Граница абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность приближенного значения числа, граница абсолютной погрешности, верные и значащие цифры числа
Верные и значащие цифры числа. Округление чисел.
Наша система счета или счисления называется десятичной системой счисления, а 10 – основанием этой системы:
разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Аналогично, разряды десятичных дробей: десятые, сотые, тысячные и т.д.
|
Дробь |
Целая часть |
|
Дробная часть |
|||||
|
разряды |
тысячи |
сотни |
десятки |
единицы |
|
десятые |
сотые |
тысячные |
|
258,034 |
— |
2 |
5 |
8 |
, |
0 |
3 |
4 |
В приближенном числе различают верные и сомнительные цифры.
Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра.
Если же граница абсолютной погрешности больше единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными. Граница абсолютной погрешности ∆а находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.
Например:
24,5 ± 0,3 (| х – а | ≤ ∆а )
Приближенное значение 24,5
Граница абсолютной погрешности 0,3
0,3 < 1, значит верные цифры (в широком смысле) – это 2 и 4, а цифра 5 – сомнительная.
375 ± 20
Приближенное значение 375
Граница абсолютной погрешности 20
20 < 100, значит верная цифра 3, а цифры 7 и 5 сомнительные.
Когда рассматриваем верные цифры в широком смысле, то достаточно посмотреть на границу абсолютной погрешности и взять цифры приближенного числа, которые на разряд больше, чем граница абсолютной погрешности.
Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана эта цифра. Если же граница абсолютной погрешности больше половины единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными.
В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчётах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.
Значащими цифрами приближенного числа, выраженного десятичной дробью считаются все верные цифры этой дроби, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.
Например:
Приближенное число 10,408 имеет 5 значащих цифр, так как крайняя слева цифра числа отлична от нуля (она равна 1)
Приближенное число 0,01104 имеет 4 значащие цифры:1, 1, 0, 4.
Приближенное число 0,030 имеет 2 значащие цифры: 3 и 0 справа, по правилу два нуля, стоящие слева от цифры 3, не относятся к значащим.
Значащими цифрами приближенного целого числа считаются все его цифры, кроме нулей, поставленных взамен отброшенных или
неизвестных цифр.
Например: Частное
Число 6000 имеет 3 значащие цифры, так как один последний нуль поставлен вместо отброшенной цифры (единицы).
Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом а1 с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности
| а – а1 | называется погрешностью округления.
При округлении числа до m значащих цифр отбрасываются все цифры, стоящие правее m-й значащей цифры, или при сохранении разрядов заменят их нулями. При этом, если первая слева от отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1.
При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.
Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.
Например:
Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:
0,3281 ± 0,05
Граница абсолютной погрешности 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная, 2 – сомнительная, 3 – верная цифра 3
Погрешность округления:
|0,3281 – 0,3| = 0,0281
0,05 + 0,0281 = 0,0781
Ответ 0,3 ± 0,08
НК РФ Статья 266. Расходы на формирование резервов по сомнительным долгам \ КонсультантПлюс
НК РФ Статья 266. Расходы на формирование резервов по сомнительным долгам
Путеводитель по налогам. Вопросы применения ст. 266 НК РФ
— Надо ли отражать в учетной политике организации решение о создании резерва по сомнительным долгам в целях налогообложения прибыли?
— Может ли покупатель включать в резерв по сомнительным долгам для целей налогообложения прибыли перечисленный аванс, если товары не отгружены в установленный срок?
— Вправе ли организация создавать в целях налогообложения прибыли резерв по сомнительным долгам, которые могут не стать безнадежными или вовсе отсутствуют?
— Можно ли включить в резерв по сомнительным долгам для целей налога на прибыль задолженность по договорам уступки права требования?
— Можно ли включить в резерв по сомнительным долгам для целей налогообложения прибыли суммы невозвращенного кредита (займа)?
— Все вопросы по ст.
266 НК РФ
1. Сомнительным долгом признается любая задолженность перед налогоплательщиком, возникшая в связи с реализацией товаров, выполнением работ, оказанием услуг, в случае, если эта задолженность не погашена в сроки, установленные договором, и не обеспечена залогом, поручительством, банковской гарантией. При наличии у налогоплательщика перед контрагентом встречного обязательства (кредиторской задолженности) сомнительным долгом признается соответствующая задолженность перед налогоплательщиком в той части, которая превышает указанную кредиторскую задолженность налогоплательщика перед этим контрагентом. При наличии задолженностей перед налогоплательщиком с разными сроками возникновения уменьшение таких задолженностей на кредиторскую задолженность налогоплательщика производится начиная с первой по времени возникновения.
(в ред. Федеральных законов от 06.06.2005 N 58-ФЗ, от 30.11.2016 N 401-ФЗ, от 27.11.2017 N 335-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2024 абз. 2 п. 1 ст. 266 (в ред. 14.07.2022) утрачивает силу (ФЗ от 14.07.2022 N 323-ФЗ). С указанной даты абз. 2 п. 1 ст. 266 будет действовать в предыдущей редакции.
Для налогоплательщиков-банков сомнительным долгом также признается задолженность по уплате процентов, образовавшаяся после 1 января 2015 года, по долговым обязательствам любого вида (за исключением задолженности, образовавшейся в 2022 и 2023 годах, по долговым ценным бумагам, указанным в подпункте 14.1 пункта 4 статьи 271 настоящего Кодекса), в случае, если эта задолженность не погашена в сроки, установленные договором, вне зависимости от наличия залога, поручительства, банковской гарантии.
(в ред. Федерального закона от 14.07.2022 N 323-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Для налогоплательщиков — страховых организаций, определяющих доходы и расходы по методу начисления по договорам страхования, сострахования, перестрахования, по которым сформированы страховые резервы, резерв сомнительных долгов по дебиторской задолженности, связанной с уплатой страховых премий (взносов), не формируется.
(абзац введен Федеральным законом от 29.05.2002 N 57-ФЗ)
Для налогоплательщиков — кредитных потребительских кооперативов и микрофинансовых организаций не признается сомнительной задолженность, по которой в соответствии со статьей 297.3 настоящего Кодекса предусмотрено создание резервов на возможные потери по займам.
(абзац введен Федеральным законом от 02.11.2013 N 301-ФЗ)
2. Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) признаются те долги перед налогоплательщиком, по которым истек установленный срок исковой давности, а также те долги, по которым в соответствии с гражданским законодательством обязательство прекращено вследствие невозможности его исполнения, на основании акта государственного органа или ликвидации организации, за исключением задолженности по договору кредита (займа) в пределах обязательства кредитора перед внешним участником по соглашению о финансировании участия в кредите (займе).
(в ред. Федеральных законов от 29.05.2002 N 57-ФЗ, от 14.
07.2022 N 323-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) также признаются долги, невозможность взыскания которых подтверждена постановлением судебного пристава-исполнителя об окончании исполнительного производства, вынесенным в порядке, установленном Федеральным законом от 2 октября 2007 года N 229-ФЗ «Об исполнительном производстве», в случае возврата взыскателю исполнительного документа по следующим основаниям:
(абзац введен Федеральным законом от 29.11.2012 N 206-ФЗ)
невозможно установить место нахождения должника, его имущества либо получить сведения о наличии принадлежащих ему денежных средств и иных ценностей, находящихся на счетах, во вкладах или на хранении в банках или иных кредитных организациях;
(абзац введен Федеральным законом от 29.11.2012 N 206-ФЗ)
у должника отсутствует имущество, на которое может быть обращено взыскание, и все принятые судебным приставом-исполнителем допустимые законом меры по отысканию его имущества оказались безрезультатными.
(абзац введен Федеральным законом от 29.11.2012 N 206-ФЗ)
Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) также признаются долги гражданина, признанного банкротом, по которым он освобождается от дальнейшего исполнения требований кредиторов (считаются погашенными) в соответствии с Федеральным законом от 26 октября 2002 года N 127-ФЗ «О несостоятельности (банкротстве)».
(абзац введен Федеральным законом от 27.11.2017 N 335-ФЗ)
Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) также признаются суммы прекращенных перед налогоплательщиком — уполномоченным банком денежных обязательств, перечень которых определен актом Правительства Российской Федерации, принятым на основании части 3 статьи 5 Федерального закона от 29 июля 2018 года N 263-ФЗ «О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации».
(абзац введен Федеральным законом от 06.06.2019 N 125-ФЗ)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 абз. 7 п. 2 ст. 266 утрачивает силу (ФЗ от 13.
07.2020 N 204-ФЗ (ред. от 02.07.2021)).
Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) также признаются суммы прекращенных перед налогоплательщиком — кредитной организацией денежных обязательств по уплате задолженности по кредитному договору при выполнении следующих условий:
(абзац введен Федеральным законом от 13.07.2020 N 204-ФЗ)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 абз. 8 п. 2 ст. 266 утрачивает силу (ФЗ от 13.07.2020 N 204-ФЗ (ред. от 02.07.2021)).
кредит предоставлен юридическим лицам или индивидуальным предпринимателям в период с 1 января по 31 декабря 2020 года на возобновление деятельности или на неотложные нужды для поддержки и сохранения занятости;
(абзац введен Федеральным законом от 13.07.2020 N 204-ФЗ)
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 абз. 9 п. 2 ст. 266 утрачивает силу (ФЗ от 13.07.2020 N 204-ФЗ (ред. от 02.07.2021)).
