Сложные примеры логарифмы: Логарифм. Примеры

Логарифм. Примеры

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4 ) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x). 2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.
По свойству разницы логарифмов имеем

3.
Используя свойства 3,5 находим

4. где .

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду

——————————————

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, если

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства

Подставляем в запись и скорбим

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения

——————————————

Пример 3. Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log[a](x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых

——————————————

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …

Общее определение и свойства логарифмов, основные формулы и логарифмические функции, примеры решения

По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления. Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена. С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.

Содержание

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления, связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Определение логарифма

Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).

Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.

Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения ax = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

• Двоичные с основанием a = 2, нашли своё применение во многих разделах дискретной математики, информатике, а также теории информации, записываются как lb (b).
• Десятичные с основанием a = 10, записываются как lg (b).
• Натуральные с основанием a = e, где математическая константа e = 2,71828 иррациональное и трансцендентное число, называемое Постоянная Эйлера, записываются как ln (b).

Правила и ограничения

Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) log с(p), функция частного равна разности функций.

Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(bp) = p * log a(b).

Среди других свойств можно выделить:

• Правило тождественности, когда aloga(b) = b, следствием этого правила является следующее утверждение: если aloga(b) = aloga(c), то b = c.
• Замечательные значения отражены в двух формулах: логарифм единицы всегда равен нулю log a(1) = 0 и логарифм числа, равного основанию, равен единице log a(a) = 1. n)/n), где n — натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.

  Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.

  Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.

  В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.

  В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.

  Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.

  Уравнения и неравенства

  Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:

  • Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a),
  • Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).

  Для решения неравенств полезно знать:

  • Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы, если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
  • Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, в противном случае он меняется.

  Примеры задач

  Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:

  • Задача 1. Решить уравнение log 2(2x-1) = 4. Решение: по определению 2х 1 = 24 , или 2х 1 = 16, далее 2х = 17, получаем х = 8,5. Ответ: при значении х = 8,5 уравнение действительно.
  • Задача 2. Вычислить log 6(30) / log 30(6) log 6(180) / log5(6). Решение: приведём к одному основанию 6. Следующим действием раскрываем скобки и вместо логарифма 6 по основанию 6 подставляем его значение 1. Таким образом, log 6(30) * lоg 6(30) log 6(180) * log 6(5). Разложим числа на простые множители log 6(5*6) * log 6(5*6) lоg 6(5*6*6) * log 6(5) и заменяем логарифм 5 по основанию 6 на t. Тогда (t +1) * (t +1) (t +2) * t. Раскрываем скобки t2 + t + t +1 t 2 2t. Приводим подобные члены и получаем 1. Ответ: значение выражения равно 1.

  Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:

  • Задача 3. 2. Ответ: в результате вычисления получаем 9.

  Практическое применение

  Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

  Логарифмические зависимости

  Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

  • Число простых чисел на интервале от 1 до n приблизительно равно n / ln (n).
  • Для поиска k-го простого числа можно пользоваться формулой k * ln (k).
  • Логарифмическое распределение часто используется для оценки вероятностных событий в генетике и физике.
  • В информатике известно, что для хранения в памяти компьютера натурального числа N потребуется log 2(N) + 1 бит памяти.

  Механика и физика

  Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

  Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

  V = I * ln (M1/M2), где

  • V – конечная скорость летательного аппарата.
  • I – удельный импульс двигателя.
  • M 1 – начальная масса ракеты.
  • M 2 – конечная масса.

  Другой важный пример — это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

  S = k * ln (Ω), где

  • S – термодинамическое свойство.
  • k – постоянная Больцмана.
  • Ω – статистический вес разных состояний.

  Химия

  Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

  • Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
  • Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

  Психология и биология

  И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

  После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

  Другие области

  Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

  • Теории акустики.
  • Радиотехнике и электросвязи.
  • Астрономии.
  • Сейсмологии.
  • Оптике.
  • Фотографии.
  • Сельском хозяйстве.
  • Теории управления.

  Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

  {i\Theta}$ определяется по формуле \begin{eqnarray}\label{log2} \log z=\ln r +i\left(\Theta + 2n\pi \right)\quad \quad(n\in \mathbb Z ). \end{эквнаррай}

  Пример 1: Вычислить $\log z$ для $z=-1-\sqrt{3}i$.

  Решение: Если $z=-1-\sqrt{3}i$, то $r=2$ и $\Theta=-\frac{2\pi}{3}$. Следовательно $$\log(-1-\sqrt{3}i)=\ln 2 +i\left(-\frac{2\pi}{3}+2n\pi\right)=\ln 2 +2\left (n-\frac{1}{3}\right)\pi i$$ с $n\in \mathbb Z .$

  Главное значение от $\log z$ — это значение, полученное из уравнения (\ref{log2}) при $n = 0$ и обозначается $\text{Log} \,z$. Таким образом $$\text{Log}\, z=\ln r +i\Theta .$$ Функция $\text{Log}\, z$ корректно определена и однозначна, когда $z\neq 0$ и что $$\log z=\text{Log}\, z+2n\pi i\quad (n\in \mathbb Z ) $$ Это сводится к обычному логарифму в исчислении, когда $z$ является положительным действительным числом.

  Пример 2: Вычислить $\log \left(1\right)$ и $\log \left(-1\right)$.

  Решение: Из выражения (\ref{log2}) $$\log \left(1\right)=\ln 1+i\left(0+2n\pi\right)=2n\pi i\quad \quad(n\in \mathbb Z ) $$ а также $$\log \left(-1\right)=\ln 1+i\left(\pi+2n\pi\right)=\left(2n+1\right)\pi i\quad \quad(n\ в \mathbb Z ) $$ Обратите внимание, что $\text{Log}\, (1)=0$ и $\text{Log}\, (-1)=\pi i$.

  Выражение (\ref{log2}) также эквивалентно следующему: \begin{выравнивание*} \log z&=&\ln |z| +i\,\textbf{аргумент} (z)\\ &=&\ln |z| +i\,\textbf{Arg} (z)+2ni\,\pi \quad \quad(n\in \mathbb Z ) \end{выравнивание*}

  Некоторые основные свойства функции $\log z$ следующие:

  1. $\log \left(z_1 \,z_2\right)=\log z_1 + \log z_2$
  2. $\log\left( \dfrac{z_1}{z_2}\right)=\log z_1 -\log z_2$
  3. Может содержать $\text{Log}\,\left(z_1 \,z_2\right)\neq \text{Log}\, z_1 + \text{Log}\, z_2$

  ---

  Ветви логарифмов

  Из определения (\ref{log2}) пусть $\theta = \Theta + 2n\pi$ ($n\in \mathbb Z$), поэтому мы можем написать \begin{eqnarray}\label{log30} \log z = \ln r +i\theta.

  \end{эквнаррай}

  Теперь пусть $\alpha$ будет любым вещественным числом. Если мы ограничим значение $\theta$ так, чтобы $\alpha < \theta < \alpha + 2n\pi$ , то функция \begin{eqnarray}\label{log3} \log z=\ln r +i\theta \quad (r> 0, \alpha < \theta < \alpha + 2\pi ), \end{эквнаррай} с компонентами \begin{выравнивание*} u(r, \theta)=\ln r, \quad v(r,\theta)=\theta, \end{выравнивание*} является однозначной и непрерывной функцией в указанной области.

  ветвью многозначной функции $f$ называется любая однозначная функция $F$, аналитическая в некоторой области в каждой точке $z$, значение которой $F(z)$ является одним из значения $f$. Требование аналитичности, конечно, не позволяет $F$ принимать случайный выбор значений $f$.

  Обратите внимание, что для каждого фиксированного $\alpha$ однозначная функция (\ref{log3}) является ветвью многозначной функции (\ref{log30}). Функция \begin{eqnarray}\label{log4} \text{Log } z=\ln r +i\Theta \quad (r>

  0, -\pi < \theta < \pi ), \end{эквнаррай} называется главной ветвью.

