Сочетания с повторениями онлайн: Сочетания с повторениями — посчитать онлайн

Элементы комбинаторики

Правило сложения

Правило сложения используется в том случае, если у нас есть два или более множеств, которые попарно не пересекаются, то есть не имеют общих элементов. И нам нужно найти сколько элементов содержится в объединении этих множеств. В этом случае мы складываем число элементов в каждом множестве. Простейший пример: если у нас есть две корзинки с фруктами: в одной 5 яблок, а в другой 7 груш. Если мы эти  фрукты пересыпаем в одну корзинку (объединяем множества), тогда в новой корзинке окажется 5+7=12 фруктов.

Правило умножения

Правило умножения используется в том случае, если у нас есть два множества, и мы составляем всевозможные пары из элементов этих множеств. Например, если взять множество, состоящее из 5-ти яблок и множество, состоящее из 7-ми груш и составить всевозможные пары из этих фруктов, то мы получим всевозможных пар.

Действительно. Возьмем первое яблоко. Мы можем положить к нему любую из семи груш, то есть получаем 7 пар. Возьмем второе яблоко, и к нему мы также можем положить любую из 7-ми груш, получаем ещё 7 пар.  И так далее. Всего получается пар.

Правило умножения легко понять, если попытаться ответить, например, на такой вопрос: «сколько существует двузначных чисел?«

Пусть двузначное чиcло имеет вид , где — число десятков, — число единиц. При этом цифра может принимать значения от 1 до 9 ( цифра 0 не может стоять на первом месте, так как в этом случаем мы получим однозначное число), цифра   может принимать значения от 0 до 9.

Пусть , и у нас есть 10 вариантов цифр, которые могут стоять на втором месте. Тогда мы имеем 10 двузначных чисел, содержащих 1 десяток.

Затем мы берем и так же получаем 10 двузначных чисел, у которых теперь уже 2 десятка.

И так далее.

Так как цифра может принимать 9 различных значений, то получаем двузначных чисел.

Зная, что на первом месте может стоять 9 различных цифр, а на втором  — 10, мы получаем комбинаций этих цифр, то есть все возможные двузначные числа. Здесь важно понимать, что любая цифра, стоящая на первом месте, может сочетаться с любой цифрой, стоящей на втором месте.

В общем случае правило умножения звучит так:

Если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Это правило распространяется на любое число независимо выбираемых элементов.

Если мы хотим ответить на вопрос, сколько существует трехзначных чисел, мы заметим, что в трехзначном числе первая цифра может принимать 9 значений, вторая   — 10, и третья — 10 значений. И мы получаем трехзначных чисел.

 

Формула включений-исключений

используется в том случае, если нам нужно найти число элементов в объединении двух множеств, в том случае, если эти множества пересекаются.

Пусть множество А содержит n  элементов, множество В содержит m элементов, и пересечение этих множеств   содержит k элементов. То есть k элементов содержатся и в множестве А, и в множестве В. Тогда объединение множеств содержит  m+n-k элементов.

Действительно, при объединении двух множеств мы k элементов посчитали два раза, и теперь один раз мы должны их вычесть.

Число элементов в множестве обозначается общепринятым значком #.  Тогда формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств имеет вид:

########

Рассмотрим примеры задач.

1. Сколько трехзначных чисел содержит хотя бы одну цифру 3?

Решение.

показать

2. Сколько четырехзначных чисел, кратных 5.

Решение.

показать

 

Перестановки

Воспользуемся правилом умножения чтобы ответить на вопрос, «сколькими способами можно построить 7 человек в шеренгу?».

Человека, стоящего первым в шеренге можно выбрать семью способами, второго можно выбрать из оставшихся шести человек, то есть шестью способами. Третьего, соответственно, пятью. И так далее. Последнего можно выбрать единственным способом. Всего получаем способов построить 7 человек в шеренгу.

В общем случае, если мы имеем объектов, которые хотим расположить в определенном порядке (пронумеровать их), то мы получим

способов расположения этих объектов.

Факториалом натурального числа называется произведение всех натуральных чисел от 1 до :

По определению 0!=1; 1!=1.

Перестановкой из предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ расположения их в ряд).

Число перестановок предметов равно .

3. Имеется 10 компьютерных дисков и 10 коробок от них. Найдите вероятность того, что случайным образом уложив диски в коробки, мы обнаружим, что

1. Каждый диск лежит в своей коробке.

