Как решать линейные – Решение простейших линейных уравнений

Содержание

Линейные уравнения: решение, примеры, график

Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.

Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.

К примеру, линейным уравнением будет:

2х + 4 = 0,

или

5х + 8 = 0,

или

4х + 1 = 0,

И так далее.

Решение линейных уравнений.

Как решать линейные уравнения?

Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.

Пример линейного уравнения и его решение.

Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.

Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.

Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.

Получится:

4х = 10 – 2,

4х = 8.

Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:

Х = 8 : 4,

Х = 2.

Проверка:

4х + 2 = 10, где х = 2.

4 * 2 + 2 = 10.

8 + 2 = 10.

Ответ верный.

График линейного уравнения.

При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.

Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.

Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.

Похожие статьи

infoogle.ru

Линейные уравнения

Линейные  уравнения  –  уравнения,  которые  можно  представить  в  виде  \(ax+b=0\),  где \(a\) и \(b\) – какие-либо числа.

Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.

Например:

         

\(2x+7=0\)

         

Здесь \(a=2, b=7\)

\(5=0\)

 

А тут \(a=0, b=5\) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде \(0\cdot x+5=0\))

 

\(-7(5-3y)=91\)

 

Здесь \(a\) и \(b\) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.

 

\(\frac{x+2}{3}\)\(+x=1-\)\(\frac{3}{4}\)\(x\)

 

Тоже самое, \(a\) и \(b\) пока что неизвестны.

Решение линейных уравнений

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения \(x+3=5\) будет число \(2\), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст \(5=5\) – верное равенство.

Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят

равносильные преобразования.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

\(x=[число]\)

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.

Например: прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)

                  \(6x-5=1\)         \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

Например

: разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два

                  \(-2x=8\)         \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Например: раскроем скобки в уравнении \(2(3+x)=4(3x-2)-5\)

                  \(6+2x=12x-8-5\)

Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.

Пример. Решить линейное уравнение \(6(4-x)+x=3-2x\)

Решение:

\(6(4-x)+x=3-2x\)

                              

Раскрываем скобки

\(24-6x+x=3-2x\)

 

Приводим подобные слагаемые

\(24-5x=3-2x\)

 

Прибавляем \(2x\) слева и справа

\(24-5x+2x=3\)

     

Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения

\(-5x+2x=3-24\)

     

Опять приводим подобные слагаемые

\(-3x=-21\)

     

Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части.

\(x=7\)

         

Ответ: \(7\)

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

                   Проверка:
         \(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
           \(6\cdot(-3)+7=3-14\)
                \(-18+7=-11\)
                  \(-11=-11\)

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ответ прост:

Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

                  \(x+3=13-4x\)         \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\)

вычитается — убираем прибавлением.

                  \(x=10-4x\)         \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.

\(5x=10\)

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.

                  \(5x=10\)         \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.

Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Пример. Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)

Решение:

\(3x-1=2(x+3)+x\)

 

Раскроем скобки

\(3x-1=2x+6+x\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(3x-1=3x+6\)

 

Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки

\(3x-3x=6+1\)

     

Опять приведем подобные слагаемые

\(0=7\)

     

Ну и при каком иксе ноль станет равен \(7\)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней.

Ответ: нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.

Пример. Решить линейное уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Решение:

\(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

 

Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки

\(8x+16-4=12x-4x+12\)

 

Приводим подобные слагаемые

\(8x+12=8x+12\)

 

Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева

\(8x-8x=12-12\)

     

И вновь приводим подобные

\(0=0\)

     

Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным.

Ответ: любое число.

Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: \(8x+12=8x+12\). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.

Более сложные линейные уравнения.

Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.

Пример. Найдите корень уравнения \(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)

Решение:

\(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)

 

Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим формулы сокращенного умножения

\(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15\)

 

Почему результат раскрытия \((x-4)^{2}\) стоит в скобке, а результат \((3+x)^{2}\) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем.

\(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15\)

 

Приводим подобные слагаемые

\(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6\)

     

Далее как обычно: «иксы – влево, числа – вправо», не забывая менять знаки.

\(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16\)

     

Опять приводим подобные.

\(2x=10\)

     

Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. 🙂 Дорешиваем, деля уравнение на \(2\), и получаем ответ.

Ответ: \(x=5\)

Пример. Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)

Решение:

\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)

                              

Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то… Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку

\(6\cdot\)\((\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3})\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\)

 

Раскрываем скобку слева

\(6\cdot\)\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\)

 

Теперь сокращаем знаменатели

\(3(x+2)-2=9+7x\)

     

Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки

\(3x+6-2=9+7x\)

     

Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева

\(3x-7x=9-6+2\)

     

Приводим подобные слагаемые

\(-4x=5\)

     

Ну и поделив на \(-4\) правую и левую часть, получаем ответ

Ответ: \(x=-1,25\)

Смотрите также:
Линейная функция

Скачать статью

cos-cos.ru

Что такое линейное уравнение | Алгебра

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

5∙8=40

40=40.

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

   

   

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

   

не имеет решений.

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

   

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

www.algebraclass.ru

Линейные уравнения, формулы и примеры

Линейные уравнения с одним неизвестным

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида

   

где называется неизвестным, числа и — коэффициентами уравнения (1).