в отношении кредитного договора кредитной организации в 2020 и (или) в 2021 году предоставляется (предоставлялась) субсидия по процентной ставке в порядке, установленном Правительством Российской Федерации.
(абзац введен Федеральным законом от 13.07.2020 N 204-ФЗ)
КонсультантПлюс: примечание.
Абз. 10 — 12 п. 2 ст. 266 применяются по 31.12.2022 (ФЗ от 02.07.2021 N 305-ФЗ).
Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) также признаются суммы прекращенных перед налогоплательщиком — кредитной организацией денежных обязательств по уплате задолженности по кредитному договору при выполнении следующих условий:
(абзац введен Федеральным законом от 02.07.2021 N 305-ФЗ)
кредит предоставлен юридическим лицам или индивидуальным предпринимателям в период с 1 января по 31 декабря 2021 года на восстановление предпринимательской деятельности;
(абзац введен Федеральным законом от 02.07.2021 N 305-ФЗ)
в отношении кредитного договора кредитной организации в 2021 и (или) в 2022 году предоставляется (предоставлялась) субсидия по процентной ставке в порядке, установленном Правительством Российской Федерации.
(абзац введен Федеральным законом от 02.
07.2021 N 305-ФЗ)
Безнадежным долгом (долгом, нереальным ко взысканию) также признается величина, равная 30 процентам от суммы обязательств перед налогоплательщиком — кредитной организацией, которые считаются исполненными в соответствии с частью 14 статьи 7.1 Федерального закона от 3 апреля 2020 года N 106-ФЗ «О внесении изменений в Федеральный закон «О Центральном банке Российской Федерации (Банке России)» и отдельные законодательные акты Российской Федерации в части особенностей изменения условий кредитного договора, договора займа».
(абзац введен Федеральным законом от 14.07.2022 N 323-ФЗ)
Безнадежными долгами (долгами, нереальными ко взысканию) также признаются суммы денежных обязательств, возникших из соглашения о финансировании участия в кредите (займе) перед налогоплательщиком — внешним участником, которые прекращены по основаниям, указанным в части 2 статьи 10.1 Федерального закона от 31 декабря 2017 года N 486-ФЗ «О синдицированном кредите (займе) и внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации», либо по аналогичным основаниям, предусмотренным законодательством иностранного государства.
(абзац введен Федеральным законом от 14.07.2022 N 323-ФЗ)
Для целей настоящего Кодекса под соглашением о финансировании участия в кредите (займе) признается соглашение, заключаемое в соответствии с Федеральным законом от 31 декабря 2017 года N 486-ФЗ «О синдицированном кредите (займе) и внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации» или применимым законодательством иностранных государств.
(абзац введен Федеральным законом от 14.07.2022 N 323-ФЗ)
Положения настоящего пункта распространяются также на приобретенные банками права требования по кредитам, если обязательства по этим правам признаны безнадежными по основаниям, установленным настоящей статьей.
(абзац введен Федеральным законом от 27.11.2017 N 335-ФЗ)
3. Налогоплательщик вправе создавать резервы по сомнительным долгам в порядке, предусмотренном настоящей статьей. Суммы отчислений в эти резервы включаются в состав внереализационных расходов на последнее число отчетного (налогового) периода.
Настоящее положение не применяется в отношении расходов по формированию резервов по долгам, образовавшимся в связи с невыплатой процентов, за исключением банков, кредитных потребительских кооперативов и микрофинансовых организаций. Банки вправе формировать резервы по сомнительным долгам в отношении задолженности, образовавшейся в связи с невыплатой процентов по долговым обязательствам, а также в отношении иной задолженности, за исключением ссудной и приравненной к ней задолженности. Кредитные потребительские кооперативы и микрофинансовые организации вправе формировать резервы по сомнительным долгам в отношении задолженности, образовавшейся в связи с невыплатой процентов по долговым обязательствам.
(п. 3 в ред. Федерального закона от 02.11.2013 N 301-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
4. Сумма резерва по сомнительным долгам определяется по результатам проведенной на последнее число отчетного (налогового) периода инвентаризации дебиторской задолженности и исчисляется следующим образом:
(в ред.
Федеральных законов от 29.05.2002 N 57-ФЗ, от 27.07.2006 N 137-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
1) по сомнительной задолженности со сроком возникновения свыше 90 календарных дней — в сумму создаваемого резерва включается полная сумма выявленной на основании инвентаризации задолженности;
(в ред. Федерального закона от 27.07.2006 N 137-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
2) по сомнительной задолженности со сроком возникновения от 45 до 90 календарных дней (включительно) — в сумму резерва включается 50 процентов от суммы выявленной на основании инвентаризации задолженности;
(в ред. Федерального закона от 27.07.2006 N 137-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
3) по сомнительной задолженности со сроком возникновения до 45 дней — не увеличивает сумму создаваемого резерва.
При этом сумма создаваемого резерва по сомнительным долгам, исчисленного по итогам налогового периода, не может превышать 10 процентов от выручки за указанный налоговый период, определяемой в соответствии со статьей 249 настоящего Кодекса (для банков, кредитных потребительских кооперативов и микрофинансовых организаций — от суммы доходов, определяемых в соответствии с настоящей главой, за исключением доходов в виде восстановленных резервов).
При исчислении резерва по сомнительным долгам в течение налогового периода по итогам отчетных периодов его сумма не может превышать большую из величин — 10 процентов от выручки за предыдущий налоговый период или 10 процентов от выручки за текущий отчетный период.
(в ред. Федерального закона от 30.11.2016 N 405-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Резерв по сомнительным долгам используется организацией лишь на покрытие убытков от безнадежных долгов, признанных таковыми в порядке, установленном настоящей статьей.
(в ред. Федерального закона от 30.11.2016 N 405-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
5. Сумма резерва по сомнительным долгам, исчисленного на отчетную дату по правилам, установленным пунктом 4 настоящей статьи, сравнивается с суммой остатка резерва, который определяется как разница между суммой резерва, исчисленного на предыдущую отчетную дату по правилам, установленным пунктом 4 настоящей статьи, и суммой безнадежных долгов, возникших после предыдущей отчетной даты.
В случае, если сумма резерва, исчисленного на отчетную дату, меньше, чем сумма остатка резерва предыдущего отчетного (налогового) периода, разница подлежит включению в состав внереализационных доходов налогоплательщика в текущем отчетном (налоговом) периоде. В случае, если сумма резерва, исчисленного на отчетную дату, больше, чем сумма остатка резерва предыдущего отчетного (налогового) периода, разница подлежит включению во внереализационные расходы в текущем отчетном (налоговом) периоде.
(в ред. Федерального закона от 30.11.2016 N 405-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
В случае, если налогоплательщик принял решение о создании резерва по сомнительным долгам, списание долгов, признаваемых безнадежными в соответствии с настоящей статьей, осуществляется за счет суммы созданного резерва. В случае, если сумма созданного резерва меньше суммы безнадежных долгов, подлежащих списанию, разница (убыток) подлежит включению в состав внереализационных расходов.
(в ред. Федерального закона от 29.
05.2002 N 57-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Верные, сомнительные и неверные цифры
Верные, сомнительные и неверные цифры
|
Читайте также:
|
Значащие цифры
Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа.
Так, числа 3,1416; 5,094×105; 0,0172 имеют соответственно пять, четыре и три значащие циф-ры. Можно сказать иначе: первое число — пятизначное, второе – четырех-значное, третье — трехзначное.
Значащей цифра называется потому, что она является представи-телем того или иного разряда или, как говорят, означает соответствующий десятичный разряд. Так, в приближенном числе 4,50 цифра 4 означает разряд единиц, цифра 5 – разряд десятых долей, цифра 0 – разряд сотых долей. Тысячные и другие более мелкие доли неизвестны, поэтому соот-ветствующие разряды не означены никакими цифрами.
В точных числах (в отличие от приближенных) представители неоз-наченных разрядов известны – это нули. Следует предостеречь от часто допускаемой при вычисленнях ошибки, когда это положение неправо-мерно переносится и на приближенные числа. В случае точных чисел чис-ла 4,5 и 4,50 совершенно равноценны, а в случае приближенных нет: пер-вое содержит две значащие цифры, второе – три, в первом числе сотые доли неизвестны, во втором известны – их нуль.
Нули, стоящие в начале числа, не являются значащими. Например, в приближенном числе 0,0172 только три значащие цифры. Первые два нуля являются незначащими, так как играют вспомогательную роль: слу-жат для указания соответствующих десятичных разрядов последующими цифрами (цифрами 1, 7 и 2). Такое указание можно осуществить другими способами, обходясь без нулей в начале числа, например, записав его в нормальной форме: 0,0172=1,72×10—2.
В нормальной форме первую значащую цифру приближенного числа ставят в разряд единиц, а остальные (общее их количество, естественно, сохраняется) – в десятичных разрядах после запятой. Полученное число умножается на множитель вида 10 n, где п — целое положительное или от-рицательное число. Например, число 1980 в нормальной форме запишется в виде 1,980×103.
Верные, сомнительные и неверные цифры
Приближенные числа, полученные в вычислениях, определенные из таблиц или найденные другими способами, содержат различное количес-тво значащих цифр, среди которых имеются верные, сомнительные и неверные цифры.
