненадежным результатам. Причины этого подробно обсуждаются в 25, здесь же заметим только, что при очень малом е в функционале (4) основную роль играют невязки х—/ (х, и), на фоне которых теряется исходный подлежащий минимизации функционал F0. Основной целью процесса поиска минимума Ф (а) является минимизация х—/ (х, и) , и лишь после того как эта величина более или менее минимизирована, принимается во внимание значение F0. Другими словами, определяемая конструкцией (4) функция Ф (а) оказывается очень негладкой, и для нее не удается построить эффективный процесс минимизации. Именно с этим обстоятельством связана та довольно сложная и громоздкая конструкция поиска минимума Ф (а), которая опирается на обширную информацию, включающую не только значения функции Ф (а) и ее производных, но и значения производных отдельных составляющих Ф (а) компонент.  [c.137]

Вычислительные методы предназначены прежде всего для решения задач, возникающих в приложениях. Авторами таких задач являются инженеры, физики, медики и т. д., т. е. специалисты, не искушенные в изобретении хитроумных примеров функций, не имеющих, например, производной нигде, и т. д. Для таких специалистов термины функция и формула (имеется в виду формула не очень сложная) — практически равнозначны. Поэтому, на первый взгляд, от них не следует ожидать задач с недифференцируемыми функциями. Однако это не так. Есть две весьма популярные в приложениях операции, с помощью которых из сколь угодно гладких функций образуются негладкие. Это операции max и . Вычислитель должен быть готов к задачам минимизации функций  [c.407]

В любой сложной системе существует многоуровневая иерархи ческая структура подсистем и их элементов, а следовательно должна быть и многоуровневая организационная структура. Нг каждом уровне — свои управленческие задачи, функции, службы свои права, обязанности и ответственность, свой уровень компе тентности и самостоятельности. Но самостоятельность предполагает возможность принятия оптимальных на данном уровне организационной структуры планово-управленческих решений, кото рые должны находиться в рамках интересов всей системы в целом А для этого нужен объективный критерий оптимизации, производный от критерия вышестоящего звена.  [c.196]

Любая дополнительная единица продукции вызывает увеличение затрат фирмы на 66,90. Прирост прибыли определяется несколько сложнее, поскольку она изменяется при увеличении объема выпуска. Коэффициент наклона (математически первая производная) функции суммарного дохода компании «Almeria» определяется из уравнения  [c. 300]

Комплексный анализ

←Комплексный анализ→

---

Понятие комплексной производной лежит в основе теории комплексных функций. Определение комплексной производной аналогично производная действительной функции. Однако, несмотря на внешнее сходство, сложная дифференциация это совсем другая теория.

Комплексная функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0\in \mathbb C$ тогда и только тогда если существует следующий коэффициент предельной разности

\begin{eqnarray}\label{diff01} f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}. \end{eqnarray}

В качестве альтернативы, полагая $\Delta z = z-z_0$, мы можем написать

\begin{eqnarray}\label{diff02} f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z_0+\Delta z) -f(z_0)}{\Delta z}. \end{eqnarray}

Мы часто опускаем нижний индекс у $z_0$ и вводим число \[\Delta w = f(z+\Delta z)-f(z).\] что означает изменение значения $w=f(z)$, соответствующее изменению $\Delta z$ в точке, в которой оценивается $f$. Тогда мы можем записать уравнение (\ref{diff02}) как \[\ frac{d w}{d z}= \lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}.\]

Несмотря на то, что формула (\ref{diff01}) для производной по форме идентична формуле производная функции с действительным знаком, важно отметить, что $f'(z_0)$ следует из двумерного предела. Таким образом для существования $f'(z_0)$ соответствующий предел должен существовать независимо от направления из которой $z$ приближается к предельной точке $z_0$. Для функции одной действительной переменной у нас есть только два направления, то есть $x\lt x_0$ и $x\gt x_0$.

Рисунок 1: Существует бесконечное множество направлений для приближения к $z_0$.

Замечательной чертой комплексной дифференциации является то, что существование одного комплекса производная автоматически подразумевает существование бесконечного множества! Это отличается от случая функции действительной переменной $g(x)$, в которой $g'(x)$ может существовать без существования $g»(x)$.