2. Хотя бы один диск лежит не в своей коробке.

3. Два определенных диска перепутаны местами, а остальные в своих коробках.

4. Ровно один лежит не в своей коробке, а остальные  — в своих коробках.

Решение.

показать

4. Слово «МАТЕМАТИКА» написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Найдите вероятность того, что составив все эти буквы случайным образом в ряд, мы снова получим слово «МАТЕМАТИКА».

Сколько буквосочетаний можно составить из букв слова «МАТЕМАТИКА»?

Решение.

показать

Размещения

В задачах по теории вероятностей часто возникает необходимость определить, сколькими способами можно выбрать определенное число предметов и расположить их в определенном порядке.

5. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Воспользуемся правилом умножения.

В первую страну мы выбираем из 9 специалистов, то есть у нас 9 вариантов выбора. После того, как специалист для поездки в первую страну выбран, у нас осталось 8 специалистов, и для поездки во вторую страну у нас 8 вариантов выбора. И так далее… в четвертую страну мы можем выбрать кандидата из 6 специалистов.

Таким образом, мы получаем вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны.

Обобщим эту задачу на случай выбора k кандидатур из n специалистов для поездки в k различных стран.

Рассуждая аналогичным образом, мы получаем

   

вариантов.

Если умножить и разделить это выражение на , то получим следующую формулу:

   

В этой задаче из множества, состоящего из элементов мы выбрали упорядоченные подмножества (для нас был важен порядок расположения элементов в подмножестве), состоящие из  элементов.  Задача сводилась к нахождению числа таких подмножеств.

Такие упорядоченные подмножества называются размещениями из n элементов по k.

Пусть у нас есть множество , состоящее из элементов. Размещением (из n по k) называется упорядоченное подмножество из различных элементов из некоторого множества , состоящего из различных  элементов.

Число размещений из элементов по обозначается и находится по формуле:

   

Размещения с повторениями

6. Игральную кость бросают трижды. Сколько различных комбинаций выпавших очков при этом получится?

При бросании кости первый раз мы получим 6 различных вариантов: 1 очко, 2, 3… или 6. Аналогично при бросании кости во второй и в третий раз мы получим также по 6 различных вариантов. По правилу умножения  получим число различных комбинаций трех чисел, принимающих значения от 1 до 6:

В общем случае:

Пусть у нас есть множество , состоящее из элементов.

Любой упорядоченный набор элементов множества, состоящего из элементов называется размещением с повторением из элементов по . Число различных размещений с повторениями равно

   

.

Действительно. Представим ящик с пронумерованными шарами. Мы вынимаем шар, записываем его номер и возвращаем обратно,  и так раз. Сколько комбинаций из номеров мы можем получить?

Поскольку шары каждый раз возвращаются, каждый раз, вынимая шар из коробки, в которой шаров, мы можем получить различных чисел. По правилу умножения имеем

   

Сочетания

Рассмотрим задачу, аналогичную задаче 5, но с существенным отличием.

7. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов?

В этой задаче нам нужно выбрать 4 кандидатуры, но при этом не важно, в каком порядке мы их выбираем, нас интересует только состав выбранных элементов, но не порядок их расположения.

Если бы нас интересовал порядок расположения элементов, как в задаче 5, то мы могли применили бы формулу для нахождения числа размещений из 9 по 4:

   

4 различных элемента можно расположить в определенном порядке 4! различными способами. Поскольку нас не интересует порядок расположения элементов, число способов, которыми мы можем выбрать 4 элемента, не располагая их в определенном порядке, уменьшается в 4! раза по сравнению с предыдущей задачей (так как для данной задачи различное расположение данных элементов считается одним способом), и мы получаем

   

способов.

В этой задаче появляется понятие сочетания.

Сочетаниями  из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества (множества, состоящего из n элементов).

Внимание! Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается 

   

и находится по формуле:

   

Число сочетаний из  n по k показывает, сколькими способами мы можем выбрать k элементов из n элементов, или сколькими способами мы можем расположить k объектов по n местам.

Легко заметить, что

   

   

8.  В коробке лежат 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 4 карандаша. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 красных и 2 синих?

Решение.

показать

Метод шаров и перегородок

9. Сколькими способами можно разложить 10 шаров в 4 коробки? Предполагается, что некоторые коробки могут оказаться пустыми.

Решение.

Рассмотрим 10 шаров:

Будем «раскладывать шары  по коробкам», ставя перегородки.

Например, так:

В этом примере в первой коробке  3 шара, во второй  — 2, в третьей — 4, и в четвертой — 2. Переставляя шары и перегородки, мы получаем различные комбинации шаров в коробках. Например, переставив последний шар в первой коробке и первую внутреннюю перегородку, мы получим такую комбинацию:

Таким образом, мы получаем различное число шаров в коробках, комбинируя позиции 10-ти шаров и 3-х внутренних перегородок. Чтобы определить, сколько различных комбинаций мы можем получить, нам нужно найти число сочетаний из 13 по 3. (Или, что то же самое, что число сочетаний из 13 по 10.) Столько способов выбрать 3 места для перегородок из 13 возможных позиций. Или, что то же самое, 10 мест для шаров.

   

10. Сколько решений имеет уравнение в целых неотрицательных числах?

Решение.

Так как переменные могут принимать только целые неотрицательные значения, следовательно, у нас есть 10 переменных, и они могут принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4. Представим, что у нас есть 10 коробок (это переменные), и мы должны разложить по этим коробкам 4 шара. Сколько шаров попадет в коробку, таково значение соответствующей переменной. Если у нас 10 коробок, следовательно, 10-1=9 внутренних перегородки. И 4 шара. Всего 13 мест. Нам надо расположить на этих 13 местах 4 шара. Число таких  возможностей:

   

В общем случае, если нам нужно разложить шаров в коробок, мы получаем комбинации из шаров  и внутренней перегородки. И число таких комбинаций равно числу сочетаний из по .

   

В этой задаче мы имели дело с сочетаниями с повторениями.

Сочетания с повторениями

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из типов.

Что такое сочетания из элементов по элементов с повторениями можно понять с помощью такого мысленного эксперимента. Представим ящик с пронумерованными шарами. Мы вынимаем шар, записываем его номер и возвращаем обратно,  и так раз. В отличие от размещений с повторениями нас не интересует порядок записанных чисел, а только их состав. Например, группы чисел {1,1,2,1,3,1,2} и {1,1,1,1,2,2,3} считаются одинаковыми. Сколько таких групп из  номеров мы можем получить?

В конечном итоге нас интересует сколько элементов каждого типа (всего n типов элементов) содержится в каждой группе (из k элементов), и сколько таких различных вариантов может быть. То есть мы находим, сколько  в целых неотрицательных решений имеет уравнение уравнение   — задача аналогична задаче по раскладыванию n шаров в k  коробок.

Число сочетаний с повторениями находится по такой формуле:

   

Таким образом, число сочетаний с повторениями — это количество способов представить число k в виде суммы n слагаемых.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Функция Мебиуса

Функция Мебиуса (n), гдеn– натуральное число, принимает следующие значения:

Функция Мебиуса позволяет записать функцию Эйлера в виде суммы:

.

Суммирование идет по всем делителям n(а не только по простым делителям).

Пример.Вычислимφ(100), используя функцию Мебиуса.

Все делители 100 – {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

(1) = 1,

(2) = (-1)¹ = -1 (у двойки один простой делитель – 2)

(4) = 0 (4 делится на квадрат двойки)

(5) = (-1)¹ = -1 (у 5 один простой делитель – 5)

(10) = (-1)² = 1 (у 10 два простых делителя – 2 и 5)

(20) = 0 (20 делится на квадрат двойки)

(25) = 0 (25 делится на квадрат пятерки)

(50) = 0 (50 делится и на 2², и на 5⁵)

(100) = 0 (100 делится и на 2², и на 5⁵)

Таким образом,

Свойство функции Мебиуса: .

Например, n=100,{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

.

16 Теорема о числе способов выбора k-элементов, среди которых нет двух соседних, из n элементов, расположенных в ряд. Доказать с помощью получения рекуррентной формулы.

17 Число сочетаний с повторениями

Число r-сочетаний с повторениями изn-множества равно

.

– доказательство с помощью рекуррентной формулы.

Метод базируется на получении формулы, позволяющей вычислять значения искомой величины шаг за шагом, исходя из известных начальных значений и значений, вычисленных на предыдущих шагах.

Рекуррентная формула r-го порядка– формула вида

a_n= f(n, a_n-1, a_n-2, … , a_n-r).

Формула выражает при n>rкаждый член последовательности {a_i} через предыдущиеrчленов. Построение рекуррентной формулы состоит из следующих шагов.

1. Выработка начальных условийисходя из каких-либо очевидных соотношений.

Обозначим черезf(n,r). Очевидно, что

(1)

2. Логические рассуждения.Зафиксируем какой-либо элемент во множествеS. Тогда относительно любогоr-сочетания с повторениями изn-множестваSможно сказать, содержит ли оно данный зафиксированный элемент или нет.

Если содержит, то остальные (r-1) элемент можно выбратьf(n,r-1) способами.

Если не содержит(в выборке этого элемента нет), тоr-сочетание составлено из элементов (n-1)-множества (множествоSза исключением данного зафиксированного элемента). Число таких сочетанийf(n-1,r).

Т.к. эти случаи взаимоисключающие, то по правилу суммы

(2)

3. Проверка формулы на некоторых значениях и вывод общей закономерности.

1) Вычислим f(n,0). Из (2) следует

. (3)

Тогда f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Из (1)f(n,1)=n, f(n-1,1)=n-1.

Следовательно, f(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) f(n,1) =f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n-1 =n ==.

3) f(n,2) =f(n,1)+f(n-1,2) =n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n

-1)+…+2+1 =.

(сумма арифметической прогрессии)

4) f(n,3)=f(n,2)+f(n-1,3) =+f(n-1,2)+f(n-2,3) =++f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

.

(сумма геометрической прогрессии)

5) f(n,4)=

На основе частных случаев можно предположить, что

4. Проверка начальных условий с помощью полученной формулы.

,

что согласуется с (1) #

19, 20) Число бинарных деревьев с n вершинами равно C(n), где C(n) – это n-ое число Каталана.

Количество бинарных деревьев из n вершин называется числом Каталана, которое обладает множеством интересных свойств. N-ое число Каталана считается по формуле (2n)! / (n+1)!n!, которая растёт экспоненциально. (В Википедии предложено несколько доказательств, что это форма числа Каталана.) Число бинарных деревьев данного размера 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Подстановка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Это статья о подстановке как о синтаксической операции над термами. Возможно, вас интересует перестановка.

В математике и компьютерных науках подстановка — это операция синтаксической замены подтермов данного терма другими термами, согласно определённым правилам. Обычно речь идёт о подстановке терма вместо переменной.

Содержание 1 Определения и обозначения 2 Подстановка переменной в λ-исчислении 3 Подстановка переменной в программировании 4 См. также 5 Ссылки

Определения и обозначения

Для подстановки не существует универсальной, согласованной нотации, равно как и стандартного определения. Понятие подстановки варьируется не только в рамках разделов, но и на уровне отдельных публикаций. В целом, можно выделить контекстную подстановку и подстановку «вместо». В первом случае место в терме, где происходит замена, задаётся контекстом, то есть частью терма, «окружающим» это место. В частности, такое понятие подстановки используется в переписывании. Второй вариант более распространён. В этом случае подстановка обычно задаётся некоторой функцией из множества переменных в множество термов. Для обозначениядействия подстановки, как правило, используют постфиксную нотацию. Например, означает результат действия подстановкина терм.

В подавляющем большинстве случаев требуется чтобы подстановка имела конечный носитель, то есть, чтобы множество было конечным. В таком случае её можно задать простым перечислением пар«переменная-значение». Поскольку каждую такую подстановку можно свести к последовательности подстановок, замещающих всего по одной переменной каждая, не ограничивая общности можно считать, что подстановка задаётся одной парой «переменная-значение», что обычно и делается.

Последнее определение подстановки является, видимо, самым типичным и часто используемым. Однако и для него не существует единой общепринятой нотации. Наиболее часто для обозначения подстановки a вместо x в t используется запись t[a/x], t[x:=a] или t[x←a].

Подстановка переменной в λ-исчислении

В λ-исчислении, подстановка определяется структурной индукцией. Для произвольных объектов ,и произвольной переменнойрезультат замещения произвольного свободного вхождениявсчитаетсяподстановкой и определяется индукцией по построению :

(i) базис: : объектсовпадает с переменной. Тогда;

(ii) базис: : объектсовпадает с константой. Тогдадля произвольных атомарных;

(iii) шаг: : объектнеатомарный и имеет вид аппликации. Тогда;

(iv) шаг: : объектнеатомарный и является-абстракцией. Тогда [;

(v) шаг: : объектнеатомарный и является-абстракцией, причем. Тогда:

для иили;

для ии.

Подстановка переменной в программировании

• Подстановка переменной (англ.  substitution) в аппликативном программировании понимается следующим образом. Для вычисления значения функции f на аргументе v применяется запись f(v)}, где f определена конструкцией f(x) = e. Запись f(v) в этом случае означает, что в выражении e происходит замещение, или подстановка переменной x на v. Выполнение замещения происходит в соответствии с семантикой вычислений.

• Подстановка переменной (англ. assignment) в программировании понимается как присваивание. Оператор присваивания является проявлением эффекта «бутылочного горлышка» фон Нейманна для традиционных языков программирования^[1]. От этого свободны аппликативные вычислительные системы.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Производящие функции. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний без повторений.

Производящие функции: 1)Z-преобразования 2)генератриса 3)порождающая функция 4)производящая функция последовательности {a_r} на базисе {g_r} – функция f при разложении которой в ряд по функциям фиксированного базиса {g_r} образуется данная последовательность коэффициентов {a_r} …………*)

Данный ряд – формальный. Название формальный означает, что мы формулу *) трактуем как удобную запись нашей последовательности – в данном случае несущественно, для каких (действ и комплексных) значений он сходится. Роль t сводится к тому чтобы различать коэффициенты последовательности А0,А1,…Аr….поэтому в теории производящих функций никогда не вычисляют значения таого ряда для конкретного значения переменной t. Выполняются лишь только некоторые операции на таких рядах, а затем определяются только некоторые операции на таких рядах а затем определяются коэффициенты при отдельных степенях переменной t.

Обычно в качестве

22Производящая функция. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний с повторениями.

Производящая ф-я для :

Правило построения

1)Если эл-т типа i может входить в сочетания K₁ или K₂ или… K_iраз, то ему соотв множитель

2)F(t)=

3)Остается найти коэф. при

экспоненциальная производящая ф-я для размещений правило построения

1. Если a_i множитель входящий в размещения К1 или…или Кi раз, то ему соответствует множитель если надо найти число размещений , если надо найти сами размещения

2. E(t)=

3. Остается найти коэф при

25) К комбинаторным числам также относятся числа Стирлинга первого и второго рода. Эти числа определяются как коэффициенты в равенствах

,

и имеют простой комбинаторный смысл — равно числу элементов группы подстановок являющихся произведениями ровно k непересекающихся циклов, а равно числу разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств. Очевидно, что . Аналогичная сумма чисел Стирлинга второго рода называется n-м числом Белла и равна числу всех разбиений n-элементного множества. Для чисел Белла справедлива рекуррентная формула .

При решении комбинаторных задач часто оказывается полезна формула включений—исключений

,

позволяющая находить мощность объединения множеств, если известны мощности их пересечений. Воспользуемся формулой включений—исключений для получения явной формулы для чисел Стирлинга второго рода.

Числа Стирлинга первого рода

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок порядка n с k циклами.

Определение

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

где (x)_n — символ Похгаммера (убывающий факториал):

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами.

Рекуррентное соотношение

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

s(n,n) = 1, для n ≥ 0,

s(n,0) = 0, для n > 0,

для 0 < k < n.

Доказательство.

Для n=1 это равенство проверяется непосредственно. Пусть перестановка (n-1)-го порядка распадается на k циклов. Число n можно добавить после любого числа в соответствующий цикл. Все полученные перестановки — различные и содержат k циклов, их количество (n-1)·s(n-1, k). Из любой перестановки (n-1)-го порядка, содержащей k-1 цикл, можно сформировать единственную перестановку n порядка, содержащую k циклов, добавив цикл образованный единственным числом n. Очевидно, что эта конструкция описывает все перестановки n-го порядка, содержащие k циклов. Тем самым равенство доказано.

Пример

Первые ряды:

n\k	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	−1	1
3	0	2	−3	1
4	0	−6	11	−6	1
5	0	24	−50	35	−10	1
6	0	−120	274	−225	85	−15	1

В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым или, называется количество неупорядоченныхразбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств.

Рекуррентная формула

Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению:

, для n ≥ 0,

, для n > 0,

для

Явная формула

Пример

Начальные значения чисел Стирлинга второго рода приведены в таблице:

n\k	0	1	2	3	4	5	6
0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0
2	0	1	1	0	0	0	0
3	0	1	3	1	0	0	0
4	0	1	7	6	1	0	0
5	0	1	15	25	10	1	0
6	0	1	31	90	65	15	1

Свойства

• где

• —число Белла.

Биективным отображением называется отображение, обладающее признаками инъективности и сюръективности одновременно.

Калькулятор комбинаций и перестановок

| Good Calculators

Вы можете использовать этот калькулятор комбинаций и перестановок, чтобы быстро и легко рассчитать количество потенциальных комбинаций и перестановок r элементов в наборе из n объектов.

Расчет комбинаций и перестановок за пять простых шагов:

• 1. Выберите, хотите ли вы рассчитать количество комбинаций или количество перестановок, используя простое раскрывающееся меню
• 2. Введите общее количество объектов (n) и количество элементов, взятых за один раз (r)
• 3. Выберите, разрешены ли повторяющиеся элементы
• 4. Введите список элементов, разделенных запятыми (необязательно)
• 5. Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы вычислить результаты.

Калькулятор комбинаций (nCr) и перестановок (nPr)

Результаты

Комбинации и перестановки

Математика и статистические дисциплины требуют от нас счета. Это особенно важно при решении вероятностных задач.

Допустим, нам предоставлено n различных объектов, из которых мы хотим выбрать r элементов. Этот вид деятельности требуется в математической дисциплине, известной как комбинаторика; т. е. изучение счета. Для подсчета n объектов внутри n элементов можно использовать два различных метода: комбинации и перестановки. Эти два понятия очень похожи, и их часто путают.

Разница между комбинацией и перестановкой

При рассмотрении различий между комбинациями и перестановками нас в основном интересует понятие порядка. Перестановка относится к порядку, в котором мы выбираем элементы. Когда один и тот же набор элементов берется в другом порядке, у нас будут разные перестановки. Когда нас не интересует порядок, в котором мы выбираем r элементов из набора n объектов, порядок не принимается во внимание.

Пример перестановок

Стоит рассмотреть пример, чтобы лучше различать эти два понятия.

Во-первых, давайте посчитаем, сколько перестановок двух букв есть в следующем наборе из четырех букв: {A,B,C,D}.

В этом случае мы перечисляем все пары объектов из набора, также учитывая порядок. Мы находим, что всего имеется 12 перестановок: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB и DC.

Важно признать, что перестановки AB и BA различны, потому что в первом случае A был выбран первым, а во втором B был выбран первым; т. е. порядок имеет значение.

Пример комбинаций

Подсчитаем количество комбинаций двух букв из одного набора: {A,B,C,D}.

Поскольку мы вычисляем комбинации, нас больше не интересует порядок элементов. Таким образом, мы можем быстро и легко идентифицировать все комбинации, просматривая перестановки и удаляя все те, которые содержат одинаковые буквы.

В этом отношении AB и BA рассматриваются как одно и то же. Таким образом, у нас есть шесть комбинаций: AB, AC, AD, BC, BD и CD.

Формулы

Перестановки и комбинации с/без повторения
Тип	Разрешено ли повторение?	Формула
R-Permutations	Да	P (N, R) = N R
R-Permutations	NO	P (N, r-Permutations	NO	P (N, r-Permutations	NO	P (r-Permutations	NO	P (r-Permutations		P (r-Permutations		P (r-Permutations	. / (н — р)!
r-комбинации	Да	C(n, r) = (r + n — 1)! /(г!*(н — 1)!)
r-комбинации	Нет	C(n, r) = n! / (r! * (n — r)!)

Вы также можете быть заинтересованы в нашем калькуляторе вероятности отвода монеты

• в настоящее время 4,20/ 5
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 3
• 4
• 5
• 3
• 4
• 5
• 3
• 4

Рейтинг: 4.2 /5 (285 голосов)

Калькулятор перестановок с повторением (nPr ) заказы. Этот калькулятор npr определяет количество перестановок, которые получаются, когда мы выбираем r объектов из n чисел набора. В математике перестановка — это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где порядок элементов имеет значение. Продолжайте читать, чтобы узнать о формуле npr, ручном расчете, расчетах перестановок вручную и с помощью этого калькулятора перестановок и многом другом.

Значение перестановок может быть более понятным с помощью диаграммы ниже:

 

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор комбинаций, который легко вычисляет количество возможных комбинаций любого большого набора данных.

Проведите пальцем по экрану!

Что такое формула перестановки?

Формула для получения числа перестановок n объектов, взятых из r элементов, выглядит следующим образом:

$$  P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

Где

n — общее число в наборе данных

r — число, которое вы выбираете из этого набора данных и _n P _r — количество перестановок

Этот калькулятор перестановок учитывает эту формулу для всех перестановок расчеты для элементов малого, а также большого набора данных.

Формула перестановки с повторением:

Формула перестановки с повторением объектов выглядит следующим образом:

$$ P(n,r) = \frac {n!}{(n_1! n_2! n_3!, n_k!)} $$

Здесь n ₁ тождественные элементы типа 1, n ₂ – идентичные элементы типа 2,……, n _k – идентичные элементы типа k.

(!) Этот символ используется для факториала любого числа. В этом вы должны умножить все целые числа ниже и равные числу, для которого вы хотите факториал. Чтобы найти факториал числа, вы также можете воспользоваться нашим онлайн-калькулятором факториала, который поможет вам вычислить факториал заданных n чисел.

Как рассчитать перестановки (шаг за шагом):

Вычисления перестановок очень просты с помощью этого удобного калькулятора перестановок, который использует базовую формулу перестановок для получения точных результатов. Для лучшего понимания ручного расчета, вперед к примеру:

Проведите пальцем по экрану!

Пример:

Название компании начинается с трех букв. Если буквы S, P, D, F, I, J, то сколько перестановок этих букв можно сделать, если буква используется только один раз?

Решение:

Уравнение перестановки:

$$ P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

Здесь

Общее количество букв ( n) = 6

Выбранные буквы (r) = 3

Итак,

$$ P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} $$

$$ P( 6,3) = \frac{6!}{(3)!} $$

$$ P(6,3) = \frac{6*5*4*3!}{(3)!} $$

$$ P(6,3) = 6*5*4 $$

$$ P(6,3) = 120 Количество перестановок $$

Пример 2:

На старте гонки 15 участников выиграют золотую, серебряную и бронзовую медали. Подсчитайте количество перестановок для трех лучших медалистов из 15 участников?

Решение:

Формула npr:

$$ P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

Здесь

Общее количество участников (n) = 15

Медалисты (r) = 3

Итак,

$$ P(15,3) = \frac{15!}{(15-3)!} $$

$$ P(15,3) ) = \frac{15!}{(12)!} $$

$$ P(15,3) = \frac{15*14*13*12!}{(12)!} $$

$$ P(15,3) = 15*14*13 $$

$$ P(15,3) = 2730 всего перестановок $$

Просто введите значения в соответствующие поля этого онлайн-калькулятора, чтобы получить мгновенные результаты ваших проблем, связанных с перестановками, и проверить ответы на все приведенные выше примеры.

Перестановки и комбинации:

Имеется поле для поиска r комбинаций из n элементов. При этом порядок комбинаций не имеет значения. Если вы знаете перестановку, вы можете легко вычислить комбинацию с помощью следующей формулы:

\(C(n,r) = \frac{P(n,r)}{P(r,r)}=\frac{P(n,r)}{r!}\)

Как Чтобы найти количество перестановок с помощью калькулятора nPr:

Этот калькулятор перестановок показывает вам мгновенные результаты для заданных входных данных, просто взгляните на эти упомянутые шаги:

Входные данные:

• Во-первых, выберите название элементов.
• Затем введите общее количество элементов.
• Далее введите номер элемента, который вы хотите выбрать.
• Затем выберите параметр поиска из выпадающего меню.
•  Далее введите значения элементов.
• Наконец, нажмите кнопку расчета.

Выходы:

Как только вы нажмете кнопку расчета, калькулятор формулы перестановки покажет:

• Перестановка
• Перестановка с повторением
• Пошаговый расчет

Примечание:

Просто выберите параметр расчета из раскрывающегося списка, калькулятор перестановок отобразит результат в соответствии с выбранным вами вводом.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что такое перестановка?

Используется практически во всех областях науки и математики. В информатике он используется для алгоритмов сортировки, в физике описывает состояние частицы и описывает последовательности РНК в биологии.