Верными цифрами приближенного числа называются п
Цифра, стоящая за последней верной, является не вполне точно опре-деленной (в ней содержится погрешность) и поэтому называется сомни-тельной. В некоторых случаях сомнительных цифр может быть две. В приведенном выше примере сомнительными соответственно являются од-на, две и две последние значащие цифры. Сомнительные цифры прибли-женного числа так же, как и верные, определяются его абсолютной по-грешностью.
Все цифры приближенного числа, стоящие после последней сомни-тельной, являются неверными.
Действительно, поскольку эта сомни-тельная цифра не может быть определена точно, то цифры последующих более низких разрядов невозможно найти и даже оценить. Поэтому невер-ные цифры не содержат реальной информации, бессмысленны и должны быть отброшены (с использованием правил округления). Например, в при-ближенном числе 406,59±2 пять значащих цифр. Из них две первые вер-ные, третья сомнительная, а две последние неверные. Поэтому правиль-ной будет запись: 407±2. В случае приближенного числа 210,324+1,2 сле-дует писать 210,3±1,2.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 722 | Нарушение авторских прав
| | | следующая страница ==> | |
| Введение | | | Математические действия над приближенными числами |
Действия с приближенными числами.
| Образовательный портал. Решение задач по физике, математике, химии. Справочник физико-химических величин. Онлайн-учебники.Приближенные числа Абсолютная погрешность числа Относительная погрешность Значащие цифры приближенного числа Погрешность округления
Имеется целый ряд причин, в силу которых практически приходится использовать не точные, а
приближенные числовые значения различных величин (условно называемые приближенными числами).
Вот некоторые из этих причин.
1) Числа, полученные в результате измерения (эксперимента), естественно представляют собой приближенные значения измеряемых величин по причине несовершенства инструментов, применяемых для измерения.
2) Числа, значения которых определены точно, все же приходится заменять их приближенными значениями.
Это очевидно, когда речь идет об иррациональных числах, например $\pi, \sqrt{2}$ и т. д. Но и такое, например, число, как 73/254, при проведении вычислений придется использовать в виде десятичной дроби, сохранив лишь некоторое число ее десятичных знаков после запятой.
3) Часто нет необходимости в получении точного результата и есть смысл провести расчет приближенно, чтобы сократить время, затрачиваемое на вычисление.
При выполнении приближенных вычислений приходится руководствоваться некоторыми правилами, позволяющими получить результат с требуемой степенью точности и без чрезмерных усилий на проведение вычислений. Эти правила основаны на некоторых понятиях и определениях, которые мы здесь кратко приведем.
А.
Абсолютная погрешность числа. Если $a_{0}$ — некоторое число (известное точно или нет), а $a$ — число, принимаемое за приближенное значение числа $a_{0}$, то абсолютной погрешностью приближенного числа а называют любое число $\Delta_{a}$ такое, что
$|a_{0} — a|
Заметим, что абсолютная погрешность здесь не определяется однозначно (то, что мы назвали абсолютной погрешностью, часто называют предельной абсолютной погрешностью).
Так, если $a_{0} = \pi, a = 3,14$, то, учитывая, что $\pi = 3,14159 \cdots$, можно записать
$|a_{0} — a| и каждое из чисел $0,002, 0,01, 0,0016$ будет абсолютной погрешностью.
Ясно, что при производстве вычислений в качестве $\Delta_{a}$ берут по возможности наименьшее из чисел, удовлетворяющих неравенству (1).
Величина $\Delta_{a}$ обычно характеризуется не более чем двумя значащими цифрами (чаще всего даже одной), причем принято величину $\Delta_{a}$ округлять в сторону увеличения.
Пример 1. Определить абсолютную погрешность, возникающую при замене иррационального числа $\sqrt{3} =1,7320508 \cdots$ его приближенным значением $1,73$.
Решение. Имеем $a_{0} = 1,7320508 \cdots , a =1,73$. Заменяя точное число $a_{0}$ его приближенным значением $a$, мы допускаем следующую ошибку: $| \sqrt{3}- 1,73| = 0,0020508 \cdots $.
Ясно, что в рассматриваемом случае можно положить $\Delta_{a} = 0,003$ (число $\Delta_{a}$ в соответствии с принятым условием записано с помощью одной цифры и получено путем округления ошибки $0,0020508 \cdots$ в сторону увеличения).
Пример 2. Известно, что для некоторого числа его приближенное значение 647,35 найдено с абсолютной погрешностью, равной 0,17. Что можно сказать о точном значении этого числа?
Решение. Неравенство (1) равносильно неравенствам
$a — \Delta_{a} В нашем случае эти неравенства запишутся так:
$647,18 По исходным данным точное значение $a_{0}$ искомого числа найти нельзя — можно только указать границы, между которыми оно находится.
Б. Относительная погрешность числа. Абсолютная погрешность числа $a$, принимаемого за приближенное значение числа $a_{0}$, не всегда является удобной характеристикой степени точности $a$ в качестве приближения к $a_{0}$. Так, погрешность в один метр будет очень грубой ошибкой при измерении длины помещения, но будет рассматриваться как малая ошибка при измерении расстояния между двумя удаленными точками земной поверхности. Дело в том, что обычно важна не сама величина погрешности, а ее отношение к измеряемой (или вычисляемой) величине, часто выражаемое в процентах.
В связи с этим дадим определение:
относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к модулю числа $a_{0}$; относительная погрешность обозначается через $\delta_{a}:
$\delta_{a} = \frac{\Delta_{a}}{|a_{0}|}$. (3)
На практике точное значение $a_{0}$ обычно неизвестно, и, учитывая, что, как правило, абсолютная погрешность бывает мала, находят $\delta_{a}$ по формуле
$\delta_{a} = \frac{\Delta_{a}}{|a|}$ (4)
(заменяя в знаменателе $a_{0}$ его приближенным значением $a$).
Пример 3. За приближенное значение числа $\pi$ иногда принимают 22/7. Какова относительная погрешность этого значения?
Решение. Находим $| \pi — 22/7| = |3,14159 — 3,14285|
В. Значащие цифры числа. Верные и сомнительные цифры. Напомним определение значащей цифры:
значащей цифрой приближенного числа называется всякая его цифра, начиная с первой ненулевой цифры (считая слева направо). Например, в числе $0,00030900$ первые четыре нуля не являются значащими цифрами (они служат только для указания десятичных разрядов других цифр).
Остальные три нуля являются значащими цифрами.
При записи приближенных чисел важно договориться о том, какие цифры (знаки) в этой записи следует считать верными, а какие — сомнительными. В связи с этим примем следующее определение: пусть $a$ есть приближенное число с абсолютной погрешностью $\Delta_{a}$; тогда любая из значащих цифр числа $a$ называется «верной», если $\Delta_{a}$ не превосходит пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой; остальные значащие цифры числа $a$ называются «сомнительными». Так, например, пусть для приближенного числа $a = 647,35$ будет $\Delta_{a} = 0,17$ (см. пример 2). Замечаем, что здесь $0,17 \leq 0,5$, и поэтому цифры 6, 4 и 7 являются верными, а цифры 3 и 5 — сомнительными. Этот ответ приобретет большую наглядность, если его сопоставить с неравенствами (2).
При расчетах, в которых участвуют приближенные числа, принято сохранять в промежуточных выкладках одну (или две) Сомнительную цифру. В конечном результате сомнительные цифры могут быть округлены.
Г. Округление чисел.
При замене числа, выражаемого десятичной дробью, дробью с меньшим числом десятичных знаков допускается погрешность, называемая погрешностью округления.
Приняты следующие правила округления: если первый из отбрасываемых знаков дроби меньше пяти, то остальные знаки просто отбрасывают, а стоящие перед ними сохраняют. Если первый из отбрасываемых знаков больше пяти, то предшествующий знак увеличивают на единицу. Если первый из отбрасываемых знаков равен пяти, то пригодно любое из указанных правил, но обычно округление производят так, чтобы последний сохраненный знак стал четным. Примеры округления десятичных дробей:
$3,14159 \cdots \approx 3,142; \sqrt{2} = 1,41421 \cdots \approx 1,41; 0,693 \cdots approx 0,7$.
Такие же правила округления применяются и к целым числам. Если, например, число жителей города равно в данный момент 23 542, то спустя месяц уже бессмысленно указывать единицы и даже десятки в этом числе.
{\prime}} = 0,2$. Итак, вернувшись к обычным обозначениям, заключаем, что приближенное число $a = 967,4$, полученное при округлении числа $967,358$, найдено с абсолютной погрешностью $0,2$, причем оно содержит одну (последнюю) сомнительную цифру 4.
Пример 5. Округлить приближенное число $a = 967,358$, взятое с абсолютной погрешностью $\Delta_{a} = 0,137$, сохранив только верные цифры (сравнить с примером 3).
Решение. Число $a$ округляем до числа $967$. После сложения погрешности округления $0,358$ с данной абсолютной погрешностью $0,137$ находим число $0,495$. Замечаем, что $0,495
Д. Погрешность результата арифметических действий. Пусть даны два числа $a, b$, рассматриваемые как приближенные значения чисел $a_{0}, b_{0}$ с абсолютными погрешностями $\Delta_{a}, \Delta_{b}$ соответственно. В этом случае выполняются неравенства
$a_{0} — \Delta_{a} $b_{0} — \Delta_{b} Складывая эти неравенства почленно, получим
$(a_{0} + b_{0}) — (\Delta_{a} + \Delta_{b}) Отсюда видно, что $\Delta_{a}+ \Delta_{b}$ является абсолютной погрешностью для суммы чисел $a$ и $b$: абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей.