Случай 1. Если коэффициент , тогда уравнение (1) имеет единственное решение, задающееся формулой

   

Случай 2. Если , а , то уравнение (1) корней не имеет: .

Случай 3. Если , , то уравнение (1) имеет бесконечно много решений: .

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение .
Решение Преобразуем левую часть заданного уравнения, а именно раскроем скобки и сведем подобные:

   

В результате получили линейное уравнение с одним неизвестным, для которого коэффициенты , а тогда (случай 1)

   

Ответ

Линейные уравнения с двумя переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, в состав которых входят переменные.

Линейным уравнением двух переменных называется уравнение вида

   

Линейное уравнение двух переменных можно представить

  1. в общей форме

       

  2. в канонической форме

       

  3. в линейной форме

       

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Решением или корнями уравнения (2) называется такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. ПРИМЕР 2
Задание Проверить, является ли пара чисел решением уравнения .
Решение Подставим в уравнение вместо переменной заданное значение , а вместо — значение 0:

   

Получили неверное равенство, значит, делаем вывод, что не является решением рассматриваемого уравнения.

Ответ Пара не является решением уравнения .

Таких решений линейное уравнение с двумя переменными (2) имеет бесконечное множество.

Геометрическим местом такого уравнения являются все точки прямой (рис. 1).

ru.solverbook.com

Решение линейных уравнений

Наука и математике серии

Определения:

Переменная: неизвестное число, как правило обозаначаемое как «x» или»y», но можно обохначать и любой другой буквой
Линейное выражение :

математическое выражение, включающее сложение, вычитание, умножение и деление
—vпеременной (ы) в линейных выражений

  • Не содержит степеней и экспонент
    Например, x в квадрате, или x2

  • Не содержит деления на переменную и произведения переменных
    Например: «x» умножить на «y», или xy;
    «x» поделенное на «y», или x/y

  • Не содержит корня любой степени из переменной
    Например: «квадратный корень из x», или Ox

Примеры линейных выражений:
Примеры НЕлинейных выражений:
x2 (не должно быть степеней переменной)
2xy + 4 (не должно быть произведений переменных)
2x / 4y (не должно быть деления на переменную)
Ox (не должно быть корня из переменной)
Линейное уравнение : математическое выражение, содержащее линейное выражение и знак равенства

Попробуйте это упражнение В Flash ( английский язык ).

Решение примера No1: найти x, если 2x + 4 = 10

линейное уравнение шаги решения математическая запись

2x + 4 = 10

Первый шаг состоит в том,
чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения
путем вычитания 4 из обеих частей уравнения:
2x + 4 — 4 = 10 — 4

2x = 6

Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 2: 2x / 2 = 6 / 2

x = 3

Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: 2x + 4 = 10
(2 * 3) + 4 = 10
6 + 4 = 10

Решение примера No2: найти x, если 3x — 4 = -10
(использованием негативов)

линейное уравнение шаги решения математическая запись

3x — 4 = -10

Первый шаг состоит в том,
чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения
путем прибавления 4 к обеим частям уравнения:
3x — 4 + 4 = -10 + 4

3x = -6

Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 3: 3x / 3 = -6 / 3
x = -2
Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: (3 * -2) — 4 = -10
-6 — 4 = -10

Решение примера No3: найти x, если 4x — 4y = 8
(использование более чем одной переменной)

линейное уравнение шаги решения математическая запись

4x — 4y = 8

Первый шаг состоит в том,
чтобы вынести «x» на одну сторону уравнения
путем прибавления 4y к обеим частям уравнения:
4x — 4y + 4y = 8 + 4y
4x = 8 + 4y
Второй шаг состоит в делении обеих частей уравнения на 4: 4x / 4 = (8 + 4y) / 4
x = 2 + y
Проверьте полученное решение, подставив его значение в исходное уравнение: 4 * (2 + y) — 4y = 8
8 + 4y — 4y = 8
8 = 8

Решение примера No4: найти x, если x + 32 = 12

линейное уравнение шаги решения математическая запись

x + 32 = 12
(Замечание: поскольку здесь степеньчисла,
а не переменной,
то это выражение является линейным.

Первый шаг состоит в возведении числа в квадрат: x + 32 = 12
x
+ 9 = 12

www.studygs.net

Как решать линейное уравнение с одной переменной? — Науколандия

Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид
ax + b = 0.
Здесь x — это переменная, a и b – коэффициенты. По-другому a называют «коэффициент при неизвестной», b – «свободный член».

Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение — это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно. Например, имеем линейное уравнение 3x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x, чтобы 3x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
3x = 6
x = 2

Таким образом выражение 3x – 6 = 0 верно при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.

Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.

Если a = 0, то ax + b = 0 превращается в b = 0. Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0*x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0*x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0, то корней у уравнения бесконечное множество.

Если b = 0, а a ≠ 0, то уравнение примет вид ax = 0. Понятно, что если a ≠ 0, но в результате умножения получается 0, то значит x = 0. То есть корнем этого уравнения является 0.

Если же ни a, ни b не равны нулю, то уравнение ax + b = 0 преобразовывается к виду
x = –b / a.
Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x. Например,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5.

Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

Далее надо привести подобные члены:
–0.2x – 16.8 = 0

Теперь уравнение приведено к стандартному виду и можно его решить:
x = 16.8 / 0.2
x = 84

scienceland.info

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *