Сокращенного умножения примеры: Формулы сокращённого умножения — урок. Алгебра, 7 класс.

Формулы сокращенного умножения примеры решения задач, формулы и вычисления онлайн

Содержание:

• Квадрат суммы
• Квадрат разности
• Разность квадратов
• Куб суммы
• Куб разности
• Сумма кубов
• Разность кубов

Формулы сокращенного умножения активно используются в решении задач, так как позволяют в некоторых случаях свести умножение одного выражения (многочлена, числа) на другое к компактному, легко запоминающемуся результату. То есть на практике можно сэкономить время, не умножая каждый раз одно выражение на другое, а воспользовавшись уже известным результатом.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по формулам сокращенного умножения, прочитать все определения и свойства.

Квадрат суммы

Теоретический материал по теме — квадрат суммы.

Пример

Задание. Раскрыть скобки

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в квадрат по определению, то есть умножим выражение на себя; второй — используем формулу сокращенного умножения «квадрат суммы».

1. По определению:

2. Используя формулу сокращенного умножения:

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.

Квадрат разности

Теоретический материал по теме — квадрат разности.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Раскрыть скобки

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в квадрат по определению, то есть умножим выражение на себя; второй — используем формулу сокращенного умножения «квадрат разности».

1. По определению:

2. Используя формулу сокращенного умножения:

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению. Использование такой формулы уменьшит вероятность ошибки.

Разность квадратов

Теоретический материал по теме — разность квадратов.

Пример

Задание. Раскрыть скобки

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — умножим два двучлена по определению, то есть умножим выражение на ; второй — используем формулу сокращенного умножения «разность квадратов».

1. По определению:

2. Используя формулу сокращенного умножения:

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.

Куб суммы

Теоретический материал по теме — куб суммы.

Пример

Задание. Раскрыть скобки

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в куб по определению, то есть умножим выражение два раза на себя; второй — используем формулу сокращенного умножения «куб суммы».

1. По определению:

2. Используя формулу сокращенного умножения:

Как видно, использование формулы сокращенного умножения значительно упростило и ускорило решение.

Куб разности

Теоретический материал по теме — куб разности.

Пример

Задание. Раскрыть скобки

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в куб по определению, то есть умножим выражение два раза на себя; второй — используя формулу сокращенного умножения «куб разности».

1. По определению:

2. Используя формулу сокращенного умножения:

Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.

Сумма кубов

Теоретический материал по теме — сумма кубов.

Пример

Задание. Разложить выражение на множители:

Решение.

Разность кубов

Теоретический материал по теме — разность кубов.

Пример

Задание. Разложить выражение на множители.

Решение.

Читать первую тему — квадрат суммы, раздела формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращённого умножения | О математике понятно

        Формулы сокращённого умножения необходимы во всех разделах математики. От элементарной до высшей. Они применяются практически везде — в упрощении выражений, решении уравнений и неравенств, сокращении дробей, вычислении пределов, решении интегралов — список можно продолжать ещё долго…

        Следовательно, нужно основательно разобраться с этими формулами. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их применять на практике и, самое главное, как их запомнить. А запомнить всё-таки придётся, да…

        Поехали?

 

Квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов — что за звери?

 

        Итак, вот они, формулы сокращённого умножения:

        Эти семь формул — полный джентльменский набор. Последние две формулы (сумма и разность кубов) записаны не так как в большинстве учебников, а наоборот — справа налево. Это не просто так.) Любая формула в математике работает в обоих направлениях — как туда, так и обратно. Именно такая запись наиболее наглядно показывает, откуда берутся формулы сокращённого умножения.

        Они берутся из… умножения. Вот ведь удивил, да?) Что ж, смотрите сами. Берём, например, самую первую формулу по списку:

        (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b²

        Вот и все дела. Самое обычное перемножение скобок и приведение подобных. Именно так и получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — потому, что в самих формулах нет раскрытия скобок и приведения подобных. Эти промежуточные действия сокращены. Сразу дан готовый результат. Пользуйтесь на здоровье!

        Эти формулы надо знать наизусть. Без знания первых трёх формул, с квадратами, даже не мечтайте о тройке! Без всех остальных (с кубами) — о четвёрке и выше. Нет-нет, бросаться зубрить весь этот список прямо сейчас мы не будем.) Об этом позже. Пока просто знакомимся.)