---

Уравнения Коши-Римана

Теперь давайте посмотрим на замечательное следствие определения (\ref{diff01}). Сначала посмотрим, что произойдет, когда подходим к $z_0$ по двум простейшим направлениям — горизонтальному и вертикальному. Если мы устанавливаем $$z= z_0 + h = (x_0+h)+iy_0,\quad h\in \mathbb R,$$ затем $z \rightarrow z_0$ вдоль горизонтальной линии как $h\rightarrow 0.$ Если мы запишем $f$ через его действительную и мнимую составляющие, то есть $$f(z) = u(x,y)+iv(x,y),$$ тогда $$f'(z_0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$ тогда

\begin{выравнивание*} f'(z_0)&= & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h + iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h} \\ &= & \lim_{h \стрелка вправо 0} \left[ \frac{u \left( x_0 +h, y_0 \right) — u \left( x_0 , y_0 \right)}{h}\right]+i \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{v \left( x_0 +h, y_0 \right) — v \left( x_0 , у_0 \справа)}{ч}\справа] \\ &= & u_x(x_0, y_0)+ i v_x(x_0,y_0) \end{eqnarray*}

где $u_x(x_0,y_0)$ и $v_x(x_0,y_0)$ обозначают частные производные первого порядка по к $x$ функции $u$ и $v$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$. Если теперь мы установим $$z = z_0+ik = x_0 + i(y_0+k), \quad k\in \mathbb R,$$ затем $z\rightarrow 0$ вдоль вертикальной линии как $k\rightarrow 0$. Поэтому у нас также есть

\begin{выравнивание*} f'(z_0)&= & \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(z_0+ik)-f(z_0)}{ik} = \lim_{k \rightarrow 0} \left[ -i \frac{f(x_0 + i(y_0+k))-f(x_0+iy_0)}{k} \right] \\ &= & \lim_{k \стрелка вправо 0} \left[ \frac{v \left( x_0 , y_0 + k\right) — v \left( x_0 , y_0 \right)}{k}-i \frac{u \left( x_0 , y_0 +k \right) — u \left( x_0 , y_0 \right)}{k}\right] \\ &= & v_y(x_0, y_0)- i u_y(x_0,y_0) \end{eqnarray*}

, где частные производные от $u$ и $v$ на этот раз относятся к $y$. Приравнивая действительную и мнимую части этих двух формул для комплексной производной $f'(z_0)$, мы замечаем, что действительная и мнимая компоненты $f(z)$ должны удовлетворять однородная линейная система уравнений в частных производных: $$u_x=v_y, \quad u_y=-v_x.$$ Это Уравнения Коши-Римана названы в честь знаменитого девятнадцатого математики века Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман, два из основоположники современного комплексного анализа.

Теорема 1: Комплексная функция $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ имеет комплексную производную $f'(z)$ тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части равны непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана \begin{выравнивание*} u_x=v_y, \quad u_y=-v_x \end{выравнивание*} 9n \log z$), а $c$ — произвольная комплексная константа. Экспоненциальные формулы для комплексных тригонометрических и гиперболических функций следует, что они также удовлетворяют стандартным правилам

\begin{выравнивание*} \frac{d}{dz}\sin z &=& \cos z, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z.\\ \frac{d}{dz}\sinh z &=& \cosh z, \quad \frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z. \end{eqnarray*}

Формулы дифференцирования сумм, произведений, отношений, обратных величин и композиций сложных все функции идентичны своим реальным аналогам с аналогичными доказательствами. Это означает что вам не нужно изучать какие-либо новые правила для выполнения сложной дифференциации!

---

Аналитические функции

Пусть $f:A\стрелка вправо \mathbb C$, где $A\subset \mathbb C$ — открытое множество. Функция называется аналитическим на $A$, если $f$ дифференцируема в каждом $z_0\in A$. слово «голоморфный», которое иногда используется, является синонимом слова «аналитический». Фраза «аналитический в $z_0$» означает, что $f$ является аналитическим в окрестности $z_0$

ДАЛЕЕ: Логарифмическая функция

Производная и частная производная сложных функций

Задавать вопрос

Спросил 5 лет, 2 месяца назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 21k раз

$\begingroup$

Я знаю формальное определение производной функции с комплексным значением и как ее вычислить (так же, как и для функций с действительным знаком), но после решения некоторых задач я чувствую, что могу просто взять частичную производная по $x$ функции для вычисления производной (чтобы она не зависела от $y$?), в отличие от того, чтобы сначала взять производную по $z$, а затем заменить. Это может быть немного неясно, поэтому я приведу пару примеров 92 — 6xy$ и $\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy$.

Похоже, что я мог бы просто взять частные производные по $x$ полученного комплексного числа и игнорировать $y$, чтобы найти производные. Почему это правда?

• комплексный анализ

$\endgroup$

$\begingroup$

Соотношение, которое вы наблюдаете, точно соответствует тому, как мы приходим к уравнениям Коши-Римана для действительной и мнимой частей аналитической функции.

