Сочетание в теории вероятности: Лекция 2. Перестановки, сочетания, размещения · Теория вероятностей и математическая статистика

Сочетания

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.

Например, для четырехэлементного множества a, b, c, d сочетаниями по 3 элемента являются следующие подмножества:

abc, abd, bcd, acd

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом . С – первая буква французского слова combination – сочетание. Из примера ясно, что . Таким образом, или

.

Примеры.

1. Решить неравенство .

Решение. Исходя из определения

разделим обе части неравенства на выражение получим

откуда следовательно, .

2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей ?

Решение. Исходя из определения сочетания, получим

Свойства сочетаний

1.

2.

3.

4.

5. .

§ 2. Основные понятия теории вероятностей

2.1. Предмет теории вероятностей

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Определение. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.

Определение. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.

Определение. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

Примеры.

1. В сосуде находится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20⁰ С. Событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» — достоверное.

Атмосферное давление и температура воды – совокупность условий S.

2. Событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий примера 1.

3. Если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому «событие» при бросании монеты выпал «герб» — случайное.

Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. речь идет о массовых однородных случайных событиях.

Определение. Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей (вероятностных) массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

2.2. Испытания и события

В дальнейшем, вместо того, чтобы говорить «совокупность событий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание».

Определение. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них, т. е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Примечание. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Определение. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Предполагается, что монета изготовлена из однородного металла, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Сочетания с повторениями — числа и размещения с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением

Сочетания с повторениями

Пусть задано 5 различных элементов a, b, с, d, е (в достаточном количестве комплектов) и пусть требуется составить из этих пяти элементов сочетания по 3 элемента с повторениями.

Это значит, что каждое соединение должно содержать три элемента и одно от другого должно отличаться по крайней мере одним элементом.

Если бы сочетания составлялись без повторений, то все они должны были бы быть различными:

Сочетания же с повторениями по три элемента из заданных пяти элементов будут иметь вид:

Таким образом, сочетание с повторениями из элементов по элементов (при ) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до т включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание из элементов по элементов может состоять не только из различных элементов, но и из каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

• Следует отметить, что если, например, два соединения по т элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число сочетаний с повторениями из элементов по будем обозначать символом

Существует формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

, здесь т может быть и больше п. (1.7.1)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Предмет теория вероятности

Примеры с решением

Пример 1.

Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение:

где

п, 3, Сочетания с повторениями

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теорема сложения вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Метод моментов

Количество сочетаний

Пример 2.

В школьной столовой на десерт дают яблоки и гр В комплект входит три плода по выбору школьника. Сколько разных eapuai десерта возможно?

Решение:

Решение получим непосредственным переборам: яяя, яяг, ягг, ггг. Г чили четыре варианта. Это пример сочетаний из двух элементов с повт ниями, когда число элементов, из которых составляются сочетания , а ч элементов, образующих каждое сочетание , причем любой элемент i можно повторять до к раз. Если обозначить искомое количество всевозмож сочетаний

Ответ: 4 варианта.

Этот же результат можно получить по формуле:

где —число сочетаний из т элементов по к с повторения В примере 1:

Пример 3.

На «Поле чудес» победитель выиграл два приза. Всего имев пять разных видов призов. Сколькими способами может победитель отобр выигрыш, если каждого вида приза можно получить до двух штук.

Решение:

Решение перебором: если призы а, б, в, г и д, то возможный от( аа, бб, вв, гг, дд, аб, ав, аг, ад, бв, бг, бд, вг, вд, гд — всего 15 способов. По формуле (2.11):

Сочетаниями с повторениями из элементов по элементов называются неупорядоченные множества (любой набор) по элементов из данных элементов, причем любой элемент может повторятся до раз. Наибольшее количество таких наборов называе числом сочетаний из элементов по с повторениями.

Это число может быть получено по формуле (2.11).

Пример 4.

Сколько различных подарочных наборов из 12 конфет можно составить, если в наличии имеются конфеты трех видов (конфет каждого вида больше 12)?

Решение:

Порядок расположения конфет в наборе не имеет значения, поэтому задача сводится к подсчету числа сочетаний с повторениями из 12 элементов, выбираемых из элементов трех видов:

Ответ. 91 набор.

Вероятность с использованием перестановок и комбинаций

Результаты обучения

• Вычисление вероятности событий в сложной задаче подсчета

опыт имеет значение

Как вы уже видели с приложениями, текстовыми задачами, статистическими исследованиями и т. д., получение как можно большего опыта решения как можно большего количества различных типов задач поможет вам понять, что делать в викторине или тест. Проблемы со счетом те же. На этой странице есть несколько хороших примеров и особенно интересная задача в конце. Не забудьте карандаш и бумагу!

Мы можем использовать перестановки и комбинации, чтобы помочь нам ответить на более сложные вопросы вероятности.

примеры

Выбран 4-значный PIN-код. Какова вероятность того, что нет повторяющихся цифр?

Показать раствор

Попробуйте

Пример

В лотерее одного штата 48 шаров с номерами от 1 до 48 помещаются в автомат, и шесть из них вытягиваются случайным образом. Если шесть выпавших номеров совпадают с номерами, выбранными игроком, игрок выигрывает 1 000 000 долларов. В этой лотерее порядок выпадения номеров не имеет значения. Вычислите вероятность того, что вы выиграете приз в миллион долларов, если купите один лотерейный билет.

Показать решение

 

Пример

В лотерее штата из предыдущего примера, если пять из шести выпавших номеров совпадают с номерами, выбранными игроком, игрок выигрывает второй приз в размере 1000 долларов. Вычислите вероятность того, что вы выиграете второй приз, если купите один лотерейный билет.

Показать раствор

Предыдущие примеры показаны в следующем видео.

примера

Вычислите вероятность случайного извлечения пяти карт из колоды и получения ровно одного туза.

Показать решение

Пример

Вычислите вероятность случайного извлечения пяти карт из колоды и получения ровно двух тузов.

Показать раствор

Просмотрите следующее для дальнейшей демонстрации этих примеров.

Попробуйте

Давайте сделаем паузу, чтобы рассмотреть известную задачу теории вероятностей:

Предположим, у вас есть комната, полная 30 человек. Какова вероятность того, что есть хотя бы один общий день рождения?

Угадайте ответ на указанную выше задачу. Было ли ваше предположение довольно низким, около 10%? Это кажется интуитивным ответом (возможно, 30/365?). Давайте посмотрим, стоит ли нам прислушиваться к своей интуиции. Однако начнем с более простой задачи.

пример

Предположим, в комнате находятся три человека. Какова вероятность того, что у этих трех человек есть хотя бы один общий день рождения?

Показать раствор

---

Предположим, в комнате находятся пять человек. Какова вероятность того, что среди этих пяти человек есть хотя бы один общий день рождения?

Показать решение

---

Предположим, в комнате 30 человек. Какова вероятность того, что среди этих 30 человек есть хотя бы один общий день рождения?

Показать раствор

Проблема дня рождения подробно рассматривается ниже.

Если вам нравится делать ставки, и если вы можете убедить 30 человек раскрыть свои дни рождения, вы можете выиграть немного денег, поспорив с другом, что в комнате будет по крайней мере два человека с одинаковым днем ​​​​рождения в любое время. вы находитесь в комнате на 30 и более человек. (Конечно, вам нужно убедиться, что ваш друг не изучал вероятность!) Вы не гарантированно выиграете, но вы должны выигрывать более чем в половине случаев.

Это один из многих противоречивых результатов теории вероятностей; то есть это идет вразрез с нашими внутренними инстинктами.

Попробуйте

Предположим, в комнате находятся 10 человек. Какова вероятность того, что среди этих 10 человек есть хотя бы один общий день рождения?

Расчет вероятностей с использованием комбинаторики, например, комбинаций и перестановок

Принцип подсчета умножения 

Предположим, что вы проводите эксперимент, результаты которого состоят из объединения двух отдельных действий или задач. Таким образом, предположим, что существует \(n\) возможностей для первой задачи и что для каждой из \(n\) возможностей существует \(r\) возможных способов выполнения второй задачи. Таким образом, общее количество исходов эксперимента равно:

$$\text{Возможные исходы эксперимента} = nr$$

Пример: принцип счета умножения

У старшеклассника есть 10 пар носков, 6 пар брюк и 20 рубашек. Если мы предположим, что студент будет носить что-нибудь еще, сколько способов он может одеться?

Решение

Количество способов, которыми ученик может одеться, определяется по формуле:

$$10\times 6\times 20 =1,200\  \text{ways}$$

Перестановки

Вероятность нас может интересовать возможное расположение набора объектов по порядку. Если нас интересует порядок расположения объектов, мы называем это расположение перестановкой .

Формально перестановка \(n\) объектов определяется как упорядоченное расположение этих конкретных объектов.

Перестановка \(n\) объектов может быть найдена с помощью правила подсчета умножения. Например, в футбольном матче у нас есть 11 игроков. Предположим, что мы хотим расставить игроков по порядку. Сколькими способами мы можем это сделать? Интуитивно имеем:

$$11\bullet 10\bullet 9 \bullet 8 \bullet 7 \bullet \cdots 2 \bullet 1 = 39 916 800\ \text{ways}$$

Таким образом, количество перестановок \(n\) объектов определяется как:

$$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1$$

\(n!\) читается как «n-факториал». Обратите внимание, что \(0!=1\). Например,

 $$ 5! = 5 \bullet 4 \bullet 3 \bullet 2 \bullet 1 = 120 $$

Обратите внимание, что значение факториала увеличивается по мере увеличения количества объектов. Например, \(100!\) слишком велико для обычного калькулятора. Таким образом, большинство проблем с перестановками связаны с упорядочением \(r\) из \(n\) объектов. Прежде чем перейти к формулировке, рассмотрим следующий пример:

Пример: Перестановки #1

Некая комиссия по квалификационным экзаменам отобрала 12 кандидатов. Три лучших кандидата получают определенную сумму денег. Сколькими способами можно присудить кандидатам первые три места?

Решение

Обратите внимание, что все 12 кандидатов имеют право на три верхних места. Таким образом, есть 12 возможных способов для первой позиции, 11 для второй позиции и 10 для третьих позиций, так что общее количество способов назначить три верхние позиции составляет:

$$12\bullet 11 \bullet 10 =1,320\ \text{ways}$$

Обратите внимание, что это можно записать как:

$$12\bullet 11 \bullet 10 =\frac{12!}{9! }=\frac{12!}{(12-3)!}=1,320\ \text{ways}$$

Приведенный выше пример наводит нас на следующее определение:

Перестановка n объектов, взятых по r за раз , представляет собой упорядоченное расположение \(r\) из \(n\) объектов, где \(r\leq n\) и определяется как:

$$ { _{ n }{ P }_{ r } }= \frac{n!}{(n-r)!},\ r\leq n$$

Пример: Перестановка #2

Сколькими способами можно выбрать и расположить 3 буквы из букв A, B, C, D и E?

Решение

Это перестановка, потому что нам важно, в каком порядке стоят буквы. ABC отличается от BAC и т. д.

У нас есть 5 букв, и мы выбираем 3, поэтому мы смотрим на:

$ $ { _{ 5 }{ P }_{ 3 } }=\frac{ 5! }{ \влево( 5-3 \вправо) ! }= \frac{ 5! } { 2! }=\frac{ \left( 5*4*3*2*1 \right) }{ \left( 2*1 \right)} =\frac{ 120 }{ 2 } =60 $$

Пример: Перестановка #3

В страховой компании всего 8 актуариев. Управляющий хочет поручить трем актуариям определенные срочные обязанности A, B и C в указанном порядке. Сколькими способами менеджер может это сделать?

Решение

У нас всего 8 актуариев, и нам нужно выбрать 3 из 8. Таким образом, мы имеем:

$${ _{ 8 }{ P }_{ 3 } }=\frac{ 8! }{ \влево( 8-3 \вправо) ! }=336\ \text{пути}$$

Комбинаций

Если нас НЕ интересует порядок расположения набора объектов, мы называем это расположение комбинацией .

Комбинация \(n\) объектов, взятых \(r\) одновременно, определяется как неупорядоченный выбор \(r\) элементов исходных \(n\) объектов (\(r-элемент\) подмножество большего \(n\)). Он определяется как:

$$ { _{ n }{ C }_{ r }}= \frac { n! }{ р! \влево( п-р \вправо) ! } $$

Обратите внимание, что мы можем написать:

$$ { _{ n }{ C }_{ r }}={n \choose r}$$

\({n \choose r}\) обычно называют биномиальным коэффициентом , так как он входит в типичное биномиальное расширение.

Пример: Комбинация #1

Сколькими способами можно выбрать команду из 5 человек из группы из 20 сотрудников?

Решение

Это комбинация, потому что порядок выбранных сотрудников не имеет значения.

$$ { _{ 50 }{ C }_{ 5 }= }\frac { 20! }{ \left( 20-5 \right) !\bullet 5! } =\frac{ 20! }{ \left( 15!\bullet 5! \right) }=\frac{ \left( 20\bullet 19\bullet 18\bullet 17\bullet 16 \right) }{ \left( 5\bullet 4\bullet 3\bullet 2\bullet 1 \right) }=15 504 $$

Мы можем использовать комбинации для расчета вероятности выбора определенное расположение предметов.

Пример: Комбинация #2

Какова вероятность того, что мы выберем все червы при выборе 5 карт из стандартной колоды из 52 карт?

Решение

Количество возможных комбинаций из 5 карт равно 52 выберите 5 или \({52!}/{(5! \bullet 47!)} = 2598960\).

Количество способов выбрать 5 сердец равно 13. выберите 5 или \({13!}/{(5!*8!)} = 1287\)

Таким образом, вероятность выбора всех сердец:

$ $ {1287}/{2598960} = .000495 \ или \ .0495\% $$

Умножение, перестановка и комбинация

Обратите внимание, что некоторые задачи требуют объединения знаний, полученных при умножении, перестановке и комбинации. Рассмотрим следующие примеры:

Пример: Умножение, перестановка и комбинация #1

В крупной страховой компании работают 20 актуариев мужчин и 30 женщин. Необходимо сформировать комитет социального обеспечения, в состав которого входят 3 актуария-мужчины и 5-женщин.

Подсчитайте количество способов формирования комитета.

Решение

Нам нужно выбрать 3 актуариев мужчин из группы 20 и 5 актуариев женщин из группы 30 так, чтобы число способов формирования комитета было равно:

$${20 \выбрать 3}\times {30 \выбрать 5}=162 456 840\ \text{пути}$$

Пример: Умножение, перестановка и комбинация #2

В классе 50 учеников. Три ученика баллотируются на пост представителя класса, помощника представителя класса и секретаря класса, которых избирают ученики. Эти должностные лица выбираются на основе количества голосов, при этом самым высоким из них является представитель класса, за ним следует помощник представителя класса и, наконец, секретарь. Из оставшихся 47 учеников выбираются 5 учеников, которые будут сопровождать выборных должностных лиц на каждом ежегодном школьном собрании.

Подсчитайте, сколько способов класс может выбрать своих трех судей и сопровождающую группу.

Решение

В этой задаче нам нужно ранжировать первых трех учеников (принцип умножения), а затем выбрать пять учеников из оставшихся 47 учеников (комбинация):

$3!\bullet {47 \выбрать 5}= 9 203 634 \ \text{ways}$$

Разделы

Из самого слова, разделение означает разбиение большой группы объектов на более мелкие группы. Ранее мы уже рассматривали разделение с помощью комбинаций (см. «Пример: принцип счета умножения» выше). Прежде чем перейти к формулировке, давайте рассмотрим пример.

Пример: Раздел № 1

В страховой компании работает 15 стажеров-актуариев, которые должны пройти обучение. Компания выберет 5 стажеров для обучения с помощью компьютерной программы, 4 – через онлайн-платформу, а остальных – традиционным (очным) методом.

Подсчитайте количество способов, которыми стажеров можно разделить на указанные группы.

Решение

Используя аналогию с разделом, нам нужно выбрать 5 стажеров из 15 для компьютерного обучения, а затем выбрать 4 из оставшихся 10 для онлайн-обучения. Обратите внимание, что после того, как мы выбрали группу, которая будет обучаться онлайн, оставшиеся 6 стажеров пройдут традиционный курс.

Таким образом, количество способов разделить группу определяется следующим образом:

$${15 \выбрать 5 }\bullet {10 \выбрать 4}=\frac{15!}{5!10!}\bullet \ frac{10!}{4!6!}=\frac{15!}{4!5!6!}=630,630\ \text{ways}$$

Другой пример: когда нас интересует, сколько аранжировок может быть составлен из группы объектов, где некоторые объекты повторяются.

Формально количество \(n\) объектов, разделенных на \(r\) различных групп размеров \(n_1, n_2, \cdots n_r\) , определяется как:

$$ {n \выберите {n_1, n_2, \cdots n_r }}=\frac { n! }{ { n }_{ 1 }!\bullet { n }_{ 2 }!\bullet \cdots \bullet { n }_{ r }! } $$

Пример: Раздел #2

Сколько существует способов расположить буквы A, A, B, B, C, D и E?

Решение

 У нас есть 7 букв, 2 из которых повторяются дважды.

$$ =\frac { п! }{ { n }_{ 1 }!\bullet { n }_{ 2 }!\bullet \cdots { n }_{ r }! } =\фракция { 7! }{ \left( 2!\bullet 2! \right) }=\frac{ \left( 7\bullet 6\bullet 5\bullet 4\bullet 3\bullet 2\bullet 1 \right) }{ \left( 2 \bullet 1\bullet 2\bullet 1 \right) }=\frac { 5040 }{ 4 }=1260 $$

Пример: Раздел №3

В страховой компании работает 20 сотрудников, каждый из которых имеет право работать в любом отделе. Компания делит сотрудников таким образом, что 7 человек занимаются маркетингом, 4 — андеррайтингом, а остальные — инвестициями.