Это правило верно для алгебраической суммы любого числа слагаемых.
Для умножения и деления принято следующее правило: относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей сомножителей (делимого и делителя). Это правило мы оставим без обоснования.
Пример 6. Стороны треугольника измерены с точностью до 1 мм и оказались равны 17,8 см, 23,6 см, 14,2 см. Найти периметр (т. е. сумму сторон) треугольника.
Решение. Находим $17,8 + 23,6+14,2 = 55,6 см$. Так как абсолютная погрешность каждого слагаемого была равна $0,1 см$, то погрешность результата может составить $0,3 см$. Поэтому периметр $P$ удовлетворяет неравенствам $55,3
Пример 7. Ребра прямоугольного параллелепипеда известны с абсолютной погрешностью в $1 см: а = 43 см, b =16 см, c = 25 см$. С какой относительной и абсолютной погрешностью может быть найден объем параллелепипеда?
Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле
$V = abc$.
Относительные погрешности ребер составляют соответственно (с округлением) $2,5%; 7%; 4%$. При умножении относительные погрешности суммируются: $\delta_{V} = 2,5 + 7 + 4 = 13,5%$. Объем может быть найден с относительной погрешностью $13%$.
Приведенные здесь правила позволяют, в принципе, контролировать точность производимых вычислений и предсказать относительную и абсолютную погрешности их результата; при значительном объеме производимых вычислений такой контроль точности становится практически слишком трудоемким и дает, как правило, завышенные значения погрешностей.
Приближённые вычисления в математике — основные понятия и определения с примерами решения и образцами выполнения
Содержание:
- Приближённые вычисления
- Абсолютная и относительная погрешности
- Выполнение действий над приближёнными числами
- Выполнение действий без точного учёта погрешности
Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин.
Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.
Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть
Пример.
Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет
Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.
При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.
Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.
Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых.
Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку
В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.
Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.
Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.
Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.
Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:
Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.
Например:
1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.
2. Запись
3. Если
В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*103 — две значимых цифры.
При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.
Правила округления чисел:
— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.
— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.
— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу.
Например: 1246,5002≈1247.
— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть
Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:
Число называется пределом относительной погрешности.
Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:
Конечно относительная погрешность выражается в процентах.
С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.
Пример 1. Найти относительную погрешность числа
Решение: Имеем
Следовательно
Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .
Решение:
Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.
Выполнение действий над приближёнными числамиРезультат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.
Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — исходные данные; пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).
Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.
Найдём границу относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ:
Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:
Граница относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ:
Выполнение действий без точного учёта погрешностиТочный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.
Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;
б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;
в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;
г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.
Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;
б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;
в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;
г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.
При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.
При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.
Прояснение сомнительных момен…
Прояснение сомнительных момен… نفر 0Понятие «бытийных сущностей» может трактоваться двояко: (1) это бытийные сущности, которым «следует быть» и (2) это бытийные сущности, существование которых не выводится из [принципа] «следует быть». Разъяснение различия между двумя этими понятиями представляет собой ценную и кропотливую научную задачу, которая нынче находится вне нашего рассмотрения.
Что мы можем ясно установить, так этологическую аналогию, согласно которой «бытие» [или «бытийные сущности»] является каузальным принципом для понятия «следует быть» — в действительности это разновидность дедуктивного вывода следствия из причины. Но если одно из «бытийных сущностей» не будет служить абсолютной причиной, из причины нельзя будет вывести следствие, ибо в случае существования Абсолютной Причины следствие обретает необходимое существование. Таким же образом, мы можем сказать, что следствие обусловлено дедуктивной необходимостью (вуджуб би-ль-кийас) Абсолютной Причины.
Теперь же, когда мы говорим, что человек – это служитель и раб Божий (вид категории «бытийных сущностей»), то это – абсолютная причина того, что человек должен подчиняться Аллаху (вид категории того, чему «следует быть»). Аллах Всевышний создал наше материальную и физическую субстанцию и вдохнул в нас от Своего духа. Кроме того, Он одарил нас бесконечными милостями, такими, как воздух, вода, еда, органы тела, способность мыслить, и всем тем, что необходимо для жизни человека.
Невозможно отрицать то, что Аллах является Обладателем этих материальных и нематериальных милостей.
Поэтому Аллах является Властелином и Дарителем самого нашего существования и [оказанных нам] милостей, которыми мы пользуемся для того, чтобы жить, развиваться и совершенствоваться. И то, что наш Господь – Аллах, и что мы Его служители и рабы, для разума является основанием считать, что «Владелец может распоряжаться Своим владением, как Он пожелает», Он обладает правом возлагать на нас то, что считает нужным, а мы должны служить и подчиняться Ему, ибо по сути своей мы – ничто. В рабовладельческой системе раб обладает способностью сопротивляться. Он может сбежать из тисков своего хозяина. Он может быть продан иному владельцу или передан еще одному.
Такие вещи могут воплотиться посредством «делегированного властвования» (маликиййат-е и‘тибари). Оно отличается от «реального властвования» (маликиййат-е хакики), ибо принятие на себя таких полномочий невозможно и недостижимо. Аллах не может подвергнуть отчуждению от Себя Свою власть над теми, кто служит Ему, и передать ее другим.
Конечно, «неспособность» к этому не означает, что для Него такая задача непосильна и невыполнима. Дело же в том, что в основе своей подобный акт не может быть совместим с властвованием. Так же, как Аллах не может уничтожить Сам Себя или совершить самоубийство, невозможно представить, чтобы Он не был Властелином над теми, кто служат Ему, и чтобы человеческие создания перестали быть Его рабами хотя бы на мгновение.
Иными словами, статус Творца (халик) для Аллаха и творения (махлук) для людей является вечным и неизменным.
Предположение, будто бы Он лишил человека имманентно свойственного ему статуса служителя, заключает в себе противоречие, ибо это будет означать, что человек одновременно существует и является служащим Ему, и не существует и не выполняет перед Ним функций служения.
Существование (мавджудиййа) каждой вещи (мавджуд) носит на себе отпечаток тварности (махлукиййа), служения (мамлукиййа), и рабство (‘убудиййа), и наше рабство по отношению к Аллаху имманентно свойственно нам, точно так же, как у света нельзя отнять сияние, а у огня – его жар.
«Подлинное Властвование» (маликиййат-е хакики) и «делегированная власть (маликиййат-е и‘тибари)
То, что мы сказали об имманентно присущему отношениям человека и Аллаха характеру Господства и служения (малик ва мамлук), относится к «подлинному и изначально присущему Владычеству и Господству» (маликиййат-е хакики ва таквини). Как мы указали, владычество и господство подразделяется на два вида: (1) Подлинное и изначальное Владычество и Господство (маликиййат-е хакики) и (2) делегированное господство (маликиййат-е и‘тибари).
Концепция власти и господства (маликиййа) в среде людей являет собой [феномен] «делегированных полномочий». (маликиййат-е и‘тибари).
Например, отдавая определенное количество денег, я становлюсь обладателем предмета одежды. Это, так сказать, договор между мной и владельцем одежды, который выведет его из этого состояния, ибо, отдав свои деньги, я стану собственником одежды, в то время как мой партнер обретет деньги. С этой одеждой я могу делать все, что я хочу.
К примеру, я могу продать ее или дать кому-нибудь. Такие дела являются частью моего «обладания».
Когда человеку по договору делегируется обладание [чем-либо], он может по-разному распоряжаться тем, что он приобрел. Конечно, у человека есть нечто, чем он обладает изначально (маликиййат-е таквини), что не сравнится с тем, что Аллах является Властелином всех миров, — например, это прирожденное наличие у человека воли, или же его изначальный статус «интеллектуального существа» (мавджуд-е зинни), который проявляется в его способности мыслить. Человек может захотеть или представить себе что-либо в любую минуту, когда он пожелает, а когда он того не хочет – он не стремится к этому, и [предмет стремления] не возникает в его воображении.
Как видно из этих двух примеров, хотя у человека есть нечто, чем он априорно обладает, это все же отличается от «изначального и подлинного Владычества Аллаха», ибо существование человека и его воля, воображение созданы Аллахом. Несмотря на это, у человека есть разные возможности использования этого [того, что дано ему Господом].
Так, таким же образом, Аллах, Который является Подлинным Властелином (малик-е хакики) и Господом и Обладателем всех миров (руббу-ль-аламин), может распоряжаться своими творениями, как пожелает.
Некоторые из понятий, используемых в социальной жизни, в определенных ситуациях иногда обретают расширенное измерение, и также используются вне рамок общественной жизни. Когда же это понятие используется [в его узком смысле] в новых обстоятельствах, возникает ошибка.
Что касается нашей дискуссии, то ситуация, когда один человек является рабом другого человека, что имело место быть в социальной системе прошлого, оценивается негативно, но рабство человека по отношению к Аллаху не только не носит негативной окраски, но и осенено в высшей степени ценностно позитивным ореолом, ибо посредством служения Аллаху человек может достигнуть абсолютного совершенства и быть включенным в число тех, о которых Всевышний сказал:
«Войди в круг Моих рабов!» (Сура «Аль-Фаджр», 89:29)
Аллах Всевышний обращается как к рабу (‘абд) к Своему самому любимому служителю, а именно – Святому Мухаммаду (ДБАР):
«Пречист Тот, Кто перенес ночью Своего раба, чтобы показать ему некоторые из Наших знамений, из Заповедной мечети в мечеть аль-Акса, окрестностям которой Мы даровали благословение.