  Ответвление  – это часть линии или кривой, введенная для определения ответвления $F$ многозначной функции $f$. Точки на срезе ветви для $F$ равны особых точек $F$, а любая точка, общая для всех разрезов ветвления $f$, называется точкой ветвления . Начало координат и луч $\theta = \alpha$ составляют ветвь, отсеченную для ветви (\ref{log3}) логарифмической функции. Разрез для главной ветви (\ref{log4}) состоит из начала координат и луча $= \pi$. Начало координат, очевидно, является точкой ветвления ветвей многозначной логарифмической функции.

  Мы можем визуализировать многозначный характер $\log z$ с помощью с помощью римановых поверхностей. Следующие интерактивные изображения показывают реальные и воображаемые компоненты $\log(z)$.

  Действительная составляющая $\log z$

  Мнимая составляющая $\log z$: Каждая ветвь обозначаются другим цветом.

  К сожалению, апплет не поддерживается для маленьких экранов. Поверните устройство в альбомную ориентацию. Или измените размер окна, чтобы оно было больше в ширину, чем в высоту.

  Следует соблюдать особую осторожность при использовании ветвей логарифмической функции, особенно потому, что ожидаемые тождества, включающие логарифмы, не всегда переносятся из исчисления. 9{\ журнал \ влево (4i \ вправо)} = 4i. $ $

  
  

  СЛЕДУЮЩАЯ: Римановы поверхности

  Правила логарифмирования – объяснение и примеры

  Что такое логарифм? Зачем мы их изучаем? И каковы их правила и законы?

  Начнем с того, что логарифм числа «b» можно определить как степень или степень, в которую нужно возвести другое число «a», чтобы получить результат, равный числу b.

  Мы можем представить это утверждение символически как;

  журнал _а  б = н.

  Точно так же мы можем определить логарифм числа как обратную его степень. Например, log _a b = n можно экспоненциально представить как; а ^н = б.

  Таким образом, мы можем заключить, что;

  a ⁿ  = b ⇔ log _a  b = n.

  Хотя логарифмы изучают в школах для упрощения вычислений с большими числами, они по-прежнему играют важную роль в нашей повседневной жизни.

  Давайте рассмотрим некоторые из этих применений логарифмов:

  • Мы используем логарифмы для измерения кислотности и щелочности химических растворов.
  • Измерение интенсивности землетрясений производится по шкале Рихтера с использованием логарифмов.
  • Уровень шума измеряется в дБ (децибелах) по логарифмической шкале.
  • Экспоненциальные процессы, такие как распад соотношения активных изотопов, рост бактерий, распространение эпидемии в популяции и охлаждение трупа, анализируются с использованием логарифмов.
  • Для расчета периода выплаты кредита используется логарифм.
  • В исчислении логарифм используется для различения сложных задач и определения площади под кривыми.

  Как и у показателей степени, у логарифмов есть правила и законы, которые работают так же, как правила показателей степени. Важно отметить, что законы и правила логарифмов применимы к логарифмам любого основания. Однако во всех вычислениях должна использоваться одна и та же база.

  Мы можем использовать законы и правила логарифмирования для выполнения следующих операций:

  • Преобразование логарифмических функций в экспоненциальную форму.
  • Сложение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Деление
  • Расширение и сжатие
  • Решение логарифмических уравнений.

  Законы логарифмов

  Логарифмические выражения могут быть записаны по-разному, но по определенным законам, называемым законами логарифмов. Эти законы могут быть применены к любому основанию, но при расчете используется одно и то же основание.

  Четыре основных закона логарифмов включают:

  Закон правила произведения

  Первый закон логарифмов утверждает, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;

  ⟹ log a + log b = log ab

  Пример:

  1. log ₂ 5 + log ₂ 4 = log ₂ (5 × 4) = log ₂ 20
  2. Log _10. 6 + журнал ₁₀ 3 = log ₁₀ (6 x 3) = log ₁₀ 18
  • log x + log y = log (x * y) = log xy
  x = log +
  1. log (4x * x) = log 4x ²

  Правило частного

  Вычитание двух логарифмов A и B равно делению логарифмов.