 

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

        Полезная вещь первая — самая очевидная. Это быстрое (т.е. сокращённое) умножение многих алгебраических выражений без промежуточных выкладок. Меньше выкладок — меньше и ошибок. Но это не самая главная полезная вещь! А вот вторая.

        Дело в том, что вся математика строится на преобразованиях выражений. Вся! От школьной до высшей. Сообразил, что, где и как преобразовать и упростить — решил пример. Не сообразил — увы, не решил. Есть, допустим, выражение (a—b)(a+b). Как его можно преобразовать? Да просто тупо перемножить скобки и привести подобные. Не вопрос.) А вот что делать с a²–b²? Чему это равняется? Попробуй, догадайся! Только знания и спасают, да…

        Сравним два равенства:

        (a—b)(a+b) = a²–b²

        и

        a²–b² = (a—b)(a+b)

        Для математики эти два равенства абсолютно одинаковы. А вот для нас с вами — не совсем. Возьмём первую запись, слева направо:

        (a—b)(a+b) = a²–b²

        Это самое обычное умножение скобок, не более того. Никаких принципиально новых возможностей. А теперь возьмём второй вариант того же равенства, справа налево:

        a²–b² = (a—b)(a+b)

        А вот такая запись резко повышает уровень вашей математической культуры! Почему? Потому, что такая запись формулы, справа налево, — это разложение на множители! А разложение на множители — процедура поважнее простого умножения, да…) Сомневаетесь? Не надо. В соответствующей теме подробно расскажу.)

        И такое разложение на множители имеет место быть во всех формулах сокращённого умножения! Почему? Давайте внимательно посмотрим на наш список. В левой части каждой формулы мы увидим перемножение скобок:

        (a+b)² = (a+b)(a+b) =…

        (a-b)² = (a-b)(a-b) = …

        (a-b)(a+b) = …

        (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) =…

        и т.д.

        Стало быть, левая часть каждой формулы разложена на множители, а вот правая часть — нет. Список, что приведён выше, — это, действительно, всего лишь сокращённое умножение. Но! Стоит только поменять местами левую и правую части каждой из формул, как тот же самый список становится формулами разложения на множители!

        Для полного понимания перепишу этот список ещё разок, но справа налево. Вот так:

        Такая обратная запись формул сокращённого умножения идеально подходит для разложения на множители многочленов, для сокращения алгебраических дробей и для решения самых разнообразных примеров. Но есть существенная проблема. Как их запомнить?

 

Запоминаем формулы сокращённого умножения! Секретные приёмы…

        Начинаем с самого простого — запоминаем названия формул. Это совсем легко. Смотрим в таблицу и видим выражение (a+b)². Или квадрат скобок. А в скобках что? Правильно, сумма! Стало быть, выражение (a+b)² называется квадрат суммы. Аналогично, (a—b)² называется квадрат разности. Элементарно, Ватсон!

        С выражениями (a+b)³ и (a—b)³ всё то же самое — куб суммы и куб разности соответственно.

        А как назвать a²–b²?  «Одно выражение в квадрате минус другое выражение в квадрате?» Точно, но слишком уж длинно. Зато разность квадратов — и точно, и кратко!

        Надеюсь, что названия сумма кубов и разность кубов у вас уже не вызовут недоумения?

 

        А вот теперь начинается самое сложное — запоминание самих формул, со всеми этими выражениями. К сожалению, здесь тот самый случай, когда без механической памяти не обойтись. Это огорчает.

        Однако здесь у нас с вами тайные знания! Эти знания помогут вам побыстрее сориентироваться во всех этих скобках, плюсах/минусах, квадратах/кубах, сведя механическую зубрёжку к минимуму. Читаем дальше и вникаем.

 

        Итак, начинаем с квадрата суммы:

        Просто медитировать, сверля формулу взглядом, будет недостаточно. Для лучшего запоминания настоятельно рекомендую выучить (да-да, именно выучить!) словесную формулировку:

        Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения ПЛЮС удвоенное произведение первого выражения на второе ПЛЮС квадрат второго выражения.

 

        Эта мантра реально облегчает жизнь во многих разделах школьной математики! Да и в институте, при работе со всякими там пределами да интегралами, тоже. Ещё не раз вспомните эту формулировку добрым словом!)

