Смешанные производные второго порядка: Смешанная частная производная второго порядка

Содержание

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных

Частные производныеназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так, и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = x⁴-2x2y³+y⁵+1.

Решение: Так както

Оказалось, что

Этот результат не случаен.

Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В настности, для z=ƒ(х; у) имеем:

Теорема Шварца

Пусть выполнены условия:

функции определены в некоторой окрестности точки .
непрерывны в точке .

Тогда , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка.

Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z=ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле (d²z = d(dz). Найдем его:

Отсюда:Символически это записывается так:

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:

где

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = ƒ(х;у) являются независимыми.

Пример 44.4. (Для самостоятельного решения.) Найти d²z, если z=х³у².

Ответ: d²z=бху²dx²+12х²уdxdy+2х³dy².

Формула Тейлора для функции двух переменных

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)

Пусть
Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша). 2 > 0\end{array}\nonumber
$$
то
$$
\begin{array}{c}f_{yx}(0,0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}x=1,\\f_{xy}(0,0)=\displaystyle\lim_{y\rightarrow0}\frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}y=-1.\end{array}\nonumber
$$
Таким образом, $f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0)$. $\blacktriangle$

Теорема о смешанных производных.

Теорема 1.

Если обе смешанные производные $f_{xy}(x,y)$ и $f_{yx}(x,y)$ определены в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ и непрерывны в этой точке, то $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$.

Доказательство.

$\circ$ Пусть смешанные производные определены в прямоугольнике $\Pi=\{(x,y): \ |x-x_0| < \varepsilon, \ |y-y_0| < \eta\}$ и непрерывны в точке $(x_0,y_0)$. Рассмотрим в прямоугольнике $\Pi$ функцию
$$
\omega(x,y)=f(x,y)-f(x_0,y)-f(x,y_0)+f(x_0,y_0).\nonumber
$$

При фиксированном $y\in (y_0-\eta,y_0+\eta)$ рассмотрим на интервале $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ функцию
$$
\varphi(t)=f(t,y)-f(t,y_0). \nonumber
$$

Она дифференцируема на $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ и
$$
\varphi'(t)=f_x(t,y)-f_x(t,y_0).\nonumber
$$

Функцию $\omega(x,y)$ можно записать в виде
$$
\omega(x,y)=\varphi(x)-\varphi(x_0).\nonumber
$$

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
$$
\omega(x,y)=\varphi'(x+\Theta_1(x-x_0))(x-x_0)=\\=\Delta[f_x(x_0+\Theta_1\Delta x,y)-f_x(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0)],\quad \Delta x=x-x_0,\quad 0 \ <\Theta_1 < 1.\nonumber
$$

Применяя еще раз формулу конечных приращений Лагранжа, но уже по переменной $y$, получаем
$$
\omega(x,y)=\Delta x\Delta y f_{xy}(x_0+\Theta_1\Delta x, y_0\Theta_2\Delta y), \ \Delta y=y-y_0, \ 0 \ <\Theta_2 < 1.\label{ref1}
$$

Положим теперь
$$
\psi(\tau)=f(x,\tau)-f(x_0,\tau),\quad \tau\in(y_0-\eta,y_0+\eta).\nonumber
$$
Тогда
$$
\omega(x,y)=\psi(y)-\psi(y_0)=\frac{\partial\psi}{\partial\tau}(y_0+\Theta_3\Delta y)\Delta y=\\=\left[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_0+\Theta_3\Delta y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0+\Theta_3\Delta y)\right]\Delta y=\\=\Delta x\Delta yf_{xy}(x_0+\Theta_4\Delta x,y_0+\Theta_3\Delta y),\quad 0 < \Theta_3,\quad\Theta_4 < 1. 2}{\partial x_j\partial x_i}.\label{ref9}
$$

При перемножении дифференциальных операторов вида \eqref{ref8} нужно пользоваться правилом \eqref{ref9}. При этом дифференциалы независимых переменных $dx_1,…,dx_n$ перемножаются как вещественные числа.

