Элементарная алгебра
Элементарная алгебра
ОглавлениеГлава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ§ 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8.  Частные приемы решения уравнений высших степеней§ 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 4. Тождественность двух многочленов § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII.  СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ§ 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.  § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1.  Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений§ 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА |
Сочетания с повторениями.
Сочетанием с повторениями из n элементов k называется неупорядоченный набор, содержащий k элементов, каждый из которых может быть одного из n типов.
Пример 1.
Из элементов A, B, C составить все возможные сочетания с повторениями из 2-х элементов.
Решение: всего может быть 6 сочетаний с повторениями из трех элементов по 2, это пары:
AA; BB; CC; AB; AC; BC.
Формула. Число сочетаний с
повторениями обозначается символом fn
Закодируем сочетания с повторениями последовательностями из нулей и единиц. Чтобы задать сочетание с повторениями, нужно знать, сколько элементов каждого типа оно содержит.
Пусть оно содержит m1 элементов 1-го типа; m2 – 2-го типа; … mn – n-го типа.
m1 + m2 +…+ mn= k.
Кодировка: запишем m1 единиц, потом запишем 0, затем запишем m2 единиц, потом – 0, и т.д. Наконец, запишем mn единиц.
Таким образом, любая запись содержит k единиц и (n — 1) нулей.
В приведенном выше примере k = 2 и n = 3, т.
Последовательности будут такими:
AA; BB; CC; AB; AC; BC.
1100; 0110; 0011; 1010; 1001; 0101.
По каждой последовательности, содержащей k единиц и (n 1) нулей, однозначно восстанавливается сочетание с повторениями, соответствующее этой последовательности.
Таким образом, формула для числа сочетаний с повторениями имеет вид: .
В примере: = = 6.
Бином Ньютона.
Воспользуемся методом математической индукции.
1). База индукции.
(+)1= 10+01= +
(+)2= 2×0++ 02=
2).
Индуктивное предположение.3). Индуктивный переход.
Доказав, истинность следующей формулы мы докажем истинность Бинома ньютона.
=× =
=+=
=++=
= n+1 + ++n+1, так как
Во второй сумме была сделана замена переменной, так чтобы индекс суммирования менялся не от 0 до n 1, а от 1 до n.
Объединим две суммы и воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов:
+.
Продолжим преобразования:
n+1+++n+1=
=
что и требовалось доказать.
Второй способ доказательста формулы
бинома Ньютона.
. Чтобы получить произведение вида нужно из имеющихся скобок отобрать скобок из которых выбирается сомножитель и в оставшихся скобках выбрать в качестве сомножителя . Но число способов выбрать скобок из имеющихся равно . Следовательно, , что и требовалось.
Следствия.
При =1, =1: (1 + 1)n = = 2n.
При = 1, = 1: (1 1)n = (1)k = 0.
Лекция 3. Введение в теорию множеств. Понятия о множестве.
Определение 1. Под множеством
(совокупностью) понимают набор
объектов произвольной природы, которые
называются
Подразумевается, что элементы множества
различны и различимы между собой.
Само
множество элементов рассматривается
как единое целое. И в качестве такового
может быть элементом любого другого
множества. Элементы могут быть любыми
объектами: числами, людьми, яблоками,
буквами и т. п., но в математике в качестве
элементов множества рассматривают
математические объекты: числа, точки
пространства, кривые и т. п.
Числовые множества обозначаются следующим образом:
N множество натуральных чисел ;
Z множество целых чисел;
Q множество рациональных чисел;
R множество вещественных чисел;
C множество комплексных чисел.
Можно рассматривать множества, элементы которых в принципе невозможно перечислить:
Пример 1.
Всякое бесконечное
множество. Существуют и конечные
множества, обладающие той же степенью
неопределенности: множество погибших
в ВОВ; множество космических пришельцев,
посетивших Землю за 2000 лет и т.
п.
Любое множество состоит из своих элементов и однозначно определяется ими. Постулируется, что для каждых конкретных объекта и множества можно сказать, является ли объект элементом множества или нет. Говорят, что любой элемент множества принадлежит этому множеству. Тем самым, между множеством и его элементами вводится отношение принадлежности, которое обозначается . Элементы множества обозначаются малыми буквами латинского алфавита, а сами множества — большими.
Определение 2. Множества, содержащие в качестве элементов другие множества, называются семействами (классами).
Определение 3. Множество, не содержащее ни одного элемента,
называется пустым и обозначается . Существование пустого множества также является постулатом.
Определение 4.
Если все
элементы данной системы множеств
принадлежат какому-то одному большому
множеству, такое множество называется универсальным множеством или универсумом и обозначается U.
Если элементы другая запись то говорят, что множество A состоит из этих элементов, а порядок перечисления элементов не имеет значения.
Пример 2.
множество, в котором один элемент, этот элемент – пустое множество.
Комбинации с калькулятором повторений
Создано Luis Hoyos
Отредактировано Wojciech Sas, PhD
Последнее обновление: 21 октября 2022 г. инструменты, похожие на калькулятор комбинаций с повторениями
В этой статье мы разберемся, как рассчитать комбинации с повторениями.
Комбинации присутствуют во многих повседневных жизненных ситуациях, например, при желании узнать шансы на выигрыш главного приза в лотерее (подробнее об этом можно узнать в нашем лотерейном калькуляторе).
По этой причине мы создали этот и другие подобные калькуляторы.
Самый простой способ рассчитать комбинации с повторениями — использовать наш калькулятор, но знание уравнения, лежащего в основе результатов, полезно для более глубокого понимания. По этой причине в следующем разделе мы приводим формулу для комбинаций с повторением и пример расчета.
🙋 Этот инструмент не только подсчитывает количество комбинаций с повторениями, но и служит генератором комбинаций с повторениями, показывая вам список всех возможных комбинаций.
Не путайте комбинации с перестановками .
Комбинация с формулой повторения
Эта формула дает количество комбинаций с повторением:
C′(n,r)=(r+n−1)!r!(n−1)!,\footnotesize C'( n,r) = \frac{(r+n-1)!}{r!(n-1)!},C′(n,r)=r!(n−1)!(r+n−1 )!,
, где:
- rrr — объем выборки;
- nnn — общее количество объектов; и
- !!! — Факториал числа.
Пример комбинации с повторением
Предположим, вы хотите узнать, сколько комбинаций из 5 чисел с повторением возможно.
Чтобы получить ответ, выполните следующие действия:
- Определите общее количество объектов (n) и объем выборки (r). В системе счисления существует десять цифр (от 0 до 9), и нам нужны комбинации из пяти цифр. Следовательно, n=10n = 10n=10 и r=5r = 5r=5.
- Введите значения в комбинации с формулой повторения:
C′(n,r)=(r+n−1)!r!(n−1)!)=(5+10−1)!5!(10 −1)!=14!5!×9!=87,178,291,200120×362,880=2002C'(n,r) = \frac{(r+n-1)!}{r!(n-1)!}) = \frac{(5+10-1) !}{5!(10-1)!} = \frac{14!}{5!×9!} = \frac{87 178 291 200}{120×362 880} = 2002 C′(n,r)=r!( n−1)!(r+n−1)!)=5!(10−1)!(5+10−1)!=5!×9!14!=120×362,88087,178,291,200 =2002 - Вот и все. Количество комбинаций с повторением пяти цифр 2002 . Вы можете проверить эти результаты в наших комбинациях с калькулятором повторений.
Другие инструменты Omni, аналогичные комбинациям с калькулятором повторений
Вы можете генерировать комбинации с повторением и многими другими мерами, используя эти калькуляторы:
- Калькулятор комбинаций;
- Комбинации без калькулятора повторений;
- Калькулятор перестановок и комбинаций; и
- Калькулятор возможных комбинаций.
FAQ
Сколько возможны комбинаций из 5 номеров с повторением?
Возможны 2002 комбинации с повторениями и 100 000 перестановок с повторениями расположения цифр 0-9составить пятизначное число.
Как считать комбинации с повторением?
Для расчета комбинаций с повторением C'(n,r):
- Определить общее количество объектов (n)
- Установить или определить объем выборки (r)
- Введите значения в следующую формулу:
C'(n,r) = (r+n-1)! / (r!(n-1)!).
Луис Ойос
Набор объектов
Общее количество объектов n
Объем выборки r
Количество исходов
Комбинации с повторениями
Генератор комбинаций
Ознакомьтесь с 22 похожими калькуляторами теории вероятности и шансов by Duana Saskia Photo by Shaun Anyi https://www.flickr.com/photos/shaunanyi/10126810486
В моем предыдущем посте о треугольнике Паскаля я показал, как вывести формулы для перестановок и комбинаций и почему они соответствуют биномиальным коэффициентам.
Эти формулы легко вывести. В качестве упражнения я попытался вывести формулу для комбинаций, допускающих повторения, и мне это показалось трудным. Я почти сдался, но друг подбодрил меня: «Ты уже потратил на это месяц, можешь продолжать». Не уверен, что это логичный совет, но я рад, что последовал ему, потому что это окупилось. Этот пост погружается глубже в дразнящий треугольник.
Напоминание: (5 выберите 3) разрешение повторов означает: выберите 3 символа из 5 символов, разрешая повторения. (5 выберите 3) с повторениями, используя символы ABCDE, мы можем начать перечисление комбинаций следующим образом:
Обычная формула для комбинаций (n выбирает k) не допускает повторений и равна
Я пытался увидеть, есть ли подобные отношения между перестановками и комбинациями при разрешении повторений, но я не мог идентифицировать группы одинакового размера среди перестановок, т.е. Я не мог найти общий фактор.
Я пробовал искать другие закономерности, но безуспешно. Я расстроился.
— спросил я своих друзей-математиков. Один из них сказал что-то о том, как такие вещи складываются из базового случая. Я не знал, как воспользоваться этим советом. Другой друг заверил меня, что это нетривиальная проблема, и я не должен сдаваться. Я знал, что — это формула , поэтому я знал, что это возможно. Это было похоже на знание того, что кто-то другой успешно взобрался на гору, на которую мне казалось невозможно взобраться.
Я вернулся к чертежной доске и попытался понять, как рекурсивно строятся комбинации. Я попробовал на небольших примерах и обнаружил, что рекурсивная структура выглядит следующим образом:
Я использую здесь r для обозначения (n select k) , позволяющего повторения . Я нашел эту структуру, используя небольшие примеры, такие как
. Давайте поработаем над этим, чтобы понять, почему это так (если это вас утомляет, пропустите дальше). (3 выберите 2) r дает нам следующие 6 комбинаций:
Первый столбец — это комбинации (3 выберите 1) r , и мы просто вставляем перед ними букву А — это все возможные комбинации с участием А.
Затем мы убираем А и делаем то же самое: второй столбец это комбинации из (2 выбирают 1) r , причем все комбинации с участием B. Тогда у нас остается только C, что составляет (1 выбирает 1) r.
Когда мы делаем (n выбираем k), разрешая повторения, k на самом деле может быть больше, чем n . Рекурсивная формула также работает для этих примеров:
Проверяя рекурсивную формулу на более сложных примерах, я заметил несколько знакомых чисел:
Это числа из треугольника Паскаля!
Это означает, что они соответствуют обычным комбинациям-без-повторений, (n выберите k), чисел. Я записал сопоставление из нескольких примеров:
И обнаружил, что корреляция выглядит следующим образом:
Это означает, что формула:
Я был взволнован, когда нашел это, потому что это самая сложная головоломка, с которой я когда-либо сталкивался. Я проверил свою формулу, сравнив результаты с функцией в модуле комбинаторики Python для больших н и к.
Мне нравится понимать, почему формулы работают. Мне было любопытно, почему (n выбирает k), допускающих повторения, равно (n+k-1 выбирает k). Я смотрел на некоторые комбинации с повторениями, пока не нашел способ провести корреляцию. Я заменил повторяющиеся символы новыми символами и получил соотношение:
Это показывает, что (3 выбирают 2)r = (4 выбирают 2). Более сложный пример:
Это показывает (3 выбирают 3)r = (5 выбирают 3).
Если мы перечислим комбинации по порядку, мы можем заменить повторения, введя новый символ, который означает «повторить символ в позиции x». Чтобы иметь возможность повторить предыдущий символ, нам нужно, чтобы существовал хотя бы первый символ, а это значит, что у нас может быть до k-1 новых символов. И это одна из интерпретаций того, почему (n выбирает k) с повторениями эквивалентно (n+k-1 выбирает k) без повторений. Аккуратно, верно? Другие решения в Интернете также хороши.
Числа, представляющие комбинации, допускающие повторения, — это числа в треугольнике Пакаля, точно так же, как числа, представляющие комбинации без повторений.
Давайте сравним «отображения». Вот обычное отображение для комбинаций без повторений (биномиальные коэффициенты):
Мы можем применить отображение (n выбрать k) = (n + k-1 выбрать k), чтобы получить отображение для комбинаций с повторениями:
Мы Знайте, что числа в треугольнике Паскаля являются суммой двух по диагонали над ним. Отсюда мы можем вывести рекурсивное правило о комбинациях с повторениями:
Давайте убедимся, что это работает, используя (3 выберите 3), допуская повторение символов ABC в качестве примера. Если мы пронумеруем (3 выберите 2), допускающие повторения, и поставим перед ними букву А в качестве окончательного варианта, то получим все комбинации, содержащие букву А.
Остаются комбинации, допускающие повторения с использованием символов, отличных от А:
Это 6 + 4 = 10 комбинаций, что получается.
Я был счастлив, что лучше понял формулу, но что-то все еще беспокоило меня. Одной из моих первых идей найти формулу было: скажем, мы комбинируем шарики мороженого и допускаем повторения.
Допустим, у нас есть 5 вкусов, и мы хотим сделать мороженое из 4 шариков. Это (5 выберите 4) с повторениями. Тогда один процесс будет состоять в том, чтобы найти все способы, которыми мы можем суммировать 4 — (4), (3,1), (2,2), (2,1,1), (1,1,1,1) и для каждой аранжировки заполните ее 5 вкусами. Например, в первой аранжировке с 4 порциями одного вкуса у нас будет 5 вариантов. Затем для (2,1,1) нам нужны 2 мерные ложки одного и того же вкуса и две уникальные мерные ложки разных: у нас есть (5 выберите 3) комбинации вкусов, но затем с каждой комбинацией вкусов мы должны поменять местами, какой вкус имеет 2 мерные ложки, поэтому его (5 выберите 3) * 3.
Чтобы вычислить (n выберите k) или (num_flavors выберите num_scoops) с повторениями, используя этот процесс, мы могли бы сделать следующее: расположение шариков, например (2,1,1) означает 2 шарика одного вкуса, 1 уникальный вкус, 1 уникальный вкус)
(5 выбрать 3) на сумму (2,1,1) Такой пошаговый процесс называется алгоритмом — компьютерная наука. Это сложнее, чем формула. Нет причин, по которым вы хотели бы вычислять это таким образом, если есть алгебраическая формула. Я просто хотел посмотреть, есть ли связь между числами на шаге 1 (количество способов суммировать k с использованием натуральных чисел меньше него) и числом (n выбрать k) с повторениями. Втайне я надеялся, что эти числа-суммы также будут числами треугольника Паскаля. Я пытался найти для них формулу, но не смог. Оказывается, понятие этих сумм-чисел является разбиением в теории чисел. Кажется, для них не существует формулы, поэтому они должны рассчитываться с использованием алгоритма.
Пока я пытался найти формулу для разбиений, я нашел другое интересное соотношение:
Обобщение:
Давайте убедимся, что это работает на примере (4 выбирают 4)r, что то же самое, что (7 выбирают 4), потому что у нас как будто есть 3 дополнительных символа, которые говорят нам, какую позицию повторять (1..k-1). Нам нужно количество комбинаций из 4 символов из этих 7 символов
Сначала представьте, что мы хотим создать комбинации, используя все дополнительные символы.
Осталось только одно место для исходных символов. Таким образом, есть (4 варианта выбора 1) способы выбора основных символов и (3 варианта выбора 3) или только 1 способ выбора дополнительных символов. Итак, есть (4 выберите 1) * (3 выберите 3) комбинации этого типа: AEFG, BEFG, CEFG, DEFG. Поскольку наши дополнительные символы означают повторение 1-й позиции, повторение 2-й позиции и повторение 3-й позиции, эти комбинации соответствуют AAAA, BBBB, CCCC, DDDD.
Теперь представьте, что мы хотим создать комбинации, используя всего два дополнительных символа.
Есть (3 выберите 2) способа выбрать один из двух дополнительных символов:
и для каждого из них мы можем вставить (4 выбрать 2) пары основных символов. Например, все возможные комбинации из первой схемы: AEFB, AEFC, AEFD, BEFC, BEFD, CEFD. Они соответствуют AAAB, AAAC, AAAD, BBBC, BBBD, CCCD. Итак, есть (3 выбирают 2) * (4 выбирают 2) строки этого типа.
Мы можем продолжить создание комбинаций с одним дополнительным символом, а затем ни с одним.
Наконец, я хочу показать потрясающее и простое свойство чисел, представляющих комбинации.
Это ясно видно, но не сразу очевидно, что диагонали представляют собой суммы сумм сумм… (∑ i — обозначение суммирования). Если мы нарисуем комбинаторные деревья, мы увидим графически, что они представляют собой суммы сумм сумм. Вот деревья для (5 выбирают 3):
А вот эквивалентное число для (3 выбирают 3) с повторениями.
Дело в том, что если мы видим деревья в таком виде, то мы знаем, что это должно быть комбинаторное число, число из Треугольника!
Вау.