Воистину, Он – Слышащий, Видящий» (Сура «Аль-‘Исра», 17:1).
Невозможно принять Аллаха как Высшее Бытие, не считая, что на тебя возложена [миссия] служения Ему. Согласно этому взгляду на служение, человек является служителем Аллаха, и подчинение Ему обязательно для человека.
Необходимость Божественного и Божественности как вселенского и религиозного Господства
Необходимость признания существования Аллаха оборачивается признанием [необходимости] служения Ему и принятие того, что служение Ему означает полное повиновение Его предписаниям. Иными словами, Божественному присуще вселенское Господство (рубубийат-е таквини) и религиозное Господство (рубубийат-е ташри‘и).
Некоторые верят в то, что Аллах сотворил Вселенную, но что Он покинул ее и не участвует в управлении ею; что развитие Вселенной происходит за счет ее механической внутренней эволюции![7] Эти люди не верят в Господство Аллаха над Вселенной. Они не понимают монотеизма (тавхид), ибо монотеизм в его истинном значении, который воплощался во всех ниспосылаемых религиях и учениях Божественных Пророков (мир им), основан на трех столпах: (1) Божество Божественности (Улухиййат-е Илахи), (2) Вселенское Господство и (3) религиозное Господство.
Подводя итог, отметим, что любого, кто признает Аллаха Богом, но отрицает Его вселенское или религиозное Господство, проблематично назвать монотеистом.
Согласно Священному Корану, Аллах является не только Создателем Вселенной, но и Благодетелем и Повелителем миров, и Вселенная развивается и меняется по Его воле:
«Просят Его те, кто в небесах и на земле; каждый день Он за делом» (Сура «Ар-Рахман», 55:29).
«Когда пожелает Он, основания [мира] разрушатся»
Необходимость принятия вселенского Господства влечет за собой также и веру в религиозное Господство, то есть, де-факто это вера в то, что мы должны подчиняться тому, что Аллах повелел нам.
Если мы уверовали в первый столп монотеизма (тавхид), то есть в Божественность лишь Одного Аллаха, мы станем ближе к Его Истине и довольству. Затем, если мы также признаем, что Аллах господствует над Вселенной, и что ее развитие происходит только по Его воле, мы станем еще немного ближе к Истине, и награда за наши деяния возрастет.
В конечном итоге, если мы также уверуем в «монотеизм в поклонении и послушании», мы станем еще ближе к Его довольству.
Тот, кто верит в эти три [столпа] монотеизма, сильно отличается от человека, который вообще не верит в Аллаха или является многобожником. Первый признает все столпы монотеизма, в то время как второй даже не признает существования Бога, не говоря уже о принятии «монотеизма в Господстве» или «монотеизма в поклонении». Первый находится на высочайшей стоянке счастья и человеческого совершенства, второй же погряз в самого низкого свойства [духовной] нищете.
Возможно, каждому из нас изначально присуще мнение, что отрицающий Аллаха и не принимающий ни одного из уровней монотеизма находится дальше всего от Божественного Милосердия, и будет обречен на погибель и наказание, в то время как уверовавший хотя бы в какой-либо из аспектов монотеизма – например, в Могущество Аллаха как Творца – в соответствующей мере приближается к счастью и совершенству.
Обратившись к Священному Корану, мы осознаем неправильность таких представлений.
Согласно Священному Корану, только тот, кто принял монотеизм во всей его полноте (то есть в Могущество Аллаха как Творца, монотеизм во вселенском Господстве и монотеизм в религиозном Господстве), достигнет вечного блаженства и спасения. В своей целостности эти убеждения заключены в выражении: «Нет бога, кроме Аллаха» (ла илаха илла-Ллах). Даже вера в два столпа монотеизма (в то, что Аллах является Творцом Вселенной и управляет ею) не приведет никого к спасению и счастью. Иными словами, положение такого человека будет не лучше, чем положение отрицающего Аллаха. Лучшим свидетельством в пользу этого является случай с неповиновением Иблиса (сатаны), о котором неоднократно говорится в Коране.
Мы не знаем более неудачливого и несчастного существа в мире, нежели Иблис. Но отрицал ли Иблис существование Аллаха? Из его разговора с Всевышним ясно, что он верил в Могущество Аллаха как Творца, потому что, не преклонившись перед Адамом, он сказал: «Ты сотворил меня из огня и сотворил его (Адама) из глины.
«Он сказал: «Что помешало тебе пасть ниц, когда Я приказал тебе?» Он сказал: «Я лучше него. Ты сотворил меня из огня, а его – из глины». (Сура «Аль-А‘раф», 7:12).
Таким образом, сатана признает Аллаха – Творцом. Отрицал ли Иблис вселенское Господство Аллаха? В своем диалоге со Всевышним он обращается к Священной Божественной Сущности как к Господу (Рабб). Раз так, значит, Иблис верил в то, что Аллах управляет Вселенной:
«Он сказал: «Господи! За то, что Ты ввел меня в заблуждение, я приукрашу для них земное и непременно совращу их всех». (Сура «Аль-Хиджр», 15:39)
Отрицал ли Иблис Судный День? Ответ будет – нет. Он попросил у Аллаха отсрочку до Дня Воскресения:
«Он сказал: «Господи! Предоставь мне отсрочку до того дня, когда они будут воскрешены» (Сура «Аль-Хиджр», 15:36).
Отказывался ли Иблис поклоняться Аллаху? Если мы обратимся к словам его Светлости Повелителя Првоверных (мир ему) в «Нахдж аль-балага», ответ на этот вопрос для нас станет ясным. Относительно Иблиса он (мир ему) говорит:
«Научайтесь тем, как поступил Аллах с Иблисом, когда свел на нет деяния его долгие, и усилия его многотрудные, — а ведь был он поклоняющимся Аллаху шесть тысяч лет, не известно, стяжая мир дольний или мир грядущий, — одним (лишь) часом превознесения» («Нахдж аль-балага», хутба 191, известная как «Аль-Каси’а»).
А теперь зададим главный вопрос: в чем была причина падения Иблиса? Ответ заключается в том, что у него возникли трудности с принятием религиозного Господства, и он не признавал монотеизма в религиозном Господстве, то есть что только Аллах имеет право разрешить или запретить (что-либо), и что все приказы Аллаха должны неукоснительно выполняться.
Проблемой для Иблиса стало не признание Аллаха Творцом, монотеизма во вселенском Господстве, поклонение Аллаху или вера в Судный день. Он верил во все это, но отрицание религиозного Господства Аллаха обрекло его на вечное проклятие.
Если мы примем к сведению все это, то станет ясным, что у человека есть обязательство (таклиф) перед Аллахом. Ислам также основывается на [представлении] о долженствовании человека. Если изъять [идею] долга, от Ислама ничего не останется. Например, молитва и пост являются в Исламе обязательными действиями. Если у нас не будет [понятия о] долге, то из этого с необходимостью будет следовать, что эти два дела необязательны к исполнению! Кроме того, тирания и угнетение – незаконны (харам).
Если такая основа, как долженствование, будет отвергнута, угнетение окружающих сделается дозволенным!
Сомнение седьмое. Эпоха долженствования закончилась, и современный человек заинтересован в отстаивании своих прав.
Некоторые утверждают, что в связи с развитием и прогрессом, которые породили разнообразные эпохи в жизни человечества, равно как и новые верования, идеологии, философские и практические теории, которые легли в основу современной человеческой цивилизации, сегодня религия должна отстаивать права людей, а не накладывать на них обязательства и отдавать приказы.
Сталкиваясь с системой рабовладения, насилия и деспотизма, люди прошлого привыкли к тому, что у них есть обязательства и сфера долженствования. Но сейчас эпоха рабства завершилась, и наступила эра суверенитета и наместничества по отношению к Аллаху (халифатуЛлах). Сегодняшнего человека волнует не долг, а получение прав и их использование.
Действительно, модернизм и новая цивилизация поспособствовали возведению высокой стены между нами и людьми прошлого, которые были подданными, рабами, слугами, вьючными животными для других.
Поэтому современный человек закрыл книгу с описанием сферы его долженствования и обязанностей – которая принадлежала периоду варварства и нетерпимости – и прилагает усилия к тому, чтобы заявить о своих правах.
Сегодня говорить о долге и выполнении обязательств – это ретроградство и возвращение к предшествовавшей модернистской эре эпохе, и в наше время, благодаря заявлениям о правах человека и благах демократии, человек был освобожден от рабства и эксплуатации, и пришло время, когда древние религии, потворствовавшие системе рабства и оперировавшие [понятиями] долга и ответственности, должны уйти со сцены, а мы должны создать новую религию, которая возвещала бы о правах человека.
Ответ
Что можно сказать с уверенностью, так это то, что разговоры о том, будто современный человек имеет только права и не обладает обязанностями, являются пустопорожними и сбивающими с толку, ибо специалисты по философии права утверждают: ни одно право не может быть закреплено за человеком так, чтобы на остальных не была возложена обязанность.
Например, если гражданам гарантировано право на чистый и незагрязненный воздух, то другие граждане обязаны его не загрязнять. А если у нас есть право его портить, то право на чистый воздух теряет свой смысл.
