14. Сочетания с повторениями
Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.
Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:
(12.1)
Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.
Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:
В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой.
Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).
В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.
Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А
. Поэтому.
Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение.
В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,
Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,
, .
В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:
.
Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.
Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Упражнения
12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?
Ответ: .
12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?
Ответ: .
12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?
Ответ: .
12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?
Ответ: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Элементарная алгебра
Элементарная алгебра
ОглавлениеГлава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ§ 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6.  Метод математической индукцииГлава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней § 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7.  Размещения с повторениямиГлава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 4. Тождественность двух многочленов § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ § 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4.  § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения. § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2.  Тождественные неравенства§ 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4.  Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям§ 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА |
Т. Завало. Элементарная алгебра. Изд-во «Просвещение», М., 1964 г.
Калькулятор перестановок и комбинаций
| Перестановки , n P r = |
| = | 30 |
| Комбинации , n C 9000 8 r = |
| = | 15 |
Калькулятор связанных вероятностей | Калькулятор размера выборки
Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур.
Перестановки — это определенный выбор элементов в наборе, где важен порядок расположения элементов, тогда как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок технически должен называться замком перестановки по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации любого порядка этих трех чисел будет достаточно. Существуют различные типы перестановок и комбинаций, но приведенный выше калькулятор рассматривает только случай без замены, также называемый без повторения. Это означает, что для приведенного выше примера с кодовым замком этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например, 3-3-3.
Перестановки
Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, где расположение фиксированного числа элементов r , берутся из заданного набора n . По существу, это можно обозначить как r-перестановок n или частичных перестановок , обозначаемых как n P r , n P r 9000 7 , P (н,р) , или P(n,r) среди прочих.
В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы перечисления элементов в наборе в определенном порядке, но количество вариантов выбора уменьшается каждый раз при выборе элемента, а не в таком случае, как «комбинированный» замок. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 членов, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и после выбора они должны быть удалены из набора. Буквы A от до K будет представлять 11 различных членов команды:
A B C D E F G H I J K 11 участников; A выбран капитаном
B C D E F G H I J K 10 членов; B выбран в качестве вратаря
Как видно, первый выбор был для A капитаном из 11 первоначальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарем, A был снят со сета перед вторым выбором вратаря B можно изготовить.
Общие возможности, если бы была указана позиция каждого отдельного члена команды, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае важны только выбор капитана команды и вратаря, релевантными являются только первые два выбора, 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для расчета перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать так:
| n P r = |
|
Или в данном случае специально:
| 11 P 2 = |
| = | = 11 × 10 = 110 |
Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытных ниже приведено уравнение:
Комбинации связаны с перестановками в том, что они по существу являются перестановками, в которых удалены все избыточности (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен.
Комбинации, как и перестановки, обозначаются по-разному, в том числе n C r , n C r , C (n,r) , или 900 06 C(n,r) или чаще всего просто
. Как и в случае с перестановками, предоставленный калькулятор рассматривает только случай комбинаций без замены, а случай комбинаций с заменой обсуждаться не будет. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек. В отличие от случая, приведенного в примере с перестановкой, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором нападающие выбраны не имеет значения, так как они оба будут нападающими. Снова обращаясь к футбольной команде как буквы 9От 0006 A до K , не имеет значения, будут ли A и затем B или B и затем A выбраны страйкерами в этих соответствующих порядках, важно лишь то, что они выбраны.
Возможное количество договоренностей для всех n человек равно n! , как описано в разделе перестановок. Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточности из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок) путем деления избыточности, которая в данном случае равна 2!. Опять же, это потому, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки нужно сократить на количество способов, которыми можно выбрать игроков, A , затем B или B , затем A , 2 или 2!. Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как и для перестановки, деленное на количество избыточностей, и обычно известное как биномиальный коэффициент:
| n C r = |
|
Или в данном случае специально:
| 11 С 2 = |
| = |
| = 55 |
Логично, что вариантов для комбинации меньше, чем для перестановки, поскольку избыточность убирается.
Опять же для любопытных, уравнение для комбинаций с заменой приведено ниже:
| n C r = |
|
Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок
Узнайте, сколькими способами можно выбрать k предметов из n предметов набора. С/без повторения, с/без порядка.
