Случайное событие и вероятность его появления: Случайные события. Частота. Вероятность (1.1)

alexxlab / / Разное

Вероятность случайного события. Классическая вероятность. Теория вероятностей

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Определение вероятности случайного события

Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно.

Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности, статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость — однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие  распадается на  равновозможных случаев , сумма  которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события  будем обозначать символом .

Вероятность события  равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа  единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Определение классической вероятности

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события  определяется так же, как и вероятность наступления события A.

 — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события  . Отсюда вероятность наступления противоположного события  равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

Смежные темы решебника:

  • Геометрическое определение вероятности
  • Статистическое определение вероятности

Примеры решения задач

Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий:  – извлечен по крайней мере 1 красный шар,  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета,  – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

 

Найдем вероятность события  – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Пусть событие  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Пусть событие  – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Ответ: P(A)=0. 773;P(C)=0.7688;  P(D)=0.6068

Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Пусть событие  – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

 -общее число возможных исходов испытания

 -число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. Аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй.

Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события  – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию  будут следующие сочетания выпавших очков:

№ 1-я кость 2-я кость
1 1 1
2 1 2
3 2
1
4 3 1
5 1 3

Число благоприятствующих случаев:

Искомая вероятность:

Ответ: p=0. 8611

Пример 3

В экономической службе хозяйственного субъекта  бухгалтеров и  экономистов. Из них по табельным номерам отбирают группу из  человек для осуществления проверки финансовой деятельности подведомственного предприятия. Найти вероятность того, что:

1) в группу войдут  бухгалтеров;

2) в группу войдет хотя бы один экономист;

3) в группе не более одного экономиста.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Решение

Пусть событие  состоит в том, что в группу войдут 5 бухгалтеров;  – в группу войдет хотя бы один экономист;  – в группе не более одного экономиста.

Вероятность каждого события будем находить по классической схеме:

где  – число исходов, благоприятствующих появлению события,  – число всех возможных исходов.

1) Событие  состоит в том, что в группу войдут 5 бухгалтеров. Общее число комбинаций выбора 6 человек из 13+3=16 имеющихся равно числу сочетаний из 16 по 6, то есть . Число благоприятствующих исходов  определяется как число комбинаций выбора 5 из 13 бухгалтеров и 1 из 3 экономистов, то есть . Таким образом:

 

2) Событие  состоит в том, что в группу войдет хотя бы один экономист, тогда событие  состоит в том, что в отобранной группе нет ни одного экономиста. Найдем вероятность события :

Тогда, вероятность события  найдем по формуле: . Следовательно,

 

3) Событие  состоит в том, что в группе не более одного экономиста. Событие  состоит из суммы двух несовместных событий: , где событие  состоит в том, что в отобранной группе только один экономист, событие  состоит в том, что в отобранной группе нет ни одного экономиста. Очевидно, что  и , а значит:

Тогда:

Ответ: 1) 0,4821; 2) 0,7857; 3) 0,6964.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Найти вероятности следующих событий: в состав нового алфавита входит буква  А.

Задача 2

Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События: D = {оба раза выпало одинаковое число очков}

Задача 3

В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Наугад выбирают пять мышей из клетки. Найти вероятность того, что: а) три из них белые, а две коричневые; б) все одного цвета.

Задача 4

В поликлинике работают 80 человек. Из них 5 человек — администрация, 10 - технический персонал, 10 — педиатры, половина — врачи других специальностей, и 15 человек -статисты. Какова вероятность того, что наудачу выбранное лицо окажется статистом или человеком из администрации поликлиники.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных  в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате хотя бы один окажется болен гриппом.

Задача 6

В партии из  изделий  имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад  изделий  будет  дефектных изделий.

Задача 7

В ящике находится 25 кондиционных и 4 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Задача 8

Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференцию. Найти вероятность события C={ не будет выбрано ни одного второкурсника }

Задача 9

Устройство состоит из 6 элементов, из которых 4 изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Задача 10

В ящике 32 деталей, из них 8 бракованных. Наудачу извлечены 7 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных; в) ровно 2 годных.

