Линейные уравнения: решение, примеры, график
Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.
Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.
К примеру, линейным уравнением будет:
2х + 4 = 0,
или
5х + 8 = 0,
или
4х + 1 = 0,
И так далее.
Решение линейных уравнений.
Как решать линейные уравнения?
Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.
Пример линейного уравнения и его решение.
Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.
Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.
Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.
Получится:
4х = 10 – 2,
4х = 8.
Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:
Х = 8 : 4,
Х = 2.
Проверка:
4х + 2 = 10, где х = 2.
4 * 2 + 2 = 10.
8 + 2 = 10.
Ответ верный.
График линейного уравнения.
При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.
Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.
Похожие статьи
Линейные уравнения
Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде \(ax+b=0\), где \(a\) и \(b\) – какие-либо числа.
Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.
Например: |
\(2x+7=0\) |
Здесь \(a=2, b=7\) |
||
\(5=0\) |
А тут \(a=0, b=5\) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде \(0\cdot x+5=0\)) |
|||
\(-7(5-3y)=91\) |
Здесь \(a\) и \(b\) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти. |
|||
\(\frac{x+2}{3}\)\(+x=1-\)\(\frac{3}{4}\)\(x\) |
Тоже самое, \(a\) и \(b\) пока что неизвестны. |
Решение линейных уравнений
При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.
В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения \(x+3=5\) будет число \(2\), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст \(5=5\) – верное равенство.
Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят
Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду
\(x=[число]\)
Это число и будет корнем.То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:
1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.
Например: прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)
\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)
Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.
Например
: разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два
\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)
Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.
3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.
Например: раскроем скобки в уравнении \(2(3+x)=4(3x-2)-5\)
\(6+2x=12x-8-5\)
Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.
Пример. Решить линейное уравнение \(6(4-x)+x=3-2x\)
Решение:
\(6(4-x)+x=3-2x\) |
Раскрываем скобки |
|
\(24-6x+x=3-2x\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(24-5x=3-2x\) |
Прибавляем \(2x\) слева и справа |
|
\(24-5x+2x=3\) |
Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения |
|
\(-5x+2x=3-24\) |
Опять приводим подобные слагаемые |
|
\(-3x=-21\) |
Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части. |
|
\(x=7\) |
Ответ: \(7\)
Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.
Проверка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)
Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.
Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.
Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?
Ответ прост:
Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.
Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).
Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?
Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.
\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)
Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается — убираем прибавлением.
\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)
Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.
\(5x=10\)
Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.
\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)
Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.
Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.
Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.
Пример. Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)
Решение:
\(3x-1=2(x+3)+x\) |
Раскроем скобки |
|
\(3x-1=2x+6+x\) |
Приведем подобные слагаемые |
|
\(3x-1=3x+6\) |
Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки |
|
\(3x-3x=6+1\) |
Опять приведем подобные слагаемые |
|
\(0=7\) |
Ну и при каком иксе ноль станет равен \(7\)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней. |
Ответ: нет корней.
На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.
Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.
Пример. Решить линейное уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)Решение:
\(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\) |
Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки |
|
\(8x+16-4=12x-4x+12\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(8x+12=8x+12\) |
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
|
\(8x-8x=12-12\) |
И вновь приводим подобные |
|
\(0=0\) |
Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным. |
Ответ: любое число.
Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: \(8x+12=8x+12\). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.
Более сложные линейные уравнения.
Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.
Пример. Найдите корень уравнения \(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)
Решение:
\(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\) |
Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим формулы сокращенного умножения |
|
\(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15\) |
Почему результат раскрытия \((x-4)^{2}\) стоит в скобке, а результат \((3+x)^{2}\) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем. |
|
\(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6\) |
Далее как обычно: «иксы – влево, числа – вправо», не забывая менять знаки. |
|
\(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16\) |
Опять приводим подобные. |
|
\(2x=10\) |
Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. 🙂 Дорешиваем, деля уравнение на \(2\), и получаем ответ. |
Ответ: \(x=5\)
Пример. Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)
Решение:
\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) |
Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то… Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку |
|
\(6\cdot\)\((\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3})\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\) |
Раскрываем скобку слева |
|
\(6\cdot\)\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\) |
Теперь сокращаем знаменатели |
|
\(3(x+2)-2=9+7x\) |
Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки |
|
\(3x+6-2=9+7x\) |
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
|
\(3x-7x=9-6+2\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(-4x=5\) |
Ну и поделив на \(-4\) правую и левую часть, получаем ответ |
Ответ: \(x=-1,25\)
Смотрите также:
Линейная функция
cos-cos.ru
Что такое линейное уравнение | Алгебра
Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?
В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.
Определение.
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.
Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:
5∙8=40
40=40.
Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).
При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.
Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:
Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).
В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).
При a=0, b≠0 линейное уравнение
не имеет решений.
При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.
При a=0, b=0 линейное уравнение
имеет бесконечное множество решений.
При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.
Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.
Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
www.algebraclass.ru
Линейные уравнения, формулы и примеры
Линейные уравнения с одним неизвестным
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида
где называется неизвестным, числа и — коэффициентами уравнения (1).
Случай 1. Если коэффициент , тогда уравнение (1) имеет единственное решение, задающееся формулой
Случай 2. Если , а , то уравнение (1) корней не имеет: .
Случай 3. Если , , то уравнение (1) имеет бесконечно много решений: .
ПРИМЕР 1Задание | Решить уравнение . |
Решение | Преобразуем левую часть заданного уравнения, а именно раскроем скобки и сведем подобные:
В результате получили линейное уравнение с одним неизвестным, для которого коэффициенты , а тогда (случай 1)
|
Ответ |
Линейные уравнения с двумя переменными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, в состав которых входят переменные.Линейным уравнением двух переменных называется уравнение вида
Линейное уравнение двух переменных можно представить
- в общей форме
- в канонической форме
- в линейной форме
Задание | Проверить, является ли пара чисел решением уравнения . |
Решение | Подставим в уравнение вместо переменной заданное значение , а вместо — значение 0:
Получили неверное равенство, значит, делаем вывод, что не является решением рассматриваемого уравнения. |
Ответ | Пара не является решением уравнения . |
Таких решений линейное уравнение с двумя переменными (2) имеет бесконечное множество.
Геометрическим местом такого уравнения являются все точки прямой (рис. 1).
ru.solverbook.com
Решение линейных уравнений
Наука и математике серии
Определения:
Переменная: | неизвестное число, как правило обозаначаемое как «x» или»y», но можно обохначать и любой другой буквой | ||||||||
Линейное выражение : | математическое выражение,
включающее сложение, вычитание, умножение и деление
| ||||||||
Примеры линейных выражений: | Примеры НЕлинейных выражений:
| ||||||||
Линейное уравнение : | математическое выражение, содержащее линейное выражение и знак равенства |
Попробуйте это упражнение В Flash ( английский язык ).
Решение примера No1: найти x, если 2x + 4 = 10
линейное уравнение | шаги решения | математическая запись |
2x + 4 = 10 | Первый шаг состоит в том, чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения путем вычитания 4 из обеих частей уравнения: | 2x + 4 — 4 = 10 — 4 2x = 6 |
Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 2: | 2x / 2 = 6 / 2 x = 3 | |
Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: | 2x + 4 = 10 (2 * 3) + 4 = 10 6 + 4 = 10 |
Решение примера No2: найти x, если 3x
— 4 = -10
(использованием негативов)
линейное уравнение | шаги решения | математическая запись |
3x — 4 = -10 | Первый шаг состоит в том, чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения путем прибавления 4 к обеим частям уравнения: | 3x — 4 + 4 = -10 + 4 3x = -6 |
Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 3: | 3x / 3 = -6 / 3 x = -2 | |
Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: | (3 * -2) — 4 = -10 -6 — 4 = -10 |
Решение примера No3: найти x, если 4x
— 4y = 8
(использование более чем одной переменной)
линейное уравнение | шаги решения | математическая запись |
4x — 4y = 8 | Первый шаг состоит в том, чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения путем прибавления 4y к обеим частям уравнения: | 4x — 4y + 4y = 8 + 4y 4x = 8 + 4y |
Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 4: | 4x / 4 = (8 + 4y) / 4 x = 2 + y | |
Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: | 4 * (2 + y) — 4y = 8 8 + 4y — 4y = 8 8 = 8 |
Решение примера No4: найти x, если x + 32 = 12
линейное уравнение | шаги решения | математическая запись |
x + 32 = 12 | Первый шаг состоит в возведении числа в квадрат: | x + 32 = 12 x + 9 = 12 |
www.studygs.net
Как решать линейное уравнение с одной переменной? — Науколандия
Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид
ax + b = 0.
Здесь x — это переменная, a и b – коэффициенты. По-другому a называют «коэффициент при неизвестной», b – «свободный член».
Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение — это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно. Например, имеем линейное уравнение 3x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x, чтобы 3x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
3x = 6
x = 2
Таким образом выражение 3x – 6 = 0 верно при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.
Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.
Если a = 0, то ax + b = 0 превращается в b = 0. Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0*x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0*x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0, то корней у уравнения бесконечное множество.
Если b = 0, а a ≠ 0, то уравнение примет вид ax = 0. Понятно, что если a ≠ 0, но в результате умножения получается 0, то значит x = 0. То есть корнем этого уравнения является 0.
Если же ни a, ни b не равны нулю, то уравнение ax + b = 0 преобразовывается к виду
x = –b / a.
Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x. Например,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5.
Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12
Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0
Далее надо привести подобные члены:
–0.2x – 16.8 = 0
Теперь уравнение приведено к стандартному виду и можно его решить:
x = 16.8 / 0.2
x = 84
scienceland.info