Расчет:
Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n! n=10 k=4 C4(10)=(410)=4!(10−4)!10 !=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7=210
Количество комбинаций: 210
Вариантов
Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, образованная из множества n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (поэтому расположены).
Количество вариаций легко подсчитать с помощью комбинаторного правила произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5, и мы должны сделать вариации третьего класса, их V 3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)…(n−k+1)=(n−k) !н!
н! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел. Обозначение с факториалом только более ясное и эквивалентное. Для вычислений вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.
Перестановки
Перестановка является синонимом вариации n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе.
P(n)=n(n−1)(n−2)…1=n!
Типичный пример: у нас есть 4 книги, сколькими способами мы можем расположить их на полке рядом?
Вариации с повторением
Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, состоящая из множества n элементов, причем элементы могут повторяться и зависят от их порядка.
Типичным примером является образование чисел из чисел 2,3,4,5 и нахождение их количества.
Рассчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения:
Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n…n=nk
Перестановки с повторением
Повторяющаяся перестановка представляет собой упорядоченную группу k-элементов из n-элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.
Pk1k2k3…km′(n)=k1!k2!k3!…km!n!
Типичный пример — выяснить, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.
Комбинации
Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу k-элементов, образованную из множества n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов группы не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами.
Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом:
Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Типичный пример комбинации: у нас 15 учеников, и мы должны выбрать троих. Сколько их будет?
Комбинации с повтором
Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их счет:
Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству мест расположения n − 1 разделителей на n-1 + k местах. Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 шоколадок. Предлагают всего 3 вида. Сколько вариантов у нас есть? к = 6, п = 3.
Основы комбинаторики в текстовых задачах
- Расчет CN
Расчет: (486 выбрать 159) — (486 выбрать 327) - Раздача 5016
У вас есть тест с восемью вопросами, где вы можете выбрать один из 3 ответов на каждый вопрос, и один ответ всегда правильный.
Вероятность того, что мы ответим правильно на 5 или 6 вопросов при случайном заполнении (то есть мы все угадаем ответы), равна ……. Th - Тройка 69274
Учитель хочет создать одну команду из трех человек из четырех девочек и четырех мальчиков, в которой будет одна девочка и два мальчика. Сколько различных вариантов есть для создания команды? - Карты
Предположим, что в шляпах три карты. Один красный с обеих сторон, один из которых с обеих сторон черный, а третий с одной стороны красный, а второй черный. Наугад вытаскиваем шляпу на одной карточке и видим, что одна ее сторона красная. Какова вероятность того, что - Вариантов
Найдите количество элементов, если количество вариантов четвертого класса без повторения в 42 раза больше, чем количество вариантов третьего класса без повторения. - Футболки 73074
У Душана в шкафу 8 футболок и три пары шорт. Сколько способов он может одеться в школу? - Вероятность 80560
У меня есть 3 источника, вероятность отказа которых равна 0,1. Вычислите вероятность того, что: а) ни у одного не будет неисправности б) 1 поломка в) по крайней мере 1 неисправность г) все они будут неисправны - Металлы
На чемпионате мира по хоккею сыграют восемь команд, и определить, сколькими способами они могут выиграть золотые, серебряные и бронзовые медали. - Опции 3572
Бросаем три кости. Запишите все варианты застолья. - Пароль dalibor
Камила хочет изменить пароль daliborZ путем а) обмена двумя согласными между собой, б) замены одной малой гласной на такую же большую гласную в) внесения этих двух изменений. Сколько возможностей у вас есть для выбора? - Сиропы
В магазине продаются три вида сиропов — яблочный, малиновый и апельсиновый. Сколькими способами можно купить четыре бутылки сиропа? - Номерные знаки автомобилей
Сколько различных номерных знаков может быть в стране, если они состоят из 3 букв, за которыми следуют 3 цифры? - Палаты
Комитет по принятию решений состоит из трех человек.
Вероятность того, что мы ответим правильно на 5 или 6 вопросов при случайном заполнении (то есть мы все угадаем ответы), равна ……. Th
Вычислите вероятность того, что: а) ни у одного не будет неисправности б) 1 поломка в) по крайней мере 1 неисправность г) все они будут неисправны