Задача 11

В ящике находится 65 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Задача 12

На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Задача 13

Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность следующих событий:

а) в выборке не будет ни одного бракованного изделия;

б) в выборке будет одно бракованное изделие?

Задача 14

Семитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома расположены в правильном порядке (от 1 до 7)?

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 15

Среди 20 студентов, из которых 12 девушек, разыгрываются 4 приглашения на дискотеку, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся только девушки?

Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся а) только юноши; б) две девушки и двое юношей?

Задача 16

Телефонный номер состоит из пяти цифр и не начинается с цифры ноль. Какова вероятность того, что все цифры номера а) различны; б) одинаковы?

Какова вероятность того, что все цифры номера нечетные?

Задача 17

Для получения зачета необходимо ответить не менее, чем на три вопроса из четырех. На первый вопрос студент ответил. Какова вероятность, что студент сдаст зачет, если он знает 20 вопросов из 25?

Какова вероятность, что студент не сдаст зачет (в условиях предыдущей задачи)?

Задача 18

Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи, б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем, в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем, г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.

Задача 19

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

Задача 20

Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенные окажутся неизношенные элементы.

Задача 21

В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие, б) два окрашенных изделия, в) хотя бы одно окрашенное изделие.

Задача 22

Колода карт разделена на две части по 26 карт. Определить вероятность того, что в обеих пачках окажется равное число тузов (2).

Задача 23

На полке стоят 26 книг, из них 13 словарей, 11 справочников и два учебника. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых книг окажется 2 словаря, 2 справочника и 1 учебник.

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

1.

01. Случайное событие и вероятность его появления

Определение. Событие А называется случайным, если заранее, до производства испытания (эксперимента, наблюдения) неизвестно, произойдет оно или нет.

Примеры:

1) Испытание — покупка лотерейного билета; случайное событие А – выигрыш по этому билету.

2) Испытание — выстрел стрелка по мишени; случайное событие А – Попадание стрелка в мишень.

3) Испытание — подбрасывание монеты; случайное событие А — выпадение орла.

4) Испытание — приход студента на экзамен; случайное событие А – сдача им экзамена.

5) Испытание — посадка в землю семени; случайное событие А – Прорастание семени.

Интересующее нас случайное событие А может иметь как большую возможность (много шансов) для своего появления, так и не очень. Если известно, что в повторяемых испытаниях событие А Наступает часто – у него, естественно, будет большая возможность появления в каждом отдельном испытании. А если редко — то небольшая.

Возникает естественная задача Численной оценки (оценки числом) степени возможности появления в отдельном испытании любого интересующего нас случайного события А. Для решения этой задачи в теории вероятностей разработано понятие Вероятности появления случайного события А в единичном испытании. Связывается это понятие Со средней долей появления события А в сериях повторных испытаний.

Пусть N – Число повторных испытаний (число купленных лотерейных билетов, число выстрелов по мишени, и т. д.), а – Среднее число появлений события А в этих N повторных испытаний (среднее число выигрышных билетов из N купленных билетов, среднее число попаданий в мишень при N Выстрелах по мишени, и. т.д.). Тогда, по определению, в качестве Вероятности P(А) появления события А в одном испытании принимается величина

(1.1)

То есть – это Средняя доля Появлений события А в повторных испытаниях.

Кстати, если известен средний процент появления события А В повторных испытаниях, то среднюю долю появления события А, а следовательно, и его вероятность Появления в каждом отдельном испытании можно получить и по такой, вытекающей из (1.1), формуле:

(1.2)

Пусть, например, случайное событие А — это попадание стрелка в мишень. И пусть из опытов известно, что из каждых 10 выстрелов (испытаний) стрелок попадает в цель в среднем 7 раз. Тогда средняя доля попадания стрелка в мишень при повторении выстрелов равна . Это и есть, согласно (1.1), вероятность попадания стрелка в мишень с одного выстрела: =0,7.