Частная смешанная производная второго порядка. Расчет

Содержание

1 Определение
- 1.1 Для функции двух переменных
- 1.2 Для функции многих переменных
- 1.3 Определение как двойной предел в точке
2 Вопросы домена
- 2.1 Для функции двух переменных
- 2.2 Для функции более двух переменных
3 факта

Определение

Для функции двух переменных

Предположим, это функция двух переменных, которую мы обозначаем и . Имеются две возможные функции смешанной частной производной второго порядка для , а именно и . В большинстве обычных ситуаций они равны по теореме Клеро о равенстве смешанных частей. Однако технически они определяются несколько иначе.

Часто термин смешанная частная производная используется как сокращение для смешанной частной производной второго порядка. Однако смешанная частная производная может также в более общем смысле относиться к более высокой частной производной, которая включает дифференцирование по нескольким переменным.

Ниже приведены все эквивалентные обозначения и определения .

Имя	Обозначение	Определение в терминах частных производных первого порядка
Нижний индекс		Определяется как . Более точно: Пусть . Затем, .
Нотация Лейбница		Определяется как

Обратите внимание, что порядок, в котором мы пишем и , отличается в обозначениях нижнего индекса и Лейбница, потому что в обозначении нижнего индекса дифференцирование выполняется слева направо (по нижним индексам), тогда как в обозначении Лейбница, дифференцирования проводятся справа налево при упрощении.

Ниже приведены все эквивалентные обозначения и определения .

Имя	Обозначение	Определение в терминах частных производных первого порядка
индекс		Определяется как . Более точно: Пусть . Затем, .
Нотация Лейбница		Определяется как

Для функции многих переменных

Для функции более чем двух переменных мы можем определить смешанную частную производную второго порядка по двум переменным (в определенном порядке) в одном и том же как для функции двух переменных, где мы рассматриваем остальные переменные как постоянные. Например, для функции трех переменных мы можем рассмотреть шесть смешанных частичных (удерживающих фиксированную), (удерживающих фиксированную), (удерживающих фиксированную).

В общем случае для функции переменных существует множество смешанных частных частей второго порядка, которые мы можем построить.

Определение как двойной предел в точке

Рассмотрим снова случай функции двух переменных. В этом случае частные производные и в точке могут быть выражены как двойные пределы:

Теперь мы используем это:

и:

Подставляя (2) и (3) обратно в (1), получаем, что:

Аналогичный расчет дает следующее:

Как показывает теорема Клеро о равенстве смешанных парциалов, мы можем, при разумных предположениях о существовании и непрерывности, показать, что эти два смешанных парциала второго порядка одинаковы.

Вопросы предметной области

Для функции двух переменных

Предположим, функция двух переменных . Рассмотрим точку в области . Предположим, нас интересует определение существования. Мы можем сказать следующее:

A необходимое (хотя и не достаточное) условие для существования состоит в том, что существует для везде в открытом интервале, содержащем . Другими словами, существует на линии и рядом с ней. Другими словами, это должно существовать не только в точке, но и в том случае, если мы немного потревожим.

Основываясь на этом, необходимое (хотя и недостаточное) условие для существования состоит в том, что должно существовать, если мы немного возмущаем и затем немного возмущаем. Заманчиво полагать, что необходимо определить в открытой окрестности точки . Однако это не обязательно так, поскольку нет необходимости, чтобы существовала положительная нижняя граница радиуса -окрестностей для определения при близких к .

Для функции более двух переменных

Предположим, это функция переменных. Рассмотрим точку в области . Рассмотрим смешанный парциал в :

необходимое (хотя и не достаточное) условие для существования этой смешанной парциальной второго порядка состоит в том, что она должна быть определена в точках, близких к той линии, где мы фиксируем все координаты, кроме и позволяем варьировать. Другими словами, это должно существовать не только в точке, но и в том случае, если мы слегка потревожим.
Необходимое (хотя и недостаточное) условие для существования этого смешанного частичного второго порядка состоит в том, что оно должно быть определено в точках, близких к плоскости, параллельной плоскости, проходящей через точку. В явном виде должен существовать не только в точке, но и во всех близких к ней точках, получаемых путем слабого возмущения, а затем слабого возмущения.

Факты

Теорема Клеро о равенстве смешанных парциалов утверждает, что при условии непрерывности (на открытом множестве) обоих смешанных парциалов второго порядка функции двух переменных две смешанные парциалы равны.