        Если вы запомнили квадрат суммы, то дальше будет проще. Можно включать логику и здравый смысл. Переходим к квадрату разности:

        Сравните с квадратом суммы! Нашли отличие? Да! Перед удвоенным произведением появился минус. Ведь должен же он где-то появиться?! Перед a² и b² он появиться никак не может, ибо любое число в квадрате есть число положительное. Остаётся только серединка.) Для понимания рекомендую просто перемножить скобки сами на себя да привести подобные. И тогда у вас пропадут все вопросы.

        В словесной расшифровке:

        Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения МИНУС удвоенное произведение первого выражения на второе ПЛЮС квадрат второго выражения.

 

        Разность квадратов:

        Эта формула обычно и так легко запоминается. Единственное, можно случайно влепить в скобки два плюса или два минуса. Но тогда это уже будут квадрат суммы и квадрат разности. А это — совсем другие формулы…

        Итак:

        Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

 

        Переходим к следующей группе формул — к сумме и разности кубов:

        Приём для запоминания здесь следующий. В первых скобках (маленьких) знак совпадает со знаком в исходном выражении: плюс-плюс, минус-минус. А вот во вторых (больших) скобках — меняется на противоположный. Причём меняется не перед квадратами, а снова посерединке! Квадраты a² и b² — положительные!

        Кстати, посмотрите внимательнее на большие скобки в каждой из формул и сравните с формулами квадрата суммы и квадрата разности!

        Нашли отличия? Да! В кубах не хватает двойки посерёдке. Именно по этой причине выражения в больших скобках

        a²+ab+b²

        и

        a²—ab+b²

        часто называют неполным квадратом суммы/разности.

        А теперь можно и шаблонные словесные формулировки из учебников привести:

        Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

        Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

        Вот так. Слово «неполный» хорошо помогает не запутаться. Допустим, в тревожной боевой обстановке на контрольной или экзамене нахлынули сомнения — писать двойку в сумме/разности кубов или нет?  Вот тут самое время вспомнить, что в кубах стоят неполные квадраты. А для полных квадратов есть свои формулы. Которые к кубам не имеют никакого отношения.

        Остаётся последняя парочка — куб суммы и куб разности:

        Эти две формулы встречаются в заданиях пореже предыдущих пяти, но знать их тоже не помешает, да. Претендуете на пятёрку? Тогда читаем дальше!

        Итак, как запомнить куб суммы? Во-первых, все знаки в формуле — плюсы! Оно и естественно. Ведь мы же перемножаем только положительные выражения, так с какого перепугу минусам-то взяться? Первое и последнее слагаемые — чистые кубы первого и второго выражений. А вот по центру — утроенные произведения.

        Обратите внимание, как в формуле идут переменные a и b! Переменная a идёт по убыванию степени — сначала a³, потом a², потом просто a (т.е. a¹), а в последнем слагаемом буква a и вовсе исчезает, превращаясь в единичку или a⁰. Для полной ясности ситуации последнее слагаемое b³ я перепишу вот так:

        b³ = 1∙b³ = a⁰∙b³

        А вот переменная b — наоборот, идёт по возрастанию степени. От нуля и до тройки включительно: в первом слагаемом переменной b нет (т.е. она сидит в виде единички, или b⁰), во втором b¹, в третьем b², в четвёртом b³.

        Но и это ещё не всё! Смотрите-ка, какая интересная штука: сумма степеней a и b в каждом из слагаемых всегда равна трём! Например:

        a³ = a³·b⁰          (3+0=3)

        3a²b = 3a²b¹     (2+1=3)

        и так далее…

        Такой порядок хорошо помогает не запутаться.)

        Если вы уловили принцип запоминания куба суммы, то куб разности запомнится без проблем. Всё то же самое, только минусы надо правильно расставить. А это очень легко сообразить! Какая переменная у нас с минусом? Правильно, переменная b! Следовательно, в слагаемых, где b стоит в первой степени и в кубе — будет минус. Ибо любой минус в нечётной степени всегда даёт минус. А вот минус в квадрате (b²) даст плюс. И все дела.)

        Разумеется, изложенные выше советы — это не жёсткие правила математики. Это просто практические приёмы, помогающие более быстрому и комфортному запоминанию. Чисто для себя. Куда уж лучше, чем механическая зубрёжка, правда?)

        Но, как ни крути, самый надёжный способ запомнить эти формулы — решать побольше примеров. Тогда весь этот перечень запомнится очень быстро. Сам собой, можно сказать.

        Ну что, потренируемся?)

 

Примеры на формулы сокращённого умножения.

        Начнём с самого простого — с прямого применения формул. Для разминки.)

        Преобразовать в многочлен:

        (5x+4y)²

        Сразу видим квадрат скобок. А в скобках — сумму. Значит, работаем по самой первой формуле, вот этой:

        Вспоминаем словесную формулировку: «Квадрат первого выражения…». За первое выражение у нас идёт 5x. Квадрат будет 25х². Вот и пишем:

        (5x+4y)² = 25х²….

        Идём дальше: «Плюс удвоенное произведение первого выражения на второе…». Удвоенное — это умножение на двойку. Первое выражение — это 5x, второе — это 4y. Продолжаем:

        (5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y….

        «Плюс квадрат второго выражения.» В роли второго выражения у нас 4y. Квадрат — это 16y². Получим:

        (5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y+16y²

        Практически всё. Осталось «причесать» удвоенное произведение (перемножить 2∙5∙4) и получим окончательный ответ:

        (5x+4y)² = 25х²+40xy+16y²

        Это было разминочное задание. А теперь примерчик посерьёзнее.

 

        Разложить на множители:

        4x²–20x+25

 

        Что, внушает? Опять смотрим на наш список. Но не на тот, что в начале урока (для умножения), а на второй, для разложения на множители. Вот на этот:

        Тут, разумеется, нашего выражения нет. Ну и что? Здесь важно понимать, что под буквами a и b может скрываться всё что угодно — и числа, и другие буквы, и более сложные выражения. Поэтому смотрим на список и ищем похожую формулу. И зацепкой будут степени переменной.

        В нашем выражении есть x² и просто x. Ясное дело, отбрасываем все формулы с кубами — у нас их явно нет. Далее выкидываем из рассмотрения формулу разности квадратов: там нет переменных в первой степени, только квадраты. А у нас — есть.

        Остаются первые две формулы — квадрат суммы или квадрат разности. Уже проще, не так ли? Осталось сообразить, что в формуле квадрата суммы — только плюсы. А в нашем выражении в серединке стоит минус. Стало быть, похожая формула — это квадрат разности.

        Но не факт, что квадрат разности сработает, совсем не факт… Наша задача — убедиться, что предложенное выражение 4x²–20x+25 точно соответствует квадрату разности. Только тогда у нас появится возможность записать и правую часть равенства (т.е. разложение на множители).

        Для удобства я перепишу формулу и исходное выражение прямо одно под другим:

        a²—2ab+b² = (a—b)²

        4x²–20x+25 = ….

        Надо выяснить, что скрывается под буквами a и b в нашем выражении. Начинаем по порядочку — с самого первого слагаемого. Допустим, a² — это 4x². Тогда чему равно само а? Какое выражение в квадрате даёт 4x²? Очевидно, что 2х. Тогда a=2x. Есть! Первое выражение нашли.

        А что может скрываться под b². Ну, точно не 20х! Во-первых, икс уже в букве a сидит, а во-вторых, b² должно быть с плюсом. А 20х у нас с минусом. Значит, под b² скрывается число 25! Стало быть, b — это пятёрка!

        Итого: a=2x,  b=5

        Всё? Можно записывать разложение? Пока нет.

        Нужна последняя, контрольная проверка по выражению 20х. Надо убедиться, что наши 20х точно соответствуют удвоенному произведению 2ab.

        Итак, затаив дыхание составляем удвоенное произведение первого и второго выражений:

        2ab = 2∙2x∙5 = 20x

        Ура! Совпало! Значит, наше выражение — это действительно квадрат разности 2х и 5. Вот теперь можно со спокойной душой записывать ответ:

        4x²–20x+25 = (2х-5)²

        Идея ясна? Сначала ищем в списке похожую формулу, а затем сверяем с ней выражение, предложенное в задании, на полное соответствие. Если повезло и всё совпало, то записываем ответ. Если не повезло, то, значит, раскладывать надо как-то иначе.

 

        Это были самые простые примеры, для младшеньких. А теперь переместимся в старшие классы, с их синусами да логарифмами. Да-да, старшеньким формулы сокращённого умножения тоже бывают нужны!

        Например, такое задание:

        Упростить:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x

        Вся мощь тригонометрии слабо помогает в этом примере. Только алгебра седьмого класса и спасает, да…

        Конечно, это выражение сильно смахивает на квадрат разности. Вот и пробуем применить эту формулу к нашему выражению! Что будет скрываться под буквами a и b? Конечно же, cos²x и sin²x. Удвоенное произведение, ясен перец, будет 2cos²x∙sin²x, как, собственно, в нашем выражении и записано. Смело сворачиваем нашего монстра в квадрат разности по формуле:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = (cos²x — sin²x)²

        А вот теперь и тригонометрия в игру вступает! Что у нас в скобочках? У нас в скобочках косинус двойного угла!

        cos²x — sin²x = cos2x

        Вот вам и ответ:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = cos²2x

 

        Или такое задание:

        Вычислить:

        

        Пример не подарок, прямо скажем… Логарифмические формулы явно не катят, да и сами логарифмы ровно не считаются… Проверим на алгебру? Числитель явно намекает на применение формулы разности квадратов.

        Вот этой: a²–b² = (a-b)(a+b)

        В роли a и b у нас логарифмы. Ну и что? Это формулу никак не портит, ибо законы алгебры работают во всей математике. Смело заменяем числитель дроби на произведение скобок и пишем:

        

        А вот теперь и логарифмические формулы заработали! В первых скобках (разность) получается lg4, который и сокращается благополучно со знаменателем. А во вторых скобках (сумма) будет lg100. Что по свойствам логарифмов есть 2.

        Конечно, подобные примеры в этом уроке легко решаются. Но на практике, когда ученик глубоко погружён в синусы/косинусы да логарифмы, разложение на множители просто не приходит в голову…

        Посему практический совет:

        Проверяем замороченные примеры на алгебру седьмого класса! В частности, на формулы сокращённого умножения.

 

        И напоследок…

        О типичном ляпе, который сразу же показывает блистательное отсутствие хоть какого-то понимания. Ляп настолько часто встречается, что хочется заявить громко:

        

        И запомните это крепко-накрепко!

        Формулы — штука жёсткая! Раз требуют удвоенного произведения 2ab, помимо чистых квадратов, значит спорить бессмысленно. Напишете такое на контрольной — будьте готовы получить заслуженную двойку! Такого не прощают. Вот так.

        Наглядный пример на добрую память с квадратом суммы. Всё-таки картинки иногда проливают свет на очень многие волнующие вопросы. Нарисуем в тетрадке квадрат со стороной a+b. Можно по клеточкам. Допустим, для конкретики, a — это 4 клетки, a b — это 2 клетки.

        Вот так:

        Очевидно, площадь всего квадрата будет равна квадрату его стороны, т.е. как раз (a+b)². В числах, безо всяких формул, это будет (4+2)² = 6² = 36.

        А теперь, глядя на картинку, соображаем: из чего складывается эта площадь? Правильно! Из большого (зелёного) квадрата площадью a², маленького (жёлтого) квадратика площадью b² и двух прямоугольников по ab площадью каждый.

        Вот и получается: (a+b)² = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

        Или, в числах, для a=4 и b=2:

        (a+b)² = a²+2ab+b²= 4²+2∙4∙2+2² = 16+16+4 = 36

        Вот и все дела. )

 

        Упражнение для интересующихся: аналогичным образом доказать геометрически (т.е. через квадраты и прямоугольники) две другие формулы сокращённого умножения с квадратами — квадрат разности и разность квадратов. Попробуйте! Интересно.)

 

        Ну что, порешаем?)

        1. Преобразовать в многочлен стандартного вида:

        (5a+1)²=

        (3y-4)²=

        (a-y³)²=

        (a²+b²)²=

        (3b-1)(3b+1)=

        (x+7)(7-x)=

        (3x+2)³=

 

        Ответы (в беспорядке):

        9b² — 1

        9y²-24y+16

        27x³+18x²+36x+8

        a⁴+2a²b²+b⁴

        25a²+10a+1

        49-x²

        a²-2ay³+y⁶

 

        Ну как, размялись? Получилось? Тогда продолжаем:

        Разложить на множители:

        16x²+8x+1 =

        36x²y⁴-60xy²+25=

        y²-100=

        81a²-64x²y⁶=

        27m³+8=

        64x³-y⁶=

 

        Ответы (в беспорядке):

        (y-10)(y+10)

        (4x-y²)(16x²+4xy²+y⁴)

        (4x+1)²

        (9a-8xy³)(9a+8xy³)

        (6xy²-5)²

        (3m+2)(9m²-6m+4)

 

        И это получилось? Блеск! Значит, формулы сокращённого умножения на самом минимально необходимом уровне вы освоили. Можно браться за задания посерьёзнее.

        Что-то не срослось? Бывает… Возможно, проблема не в самих формулах, а в банальной арифметике — знаках, действиях со степенями. Повторите степени! Без отточенного навыка работы со степенями дальше идти нельзя. К сожалению…

        А вообще, рецепт здесь простой — решать побольше заданий! Да-да! Задания этого урока — капля в море. Помогут, но не сильно. Маловато их… Берите любой учебник 7-го класса и решайте, решайте! До автоматизма. А сайт — ваш надёжный помощник! Тогда формулы сами собой и запомнятся. А труды окупятся. Проверено!)

 

полиномиальных тождеств

Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3, и нам нужно удалить скобки, мы используем
полиномиальные тождества (короткие формулы умножения) :

(x + y) ² = x ² + 2xy + y ²
(x — y) ² = x ² — 2xy + y ²

Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) ² = 10 ² + 2·10·5a + (5a) ² = 100 + 100a + 25a ²

Пример 2: если x = 10 и y равно 4
(10 — 4) ² = 10 ² — 2·10·4 + 4

2 = 100 — 80 + 16 = 36

Верно и обратное:
25 + 20а + 4а ² = 5 ² + 2·2·5 + (2а) ² = (5 + 2а) ²

Последствия приведенных выше формул:

(-x + y) ² = (y — x) ² = y ² — 2xy + x ²
(-x — y) ² = (-(x + y)) ² = (x + y) ² = x ² + 2xy + y ²

Формулы для 3 степени:

(x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
(x — y) ^{3 900 07 = х 3 — 3х 2 у + 3xy 2 — y 3}

Пример: (1 + a ² ) ³ = 1 ³ + 3,1 ² . a ² + 3.1.(а ² ) ² + (а ² ) ³

= 1 + 3а ² + 3а ⁴ + а ​​ ⁶ 9001 9

(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) ^{2 9000 7 = х 2 + у 2 + z 2 — 2xy — 2xz + 2yz}

Правила фактора

х ² — у ² = (х — у)(х + у)

х ² + у ² = (х + у) ² — 2xy
или
x ² + y ² = (x — y) ² + 2xy

Пример: 9a ² — 25b ² = (3a) ² — (5b) ² = (3а — 5б)(3а + 5б)

x ³ — y ³ = (x — y)(x ² + xy + y ² )
x ³ + y ³ = (х + у)(х ² — ху + у ² )

---

Если n натуральное число

х ⁿ — y ⁿ = (x — y)(x ^n-1 + x

n-2 y +. ..+ y ^n-2 x + y ^n-1 )

Если n четно (n = 2k)

x ⁿ + y ⁿ = (x + y)(x ^n-1 — x ^n-2 y +…+ y ^n-2 x — y ^{n-1 900 07 )}

Если n нечетно (n = 2k + 1)

x ⁿ + y ⁿ = (x + y)(x ^n-1 — x ^n-2 y +…- y ^n-2 x + y ^{n-1 900 07 ) 92 + 20$}

---

3) Решите уравнение: x ² — 25 = 0
Решение: x ² — 25 = (x — 5)(x + 5)
=> мы должны решить следующие 2 уравнения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5

Связанные ресурсы:

Викторина по полиномиальным тождествам

Упрощение полиномиальных выражений — задачи с решениями

Факторинг полиномов — задачи с решениями

Полиномиальные тождества на форуме

Умножение комплексных чисел

Комплексное число — это комбинация действительного числа и мнимого числа:

Действительное число — это число, которое мы используем каждый день.

Примеры: 12.38, ½, 0, −2000

Мнимое число, возведение в квадрат которого дает отрицательный результат:

«Единица» мнимого числа, возведенная в квадрат, равна −1

i ² = −1

Примеры: 5 i , −3,6 i , i /2, 500 i

Примеры комплексных чисел:

9 0355

3,6 + 4 и		(действительная часть 3,6, мнимая часть 4 i )
−0,02 + 1,2 i		(действительная часть равна −0,02, мнимая часть равна 1,2 i )
25 − 0,3 i		(действительная часть равна 25, мнимая часть равна −0,3 i )

Любая часть может быть равна нулю:

0 + 2 и		(нет реальной части, мнимая часть 2 i )		то же, что и 2 i
4 + 0 i		(действительная часть равна 4, мнимая часть отсутствует)		то же, что и 4

Умножение

Чтобы умножить комплексные числа:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго сложного номера

Просто используйте «ФОЛЬГА» , что означает « F первых, O маточных, I внутренних, L астровых» (дополнительную информацию см. в Биномиальное умножение):

	Первые: a × c Внешние: a × di Внутренние: bi × c Колодки: би × ди
(a+b i )(c+d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2

Вот так:

Пример: (3 + 2

i )(1 + 7 i )

(3 + 2 i )(1 + 7 i ) = 3×1 + 3×7 i + 2 i ×1+ 2 i ×7 i 903 38

= 3 + 21 i + 2 i + 14 i ²

= 3 + 21 i + 2 i − 14   (потому что i ² = −1)

 = −11 + 23 i

Вот еще один пример:

Пример: (1 +

i ) ²

(1 + i ) ² = (1 + i )(1 + i )

= 1×1 + 1× i + 1× i + i ²

= 1 + 2 i − 1   (поскольку i ² = −1) 9 0019

 = 0 + 2 i

Но есть быстрее Способ!

Используйте это правило:

(a+b i )(c+d i ) = (ac−bd) + (ad+bc) i

Пример:

(3 + 2 i )(1 + 7 i ) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1) i

= − 11 + 23 i

Почему это правило работает?

Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы:

(a+b i )(c+d i )	=	ac + ad i + bc i + bd i 2		ФОЛЬГА метод
	=	ак + ад я + бк я — бд		(потому что i 2 = −1)
	=	(ac — bd) + (ad + bc) i		(сбор одинаковых терминов)

И вот вам шаблон (ac − bd) + (ad + bc) i  .

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

 

Теперь давайте посмотрим, как выглядит умножение на комплексной плоскости.

Сложный самолет

Это сложный самолет:

Это самолет для сложных номеров !

Мы можем построить комплексное число, например 3 + 4i : Размещается 3 шт. по (действительной оси), и 4 единицы вверх (воображаемая ось).

Умножение на i

Умножим на i : (3 + 4 i ) x i = 3 i + 4 i 2 , что упрощается до (потому что i 2 = −1): −4 + ​​3 i

И вот что интересно. .. это то же самое, что и , вращающийся под прямым углом (90° или π/2)

Это было просто странное совпадение?

Попробуем еще раз умножить на i : (-4 + 3 i ) x i = -4 i + 3 i 2 = -3 — 4 i и еще раз : (−3 − 4 i ) x i = −3 i − 4 i 2 = 4 − 3 i 9033 8 и еще раз : (4 − 3 i ) x i = 4 i − 3 i 2 = 3 + 9 0555 4 и

Разве это не потрясающе? Каждый раз он поворачивается на прямой угол, пока не окажется там, где начал.

Попробуем на номер 1:

1 × и   = i я × я   = -1 −1 × i   = − i − i × i   = 1 Вернуться к 1 снова!

Каждый раз поворот под прямым углом.

Выберите свой собственный комплексный номер и попробуйте сами, это хорошая практика.

Давайте теперь более внимательно посмотрим на углы.

Полярная Форма

Наш дружный комплексный номер 3+4i :
Вот опять, но в полярной форме: (расстояние и угол)

Таким образом, комплексное число 3 + 4i также может быть представлено как расстояние (5) и угол (0,927 радиан).

Как мы делаем преобразования?

Пример: число

3 + 4i

Мы можем сделать декартово преобразование в полярное:

• r = √(x ² + y ² ) = √(3 ² + 4 ² ) = √25 = 90 337 5
• θ = тангенс ^-1 (y/x) = тангенс ^-1 (4/3) = 0,927 (до 3 десятичных знаков)

 

Мы также можем взять полярные координаты и преобразовать их в декартовы координаты:

• x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0,927 ) = 5 × 0,6 002. .. = 3 (достаточно близко)
• y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0,927 ) = 5 × 0,7998… = 4 (достаточно близко)

На самом деле, обычный способ записать комплексное число в полярной форме:

x + i y	=	r cos θ + i r sin θ
	=	r(cos θ + i грех θ )

И «cos θ + i sin θ » часто сокращается до «cis θ », поэтому:

x + i у = r цис θ

цис — это просто сокращение для , потому что θ + i sin θ

Итак, мы можем написать:

3 + 4i = 5 цис 0,927

В некоторых предметах, таких как электроника, «цис» используется очень часто!

Теперь еще немного об умножении

Давайте попробуем другое умножение:

Пример: Умножьте 1+i на 3+i

(1+ i ) (3+ i ) =1(3+ я ) + i (3+ i )

 =3 + i + 3 i + i ²

 =3 + 4 i − 1

= 2 + 4 i

А вот результат на комплексной плоскости:

Но интереснее увидеть эти числа в полярной форме:

Пример: (продолжение)

Преобразовать 1+i в полярную:

• r = √(1 ² + 1 ² ) = √2
• θ = тангенс ^-1 (1/1) = 0,785 (до 3 десятичных знаков)

 

Преобразовать 3+i в полярную:

• r = √(3 ² + 1 ² ) = 9 0337 √10
• θ = tan ^-1 (1/3) = 0,322 (до 3 десятичных знаков)

 

Преобразовать 2+4i в полярную:

• r = √(2 ² + 4 ² ) = √20
• θ = тангенс ^-1 (4/2) = 1,107 (до 3 десятичных знаков)

 

Взгляните на значения r в течение минуты. Они как-то связаны?
А как насчет θ значений?

Вот это умножение в одну строку (с использованием «цис»):

(√2 цис 0,785) × (√10 цис 0,322) = √20 цис 1,107

9000 5 Это самое интересное:

• √2 х √10 = √20
• 0,785 + 0,322 = 1,107

Итак:

Величины умножаются.
И углы добавляются.

При умножении в полярной форме: умножьте величины, добавьте углы.

 

И поэтому при умножении на i получается прямой угол:

i имеет величину 1 и образует прямой угол на комплексной плоскости

Квадратура

Квадратура комплекса число, умножьте его само на себя:

• умножьте величины: величина × величина = величина ²
• добавляем углы: угол + угол = 2 , поэтому мы удваиваем их.

Результат: квадрат величин, удвоение угла.

Пример: возведем в квадрат 1 +

2 i :

(1 + 2 90 337 i )(1 + 2 i ) = 1 + 4 i + 4 i ² = −3 + 4 i

На диаграмме угол выглядит (и есть!) удвоенным.

Также:

• Величина (1+2 i ) = √(1 ² + 2 ² ) = √5
• Величина (−3+4 i ) = √(3 ² + 4 ² ) = √25 = 5

Таким образом, величина тоже была возведена в квадрат.

В общем, комплексное число, подобное:

r(cos θ + i sin θ )

Когда в квадрате становится:

90 005 r ² (cos 2 θ + i sin 2 θ )

(величина r возводится в квадрат, а угол θ удваивается). 54 θ

 

Формула де Муавра

А математик Абрахам де Муавр обнаружил, что это работает для любого целого показателя степени n :

[ r(cos θ + i sin θ ) ] ⁿ = r ⁿ (cos n θ + i sin n θ )

(величина становится r ⁿ угол становится nθ . )

Или короче «cis «обозначение:

(r цис θ ) ⁿ = r ⁿ цис n θ

 

Пример: Что такое (1+

i ) ⁶ 90 147

Преобразование 1+ i в полярное:

• r = √(1 ² + 1 ² ) = √2
• θ = тангенс ^-1 (1/1) = π/4

В цис-нотации: 1+ i = √2 цис π/4

Теперь, с показателем степени 6, r становится r ⁶ , θ становится 6θ :

(√2 цис π/4) ⁶ = (√2) ⁶ цис 6π/4 = 8 цис 3π/2

Теперь величина равна 8, а угол равен 3π/2 (= 270° )

Это также 0−8 i (см. схему)

 

Сводка

• Используйте «ФОЛЬГА» для умножения комплексных чисел,
• Или используйте формулу:

  (a+b i )(c+d i ) = (ac−bd) + (ad+bc) i

• Или используйте полярную форму, а затем умножьте величины и сложите углы.

  No related posts.