Можно рассудить и по-другому: если стрелок попадает в мишень в среднем 7 раз из 10, то это значит, что он в среднем попадает 70 раз из 100, то есть в среднем в 70% выстрелов. А значит, , откуда по формуле (1.2) получаем: = 0,7. То есть получаем тот же самый результат.

Обратно, зная, что вероятность попадания стрелка в мишень с одного выстрела (в одном испытании) равна 0,7, на основании формул (1. 1) и (1.2) делаем вывод, что средняя доля попаданий такого стрелка в мишень при повторных выстрелах равна 0,7. А это значит, что этот стрелок попадает в мишень В среднем 7 раз из 10, или 70 раз из 100, или 700 раз из 1000 , то есть В среднем в 70 % выстрелов.

На практике, то есть с помощью реально проводимых испытаний, среднюю долю появления события А , а следовательно, и вероятность появлений события А в одном испытании можно, очевидно, найти лишь приближенно, ибо реальная доля появлений события А в сериях повторных испытаний от серии к серии меняется. Для достаточно надежного определения этой доли должно быть произведено много повторных испытаний (чем больше, тем лучше). Но в некоторых случаях указанную долю, а значит, и вероятность появления события А в одном испытании можно найти чисто умозрительно, без производства повторных испытаний. Причем найти не приближенно, а точно.

Пусть, например, нам известны все возможные исходы одного испытания, а, следовательно, мы знаем и их общее число N (полагаем, что N — число конечное). И пусть все эти исходы заведомо Равновозможны. Равновозможность исходов означает отсутствие каких-либо преимуществ по появлению у каждого исхода испытания по сравнению с любым другим возможным исходом. Равновозможные исходы испытания при повторении испытаний появляются в среднем одинаково часто.

Далее, пусть известно число M тех исходов, которые благоприятствуют появлению интересующего нас события А (это значит, что известно общее число M тех исходов испытания, при осуществлении которых автоматически появляется событие А). При повторении испытаний равновозможные исходы испытания будут наступать в среднем одинаково часто. А значит, если испытаний будет N, То каждый из возможных исходов испытания появится в среднем один раз. Тогда событие A в любых N испытаниях будет появляться в среднем M раз. То есть . А тогда из формулы (1.1) получаем:

(1.3)

Формула (1.3) называется Классической формулой. Напомним, что в ней N – Число всех возможных исходов испытания, а M – Число благоприятствующих событию A исходов. Ее можно применять лишь в том случае, когда все N возможных исходов испытания Равновозможны. Классическая формула (1.3) позволяет находить вероятности случайных событий без производства испытаний, чисто умозрительно. Причем находить эти вероятности Точно.

Пример1. Пусть испытание – это подбрасывание монеты, а событие A — это выпадение орла. В этом испытании два возможных исхода – орел и решка. То есть N = 2. В силу симметрии монеты эти два исхода равновозможны. Из них лишь один исход благоприятствует событию A (M=1).Тогда по классической формуле(1.3) получаем:

Полученный результат очевидным образом верен. Действительно, при повторных бросаниях симметричной монеты орел будет выпадать В среднем в 50% бросаний (эта цифра будет другой, если только монета не симметрична, например, погнута). И по формуле (1.2) получаем то же самое: = 0,5.

Кстати, если подбрасываемую монету нельзя считать симметричной (она как–то деформирована, так что симметрия ее сторон нарушена), то и в этом случае N = 2 – число всех возможных исходов испытания (орел и решка), а M = 1- единственный благоприятствующий событию A исход (орел). Но в данном случае классическую формулу (1.3) применять нельзя, ибо исходы испытания (орел и решка) не равновозможны. Тогда для определения вероятности выпадения орла при подбрасывании монеты остается один путь: бросать монету много раз (повторять испытания) и искать опытным путем Сср.% — средний процент выпадения появления события A (выпадения орла). После нахождения этого среднего процента можно будет по формуле (1.2) нейти искомую вероятность – вероятность выпадения герба при одном бросании данной монеты. Естественно, что таким путем можно найти лишь приближенно (тем точнее, чем больше будет произведено повторных бросаний монеты).

Пример2. Пусть испытание – это подбрасывание игральной кости (кубика с пронумерованными гранями), а событие A – выпадение цифры 5. В указанном испытании 6 возможных исходов, которые все равновозможны (N=6). А M=1 – один благоприятствующий событию A исход (выпадение пятерки). Тогда по классической формуле (1.3) получаем: Это цифра, в соответствии с формулой (1.1), означает, что из каждых 6 испытаний (из каждых 6 бросаний кубика) пятерка будет выпадать В среднем один раз. Это совершенно согласуется и со здравым смыслом.

Пример3. Пусть испытание – это вынимание наудачу одной карты из колоды в 36 карт. А событие A – это появление туза (любого). В указанном испытании N= 36 возможных исходов (любая из 36 карт может оказаться вынутой, и вынимание каждой из них – это возможный исход испытания). Все эти исходы, очевидно, равновозможны. А M=4 – число благоприятствующих событию A исходов (в колоде 4 туза). Тогда по классической формуле получаем: . Эта цифра, в соответствии с формулой (1.1), означает, что из каждых 36 испытаний (опытов по выниманию наудачу одной карты из колоды) событие A (туз) будет появляться В среднем 4 раза. Или, что одно и то же, из 9 испытаний событие A (туз) будет появляться В среднем 1 раз. Это совершенно согласуется и со здравым смыслом.

Примечание. Проведем, для сравнения, и неправильное решение этой же задачи. В указанном испытании всего два возможных исхода (N=2): вынимание туза и вынимание любой другой карты. А M=1 — один благоприятствующий событию А исход. И тогда, по классической формуле, получаем:

Но этот результат неверен, да он и не согласуется со здравым смыслом. Ошибка решения состоит в том, что оба указанные выше возможные исходы испытания не равновозможны, а такие исходы в классической формуле (1.3) применять нельзя.

Вероятности появления любого события А Можно дать Наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого условимся представлять себе любое испытание как бросание наудачу точки на некоторую плоскую область площадью S, а событием А Будем считать попадание брошенной точки на некоторую часть этой области площадью SA (рис.1.1):

При повторных бросаниях средняя доля попаданий брошенной наудачу точки на область А, а значит и вероятность появления события А При каждом отдельном бросании (испытании) будет определяться, очевидно, отношением площадей SA и S. То есть

(1.4)

Эту очень полезную в силу ее наглядности геометрическую интерпретацию вероятности появления любого случайного события A Мы используем позже, при выводе некоторых важных формул теории вероятностей.

Следующая >

Установление распределения вероятностей, управляющего случайным процессом

Имея некоторые данные и общую форму распределения, можно подобрать параметры этого распределения, используя принцип оценки максимального правдоподобия (MLE).

Короче говоря, это включает в себя либо:

  1. использование аналитического решения в закрытой форме для точного подбора параметров
  2. решение задачи оптимизации для максимизации функции логарифмического правдоподобия или (чаще) минимизации отрицательной функции логарифмического правдоподобия

Давайте сначала загрузим ваши данные счетчика в кадр данных:

 count.data <- data.frame(events=0:13, count=c(26069, 30175,
                            18997, 8136, 2934, 820, 250, 54, 16,
                            4, 7, 1, 0, 1))

И мы преобразуем эти данные подсчета в фактические необработанные наблюдения для последующего использования:

 raw.data <- rep(count.data$events, count.data$count)

Прежде чем перейти к отрицательному биному, давайте сначала подгоним распределение Пуассона к вашим данным, используя MLE. На самом деле это очень просто, потому что оценка параметра Пуассона $\lambda$ методом машинного обучения — это просто выборочное среднее:

 poisson. lambda.mle <- среднее (необработанные.данные)

Мы можем использовать это значение для $\lambda$ для генерации пуассоновских счетчиков, чтобы потом сравнить их с вашими: poisson.lambda.mle) * сумма(count.data$count)

Отрицательное биномиальное распределение гораздо сложнее подогнать. Одна из причин заключается в том, что для его параметров не существует простого аналитического выражения, поэтому его необходимо формулировать и решать как задачу оптимизации. Что еще более важно, если вы параметризуете его целым числом $r$, как вы это делаете, этот целочисленный параметр значительно усложнит оптимизацию в R. На самом деле, я не знаю ни одной родной функции целочисленного программирования R.

Итак, давайте кратко рассмотрим отрицательное биномиальное распределение: на самом деле существует довольно много способов параметризации этого распределения. Тот, который вы выбрали, представляет собой интерпретацию «подбрасывания монеты», основанную на количестве успехов / неудач, подобно тому, как преподается биномиальное распределение. Есть несколько таких параметризаций, но мы фактически не будем использовать ни одну из них по уже обсуждавшимся причинам.

Вместо этого отрицательное биномиальное распределение можно интерпретировать как гамма-смесь распределений Пуассона. Это также может быть параметризовано несколькими способами. Мы будем использовать этот (как описано в документации R): 92/размер в этом параметризация.

Причина, по которой мы будем использовать эту интерпретацию и параметризацию, заключается в том, что она позволяет нам использовать готовую реализацию MLE пакета MASS для отрицательного бинома. Приступим к делу: библиотека

(МАСС)
    negbin.fitted.object <- MASS::fitdistr(raw.data,
              «Отрицательный бином»)

Еще раз, мы можем использовать эти оценки машинного обучения для параметров size и mu , чтобы сгенерировать количество для сравнения с вашим:

 negbin.size.mle <- negbin.fitted.object$estimate['size']
    negbin. mu.mle <- negbin.fitted.object$estimate['mu']
    приспособлено.negbin.counts <- dnbinom(count.data$events,
            size=negbin.size.mle, mu=negbin.mu.mle) *
              сумма(количество.данные$количество)

И все. Мы не только подобрали к вашим данным распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение, но и подготовили подсчеты для сравнения с вашими. Выведем их вместе:

 count.comparison <- transform(count.data,
    подогнанный.poisson.counts=подогнанный.poisson.counts,
      приспособленный.negbin.counts=установленный.negbin.counts)
    print(round(count.comparison, 0), row.names=FALSE)

который выводит:

 количество событий подогнано.пуассон.отсчеты подогнано.негбин.отсчеты
          0 26069 24712 26149
          1 30175 31234 30178
          2 18997 19739 18727
          3 8136 8316 8291
          4 2934 2628 2933
          5 820 664 881
          6 250 140 233
          7 54 25 56
          8 16 4 12
          94 1 3
         10 7 0 0
         11 1 0 0
         12 0 0 0
         13 1 0 0

Как вы правильно подозревали, подсчеты, полученные с помощью отрицательного биномиального распределения ML, ближе к исходным данным подсчета, чем подсчитанные нами распределения ML Poisson.

Это еще более очевидно на диаграмме:

 plot(count ~ events, count.data, 'b', col='black',
          main='Сравнение фактических и подогнанных счетчиков')
    строки (count.data$events, подогнанные.poisson.counts, 'b',
            col='красный')
    строки (count.data$events, приспособленные.negbin.counts, 'b',
         col='синий')
    сетка()
    легенда("вверху", legend=c('Фактические подсчеты',
          «Подогнанные подсчеты Пуассона»,
          'Подобранные отрицательные биномиальные подсчеты'), lty=1,
           col=c('черный', 'красный', 'синий'))

6. Вероятность события

Определение вероятности

На этой странице...

Определение с использованием выборочных пространств
Свойства вероятности

Предположим, что событие E может произойти r способов из n возможных равновероятных способов.

Тогда вероятность наступления события (называемого его успехом) обозначается

`P(E)=r/n`

Вероятность ненаступление события (называемого его несостоятельностью) обозначается

`P(barE)=(n-r)/n=1-r/n`

Обратите внимание на полосу над E , указывающую, что происходит событие , а не .

Таким образом,

`P(барE)+P(E)=1`

На словах это означает, что сумма вероятностей в любом эксперименте равна «1».

Определение вероятности с использованием выборочных пространств

Когда проводится эксперимент, мы создаем выборочное пространство всех возможных результатов.

В выборке из N равновероятных исходов мы присваиваем шанс (или вес) «1/N» каждому исходу.

Определим вероятность события для такой выборки следующим образом:

Вероятность события E определяется как число исходов, благоприятных для E , деленное на общее количество равновероятных исходов в выборочном пространстве S эксперимента.

То есть:

`P(E)=(n(E))/(n(S)`

где

Свойства вероятности

(а) 0 ≤ P (событие) ≤ 1

На словах это означает, что вероятность события должна быть числом от `0` до `1` (включительно).

(б) P (невозможное событие) = 0

Прописью: Вероятность невозможного события равна `0`.

(с) P (определенное событие) = 1

Прописью: Вероятность абсолютно определенного события равна `1`.

Пример 1

Какова вероятность...

(a) Получение туза, если я случайно выберу карту из стандартной колоды из 52 игральных карт.

Ответить

В стандартной колоде из 52 игральных карт имеем:

♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Дж К К А

В обычной колоде 4 туза. Значит вероятность выпадения туза:

`P("туз")=4/52 = 1/13`

(b) Получение «5», если я бросаю кубик.

Ответить


Источник изображения

На кубике 6 номеров.

На кубике только одна 5, поэтому вероятность выпадения 5 определяется как:

`P(5)=1/6`


(c) Получение четного числа при броске кубика.

Ответить

Четные числа `2, 4, 6`. Итак,

`P("четный")=3/6=1/2`

(d) Будет ли один вторник на этой неделе?

Ответить

На каждой неделе есть вторник, поэтому вероятность = `1`.

Пример 2

В мешочке 15 мячей с номерами от 1 до 15. Если человек выберет один случайным образом, какова вероятность того, что число, напечатанное на шаре, будет простым числом больше «5»?

Ответить

Простые числа между «5» и «15»: «7, 11, 13».

Таким образом, вероятность `=3/15=1/5`

Пример 3

Имена четырех директоров компании будут помещены в шляпу, и делегация из двух человек будет выбрана случайным образом для представления компании на международной встрече. Пусть A, B, C и D обозначают директоров компании. Какова вероятность того, что

(а) А выбран? (b) Выбрано А или В? в) А не выбран?

Ответить

Возможные исходы: AB, AC, AD, BC, BD, CD. 94`.]

Часть (b)

Пояснение 1: Вероятность получить A или B первым равна `2/4=1/2`.

Теперь рассмотрим вероятность выбора А или В в качестве второго директора. В этом случае первым директором должен быть C или D с вероятностью «2/4» (2 конкретных директора из 4 возможных).

Тогда вероятность того, что вторым будет А или В, равна «2/3» (2 конкретных директора из оставшихся 3 директоров).

Нам нужно перемножить две вероятности. 94}` `=frac{3+2}{6}` `=5/6`

[Выберите A, как указано выше, затем таким же образом выберите B из двух оставшихся директоров.]

Объяснение 3: Если выбраны A или B, то у нас не может быть случая C , и будет выбран D. Таким образом, вероятность A или B определяется как:

`P("A или B") = 1-P("C и D")` `=1-1/6` `=5/6`

Часть (c)

Вероятность того, что A не выбран, равна `1-1/2=1/2`

Расширение

Рассмотрим случай, когда мы выбираем 2 директоров из 5.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *