Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.
Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида y=(f(x))g(x) или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.
Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.
Как вывести формулу логарифмической производной
Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:
y=f(x)ln y=ln(f(x))(ln y)’=(ln(f(x)))’1y·y’=(ln(f(x)))’⇒y’=y·(ln(f(x)))’
Примеры использования формулы
Покажем на примере, как это делается.
Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x.
Решение
Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y=ln xx. С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y=x·ln x. Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:
ln y=x·ln xln y’=x·ln x’1y·y’=x’·ln x+·ln x’⇒y’=y·1·ln x+x·1x=y·(ln x+1)=xx·(ln x+1)
Ответ: xx’=xx·(ln x+1)
Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:
y=xx=eln xx=ex·ln x⇒y’=(ex·ln x)’=ex·ln x·x·ln x’=xx·x’·ln x+x·(ln x)’==xx·1·ln x+x·1x=xx·ln x+1
Рассмотрим еще одну задачу.
Вычислите производную функции y=x2+13×3·sin x.
Решение
Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования.
Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y’=y·ln(f(x))’. Поясним, почему такое вычисление удобнее.
Начнем с нахождения ln(f(x)). Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:
- логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
- логарифм произведения можно представить в виде суммы;
- если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.
Преобразуем выражение:
ln(f(x))=ln(x2+1)13×3·sin x12=ln(x2+1)13-ln(x3·sin x)12==13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x
В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:
(ln(f(x)))’=13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x’==13ln(x2+1)’-32ln x’-12ln sin x’==13(ln(x2+1))’-32(ln x)’-12(ln sin x)’==13·1×2+1·x2+1′-32·1x-12·1sin x·(sin x)’==13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x
Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.
Ответ: y’=y·ln(f(x))’=x2+13×3·sin x·13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x
Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.
Пример 3Дана показательно степенная функция y=(x2+x+1)x3. Вычислите ее производную.
Решение:
y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·ln(x2+x+1)x3’==(x2+x+1)x3·x3·(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·x3’·ln(x2+x+1)+x3ln(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x3·1×2+x+1·x2+x+1’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x32x+1×2+x+1==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1
Ответ: y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1
Пример 4Вычислите производную выражения y=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2.
Решение
Применяем формулу логарифмической производной.
y’=y·lnx2+13·x+1·x3+14×2+2x+2’==y·lnx2+13+lnx+1+lnx3+14-lnx2+2x+2’==y·13ln(x2+1)+12lnx+1+14ln(x3+1)-12ln(x2+2x+2)’==y·(x2+1)’3(x2+1)+x+1’2(x+1)+(x3+1)’4×3+1-x2+2x+2’2×2+2x+2==x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2)
Ответ:
y’=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2).
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | грех(2x) | ||
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
исчисление — Как найти первую производную функции $y=x \ln(x)$ по предельному определению, используя эту формулу $y’=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)- f(x)}h$?
спросил
Изменено 3 месяца назад
Просмотрено 272 раза
$\begingroup$
Как найти первую производную функции $y=x\ln(x)$ по предельному определению, то есть по этой формуле $$y’=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$
не правило произведения или правило Лопиталя.