Комплексная производная функции $f:U\to{\bf C}$ в $z_0\in U$, где $U$ — открытое подмножество ${\bf C}$, определяется формулой $$ f'(z_0)=\lim_{z\to z_0:z\in U\обратная косая черта\{z_0\}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\tag{1} $$ Если ${f}$ комплексно дифференцируема в ${z_0}$, то путем специализации предела (1) для переменных ${z}$ вида ${z = z_0 + h}$ для некоторого ненулевого вещественного $ {h}$ около нуля имеем $$ \lim_{z\to z_0:z\in U\обратная косая черта\{z_0\}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} =\lim_{h\to 0:h\in{\bf R}\обратная косая черта\{0\}}\frac{f((x_0+h)+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h} =u_x(z_0)+v_x(z_0)=:\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) $$ где $z_0=x_0+iy_0$ и $f=u+iv$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Все рассмотренные вами функции аналитические, поэтому ваша $x$-производная будет совпадать с комплексной производной.

Аналитичность гарантирует, что комплексная производная совпадает с «частной» производной относительно действительной/мнимой оси. Формально аналитичность означает, что комплексный предел $$\lim_{z\to 0} \frac{f(z_0 + z) — f(z_0)}z$$ не зависит от того, как $z\to 0$. В частности, вы можете просто взять предел вдоль действительной оси (что будет соответствовать вашей производной $x$) и получить тот же результат. Но вы также можете взять предел вдоль воображаемой оси и должны получить тот же результат, что и раньше. Аналитика гарантирует это. Свойство совпадения этих пределов обеспечивается уравнениями Коши — Римана, эквивалентными аналитичности (для непрерывной функции на открытом множестве). 92\to\mathbb R$ дифференцируема по Фреше или нет. Следовательно, для неаналитической функции комплексной производной не будет, и играет роль, берете ли вы $x$-производную или $\mathrm{i}y$-производную.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Существует различие между общей функцией двух переменных f(x,y) и комплексной функцией f(z)=f(x+iy). В первом случае изменения функции с x и y совершенно независимы, тогда как в комплексной функции переменная (x + iy) полностью трансформируется. Соответственно, все, что происходит с x, происходит и с y (и, следовательно, также с z) в терминах наклона, который является (частной) производной. Надеюсь это поможет.

Масуд

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

сложных производных, представление Виртингера и цепное правило

Два дня назад в Лаборатории Джулии Джарретт, Спенсер, Алан и я обсуждали наилучшие способы выражения производных для автоматического дифференцирования в комплекснозначных программах. Вдохновленный этим обсуждением, я хочу поделиться своим пониманием предмета и, в конечном счете, представить цепное правило для сложных производных.

Производная

\mathbb{R}реалистичная  точка зрения: производная — это действительное число, которое показывает, насколько быстро изменяется значение переменной.

D = \ гидроразрыв {dy} {dx}
Производные очень полезны! А именно, если вы знаете производную y по x, вы можете написать: dy = Ddx

Это означает, что можно рассчитать изменение y относительно небольшого изменения x.

Производные функции: якобиан

\mathbb{Реалистичный  вид: производные функции представляют собой набор действительных чисел, которые говорят вам, насколько быстро выходы функции изменяются по отношению к ее входам. 92 :

J = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_1} {dx} & \ frac {\ partial f_1} {dy} \ \ frac {\ partial f_2} {dx} & \ frac {\ partial f_2} {dy} \end{bmatrix}

Якобианы очень полезны! Если вы знаете якобиан функции, то вы можете вычислить изменение функции при небольшом изменении любого из ее входных параметров.

\begin{bmatrix}df_1 \ df_2 \end{bmatrix} = J\begin{bmatrix}dx \ dy \end{bmatrix}

Производные комплексной функции: якобиан

Комплексное число x+iy состоит из двух частей: действительной и мнимой. Тогда для комплекснозначной функции мы можем рассматривать действительную и мнимую части как отдельные как на входе, так и на выходе. 92

Следовательно,

J = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Re}} & \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Im}} \ \ frac {\ partial f_ {Im} }{dz_{Re}} & \frac{\partial f_{Im}}{dz_{Im}} \end{bmatrix}

Итак, еще раз: каждая запись в матрице Якоби дает изменение функции, когда соответствующие входные данные изменяются на небольшую величину.

\begin{bmatrix}df_{Re} \ df_{Im} \end{bmatrix} = J\begin{bmatrix}dz_{Re} \ dz_{Im} \end{bmatrix}

Нативный вид для сложных функций: Wirtinger 9Матрица {2m} в поле \mathbb{C}. Итак, вот где вид Wirtinger вступает в игру.

Вместо производных \frac{\partial f}{dz_{Re}} и \frac{\partial f}{dz_{Im}} мы будем использовать следующие производные:

\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial z_{Re}} — i \frac{\partial f}{\ частичное z_{Im}} \right) \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} + i \ frac {\ partial f} {\ парциальное z_ {Im}} \ справа)

Пусть f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} и рассматривается как функция z и \bar z. С приведенными выше производными мы можем выразить J как:

J = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar z}\end{bmatrix}

Давайте посмотрим, дает ли эта версия матрицы Якоби изменения в функции по отношению к изменениям ее входных данных, как обычно.

df=J\begin{bmatrix}dz \ d\bar z \end{bmatrix}

Здесь dz = dz_{Re}+idz_{Im}, d\bar z = dz_{Re}-idz_{Im} — бесконечно малые изменения, которые мы внесли во входные данные, а df=df_{Re}+idf_{Im} — соответствующее изменение выпуска.

После того, как мы подставим J в приведенное выше уравнение, мы получим полное дифференциальное уравнение с помощью операторов \frac{\partial}{dz} и \frac{\partial}{d \bar z}, вы получите общее уравнение производной:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial z} dz + \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} d \ bar z

Если мы также подставим производные \frac{\partial f}{dz_{Re}} и \frac{\partial f}{dz_{Im}}, мы получим правильное полное дифференциальное уравнение с действительными производными операторами:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} dz_ {Re} + \ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Im}} dz_ {Im}

Итак, мы показали, что уравнение Якоби, которое мы пишем для уравнения Виртингера, действительно верно!

Резюме: Если мы представим комплексную функцию f(z_1,z_2,. ..) как f(z_1,\bar z_1,z_2\bar z_2,…), уравнения для производных Виртингера точно такие же, как и тот, который мы знаем из исчисления действительных функций.

Цепное правило для производных Виртингера

Учитывая f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} и g: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}, мы хотели бы получить тождества для \frac {\ partial (f \ circ g)} {dz} и \ frac {\ partial (f \ circ g)} {d \ bar z}.

Запишем полный дифференциал для g(z):

dg = \ frac {\ partial g} {\ partial z} dz + \ frac {\ partial g} {\ partial \ bar z} d \ bar z

Тогда полный дифференциал для \bar g(z):

d \ бар г = \ гидроразрыва {\ парциальное \ бар г} {\ парциальное z} dz + \ гидроразрыва {\ парциальное \ бар г} {\ парциальное \ бар z} d \ бар z

Запишем полный дифференциал для f(g):

d (f \ circ g) = \ frac {\ partial f} {\ partial g} dg + \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar g} d \ bar g

Подставьте dg и d\bar g в уравнение:

d (f \ circ g) = (\ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {dz} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \ bar g} {d z}) dz + (\ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {d \ bar z} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \bar g}{d \bar z})d\bar z

Итак, это правила цепочки, и они точно такие же, как те, которые мы знаем для реальных функций! (предполагая, что f(g,\bar g), g(z,\bar z) являются реальными функциями с несколькими переменными)

\ frac {\ partial (f \ circ g)} {dz} = \ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {dz} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ гидроразрыв {\ парциальное \ бар г} {d z} \ frac {\ partial (f \ circ g)} {d \ bar z} = \ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {d \ bar z} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \ bar g} {d \ bar z}

Производные Виртингера полезны

Вместо того, чтобы вычислять производные в стандартных направлениях Im и Re, мы каким-то образом вычисляем их в направлениях \hat z и \hat {\bar z}. Этот вид упростит ваше мышление во многих вещах

Ex-I: Голоморфные функции

Для голоморфных функций \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0. Грубо говоря, это означает, что у функции нет разных зависимостей от z_{Re} и {z_{Im}}, она больше связана с z в целом. Такими функциями являются f(z) = 2z, f(z) = exp(z),… 92= ​​z \ бар z

Как вы можете догадаться, производные Wirtinger:

\ гидроразрыв {\ парциальное е} {\ парциальное г} = \ бар г \ гидроразрыв {\ парциальное е} {\ парциальное \ бар г} = г

Заключение

Итак, выразительность производных Виртингера замечательна. Каждое уравнение с производными Виртингера становится тем же уравнением, которое вы узнали в реальном исчислении. Мы увидим, будет ли это также полезно для целей AD…

Ссылки

Участники Википедии. «Производные Виртингера». Википедия, Бесплатная энциклопедия . Википедия, Бесплатная энциклопедия, 8 января 2019 г. Интернет.