Курс статистической физики (Ноздрев В.Ф.)
Курс статистической физики (Ноздрев В.Ф.)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ § 1. Предмет и метод статистической физики § 2. К вопросу возникновения и развития молекулярно-кинетической теории материи § 3. Место статистической физики в раскрытии материалистической картины мира § 4. Феноменологические и молекулярно-кинетические теории § 5. Модельность в статистической физике. Классическая и квантовая модели вещества Глава II.  НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ§ 1. Случайные события и случайные величины § 2. Понятие вероятности § 3. Свойства вероятности. Формула сложения и умножения вероятностей § 4. Средние значения случайных величин § 5. Примеры законов распределения случайных величин § 6. Функция распределения для нескольких случайных величин ЧАСТЬ I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ § 1. Модель идеального газа § 2. Распределение молекул газа по скоростям § 3. Связь распределения Максвелла по скоростям с абсолютной температурой § 4. Характерные скорости максвелловского распределения § 5. Средние относительные скорости § 6. Соответствие модели идеального газа реальному газу Глава IV. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ § 2. Поперечные сечения. Длина свободного пробега § 3. Распределение свободных пробегов частиц § 4. Вязкость газов § 5.  Теплопроводность газов§ 6. Диффузия газов ЧАСТЬ II. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА § 1. Невозможность последовательного механического описания физических систем многих частиц § 2. Макроскопическое и микроскопическое описание системы в термодинамическом равновесии § 3. Изображение системы в фазовом пространстве § 4. Элемент фазового объема. Вероятность нахождения системы в фазовом пространстве § 5. Теорема о сохранении фазового объема (Теорема Лиувилля) § 6. Макроскопические величины как фазовые средние Глава VI. СТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ § 1. Микроканоническое распределение § 2. Каноническое распределение Гиббса § 3. Свойства канонического распределения § 4. Физический смысл параметров канонического распределения § 5. Энтропия и ее связь с вероятностью состояния § 6. Распределение Максвелла-Больцмана § 7. Большое каноническое распределение Гиббса Глава VII. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА К РЕАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ § 1.  Выражение термодинамических функций через интеграл состояний§ 2. Интеграл состояний и термодинамические функции идеального газа § 3. Статистическое рассмотрение системы взаимодействующих частиц § 4. Вывод уравнения состояния реального газа § 5. Статистика диэлектриков Глава VIII. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ § 1. Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы § 2. Теплоемкость разреженных газов § 3. Теплоемкость твердых тел § 4. Применение методов статистической физики к равновесному излучению Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФЛУКТУАЦИЙ § 2. Связь флуктуаций со свободной энергией. Корреляция § 3. Чувствительность различных измерительных приборов § 4. Рассеяние света на флуктуациях плотности § 5. Броуновское движение § 6. Статистика полимеров ЧАСТЬ III. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА § 1. Квантовые системы и их свойства § 2.  Описание квантовых систем§ 3. Применение статистического метода к квантовым системам § 4. Метод ячеек Больцмана § 5. Статистики квантовых систем § 6. Сопоставление статистик Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака Глава XI. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ § 1. Квантовый осциллятор и квантовый ротатор § 2. Сумма по состояниям и внутренняя энергия систем осцилляторов и ротаторов § 3. Теплоемкость газов. Характеристические температуры § 4. Теплоемкость твердых тел. Закон Дебая § 5. Законы равновесного излучения § 6. Статистика парамагнетиков Глава XII. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИК БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ — ДИРАКА § 1. Применение статистики Бозе — Эйнштейна к описанию системы частиц § 2. Равновесное излучение как фотонный газ § 3. Применение статистики Ферми — Дирака к описанию поведения системы частиц § 4. Электронный газ в металлах § 5. Магнитные свойства электронного газа § 6. Состояния систем с отрицательной абсолютной температурой ПРИЛОЖЕНИЯ.  |
Вступление | Теория вероятности
Начиная с XVI века в естествознании трудами ряда ученых, и в первую очередь Галилео Галилея, были заложены основы господства детерминистской-механистической точки зрения на явления окружающей нас природы. Позднее эту точку зрения развивали Ренэ Декарт и многие его последователи. Пожалуй, наиболее яркое выражение этих идей мы находим в известном труде Пьера Лапласа «Опыт философии теории вероятностей». На второй странице этого труда содержится следующее утверждение: «Все явления, даже те, которые по своей незначительности как будто не зависят от великих законов природы, являются следствиями, столь же неизбежными, этих законов, как обращение солнца». И далее: «Таким образом, мы должны рассматривать настоящее состояние вселенной как следствие ее предыдущего состояния и как причину последующего.
Ум, которому были бы известны для какого-либо определенного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел вселенной наравне с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором».
Известно, что теперь во всех крупных населенных пунктах имеются станции скорой медицинской помощи. Нет возможности заранее предсказать моменты, когда потребуется оказать срочную помощь внезапно и остро заболевшим людям. Как много в течение заданного времени будет вызовов к таким больным? Как долго придется врачу и машине скорой помощи задержаться у больного? Сколько врачей и машин необходимо иметь во время дежурства, чтобы, с одной стороны, больные не слишком долго ожидали помощи, а с другой — не наблюдалось бы слишком непродуктивного использования врачебного персонала? Мы сталкиваемся с типичной ситуацией, в которой случайными являются моменты вызовов, длительность пребывания врача у постели больного, длительность проезда машины от пункта скорой помощи до дома, в котором живет больной.
Как известно, при изготовлении массовой продукции-автомобилей, телевизоров и т. д. — ее качество меняется от изделия к изделию, и притом непредсказуемым образом. Неприметная глазу неточность обработки, разница в условиях закалки, молекулярная неоднородность вещест-ва и другие причины служат основой и неоднородности продукции. Эта неоднородность может быть очень большой. Так, испытывая лампы накаливания в, казалось бы, тождественных условиях, наблюдают большой разброс в длительности их жизни (т. е. разности между максимальной и минимальной длительностями горения).
Есть изделия, где этот разброс достигает сотен и даже тысяч процентов. Более того, в границах разброса наблюдаются характерные закономерности, свойственные случайным величинам. Спрашивается, можно ли при таких условиях ограничиваться изучением только строго детерминистических закономерностей? Естественно, на этот вопрос следует дать отрицательный ответ и наряду со строго детерминистическими закономерностями изучать закономерности случайных явлений. Само собой разумеется, что это изучение не может оставаться чисто качественным; для случайных явлений необходимо разработать строгие количественные методы изучения и соответствующие их природе числовые характеристики.
При организации работы телефонных станций важно учитывать решающую для их работы роль различного рода случайных факторов: моменты поступления вызовов абонентов, интенсивность этих поступлений, длительность разговоров, терпеливость абонентов и т.д. и т.п. И все эти случайные факторы действуют систематически, они составляют основу самого процесса телефонного обслуживания.
Следовательно, для продуктивной работы телефонной станции необходимо разработать методы, которые позволяли бы находить оптимальные решения в условиях постоянно действующих случайных причин.
Число примеров, в которых случайные причины, случайные влияния определяют характер течения изучаемого процесса, несложно продолжить, без преувеличения, беспредельно. Гораздо сложнее указать процессы, которые бы развивались строго детерминистический, без влияния случайных воздействий. Отсюда следовало бы сделать ряд решающих выводов, в частности вывод о необходимости введения в программу средних школ учения о случайных явлениях и математической их теории. Это учение должно стать предметом внимания не только математики, но и физики, химии, биологии, где без концепции случайного невозможно более осмысливать как саму суть изучаемых явлений, так и внешние их проявления.
теория вероятностей в nLab
Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |
СодержаниеКонтекст
Теория меры и вероятности
Теория меры
Теория вероятности
Теория меры
измеримое пространство, измеримое место
мера, мера пространства
Алгебра фон Неймана
геометрическая теория меры
Теория вероятностей
вероятностное пространство
распределение вероятностей
состояние
в AQFT и операторной алгебре
ГНС конструкция
Теорема Фелла
- энтропия
, относительная энтропия
информационная геометрия
информационная метрика
Метрика Вассерштейна
Термодинамика
термодинамика
второй закон термодинамики, обобщенный второй закон
эргодическая теория
Теоремы
- Теорема Рисса о представлении
Изменить эту боковую панель
- Идея
- Теория
- Базовая теория
- Стохастические (случайные) процессы
- Статистические коллекторы
- Теория вероятностей от nPOV
- Обобщения
- Приложения
- Связанные концепции
- Каталожные номера
- Общий
- Как евклидова теория поля
Идея
Теория вероятностей занимается математическими моделями явлений, демонстрирующих случайность , или, в более общем смысле, явлений, о которых имеется неполная информация.
Его основная математическая модель основана главным образом на теории меры. Таким образом, с чисто математической точки зрения сегодняшняя теория вероятностей может быть охарактеризована как изучение измеримых пространств с конечным объемом, нормализованным к 11. математических результатов к феноменологии, причем последняя часть естественным образом соприкасается со статистикой.
Обратите внимание, что в этом отношении теория вероятностей имеет тот же статус, что и (другие(?!)) теории физики: существует математическая модель (теория меры здесь как модель для теории вероятностей, или, например, симплектическая геометрия как модель для классическая механика), которая может быть изучена сама по себе, а кроме того, имеется более или менее конкретное представление о том, как из этой модели можно вывести утверждения об наблюдаемом мире (средний результат игры в кости с использованием теории вероятностей или наблюдаемость следующего солнечного затмения с помощью гамильтоновой механики).
Шаг от математической модели к ее использованию в качестве инструмента для высказываний о наблюдаемом мире является тонким, может быть, предметом философии, но в любом случае вне сферы математики. В теории вероятностей значение этого шага традиционно вызывает споры, причем две антагонистические основные школы мысли — это частотная интерпретация и байесовская перспектива природы отношения теории вероятностей к наблюдаемому миру.
Теория
Базовая теория
Случайные величины обычно определяются в терминах вероятностных пространств, ср. основные статьи о пространстве меры, вероятностном пространстве, условной вероятности. Современная точка зрения подчеркивает, что многие факты о случайных величинах мало зависят от выбора вероятностных пространств; случайные величины также часто отождествляются с их распределениями.
Некоторые утверждают, что при изучении меры и вероятности следует начинать не только с сигма-алгебры измеримых множеств, но и с нулевой алгебры.
Каким-то образом это абстрактно улавливается подходом коммутативных алгебр фон Неймана.
Стохастические (случайные) процессы
(…)
эргодический процесс
(…)
Статистические многообразия
Семейства вероятностных распределений часто образуют статистические модели, то есть подмногообразия вероятностных мер на выборочном пространстве всех космос. Методы дифференциальной геометрии могут применяться в теории, известной как информационная геометрия.
Теория вероятностей с точки зрения nPOV
Здесь мы описываем некоторые взгляды на теорию вероятностей (частей) с категориальной точки зрения (см. nPOV). Эта точка зрения в основном применима к изучению ситуаций, связанных с ядрами Маркова и свойством Чепмена-Колмогорова.
Пракаш Панангаден в книге «Вероятностные отношения» определяет категорию SRelSRel (стохастические отношения), чтобы иметь в качестве объектов наборы, снабженные σ\sigma-полем. Морфизмы — это условные плотности вероятностей или стохастические ядра.
Итак, морфизмом из (X,ΣX)( X, \Sigma_X) в (Y,ΣY)( Y, \Sigma_Y) называется функция h:X×ΣY→[0,1]h: X \times \Sigma_Y \ в [0, 1] такое, что
- ∀B∈ΣY.λx∈X.h(x,B)\forall B \in \Sigma_Y . \лямбда х \in X . h(x, B) — ограниченная измеримая функция,
- ∀x∈X.λB∈ΣY.h(x,B)\forall x \in X . \лямбда B \in \Sigma_Y . h(x, B) — субвероятностная мера на ΣY\Sigma_Y.
Если kk является морфизмом из YY в ZZ, то k⋅hk \cdot h из XX в ZZ определяется как (k⋅h)(x,C)=∫Yk(y,C)h(x,dy) (k \cdot h)(x, C) = \int_Y k(y, C)h(x, d y).
Основано на более ранней работе Микеле Жири, см. монаду Жири.
- Мишель Жири, Категориальный подход к теории вероятностей Категориальные аспекты топологии и анализа (Оттава, Онтарио, 1980), стр. 68–85, Lecture Notes in Math., 915, Springer.
Определение Панангадена отличается от определения Гири во втором предложении, где допускаются субвероятностные меры, а не обычные вероятностные меры.
Панангаден подчеркивает, что механизм аналогичен тому, как категория отношений может быть построена из функтора степенного множества.
Точно так же, как категория отношений является категорией Клейсли функтора степенного множества над категорией множеств Set, SRelSRel является категорией Клейсли функтора над категорией измеримых пространств и измеримых функций, который переводит измеримое пространство XX в измеримое пространство субвероятностных мер на XX. Этот функтор порождает монаду.
Что дает переход от вероятностных мер к субвероятностным? Одна из мотиваций, по-видимому, заключается в моделировании вероятностных процессов от XX до побочного продукта X+YX+Y. Вы можете повторять это, чтобы сформировать процесс, который смотрит, где в YY вы в конечном итоге окажетесь. Это относится к трассировке SRelSRel.
Имеется монада на MeasureSpacesMeasureSpaces, 1+−:Meas→Meas1 + -: Meas\to Meas. Вероятностная мера на 1+X1+X является субвероятностной мерой на XX. Монада Панангадена состоит из монады Гири и 1+−1+-.
Противоположность категории Клейсли монады Жири имеет в качестве морфизмов X→YX \to Y линейные отображения ограниченных функций на XX в ограниченные функции на YY, которые переводят характеристическую функцию на XX в характеристическую функцию на YY.
Подробнее о монаде Жири и ее вариантах см. в монаде вероятности.
Обобщения
Квантовая механика изучает комплексные амплитуды вероятности, абсолютный квадрат которых можно интерпретировать как обычную вероятность в процессе измерения, т. е. квантовую редукцию. Альтернативный подход через функцию Вигнера? имеет реальные, но, возможно, за пределами [0,1][0,1] вероятности.
Соответственно, некоммутативные алгебры фон Неймана могут быть интерпретированы как некоммутативная теория меры, аналогичная роли, которую C*-алгебры играют в некоммутативной геометрии, см. в квантовой вероятности .
Теория свободных вероятностей Войкулеску и других является еще одним некоммутативным обобщением с физическими приложениями, связанными с теорией случайных матриц.
Приложения
- статистическая механика
- стохастическое уравнение Лёвнера имеет отношение к конформной теории поля, открытой Шраммом и его сотрудниками, включая медалиста Филдса Вернера.
вероятностное пространство, случайная величина
ожидаемое значение,
почти наверняка
Производная Радона-Никодима,
кумулянт,
эргодическая теория,
статистика,
случайный процесс,
Мера Винера
Байесовские рассуждения
центральная предельная теорема
свободная вероятность
квантовая вероятность
синтетическая теория вероятностей
статистическая значимость
р-значение
Каталожные номера
Общее
Современная формализация теории вероятностей в теории меры берет начало около
- Андрей Колмогоров, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, Springer Berlin Heidelberg, 1933
Конспекты лекций включают
Александр Григорян, Теория меры и вероятности , 2008 pdf
Теренс Тао, Обзор теории вероятностей , 2010 (веб-сайт)
точно так же, как натуральные числа могут быть определены абстрактно без ссылки на какую-либо систему счисления (например, с помощью аксиом Пеано), основные понятия теории вероятностей, такие как случайные величины, также могут быть определены абстрактно, без явного упоминания о пространстве меры; мы вернемся к этому вопросу позже, когда будем обсуждать свободную вероятность.
Теренс Тао, Свободная вероятность , 2010 (Интернет)
Амир Дембо, Теория вероятностей , 2012 (pdf)
Ссылки, связанные с монадой Жири и ее вариантами, см. здесь.
Формулировка в теории категорий:
Тобиас Фриц, Синтетический подход к ядрам Маркова, условная независимость и теоремы о достаточной статистике , (arXiv:1908.07021)
Кирк Стурц, Категориальная теория вероятностей (arXiv:1406.6030)
Формулировка в теории топосов:
- Алекс Симпсон, Пучки вероятностей и монада Жири , 2017 (pdf, запись разговора)
Для более удобной настройки теории вероятностей «высшего порядка», то есть такой, которая допускает функции более высокого порядка, в следующей статье используется декартова замкнутая категория квазиборелевских пространств, а не категория измеримых пространств:
- Крис Хьюнен, Охад Каммар, Сэм Статон, Хонсок Ян, 9 лет0141 Удобная категория для теории вероятностей высшего порядка , (arXiv:1701. 02547)
02547)Чтобы увидеть общую картину теории вероятностей, см. ответы на вопрос
- MathOverflow: есть-есть-введение-в-теорию-вероятностей от-структуралистского-категориального-p
Примером «категорического мышления» (в обобщенном смысле) при решении вероятностных задач является решение проблемы лапши Бюффона (википедия), обсуждаемое Томом Лейнстером в nCafe здесь.
Клейн, Джан-Карло Рота, Введение в геометрическую вероятность
Джон К. Баэз, Джейкоб Д. Биамонте, Курс квантовых методов стохастической механики , pdf
Обсуждение с точки зрения формальной логики/теории типов находится в
- Нил Торонто, Полезные языки для вероятностного моделирования и вывода , докторская диссертация, 2014 (pdf, слайды)
Михаил Громов о возможных обобщениях/модификациях теории вероятностей (особенно теории вероятностей, рассматриваемой как «функтор» от «сложной категории» к «простой категории»), а также о приложениях вероятности внутри и вне чистая математика:
- Вероятность, симметрия, линейность. (шесть лекций) . IHES, ноябрь 2014 г. (видео) (pdf).
(шесть лекций) . IHES, ноябрь 2014 г. (видео) (pdf).Как евклидова теория поля
Вероятность, рассматриваемая как евклидова квантовая теория поля:
(…) см. ссылки на конформная теория поля
В связи с проблемой массовой щели в калибровочной теории решетки:
Сурав Чаттерджи, Янг-Миллс для вероятностников , в: Вероятность и анализ во взаимодействующих физических системах , PROMS 283 (2019) Springer (arXiv: 1803.01950, doi: 10.1007/978-3-030-15338-0)
Сурав Чаттерджи, Вероятностный механизм удержания кварков , Comm. Мат. физ. 2020 (архив: 2006.16229)
категория: вероятность
Последняя редакция: 2 июня 2021 г., 18:21:48. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.
SCIRP Открытый доступ
Издательство научных исследований
Журналы от A до Z
Журналы по темам
- Биомедицинские и биологические науки.
- Бизнес и экономика
- Химия и материаловедение.
- Информатика. и общ.
- Науки о Земле и окружающей среде.
- Машиностроение
- Медицина и здравоохранение
- Физика и математика
- Социальные науки. и гуманитарные науки
Журналы по тематике
- Биомедицина и науки о жизни
- Бизнес и экономика
- Химия и материаловедение
- Информатика и связь
- Науки о Земле и окружающей среде
- Машиностроение
- Медицина и здравоохранение
- Физика и математика
- Социальные и гуманитарные науки
Опубликуйте у нас
- Подача документов
- Информация для авторов
- Ресурсы для экспертной оценки
- Открытые специальные выпуски
- Заявление об открытом доступе
- Часто задаваемые вопросы
Публикуйте у нас
- Представление статьи
- Информация для авторов
- Ресурсы для экспертной оценки
- Открытые специальные выпуски
- Заявление об открытом доступе
- Часто задаваемые вопросы
Подпишитесь на SCIRP
Свяжитесь с нами
клиент@scirp. org | |
| +86 18163351462 (WhatsApp) | |
| 1655362766 | |
| Публикация бумаги WeChat |
| Недавно опубликованные статьи |
| Недавно опубликованные статьи |
Подпишитесь на SCIRP
Свяжитесь с нами
клиент@scirp. |