  ⟹ журнал A − журнал B = журнал (A/B)

  Пример:

  1. log ₁₀ 6 – log ₁₀ 3 = log ₁₀ (6/3) = log ₁₀ 2
  2. log ₂ 4x — log ₂ x = log ₂ (4x/x) = log ₂ 4

  Правило энергии. Law

  ⟹ log A ⁿ = n log A

  Example:

  1. log ₁₀ 5 ³ = 3 log ₁₀ 5
  2. 2 log x = log x ²
  • бревно(4x) ³ = 3 бревна (4x)
  1. 5 п x ² = LN X ^{(2 *5)} = LN X ¹⁰

  Изменение закона о правилах базовых b)

  Пример 4:

  • log ₄ 16 = (log 16) / (log 4).

  Правила логарифмов

  Логарифмы — очень дисциплинированная область математики. Они всегда применяются в соответствии с определенными правилами и положениями.

  При игре с логарифмами необходимо помнить следующие правила:

  • Учитывая, что a ⁿ = b ⇔ log _a  b = n, логарифм числа b определяется только для положительных действительных чисел.

  ⟹ a > 0 (a ≠ 1), a ⁿ  > 0.

  • Логарифм положительного действительного числа может быть отрицательным, нулевым или положительным.

  Примеры

  1. 3 ² = 9 ⇔ log ₃ 9 = 2
  2. 5 ⁴ = 625 ⇔ Log ₅ 625 = 4
  3. 74 790122 2 _{.0123 = 1 ⇔ log 7  1 = 0}
  4. 2 ^-3 =  ¹ / ₈  ⇔ log ₂  ( ¹ / ₈ ) = -3
  5. 10 ^-2 = 0,01 ⇔ log ₁₀ 01 = -2
  6. 2 ⁶ = 64 ⇔ log ₂ 64 = 6
  7. 3 ^-4 = 1/3 ⁴ = 1/81 ⇔ = 1/3 ⁴ = 1/81. 1/81 = -4
  8. 10 ^-2 = 1/100 = 0,01 ⇔ log ₁₀ 01 = -2
  • Логарифмические значения данного числа различны для разных оснований.

  Примеры

  1. log 81 ≠ log ₃ 81
  2. log ₂ 16 ≠ log ₄ 16
  • logarithms. Когда логарифм записывается без базы подростков, мы предполагаем, что база составляет 10.

  Примеры

  1. log 21 = log ₁₀
  2. log 0.05 = log ₁₀ 05
  • . «e» называется натуральным логарифмом. Константа e приблизительно равна 2,7183. Натуральные логарифмы выражаются как ln x, что совпадает с log 9.0116 e
  • Логарифмическое значение отрицательного числа является мнимым.
  • Логарифм 1 по любому конечному ненулевому основанию равен нулю.
    A ⁰ = 1 ⟹ log _A 1 = 0.

  Пример:

  7 ⁰ = 1 ⇔ log ₇ 1 = 0

  • равно 1.

  a ¹ =a ⟹ log _a a=1.

  Примеры

  1. журнал ₁₀ 10 = 1
  2. log ₂ 2 = 1
  • Given that, x = log _a M then a  ^{log a M} = a

  Example 1

  Evaluate следующее выражение.

  log ₂ ​8 + log ₂ ​4

  Решение

  Применяя закон правила произведения, получаем;

  бревно ₂ ​8 + бревно ₂ ​4 = бревно ₂ (8 x 4)

  = log ₂ 32

  Перепишите 32 в экспоненциальной форме, чтобы получить значение его показателя степени.

  32 = 2 ⁵

  Следовательно, 5 — правильный ответ

  Пример 2

  Оценить Log ₃ 162 — log ₃ 2

  Решение 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 _{выражение вычитания; поэтому мы применяем закон частного правила.}

  бревно ₃ ​162 – бревно ₃ 2 = log ₃ (162/2)

  = log ₃ 81

  Напишите аргумент в экспоненциальной форме

  81 = 3 ⁴

  Отсутствие, ответ — 4.

  Пример. 3

  Разверните приведенное ниже логарифмическое выражение.

  log ₃ (27x ² Y ⁵ )

  Решение

  Log ₃ (27x ² Y ⁵ ) = log ² Y ⁵ ) = log ² Y ⁵ ) = log ² Y ⁵ ) = log ² Y ⁵ ) = log ² Y ⁵ ) = log ² Y ^{5 ) =0117 27 + log ₃ x 2 + log ₃ y 5}

  = log ₃ (9) + log ₃ (3) + 2LOG ₃ x + 5LG ₃ 3 3 3 3 3 3 3 .

  Но лог ₃ 9 = 3

  Подставить, чтобы получить.

  = 3 + log ₃ (3) + 2log ₃ x + 5log ₃ y

  Пример 4

  Рассчитайте значение Log _√2 64.

  0002 Решение

  ⟹ log _√2 64 = log _√2 (2) ⁶

  ⟹ log _√2 64 = 6log _√2 (2)

  . 64 = 6log _√2 (√2) ²

  ⟹ log _√2 64 = 6* 2log _√2 (√2)

  ⟹ log _√2 64 = 12* 2 (2)

  ⟹ log _√2 = 12* 2 (2)

  ⟹ _√2 . Пример 50117 (0.0001) = x

  Solution

  ⟹ log _0.1 (0.0001) = log _0.1 (0.1) ⁴

  ⟹ log _0.1 (0.0001) = 4log _{0. 1} 0.1

  ⟹ log _0,1 (0,0001) = 4 (1)

  ⟹ log _0,1 (0,0001) = 4

  Следовательно, x = 4.

  Пример 6

  Найти значение x, данему, дается x, 2log x = 4log3

  Решение

  2logx = 4log3

  Разделите каждую сторону на 2.

  ⟹ log x = (4log3) / 2

  ⟹ log x = 2log3

  ⟹ log x = log3 ²

  ⟹ log x = log9

  x =

  Пример 7

  Оценка log ₂ (5x + 6) = 5

  Решение

  Перепишите уравнение в экспоненциальной форме

  2 ⁵ = 5x + 6

  .

  32 = 5x + 6

  Вычесть обе части уравнения на 6

  32 – 6 = 5x + 6 – 6

  26 = 5x

  x = 26/5

  Пример 8

  Решение

  ⇒ log [x (x − 1)] = log (3x + 12)

  Чтобы получить, отбросьте логарифмы;

  ⇒ [x (x − 1)] = (3x + 12)

  Применить распределительное свойство, чтобы убрать скобки.

  ⇒ х ² – х = 3х + 12

  ⇒ х ² – х – 3х – 12 = 0

  ⇒ x ² – 4x – 12 = 0

  ⇒ (x−6) (x+2) = 0

  ⇒x = − 2, x= 6

  Поскольку аргумент логарифма не может быть отрицательным, Затем правильный ответ — x = 6.

  Пример

  Оценка LN 32 — LN (2x) = LN 4x

  Решение

  LN [32/(2x)] = LN 4x

  Скиньте натуральные бревна.

  [32/ (2x)] = 4x

  32/ (2x) = 4x.

  Крест умножить.

  32 = (2x)4x

  32 = 8x ²

  Разделите обе стороны на 8, чтобы получить;

  x ² = 4

  x = – 2, 2

  Поскольку мы не можем иметь логарифм отрицательного числа, то х = 2 остается правильным ответом.

  Практические вопросы
  1. Оценка log ₄ 64 + log ₄ 16
  2. log ₃ 14–2log ₃ 5
  3. Evaluate 2 ₃ 3
     5
  4. Evaluate 2 ₃ 3 5
  5. 4 40116 3 3 3 5
  6. 4 5 + журнал ₃ 40 — 3 log ₃ 10
  7. Log ₂ 4 + Log ₂ 5
  8. Expand Log ₃ (XY ³ /√Z)
  9. Condense.

     No related posts.