Сокращение дроби с буквами и степенями: Сокращение дробей со степенями и буквами

Содержание

Онлайн сокращение дробей с буквами и степенями. Сокращение алгебраических дробей

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.

Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют

приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \(\frac{2}{3} \) — дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:

\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) — ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби

выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют

взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.

Что значит «сократить дробь «?

Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые — сокращаются, а те, которые несократимые — не сокращаются.

Сократить дробь — это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.

Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием «сократите дробь » это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.

Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)

Итак, здесь всего два правила.

Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.

Как сократить неправильную дробь?

Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.

Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.

Сокращение смешанных дробей

Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.

Сократить смешанные дроби можно двумя способами.

Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.

Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.

Примеры можно увидеть на фото выше.

Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.

В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.

Примеры .

Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:

Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.

Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:

Получили несократимые дроби.

Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.

Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:

Все полученные числа являются несократимыми дробями.

Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:

Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:

Полученную дробь еще можем сократить на 3:

Эта дробь — несократимая.

Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.

Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.

Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.

Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:

Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?

Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:

Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:

Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.

Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т. е. на 2000%.

Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!

Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.

Работа с пропорциями

Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:

Задача. Решите уравнение:

Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :

Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.

А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:

Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:

Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .

Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:

Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.

Выводы: собираем все вместе

Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:

Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.

Помните эти правила и не допускайте ошибок.

Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

Базовые знания

Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

Правила сокращения обыкновенных дробей

Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

Последовательность действий с дробями со степенями

Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

Как правильно сокращать дроби?

Самые старые упоминания о таких математических явлениях, как дробь, учёные обнаружили в древнем Египте. Особенностью их было то, что у них были обозначения только вида 1\2, 2\3,1\3, при этом больше двойки числа, делимого они не использовали, а использовали метод сложения, к примеру, вместо дроби 5\6, писали 1\2 +1\3.

Но применять такие дроби было сложно, поэтому учёные разных областей пытались вывести общую универсальную формулу для удобства. Так появилась шестидесятеричная, но проводить вычисления с ней тоже было очень трудно, однако её довольно долго применяли в Вавилоне и Греции. Существовала также система называемая Асс, её суть в делении на 12, использовали её римляне. Результат такого деления, точнее одну долю, называли унцией. Самой близкой по своей системе исчисления была дробь, которую предложили в Индии, разница от современных была в формате записи, без чёрточки, и такая дробь была перевернута, в верхней части находился делитель, а в нижней делимое. Та запись, которую и по сей день используют в математике была придумана арабами.

Что такое дробь, основные понятия и виды

Определение

Дробь — число, состоящее из нескольких равных долей.

По сути дробь — это деление одного числа на другое. Выделяют два вида: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенная дробь — означает, состоящая из целых чисел. Обыкновенные, имею два типа записи к примеру:

1\5- разделена наклонной линией, читается как одна пятая;
\[\frac{1}{5}\] — горизонтальной линией.

Определения:

Числитель — число, находящееся в верхней границе дроби;
Знаменатель — число которое мы видим в нижней границе дроби.

Например: 1\5, где 1- числитель, 5- знаменатель. Для того чтобы проще объяснить, что такое дробь приведём простой пример. Торт разрезан на 5 кусков, если мы взяли два и них то это 2\5 (две пятые части торта).

Обыкновенные дроби имеют два типа правильные и неправильные.

Правильной дробью называется дробь с значениями, в которых числитель меньше знаменателя. Такое название данный тип дроби получил не зря, ведь так логичнее и правильнее, когда часть меньше целого.

Неправильная в свою очередь имеет обратные значения, когда числитель больше знаменателя.

_{Примечание. Дроби, у которых знаменатель и числитель одинаковы, тоже неправильные.}

Смешанная дробь. Существует также такое определение как смешанная дробь, такой вид, представляет собой дробь, состоящую из двух частей целой и дробной. Пример — <span tabindex=»0″ data-mathml=»435″ role=»presentation» style=»font-size: 113%; text-align: center; position: relative;»>4354354 \frac{3}{5}, где четыре это целая часть, а 3\5 дробная. Такой тип дроби можно получить, только при делении неправильного вида дробей.

Десятичные дроби. К десятичным, относят дроби которые в знаменателе имеют 10 в натуральной степени. К примеру <span tabindex=»0″ data-mathml=»510,6100″ role=»presentation» style=»font-size: 113%; text-align: center; position: relative;»>510,6100510,6100\frac{5}{10}, \frac{6}{100} и тд. Такие, так же могут иметь вид строчной записи, 0,5 и 0,06. При этом в такой записи целая часть отделяется от дробной знаком запятой.

Существуют также понятия сократимой и несократимой дроби. Сократимая дробь, это та, в которой можно произвести деление числителя и знаменателя на одно и то же число.

Несократимая дробь, если такие действия выполнить нельзя.

Составная дробь, многоуровневая или выражение, имеющее несколько черт дроби. Пример <span tabindex=»0″ data-mathml=»37−31″ role=»presentation» style=»font-size: 113%; text-align: center; position: relative;»>37−3137−31\frac{\frac{3}{7}}{-31}

Равные и неравные дроби. Для того чтобы сказать, являются дроби равными или нет, нужно их сравнить.

Равные обыкновенные \[\frac{a}{d} \frac{c}{b}\] — можно вывести при помощи такого верного равенства а*b=d*c , если такое равенство не верно то данные дроби будут называться неравными.

Положительные и отрицательные дроби.

Положительные называют обыкновенные дроби, с положительными числами, при необходимость перед такими дробями ставится знак +, пример \[+\frac{6}{9}\]. {2}-4}{a+2}, \frac{a}{2}, \frac{3 a+7}{5} \]

Если в такой дроби буквы заменить числами, то она сразу станет обыкновенной.

Одночлен — это выражение, содержащее числа, степени положительные и их произведение. Пример: в.

Многочлен — это сумма одночленов. Пример: 7а+6в

Дроби на координате прямых.

Если рассматривать координату прямых, то положительные дроби на ней будут расположены справа от нулевого значения, а отрицательные слева.

Действия, которые можно выполнить с дробями

В общем то, действия с дробями это все те же действия, которые можно выполнить с числами:

Сравнение;
Сложение;
Вычитание;
Умножение;
Деление.

Свойства дроби

Чтобы сложить или вычесть дроби, дробь обязана иметь равные знаменатели, необходимо просто выполнить это действие с их числителями

Примеры:

\[ \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=\frac{4+5}{9} ; \text { и } \frac{4}{9}-\frac{5}{9}=\frac{5-4}{9}. \]

Что же касается дробей с разной частью делителя (Знаменателя), то тут чтобы выполнить действия сложения и вычитания с ними необходимо привести знаменатели к общему числу.

Примеры: \[\frac{4}{9}+\frac{5}{8}=\frac{4+5}{9 \cdot 8}\], точно так же и для вычитания.

Чтобы выполнить такое действие, как умножение обыкновенных дробей, нужно произвести умножение сначала с их числителями, а после и знаменателями.

Пример: \[\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8}=\frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 8}\].

При умножении дроби на число, в такой вычислении просто умножается числитель на заданное число, а знаменатель остаётся тем же.

Пример: \[\frac{4}{9} \cdot 6=\frac{4 \cdot 6}{9}\];

Что же касается деления, то при делении одной дроби на другую, нужно произвести умножение, при котором первая дробь остаётся в неизменном виде, а вторая переворачивается. То есть получается мы умножаем числитель первой дроби данного примера, на знаменатель второй, и полученное число находится в верхней части дроби, а в нижней умножение знаменателя первой дроби на числитель второй.

Пример: \[\frac{4}{9} \backslash \frac{5}{8}=\frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 5}\].

Сравнение дробей

Чтобы провести сравнение с разными делителями (знаменателями), необходимо сделать так, чтобы знаменатель стал общим только тогда можно будет сравнить числители. Соответственно, где числитель больше там и дробь больше.

Основное свойство дробей

Основным свойством дроби является выражение — «числитель и знаменатель можно делить и умножать на одно и то же число при этом значение всей дроби не поменяется.»

Еще одно определение которое пригодится нам для сокращения дроби это НОД.

НОД — наибольший общий делитель.

Общий делитель — это число, которое может быть делителем каждого из указанных чисел.

Пример: если взять число 3, то оно станет общим делителем для чисел 6 и 9. так как 9=3*3 а 6=3*2.

Алгоритм Евклида для вычисления НОД (наибольшего общего делителя)

Не всегда, сходу, можно понять какое число является наибольшим общим числителем, особенно если числа крупные, поэтому существует специальный алгоритм для выведения такого числа НОД.

Суть алгоритма такова: для нахождения НОД чисел а и b (где они целые и положительные числа, к тому же a больше b), выполняется ряд делений с остатком, получается ряд равенств, где деление останавливается в том случае если r_k+1=0, при этом r_k=НОД(a, b)

Пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

Д (28) = 2 * 2 * 7

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Сокращение дроби

Выражение сократить дробь, фактически означает что необходимо провести деление её числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное единице.

Результатом таких действий станет появление новой дроби, значение которой, равно первичной.

Например: возьмём обыкновенную дробь \[\frac{12}{44}\] и произведем сокращение. Для этого разделим и числитель и знаменатель на 2, получится такая дробь \[\frac{12}{44} \backslash 2=\frac{12 \backslash 2}{44 \backslash 2}=\frac{6}{22}\].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Несократимый вид дроби, приведение к такому виду

Обычно целью таких манипуляций с дробями является получение из исходного вида дроби несократимый. К примеру дробь, которая получилась у нас выше, \[\frac{6}{22}\] при сокращении на два, как мы видим все ещё можно сократить.

Для того чтобы привести дробь к виду несократимой, нужно выполнить манипуляции по делению, числителя и знаменателя на наибольший НОД. В таком случае по свойству НОД в числителе и знаменателе окажутся простые числа, а дробь будет несократимой.

\[ \frac{a}{d}=\frac{a \backslash \text { НОД }(a, d)}{d \backslash \text { НОД }(a, d)} \]

Из вышесказанного следует, что приведение дроби к несократимому виду значит, нужно произвести деление числителя и знаменателя на их НОД.

Пример: вернёмся к нашему примеру дроби \[\frac{12}{44}\], для приведения ее к несократимому виду нужной сначала найти наибольший общий делитель чисел 12 и 44. таким числом НОД для них является цифра 4.

Получается: \[\frac{12}{44}=\frac{12 \backslash 4}{44 \backslash 4}=\frac{3}{11}\].

Для чего нужно сокращение? Такие манипуляции с дробями необходимо применять, в случаях работы с большими числами.

Стоит вспомнить негласное правило математики, суть его в том, что если что-то можно сделать проще нужно упростить. Поэтому, говоря о сокращении дроби, имеется в виду именно приведение к несократимому виду, а не просто уменьшение числителя и знаменателя.

Правило сокращения

Для того чтобы сократить, необходимо:

Найти делитель наибольшего значения, который будет общим для знаменателя и числителя;
Разделить числитель и знаменатель на него.

Примеры:

Дана такая дробь:<span tabindex=»0″ data-mathml=»182195″ role=»presentation» style=»font-size: 113%; text-align: center; position: relative;»>182195182195\frac{182}{195}. сократим её.

Найдём такой делитель, при помощи применения алгоритма Евклида.

195 = 182 *1+13

182=13*14

Из чего следует, что НОД_(182,195)=13

Поэтому для сокращения дроби \[\frac{182}{195}\], разделим числитель 182 и знаменатель 195 на 13 и получим равенство: \[\frac{182}{195}=\frac{182 \backslash 13}{195 \backslash 13}=\frac{14}{25}\]

Таким образом мы и получили несократимую дробь равную исходной.

Второй способ.

Второй способ основан на разложении числителя и знаменателя исходной дроби на простые множители, из которых позже все общие множители убираются.

Пример сокращения: \[\frac{123}{154}\] для сокращения представим числитель и знаменатель дроби в виде простых множителей

\[ \frac{182}{195}=\frac{2 \cdot 7 \cdot 13}{3 \cdot 5 \cdot 13} \]

Затем уберём все общие множители, как в числителе так и в знаменателе, \[\frac{182}{195}=\frac{2 \cdot 7 \cdot 13}{3 \cdot 5 \cdot 13}=\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\frac{14}{15}\]

Третий способ сокращения дроби.

Третий способ — способ последовательного сокращения. Применяя такой способ, сокращение происходит поэтапно, сокращая каждый раз на какой-либо очевидный общий множитель.

Пример: \[\frac{18000}{22000}\]

При сокращении такой дроби сразу можно увидеть, что и числитель и знаменатель деяться на 1000 в результате такого деления получается:

\[ \frac{18000}{22000}=\frac{18000 \backslash 1000}{22000 \backslash 1000}=\frac{18}{22} \]

Следующим этапом мы видим, что оба значения и числителя, и знаменателя делятся на 2, получим несократимую дробь.

\[ \frac{18}{22}=\frac{18000 \backslash 2}{22000 \backslash 2}=\frac{9}{11} \]

Как мы видим сокращение дроби не такой сложный процесс, главное подобрать удобный способ.

Сокращение алгебраической дроби

Так же, как и в примерах выше, сокращение алгебраической дроби, это деление числителя и знаменателя на общий делитель. Отличие в том, что в алгебраической, таким общим множителем является многочлен и одночлен. {2-1}}=\frac{8}{x}\]

Решение:

8 — тот самый множитель, который является общим

Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Дроби с многочленами: сокращение.

Для сокращения таких видов, существует два правила:

Сократить многочлен в взятый в скобки, можно только с точно таким же многочленом в скобках;
Сократится должен весь многочлен, взятый в скобки, нельзя сократить только часть.

Пример: \[\frac{x-c}{x(x-c)}=\frac{1}{x}\]

Вынесение общего множителя при сокращении.

Бывают случаи, когда при сокращении алгебраической дроби с многочленами, их нет одинаковых, в таком случае нужно убрать общий множитель за скобки.

Для такого вынесения тоже существуют правила их 4:

необходимо найти число, на которое можно разделить числа каждого одночлена;
необходимо также найти буквенный множитель, который повторяется, в каждом одночлене, их может быть несколько;
выносим буквенный множитель, который был найден, за скобки;
производим работу с оставшимися многочленами в скобках.

Для того чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо по очереди умножить каждый член многочлена на одночлен.

Приведём пример:

\[\frac{6 x+42 a}{7 a+x}=\frac{6(x+7 a)}{7 a+x}=\frac{6}{7}\]

Калькулятор сокращения дробей

Подведём итоги. Для того чтобы не возникло трудностей с сокращением, стоит запомнить:

Сокращая дробь вам необходимо найти общий множитель для числителя и знаменателя, если речь идет об алгебраических дробях, но и НОД обыкновенных;
Разделить числитель и знаменатель на общий множитель\делитель;
Если дробь алгебраическая, при делении многочлена на множитель необходимо вынести общий множитель за скобки;
Стоит хорошо выучить все формулы и определения, связанные с дробями.
Всегда проверять результат сокращения.

Автоматическое форматирование дробей в Pages на Mac

Pages

Искать в этом руководстве

Добро пожаловать
- Введение в страницы
- Текстовый редактор или верстка?
- Знакомство с изображениями, диаграммами и другими объектами
- - Создайте свой первый документ
  - Введение в создание книги
  - Используйте шаблоны
- Найти документ
- Открыть или закрыть документ
- Сохранить и назвать документ
- Распечатать документ или конверт
- - Отменить или повторить изменения
  - Используйте боковые панели
  - Быстрая навигация
  - Просмотр символов форматирования и руководств по макету
  - Правители
  - Изменить вид документа
  - Сенсорная панель для страниц
- - Настроить панель инструментов
  - Установить настройки страниц
- - Создайте документ с помощью VoiceOver
  - Используйте VoiceOver для предварительного просмотра комментариев и отслеживания изменений
- Выберите текст и поместите точку вставки
- Добавить и заменить текст
- Скопируйте и вставьте текст
- - Добавить, изменить или удалить поле слияния
  - Управление информацией об отправителе
  - Добавление, изменение или удаление исходного файла в Pages на Mac
  - Заполнение и создание настраиваемых документов
- Используйте диктовку для ввода текста
- Акценты и специальные символы
- - Форматирование документа для другого языка
  - Используйте фонетические справочники
  - Использовать двунаправленный текст
  - Используйте вертикальный текст
- Добавьте дату и время
- Добавить математические уравнения
- Закладки и ссылки
- Добавить ссылки
- Измените шрифт или размер шрифта
- Установить шрифт по умолчанию
- Жирный, курсив, подчеркивание и зачеркивание
- Изменить цвет текста
- Добавление тени или контура к тексту
- Изменить заглавные буквы текста
- - Введение в стили абзаца
  - Применение стиля абзаца
  - Создание, переименование или удаление стиля абзаца
  - Обновление или возврат стиля абзаца
  - Используйте сочетание клавиш, чтобы применить стиль текста
- Копировать и вставлять стили текста
- - Автоматически форматировать дроби
  - Создание и использование стилей символов
  - Лигатуры
  - Добавить буквицы
  - Подъем и опускание символов и текста
  - Форматирование китайского, японского или корейского текста
- Добавить эффект выделения к тексту
- Форматирование дефисов, тире и кавычек
- Установить интервалы между строками и абзацами
- Установить поля абзаца
- Форматировать списки
- Установить позиции табуляции
- Выравнивание и выравнивание текста
- Установить разбиение на страницы и разрывы строк и страниц
- Форматировать столбцы текста
- Связать текстовые поля
- Добавьте границы и правила (линии)
- Установите размер и ориентацию бумаги
- Установить поля документа
- Настройка разворота страниц
- Шаблоны страниц
- - Добавить страницы
  - Добавляйте и форматируйте разделы
  - Изменение порядка страниц или разделов
  - Дублирование страниц или разделов
  - Удалить страницы или разделы
- - Оглавление
  - Список используемой литературы
  - Сноски и концевые сноски
  - Заголовки и колонтитулы
- Добавьте номера страниц
- Изменить фон страницы
- Добавить рамку вокруг страницы
- Добавляйте водяные знаки и фоновые объекты
- Создать собственный шаблон
- - Добавить изображение
  - Добавить галерею изображений
  - Редактировать изображение
- - Добавить и изменить фигуру
  - Объединяйте или разбивайте фигуры
  - Нарисуйте фигуру
  - Сохранение фигуры в библиотеке фигур
  - Добавление и выравнивание текста внутри фигуры
- Добавьте линии и стрелки
- Анимируйте, делитесь или сохраняйте рисунки
- - Добавить видео и аудио
  - Запись аудио
  - Редактировать видео и аудио
- Установка форматов фильмов и изображений
- - Размещение и выравнивание объектов
  - Размещайте объекты с текстом
  - Используйте направляющие для выравнивания
  - Слой, группировка и блокировка объектов
- Изменить прозрачность объекта
- Заполнение фигур и текстовых полей цветом или изображением
- Добавить границу к объекту
- Добавить подпись или заголовок
- Добавьте отражение или тень
- Используйте стили объектов
- Изменение размера, поворот и отражение объектов
- - Добавить или удалить таблицу
  - Выбор таблиц, ячеек, строк и столбцов
  - - Добавление или удаление строк и столбцов таблицы
    - Переместить строки и столбцы таблицы
    - Изменение размера строк и столбцов таблицы
  - Объединить или разъединить ячейки таблицы
  - - Изменение внешнего вида текста таблицы
    - Показать, скрыть или изменить заголовок таблицы
    - Изменение линий сетки и цветов таблицы
    - Используйте стили таблиц
  - Изменение размера, перемещение или блокировка таблицы
- - Добавлять и редактировать содержимое ячейки
  - - Форматирование дат, валюты и т. д.
    - Создание пользовательского формата ячейки таблицы
    - Форматирование таблиц для двунаправленного текста
  - Условное выделение ячеек
  - Алфавитизация или сортировка данных таблицы
- - Вычислять значения, используя данные в ячейках таблицы
  - Используйте справку по формулам и функциям
- - Добавить или удалить диаграмму
  - Преобразование диаграммы из одного типа в другой
- Изменить данные диаграммы
- Перемещение, изменение размера и поворот диаграммы
- - Изменение внешнего вида рядов данных
  - Добавьте легенду, линии сетки и другие маркировки
  - Изменение внешнего вида текста и меток диаграммы
  - Добавление границы и фона к диаграмме
  - Используйте стили диаграммы
- Проверять орфографию
- Поиск слов
- Найти и заменить текст
- Заменить текст автоматически
- Показать количество слов и другую статистику
- Просмотр аннотаций
- Установить имя автора и цвет комментария
- Выделите текст
- Добавить и распечатать комментарии
- Отслеживать изменения
- Отправить документ
- Опубликовать книгу в Apple Books
- - Введение в сотрудничество
  - Приглашайте других к сотрудничеству
  - Совместная работа над общим документом
  - Просмотр последней активности в общем документе
  - Изменение настроек общего документа
  - Прекратить совместное использование документа
  - Общие папки и совместная работа
  - Используйте Box для совместной работы
- Используйте iCloud Drive со страницами
- Экспорт в Word, PDF или другой формат файла
- Открытие книги iBooks Author в Pages
- Уменьшите размер файла документа
- Сохранение большого документа в виде файла пакета
- Восстановить более раннюю версию документа
- Переместить документ
- Удалить документ
- Заблокировать документ
- Защитить документ паролем
- Создание пользовательских шаблонов и управление ими
- - Передача документов с помощью AirDrop
  - Передача документов с Handoff
  - Перенос документов с помощью Finder
- Если вы не можете добавить или удалить страницу
- Если вы не можете удалить что-то из документа
- Если вы не можете найти кнопку или элемент управления
- Если форматирование страницы постоянно меняется
- Горячие клавиши
- Символы сочетания клавиш
авторское право

Максимальное количество символов: 250

Пожалуйста, не указывайте личную информацию в своем комментарии.

Максимальное количество символов — 250.

Спасибо за отзыв.

Лечение сердечной недостаточности со сниженной фракцией выброса

1. Lindenfeld J, Albert NM, Boehmer JP, et al. HFSA 2010 Комплексное практическое руководство по сердечной недостаточности. Ошибка карты J. 2010;16 e1-194. [PubMed] [Google Scholar]

2. Ponikowski P, Voors AA, Anker SD, et al. Руководство ESC 2016 г. по диагностике и лечению острой и хронической сердечной недостаточности: Целевая группа по диагностике и лечению острой и хронической сердечной недостаточности Европейского общества кардиологов (ESC) Разработано при особом участии Ассоциации сердечной недостаточности (HFA). ) ЭСК. Сердечная недостаточность Eur J. 2016;18:891–975. [PubMed] [Google Scholar]

3. Мостерд А., Хоес А.В. Клиническая эпидемиология сердечной недостаточности. Сердце. 2007;93:1137–1146. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

4. Maggioni AP, Dahlstrom U, Filippatos G, et al. EURObservational Research Program: Пилотное исследование сердечной недостаточности (ESC-HF Pilot) Eur J Heart Fail. 2010;12:1076–1084. [PubMed] [Google Scholar]

5. Seferovic PM, Ponikowski P, Anker SD, et al. Обновление клинической практики сердечной недостаточности 2019 г.: фармакотерапия, процедуры, устройства и ведение пациентов. Отчет экспертного консенсусного совещания Ассоциации сердечной недостаточности Европейского общества кардиологов. Сердечная недостаточность Eur J. 2019;21:1169–1186. [PubMed] [Google Scholar]

6. Ouwerkerk W, Voors AA, Anker SD, et al. Детерминанты и клинический исход повышения дозы ингибиторов АПФ и бета-блокаторов у пациентов с сердечной недостаточностью: проспективное европейское исследование. Европейское сердце J. 2017; 38: 1883–1890. [PubMed] [Google Scholar]

7. Pitt B, Zannad F, Remme WJ, et al. Влияние спиронолактона на заболеваемость и смертность у больных с тяжелой сердечной недостаточностью. N Engl J Med. 1999; 341: 709–717. [PubMed] [Академия Google]

8. Zannad F, McMurray JJ, Krum H, et al. Эплеренон у пациентов с систолической сердечной недостаточностью и легкими симптомами. N Engl J Med. 2011; 364:11–21. [PubMed] [Google Scholar]

9. Zannad F, Gattis Stough W, Rossignol P, et al. Антагонисты минералокортикоидных рецепторов при сердечной недостаточности со сниженной фракцией выброса: внедрение доказательств в клиническую практику. Европейское сердце Дж. 2012; 33: 2782–2795. [PubMed] [Google Scholar]

10. McMurray JJ, Packer M, Desai AS, et al. Ингибирование ангиотензин-неприлизина по сравнению с эналаприлом при сердечной недостаточности. N Engl J Med. 2014;371:993–1004. [PubMed] [Google Scholar]

11. Swedberg K, Komajda M, Böhm M, et al. Ивабрадин и исходы при хронической сердечной недостаточности (SHIFT): рандомизированное плацебо-контролируемое исследование. Ланцет. 2010; 376: 875–885. [PubMed] [Google Scholar]

12. Tardif JC, O’Meara E, Komajda M, et al. Эффекты селективного снижения частоты сердечных сокращений с помощью ивабрадина на ремоделирование и функцию левого желудочка: результаты субисследования эхокардиографии SHIFT. Европейское сердце J. 2011; 32: 2507–2515. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

13. Bundesärztekammer (BÄK), Kassenärztliche Bundesvereinigung (KBV), Arbeitsgemeinschaft der Wissenschaftlichen Medizinischen Fachgesellschaften (AWMF) Nationale Versorgungs-Leitlinie Chronische Herzinsuffizienz-Langfassung 3. Auflage. 2019 (последний доступ 31 октября 2019 г.) [Google Scholar]

14. Исследовательская группа Digitalis. Влияние дигоксина на смертность и заболеваемость у больных с сердечной недостаточностью. N Engl J Med. 1997; 336: 525–533. [PubMed] [Академия Google]

15. Адамс К.Ф., Батлер Дж., Паттерсон Дж.Х. и соавт. Дозозависимая характеристика связи концентрации дигоксина в сыворотке с исходами смертности в исследовании Исследовательской группы наперстянки. Сердечная недостаточность Eur J. 2016;18:1072–1081. [PubMed] [Google Scholar]

16. Hood JWB, Dans AL, Guyatt GH, Jaeschke R, McMurray JJV. Дигиталис для лечения сердечной недостаточности у пациентов с синусовым ритмом. Кокрановская система базы данных, ред. 2014; 4 CD002901. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

17. Бавендиек У., Берлинер Д., Давила Л.А. и соавт. Обоснование и дизайн исследования DIGIT-HF (DIGitoxin для улучшения исходов у пациентов с далеко зашедшей хронической сердечной недостаточностью): рандомизированное двойное слепое плацебо-контролируемое исследование. Сердечная недостаточность Eur J. 2019;21:676–684. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

18. Jankowska EA, Rozentryt P, Witkowska A, et al. Дефицит железа: зловещий признак у пациентов с систолической хронической сердечной недостаточностью. Европейское сердце Дж. 2010; 31: 1872–1880. [PubMed] [Академия Google]

19. Anker SD, Comin Colet J, Filippatos G, et al. Карбоксимальтоза железа у больных с сердечной недостаточностью и дефицитом железа. N Engl J Med. 2009; 361: 2436–2448. [PubMed] [Google Scholar]

20. Ponikowski P, van Veldhuisen DJ, Comin-Colet J, et al. Положительные эффекты долгосрочной внутривенной терапии железом с карбоксимальтозой железа у пациентов с симптоматической сердечной недостаточностью и дефицитом железа. Европейское сердце J. 2015; 36: 657–668. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

21. McMurray JJV, Solomon SD, Inzucchi SE, et al. Дапаглифлозин у больных с сердечной недостаточностью и сниженной фракцией выброса. N Engl J Med. 2019;381:1995–1908. [PubMed] [Google Scholar]

22. Priori SG, Blomström-Lundqvist C, Mazzanti A, et al. Руководство ESC 2015 г. по ведению пациентов с желудочковыми аритмиями и профилактике внезапной сердечной смерти: Целевая группа по ведению пациентов с желудочковыми аритмиями и профилактике внезапной сердечной смерти Европейского общества кардиологов (ESC) одобрено: Ассоциацией для Европейской детской и врожденной кардиологии (AEPC) Eur Heart J. 2015; 36: 2793–2867. [PubMed] [Google Scholar]

23. Kober L, Thune JJ, Nielsen JC, et al. Имплантация дефибриллятора у пациентов с неишемической систолической сердечной недостаточностью. N Engl J Med. 2016; 375:1221–1230. [PubMed] [Google Scholar]

24. Elming MB, Nielsen JC, Haarbo J, et al. Возраст и исходы первичной профилактики имплантируемыми кардиовертерами-дефибрилляторами у больных с неишемической систолической сердечной недостаточностью. Тираж. 2017; 136:1772–1780. [PubMed] [Google Scholar]

25. Duncker D, Veltmann C. Роль носимого дефибриллятора при впервые диагностированной сердечной недостаточности. Curr Heart failed Rep. 2018; 15: 368–375. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

26. Abraham WT, Fisher WG, Smith AL, et al. Сердечная ресинхронизация при хронической сердечной недостаточности. N Engl J Med. 2002; 346: 1845–1853. [PubMed] [Google Scholar]

27. Moss AJ, Hall WJ, Cannom DS, et al. Кардиоресинхронизирующая терапия для профилактики сердечной недостаточности. N Engl J Med. 2009; 361:1329–1338. [PubMed] [Google Scholar]

28. Tang AS, Wells GA, Talajic M, et al. Сердечная ресинхронизирующая терапия при сердечной недостаточности легкой и средней степени тяжести. N Engl J Med. 2010;363:2385–2395. [PubMed] [Google Scholar]

29. Cleland JG, Daubert JC, Erdmann E, et al. Влияние сердечной ресинхронизации на заболеваемость и смертность при сердечной недостаточности. N Engl J Med. 2005; 352:1539–1549. [PubMed] [Google Scholar]

30. Bristow MR, Saxon LA, Boehmer J, et al. Сердечная ресинхронизирующая терапия с имплантируемым дефибриллятором или без него при далеко зашедшей хронической сердечной недостаточности. N Engl J Med. 2004; 350:2140–2150. [PubMed] [Google Scholar]

31. Hayes DL, Boehmer JP, Day JD, et al. Сердечная ресинхронизирующая терапия и связь процента бивентрикулярной стимуляции с симптомами и выживаемостью. Сердечного ритма. 2011;8:1469–1475. [PubMed] [Google Scholar]

32. Koelling TM, Aaronson KD, Cody RJ, Bach DS, Armstrong WF. Прогностическое значение митральной и трикуспидальной недостаточности у пациентов с систолической дисфункцией левого желудочка. Am Heart J. 2002; 144: 524–529. [PubMed] [Google Scholar]

33. Obadia J-F, Messika-Zeitoun D, Leurent G, et al. Чрескожная пластика или медикаментозное лечение вторичной митральной регургитации. N Engl J Med. 2018; 379: 2297–2306. [PubMed] [Академия Google]

34. Stone GW, Lindenfeld J, Abraham WT, et al. Транскатетерная пластика митрального клапана у больных с сердечной недостаточностью. N Engl J Med. 2018; 379: 2307–2318. [PubMed] [Google Scholar]

35. Арнольд С.В., Чиннакондепалли К.М., Спертус Дж.А. и соавт. Состояние здоровья после транскатетерной пластики митрального клапана при сердечной недостаточности и вторичной митральной недостаточности. Испытание COAPT. 2019;73:2123–2132. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

36. Grayburn PA, Sannino A, Packer M. Пропорциональная и непропорциональная функциональная митральная регургитация: новая концептуальная основа, которая согласовывает результаты исследований MITRA-FR и CO-APT. . JACC Cardiovasc Imaging. 2019;12:353–362. [PubMed] [Google Scholar]

37. Ertl G, Angermann CE, Bekeredjian R, et al. Aufbau und Organization von Herzinsuffizienz-Netzwerken (HF NETs) und Herzinsuffizienz-Einheiten («Отделения сердечной недостаточности», HFUs) zur Optimierung der Behandlung der akuten und chronischen Herzinsuffizienz. Дер Кардиолог. 2016;10:222–235. [Google Scholar]

38. Yancy CW, Jessup M, Bozkurt B, et al. Рекомендации ACCF/AHA по лечению сердечной недостаточности, 2013 г. Отчет целевой группы Фонда Американского колледжа кардиологов/Американской кардиологической ассоциации по практическим рекомендациям. 2013; 62: e147–e239. [PubMed] [Google Scholar]

39. Bavendiek U, Aguirre Davila L, Koch A, Bauersachs J. Предположение против доказательств: случай применения дигоксина при мерцательной аритмии и сердечной недостаточности. Европейское сердце J. 2017; 38: 2095–2099. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

40. Bavendiek U, Aguirre Davila L, Schwab J, et al. Концентрации P6168Digitoxin в сыворотке, влияющие на безопасность пациентов и потенциальный исход у пациентов с HFrEF-анализом продолжающегося исследования DIGIT-HF. Eur Heart J. 2017; 38 [Google Scholar]

Е1. Бенджамин Э.Дж., Блаха М.Дж., Чиуве С.Е. и др. Обновление статистики сердечных заболеваний и инсультов за 2017 год: отчет Американской кардиологической ассоциации. Тираж. 2017;135:e146–e603. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

E2. Ferrari R, Ceconi C, Tavazzi L, Ghio S, Boffa G, Fucili A. Сердечная недостаточность: 150 вопросов и ответов 2 ^nd ed. Нейи-сюр-Сен Cedex: Servier. 2011 [Google Scholar]

E3. Георгиаде М., Бом М., Грин С.Дж. и соавт. Влияние алискирена на смертность после выписки и повторные госпитализации пациентов с сердечной недостаточностью: рандомизированное исследование ASTRONAUT. ДЖАМА. 2013;309: 1125–1135. [PubMed] [Google Scholar]

E4. МакМюррей Дж. Дж., Крам Х., Абрахам В. Т. и др. Алискирен, Эналаприл или Алискирен и Эналаприл при сердечной недостаточности. N Engl J Med. 2016; 374:1521–1532. [PubMed] [Google Scholar]

E5. D’Elia E, Iacovoni A, Vaduganathan M, Lorini FL, Perlini S, Senni M. Ингибирование неприлизина при сердечной недостаточности: механизмы и субстраты, помимо модуляции натрийуретических пептидов. Сердечная недостаточность Eur J. 2017;19:710–717. [PubMed] [Google Scholar]

E6. Lewis EF, Claggett BL, McMurray JJV и др. Исходы качества жизни, связанные со здоровьем, в PAR-ADIGM-HF. Круговая сердечная недостаточность. 2017;10 [PubMed] [Google Scholar]

Е7. де Диего С., Гонсалес-Торрес Л., Нуньес Дж. М. и др. Эффекты ингибирования ангиотензин-неприлизина по сравнению с ингибированием ангиотензина на желудочковые аритмии у пациентов со сниженной фракцией выброса при постоянном дистанционном мониторинге имплантируемых устройств дефибриллятора. Сердечного ритма. 2018;15:395–402. [PubMed] [Google Scholar]

E8. Januzzi JL Jr, Prescott MF, Butler J, et al. Связь изменения N-концевого натрийуретического пептида про-В-типа после начала лечения сакубитрилом-валсартаном со структурой и функцией сердца у пациентов с сердечной недостаточностью со сниженной фракцией выброса. ДЖАМА. 2019;322:1085–1095. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

E9. Бем М., Сведберг К., Комайда М. и соавт. Частота сердечных сокращений как фактор риска хронической сердечной недостаточности (SHIFT): связь между частотой сердечных сокращений и исходами в рандомизированном плацебо-контролируемом исследовании. Ланцет. 2010; 376: 886–894. [PubMed] [Google Scholar]

E10. Экман И., Чассани О., Комайда М. и др. Снижение частоты сердечных сокращений с помощью ивабрадина и качество жизни, связанное со здоровьем, у пациентов с хронической сердечной недостаточностью: результаты исследования SHIFT. Европейское Сердце Дж. 2011; 32:2395–2404. [PubMed] [Google Scholar]

E11. Армстронг П.В., Писке Б., Анстром К.Дж. и др. Веригуат у пациентов с сердечной недостаточностью и сниженной фракцией выброса. N Engl J Med. 2020 [epub перед печатью] [PubMed] [Google Scholar]

E12. Казо С., Леклерк С., Лавернь Т. и др. Эффекты мультисайтовой бивентрикулярной стимуляции у пациентов с сердечной недостаточностью и задержкой внутрижелудочкового проведения. N Engl J Med. 2001; 344: 873–880. [PubMed] [Google Scholar]

E13. Auricchio A, Stellbrink C, Sack S, et al. Долговременный клинический эффект гемодинамически оптимизированной сердечной ресинхронизирующей терапии у больных с сердечной недостаточностью и замедлением желудочковой проводимости. J Am Coll Кардиол. 2002;39: 2026–2033. [PubMed] [Google Scholar]

E14. Жерве Р., Леклерк С., Шанкар А. и др. Поверхностная электрокардиограмма для прогнозирования исхода у кандидатов на сердечную ресинхронизирующую терапию: субанализ исследования CARE-HF. Сердечная недостаточность Eur J. 2009; 11: 699–705. [PubMed] [Google Scholar]

E15. Зареба В., Кляйн Х., Цыганкевич И. и др. Эффективность сердечной ресинхронизирующей терапии по морфологии QRS в мультицентровой пробной сердечной ресинхронизирующей терапии с имплантацией автоматического дефибриллятора (MADIT-CRT) Кровообращение. 2011; 123:1061–1072. [PubMed] [Академия Google]

Е16. Сундарам В., Сахадеван Дж., Уолдо А.Л. и др. Имплантируемые кардиовертер-дефибрилляторы с ресинхронизирующей терапией и без нее у пациентов с длительностью комплекса QRS > 180 мс. J Am Coll Кардиол. 2017;69:2026–2036. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

E17. Рушицка Ф., Авраам В.Т., Сингх Дж.П. и др. Кардиоресинхронизирующая терапия при сердечной недостаточности с узким комплексом QRS. N Engl J Med. 2013; 369:1395–1405. [PubMed] [Google Scholar]

E18. Shenkman HJ, Pampati V, Khandelwal AK, et al. Застойная сердечная недостаточность и продолжительность QRS: установление прогноза. ГРУДЬ. 2002; 122: 528–534. [PubMed] [Академия Google]

Е19. Gold MR, Van Veldhuisen DJ, Hauptman PJ и др. Стимуляция блуждающего нерва для лечения сердечной недостаточности: исследование INOVATE-HF. J Am Coll Кардиол. 2016; 68: 149–158. [PubMed] [Google Scholar]

E20. Баумгартнер Х., Фальк В., Бакс Дж. Дж. и др. Руководство ESC/EACTS 2017 г. по лечению клапанных пороков сердца. Европейское сердце J. 2017; 38: 2739–2791. [PubMed] [Google Scholar]

E21. Бурси Ф., Барбьери А., Гриджиони Ф. и др. Прогностические последствия функциональной митральной регургитации в зависимости от тяжести основной хронической сердечной недостаточности: исследование долгосрочных результатов. Сердечная недостаточность Eur J. 2010;12:382–388. [PubMed] [Академия Google]

Е22. Pfister R, Hausleiter J, Boekstegers P, et al. Роль чрескожной пластики «край в край» при вторичной митральной регургитации после MITRA-FR и COAPT: комментарий отдела лечения атриовентрикулярного клапана Рабочей группы интервенционной кардиологии (AGIK) Немецкого общества кардиологов (DGK) Clin Рез Кардиол. 2019;108:969–973. [PubMed] [Google Scholar]

E23. Chioncel O, Lainscak M, Seferovic PM, et al. Эпидемиология и однолетние исходы у пациентов с хронической сердечной недостаточностью и сохраненной, средней и сниженной фракцией выброса: анализ долгосрочного регистра сердечной недостаточности ESC. Сердечная недостаточность Eur J. 2017;19: 1574–1585. [PubMed] [Google Scholar]

E24. Фокс К., Комайда М., Форд И. и др. Эффект ивабрадина у пациентов с систолической дисфункцией левого желудочка: объединенный анализ данных отдельных пациентов из исследований BEAUTIFUL и SHIFT. Европейское сердце J. 2013; 34: 2263–2270. [PubMed] [Google Scholar]

E25. Комайда М., Бём М., Борер Дж. С. и соавт. Дополнительные преимущества медикаментозной терапии хронической сердечной недостаточности со сниженной фракцией выброса: сетевой метаанализ.