Точно так же, если у человека есть право использовать свое имущество, на других должно быть возложено обязательство не посягать на него, в противном случае, право на использование собственного имущества не сможет быть реализовано.
Подобным же образом, любое право, данное человеку, накладывает на окуржающих обязательство по отношению к нему. Если человек обладает правом пользоваться коммунальным хозяйством, соответственно, должны работать коммунальные службы, которые принимают на себя (общественные) обязательства и обязанности, и их работа не должна становиться заботой других.
Поэтому право и обязательство сопутствуют друг другу, и утверждение, что люди должны только отстаивать права и не принимать на себя никаких обязательств, несостоятельно.
Учитывая тот факт, что все религиозные и нерелигиозные ученые, специализирующиеся на философии права, в общем не отрицают [необходимости наличия] обязательств и сферы долженствования, и что де-факто они признают понятие долга и соглашения, мы догадываемся, что под «долгом» в этих заявлениях подразумеваются религиозные обязанности.
Характер этих заявлений сводится к следующему: Аллах не возлагает на нас обязательств, а также, согласно их мнению, [религиозные обязательства] несовместимы с той концепцией, которую мудрые люди выработали касательно обязанностей по отношению к правам. То, что я говорю, подтверждается тем фактом, что они недвусмысленно утверждают, будто бы отношения господства (мавлавиййа) и служения (‘убадиййа), сущность понятия господства и необходимости повиновения подходят лишь для рабовладельческой культуры.
Мотивы тех, кто восстал против Аллаха
Не только современный человек не склоняет своей головы перед Аллахом, религией и Божественным обязанностям. В действительности, многие люди на протяжении истории, одержимые сатанинскими внушениями, не признавали возложенных Аллахом обязательств и вступали на путь мятежа и нарушения [Божественного] Закона.
Утверждение, что у человека есть только права и нет обязанностей, не ново. Фактически, сначала Кабиль (Каин), мятежный сын Адама (мир ему), открыто выступил против религиозных обязанностей и правил, и, движимый желанием нарушить Закон и эгоизмом, убил своего брата Хабиля (Авеля):
«Прочти им истинный рассказ о двух сыновьях Адама.
Вот они оба принесли жертву, и она была принята от одного из них и была не принята от другого. Он сказал: «Я непременно убью тебя». Он ответил: «Воистину, Аллах принимает только от богобоязненных» (Сура «Аль-Ма‘ида», 5:27). Истории Пророков (мир им), приведенные в Коране, выявляют тот факт, что большинство людей считало посланного к ним Пророка (мир им всем) лжецом. Помимо того, что они не повиновались пророческому призыву, они обычно клеветали на своих Пророков (мир им), дразнили, высмеивали их, и даже убивали и изгоняли их из их собственных городов. Если Пророк (мир ему) обращался к ним с особо важным посланием, например, в соответствии с Кораном, увещевал не обсчитывать друг друга [на базарах]:
«Не обмеривайте и не обвешивайте, не присваивайте себе имущества людей» (Сура «Аль-А‘раф», 7:85)
А они отвечали ему:
«Они сказали: «О Шуайб! Неужели твой намаз повелевает нам отречься от того, чему поклонялись наши отцы, или распоряжаться нашим имуществом не так, как мы того хотим? Ведь ты же – выдержанный, благоразумный» (Сура «Худ», 11:87).
Теперь можно сказать, что происходившее на протяжении истории, а именно – неприятие и противодействие Пророкам Аллаха и приближенных к Нему (мир им) было результатом идолопоклонства, многобожия и дружбы с Сатаной, в то время как человечество должно снять со своей шеи оковы рабства по отношению к любому объекту поклонения и почитания, и не служить никаким идолам и Сатане. Но этот довод, если рассматривать его с позиции Истины и с точки зрения Божественного Откровения – ошибочен и несостоятелен, ибо с его точки зрения для человека существует только два пути служения: (1) служение Аллаху и (2) служение тагуту, и третьего не дано.
Даже если кто-то выдвинет лозунг, что он никому и ничему не поклоняется, в реальности он является служителем тагута и прихотей собственной плоти. В связи с этим айат Корана гласит:
«Аллах – Покровитель тех, которые уверовали. Он выводит их из мраков к свету. А покровителями и помощниками неверующих являются тагуты, которые выводят их из света к мракам.
Они являются обитателями Огня и пребудут там вечно» (Сура «Аль-Бакара», 2:257).
Везде в Коране Аллах говорит:
«Разве Я не завещал вам, о сыны Адама, не поклоняться сатане, который является вашим явным врагом, и поклоняться Мне? Это – Прямой Путь» (Сура «Йа Син», 36:60-61).
Смысл этого айата в том, что, оставив служение Сатане, человек не будет нуждаться в том, чтобы поклоняться кому-либо, [кроме Аллаха]. Место этого сразу займет служение Аллаху, поскольку формула монотеизма – это: «Нет бога…» (ла илаха…), за чем следует «…кроме Аллаха» (…иллаЛлах).
Поэтому те, кто пробудились от сна невежества благодаря ниспосланию Откровения, постигли, что они должны поклоняться Аллаху, Который является их Создателем и Истинным Властелином, и от Которого зависят жизнь и смерть, молодость и старость, здоровье и болезнь. Для них служение Ему – это наивысшая честь. То, что Он сделал обязательным [нечто], проистекает из Его бесконечной Мудрости и Милосердия, и исполнения этого станет источником человеческого счастья и совершенства.
Мы обнаруживаем, что обычай отрицания Аллаха и отказ от выполнения обязательств и [несения] ответственности [за что-либо] являются результатом неверного воспитания человека, жестоких и скотских повадок, и дружбы с Сатаной, которые всегда существовали в истории и не являются предметом монополии со стороны современного человека. В действительности, именно современный человек, который отказался от преимуществ цивилизованности, погряз в невежестве, дикости и реакции. Напротив, получившие воспитание в школе (мактаб) Пророков (мир им), избавились от жестоких и диких проявлений натуры, и стали цивилизованными посредством [Божественного] Закона, принятия на себя обязанностей и ответственности по своему здравому разумению, ибо цивилизация и цивилизованность противоположны дикости, и их главным требованием и условием является принятие [Божественного] Закона.
Так как же могут некоторые люди умудряются заявлять, что требованием современной цивилизации является отказ от ответственности?! Что это – дикость или цивилизация?! В основе своей цивилизация строится на ограничениях, законе и принятии на себя ответственности, иначе не будет разницы с [состоянием] дикости.
А раз так, то тот, кто уклоняется от принятия [Божественного] Закона, обязательств и ответственности, склонен к возвращению в состояние дикости и варварства. Конечно, всякий, у кого есть такие идеи и наклонности, никогда не станет благородным наместником Аллаха (халифатуЛлах) и не сможет быть примером для нас. (Необходимо упомянуть, что лозунг в поддержку цивилизованности и ориентации на закон, который набирает вес в нашем сегодняшнем обществе, знаменует собой достижение высшей степени цивилизованности и вершины законности. Не то, чтобы произошло что-то новое, что наше общество пребывало в дикости и спустя 19 лет после Революции, а сейчас оно стало цивилизованным. Это не так. Наша Революция основана на изначальных исламских [представлениях] о цивилизованности и цивилизации. Среди ее принципиальных движущих мотивов и целей – соблюдение Божественного Закона во всех его аспектах).
Приверженность Аллаху и Свободе
Снова приведу слова Всевышнего Аллаха о сути миссии Пророков (мир им), [заключавшейся в призыве] подчиняться Аллаху и поклоняться Ему, а не служить тагуту:
«Мы отправили к каждой общине посланника: «Поклоняйтесь Аллаху и избегайте тагута!» (Сура «Ан-Нахл», 16:36).
Этот айат свидетельствует о том, что здание Ислама не может быть построено на непослушании окружающим, включая Аллаха. Естественно, любая религия, которая не призывает нас подчиняться Аллаху, является ложной, ибо духом миссии Пророков (мир им) является [идея] абсолютного повиновения Аллаху, от Которого проистекает все бытие, Который – Альфа и Омега, так же как и Подлинный Повелитель и Властитель:
«Воистину, мы принадлежим Аллаху и к Нему вернемся» (Сура «Аль-Бакара», 2:156).
Теперь, когда мы познали Аллаха как Истинного Властелина и Распорядителя всего мира бытия, как мы можем принять ту идею, что у Него нет права отдавать нам приказы и ниспосылать распоряжения? Не является ли обладанием ни чем иным, как возможностью обладателя распоряжаться своим имуществом, как он пожелает. Недопустимо, чтобы мы возглашали о своем принятии Ислама, но освобождали бы себя от служения Аллаху, ибо такая абсолютная свобода не только предосудительна с религиозной точки зрения, но и не может быть принята с позиций разума.
Ислам и религия – это ограничители свободы, но той свободы, которая проистекает из повиновения кому-либо или чему-либо, кроме Аллаха, из служения тагутам, и не проистекает из подчинения Аллаху. Хотя человек создан свободным и автономным, с религиозной точки зрения он обязан повиноваться Аллаху. В сущности, в царстве творения всякий феномен носит на себе печать служения и рабства. Собственно, ни одно существо не может не служить Аллаху, и существование всякой вещи означает ее служение Ему:
«Его славят семь небес, земля и те, кто на них. Нет ничего, что не прославляло бы Его хвалой, но вы не понимаете их славословия. Воистину, Он – Выдержанный, Прощающий» (Сура «Аль-Исра’», 17:44).
Что касается служения и поклонения созданий, то Всевышний также говорит:
«Разве ты не видел, что Аллаха славят те, кто на небесах и на земле, а также птицы с распростертыми крыльями? Каждый знает свою молитву и свое славословие. Аллах знает о том, что они совершают» (Сура «Ан-Нур», 24:41).
Да, в силу того, что человек наделен мудростью и умом, он был сотворен свободным и автономным. Хотя Аллах Всевышний указал ему на Прямой Путь и путь девиационный, он свободен выбирать, какому пути следовать.
«Мы повели его путем либо благодарным, либо неблагодарным» (Сура «Аль-Инсан/Ад-Дахр», 76:3).
Тем не менее, он должен принять во внимание смысл и цель его сотворения. Ему следует знать, что он должен служить и поклоняться Аллаху, и что религиозный закон Аллаха не позволяет ему следовать путем повиновения Сатане и служения кому-либо, кроме Аллаха. Напротив, он должен принять на себя миссию служения и ответственности перед Аллахом, ибо Он сотворил его для этого:
«Я сотворил джиннов и людей только для того, чтобы они поклонялись Мне» (Сура «Аз-Заририйат», 51:56).
Теперь, принимая во внимание тот факт, что поклонение Аллаху находится в гармонии с системой творения и Вселенной, принятие на себя ответственности перед Аллахом и обязанностей по отношению к Нему является жестом признательности и благодарности Милосердногому Создателю, Который подарил нам жизнь и по Своей Проницательности и Щедрости наделил нас здоровьем и бесчисленными милостями.
Как Аллах сказал посредством Пророка Ибрахима (мир ему):
«(Он Господь миров), Который сотворил меня и ведет прямым путем, Который кормит меня и поит, Который исцеляет меня, когда я заболеваю, Который умертвит меня, а потом воскресит» (Сура «Аш-Шу‘ара», 26:78-81).
Как можем мы отказаться от приверженности Ему? Не является ли несправедливым и нечестным утверждение, что современный человек свободен от обязательств и подчинения, но обладает правами? Принимает ли Ислам такую логику? Вне всякого сомнения, подобный стиль мышления лишен рационального начала и человечности, не говоря уже об исламских основаниях.
Сомнение восьмое. Статус Божественного наместничества (халифатуЛлах) означает, что человек абсолютно свободен
Иногда говорится, что, согласно Корану, человек является наместником Аллаха (халифатуЛлах), а это значит, что он – Его представитель на земле и выполняет роль Бога. Так же, как Аллах сотворил мир, человек должен «творить» феномены. Так же, как Аллах распоряжается Вселенной по Своей Воле, человек может контролировать Землю и действовать так, как ему вздумается.
Ответ
Смысл наместничества по отношению к Аллаху должен пониматься правильно, и следует отметить, что титул «наместник Аллаха» (халифатуЛлах) был, согласно Корану, дарован Пророку Адаму (мир ему) и не касается всего его потомства, потому что Коран называет некоторых из его сынов «дьяволами» (шайатин):
«Таким образом Мы определили для каждого пророка врагов – дьяволов из числа людей и джиннов» (Сура «Аль-Ан‘ам», 6:112).
Несомненно, дьяволы в человеческом обличье ни разу не являются «наместниками Аллаха» и не включены в число тех, перед кем ангелы должны были пасть ниц, когда Аллах сказал:
«Вот твой Господь сказал ангелам: «Воистину, я сотворю человека из сухой звонкой глины, полученной из видоизмененной грязи. Когда же Я придам ему соразмерный облик и вдохну в него от Моего духа, то падите перед ним ниц» (Сура «Аль-Хиджр», 15:28-29).
Наместник Аллаха (халифатуЛлах) обладает великими способностями и качествами, среди которых: (1) знание имен: «Он научил Адама всевозможным именам» (Сура «Аль-Бакара, 2:31), (2) наместник Аллаха должен обладать компетенцией, чтобы учреждать справедливость на Земле.
Так, злоумышленный человек, творящий на Земле нечестие, не считает запрещенным ни одно преступление, и не соблюдающий справедливости, не может быть наместником Аллаха. Разве Аллах не Справедлив, так как может быть несправедливым Его посланник? Наместник Аллаха – это тот, кто являет Божественные атрибуты как в частной, так и в социальной жизни, а не просто является двуногим существом.
Поэтому те, которые пытаются сбить людей с пути и свергнуть Исламское правительство – помимо того, что они не являются благородными созданиями – они также выступают как дьяволы (шайатин) в человеческом обличье, которых Аллах считает более презренными, нежели животные, и о которых Он говорит:
«Воистину, наихудшими из живых существ перед Аллахом являются глухие и немые, которые не способны понимать» (Сура «Аль-Анфаль», 8:22).
Утверждение, что благородство человека заключается в свободе, и что любая вещь, ограничивающая свободу, предосудительна и должна быть отвергнута – это обманчивый слоган, заимствованный у западного мира, и в других странах некоторые также приняли его на вооружение, не принимая во внимание его нюансы, и они постоянно настаивают на его претворении [в действительность].
Что подразумевается под утверждением, что человек должен быть абсолютно свободен от всех ограничений? Означает ли это, что для него не должно существовать обязательного к исполнению закона? Ни один разумный человек никогда не примет этого, ибо за этим стоит идея, что каждый свободен совершать все, что он пожелает. Каждый волен совершить убийство, посягнуть на целомудрие людей, устроить беспорядки в обществе! Несомненно, первоочередный вред и изъян подобного стиля мышления скажется на его приверженцах. Возможно ли вообще жить в обществе, где пустила корни свобода. Если так, то, конечно, это не безграничная свобода, и человек не может быть волен делать все, что он хочет, в любое время.
После того, как стало ясно, что для свободы существуют ограничения и условия, возникает такой вопрос: кто определяет объем ограничения свободы? И где пределы, границы свободы? Если каждому человеку дать возможность самому определять объем, границы и бремя свободы для себя, результат будет таким: каждый будет делать все, что пожелает, и возникнет такая же проблема, как и с абсолютной свободой.
Так, не имея возможности справиться с этим, определить объем, границы и бремя свободы можно путем обращения к закону.
В таком случае, если человек признает, что Аллах существует и лучше знает, что является для человека благом или злом, чем сам человек, что ни одна жизненная выгода не стоит того, чтобы отказаться от приближения к Нему, и что Он желает для Своих рабов только добра, если кто-либо, кроме Него, кто в большей степени заслуживает того, чтобы определять границы свободы? Таким образом, в системе верований и убеждений мусульман нет противоречия, ибо они верят в Аллаха, Который лучше знает, что хорошо и плохо для людей, и что принесет им счастье, и Он определил для нас границы и объем свободы.
Если бы мы, однако, не верили в Аллаха, или претендовали бы на то, чтобы исповедовать монотеизм, но не признавать Власть Аллаха в том, чтобы определять пределы и объем свободы, мы погрязли бы в тысячах бедствий, ибо люди никогда бы не пришли к единодушному мнению [относительно этого].
Так, даже если бы большинство и определило границы свободы, как могло бы меньшинство, не принимающее такого решения, отстоять свои права? Так, хотя свобода – это красивое и привлекательное понятие, она не может быть абсолютной и неограниченной, и никто не может обладать такой свободой.
Сомнение девятое. Создание двусмысленности в определении узаконенной свободы
Отвечая на утверждение выше, можно сказать, что мы не говорим, что обладаем абсолютной свободой. Мы говорим, что должны быть узаконенные свободы.
Ответ
Мы зададим такой вопрос: что вы подразумеваете под «узакониванием»? Вы имеете в виду, что это приемлемо с точки зрения религиозного Закона? Есть два лингвистических значения понятия «легитимный», или «узаконенный». В первом случае это – разрешенное религией. Если вы говорите об этом, то это то же самое, о чем говорим мы, ибо мы говорим, что свободы должны находиться в рамках дозволенного религией.
Другое значение понятия «узаконенный», «легитимный» — это правовой.
В соответствии с этим значением, в Исламской Республике Иран, как на это указано в Конституции, законы должны приниматься в соответствии с Исламом. Наша Конституция целиком и полностью демонстрирует, что все постановления и законы должны согласовываться с Исламом, и, по сути, философская подоплека присутствия законоведов в Попечительском совете, как это указано в Конституции, заключается в том, чтобы изучать законы, принятые Исламской Консультативной Ассамблеей (иранским парламентом, или Маджлисом) на предмет их соответствия Исламу. Учитывая, что все люди, являющиеся депутатами Маджлиса (ха исключением депутатов, баллотировавшихся от религиозных меньшинств, чьи права также защищаются), — мусульмане, религиозные и преданные Исламу. Однако иногда возможно и такое, что они сочтут приемлемым и одобряемым то, что не соотносится с Исламом.
Согласно Конституции, законы, принятые Маджлисом, должны изучаться членами Попечительского Совета на предмет их соответствия Исламу. Законоведы-члены Попечительского Совета подтверждают исламский характер законов, принятых Маджлисом, в то время как юристы Попечительского Совета сверяют их с Конституцией.
Если бы в нашей Конституции не было названо необходимым (проверять), исламский ли характер носят законы, в чем тогда был бы смысл существования Попечительского Совета? К чему были бы все эти акценты на суверенитет Ислама и абсолютное руководство [правящего] Законоведа, которые расставлены в Конституции? Тогда не стоит удивляться, если найдутся такие, кто представится экспертами по праву и заявит: «Поскольку в Конституции говорится об уважении к свободе, никакая религия и никакой закон не вправе накладывать ограничения на эти свободы!» Где в Конституции вы нашли понятия «узаконенные» и «не узаконенные» свободы? Вы сами говорите об узаконенных свободах? Что вы подразумеваете под «узаконенными свободами»? Если слово «узаконенный» (машру‘) образовано от [понятия] «религия, или религиозный закон» (шар‘), то есть гарантированные религией (шар‘) свободы, и под «узаконенными» имеете в виду также «правовые» свободы, которые, в соответствии с Конституцией, будут считаться приемлемыми с точки зрения религиозного закона.
Сомнение десятое. Соблюдение религиозных предписаний противоречит тому, что человек волен распоряжаться своей судьбой
Есть и такие, которые говорят, что, в соответствии с Конституцией, люди должны быть свободны в том, чтобы распоряжаться своей судьбой. Но когда их принуждают соблюдать только [предписания] религии, они уже не могут распоряжаться своей жизнью.
Ответ
Неужели в нашей Конституции обозначен только этот пункт? Не указано ли в той же Конституции, что суверенитет проистекает от Всевышнего Аллаха? Не в той же Конституции написано, что законы, действующие в стране, должны быть исламскими? Разве эти принципы не обозначены в Конституции, и в ней присутствует одно-единственное положение, что люди должны быть хозяевами своей судьбы?
Возможно, кто-то скажут, что эти принципы Конституции противоречат друг другу и нуждаются в интерпретации и приведение в соответствие друг с другом. Да, если мы попробуем изучить их внимательнее, мы поймем смысл этих двух принципов.
Когда согласно первому из них говорится, что суверенитет проистекает от Аллаха, и, [с другой стороны], утверждается, что люди являются хозяевами собственной судьбы, это означает, что люди свободны распоряжаться своей жизнью, как хотят, под сенью суверенитета Аллаха. Так, те люди, которые не входят в исламское сообщество и не являются гражданами нашей страны, не имеют права навязывать нам свои идеи, склонности, религию и законы. То есть Америка не имеет права экстраполировать на нас свои законы. Это те люди, которые одобрили свой собственный закон и проголосовали за свою Конституцию.
Некоторые, возможно, скажут: «Мы не принимаем того толкование Конституции, которого вы придерживаетесь». Отвечая им, мы должны сказать: если бы в Конституции присутствовала двусмысленность, прерогатива толковать ее принадлежит Попечительскому Совету. Если вы не принимаете этой Конституции, то вы способны понять, что это не дает вам права толковать ее, и что она сама утверждена для решения противоречий и устранения сомнений.
Если вы доверяете этой Конституции, в таком случае, вы должны обращаться к интерпретации, данной Попечительским Советом. Именно Попечительский Совет является хранителем Ислама и Конституции, и он состоит из исламских законоведов, чей долг – сохранение исламских законов в надлежащем виде.
Перевод: Фатима (Анастасия) Ежова
Источник: imamat-news.ru
_________________________ [7] Такая позиция носит название деизма.
0% (نفر 0)
نظر شما در مورد این مطلب ؟
نمی پسندم
می پسندم
اشتراک گذاری در شبکه های اجتماعی:
latest article
Тавхид в поклонении Арбаин — предвестник свободы Блага Аллаха Важность чтения Корана Предания по поводу плача и скорби по Имаму .
..
Зачем Бог создал все?
Зикры и дуа
Метафизика Ислама-1
Арбаин — сороковой день мученической смерти …
Какова была позиция Имама Али (ДБМ)… Кибермост наук о жизни
Кибермост наук о жизниЗначимые цифры
Измеряемые значения
При обсуждении математических измерений в науке важно понимать, что способ измерения влияет на его точность. Например, вы можете измерить длину листа линейкой с отметками через каждый сантиметр (см). В этом примере, показанном ниже, лист длиннее 3 см и короче 4 см, поэтому можно предположить, что длина листа составляет 3,5 см.
С другой стороны, если вы измерите тот же лист линейкой с отметками через каждый миллиметр (мм), как показано ниже, вы увидите, что конец листа фактически находится между отметками 3,5 и 3,6 см (или 35 и 35 см). 36 мм). Поскольку это ближе к отметке 3,5, можно предположить, что длина листа составляет 3,52 см (или 35,2 мм).
Используя вторую линейку, можно определить, что длина листа составляет 3,52 см, но невозможно точно измерить это с помощью первой линейки. Таким образом, количество цифр в измеренном значении дает нам представление о максимальной точности измерения. Их называют значащих цифр или значащих цифр .
Если бы вы проводили свои собственные измерения, ваши значащие цифры должны включать все измеримые цифры (цифры, соответствующие отметкам на линейке), а также одну расчетную позицию за наименьшей измеримой цифрой (5 в 3,5 см и 2 в 3,52 см). Точно так же, если вы прочтете, что кто-то другой нашел лист размером 4,568 см, вы можете предположить, что этот человек измерил линейкой с отметками через каждые сотые доли см и вычислил последнюю цифру (8 в 4,568).
В некоторых случаях вы можете измерить значение только с точностью до сотни или тысячи или даже большего числа! В этом случае нули используются в качестве заполнителей для значащих цифр. Например, в приведенном выше примере длина листа составляет 35,2 мм. Это также 35200 микрометров (мм) в длину, но даже если мы используем миллиметры для обсуждения измерения, все равно есть только три значащих цифры, поскольку последнее ненулевое число указывает на первое предполагаемое или неопределенное положение. Точно так же мы могли бы обсудить длину листа в метрах: длина листа 0,0352 м. В этом случае также есть только три значащие цифры: ноль является заполнителем.
Важно отметить, что конечные нули слева от десятичной точки, но справа от первой ненулевой цифры (например, выделенные жирным шрифтом красные нули в 78000) всегда считаются незначимыми. Однако, поскольку незначащие нули могут быть опущены после десятичной точки, нули в конце справа от десятичной точки (например, выделенные жирным шрифтом красные нули в 5.
000) всегда считаются значащими.
Расчетные значения
Некоторые значения, такие как средние значения или итоги, не измеряются напрямую. Скорее, они рассчитываются на основе измеренных значений. Примерами вычисляемых измерений могут быть сумма, среднее значение или разность нескольких измерений. Эти рассчитанные измерения будут такими же точными, как и наименее точные измерения, использованные для расчета. В этом случае вычисляемые значения также должны соответствовать правилам значащих цифр, а количество значащих цифр в вычисляемом значении зависит от значений, используемых при вычислении.
Ниже приводится сводка правил, используемых в расчетах:
Для сложения и вычитания важно не количество значащих цифр, а «наименьший» разряд наименее точного добавляемого числа. Например, если вы измеряете расстояние, пройденное вами за один день, и вы проезжаете 556,1 км (по показаниям одометра вашего автомобиля) и проходите 1,642 км (по показаниям шагомера), не имеет особого смысла утверждать, что вы проехали 557,742 км, так как у вас не будет достаточно информации о том, как далеко вы проехали на своей машине.
Чтобы проиллюстрировать это, ниже нарисовано уравнение, где цифры, в которых мы уверены, выделены черным цветом, а цифры, в которых мы не уверены, — красным. (Помните, что первая неопределенная цифра является последней значащей цифрой. Нули используются как неопределенные заполнители.) Неопределенность в цифре, используемой в расчетах, «загрязняет» цифры в нашем ответе неопределенностью, поэтому неопределенные цифры в нашем ответе также окрашены в красный цвет.
Поскольку наш ответ с использованием значащих цифр может включать только первую неопределенную цифру, наше расчетное значение равно 557,7 км.
Для умножения и деления вычисляемое значение должно иметь то же количество значащих цифр, что и значение с наименьшим количеством значащих цифр, используемое в вычислении. Причина этого проиллюстрирована ниже, снова используя черный цвет для определенных цифр и красный цвет для неопределенных цифр:
Поскольку включена только первая неопределенная цифра, наше расчетное значение равно 2800 с двумя значащими цифрами, точно так же, как значение 23, используемое в расчетах.
Округление
При выполнении вычислений с использованием значащих цифр вам необходимо округлить ответ до ближайшего значащего разряда. Поэтому существует несколько правил округления, которые помогают сохранить максимальную точность в окончательном ответе.
1. Выполняйте все последовательные вычисления ПЕРЕД округлением, так как округление досрочно уменьшает количество значащих цифр, доступных для последующих вычислений.
2. Если за последней значащей цифрой следует 6, 7, 8 или 9, округлять. Пример: 5,677, округленное до трех значащих цифр, равно 5,68
.3. Если за последней значащей цифрой следует 0, 1, 2, 3 или 4, просто отбросьте последние цифры. Пример: 561200, округленное до трех значащих цифр, равно 561000
.4. Если последняя значащая цифра ЧЕТНАЯ, а за ней следует цифра 5, отбросить замыкающие цифры. Пример: 45850, округленное до трех значащих цифр, равно 45800
. 5. Если последняя значащая цифра нечетная, а за ней следует цифра 5, округлить в большую сторону.
Пример: 3,47588, округленное до трех значащих цифр, равно 3,48 9.0007
Неоднозначные нули
Итак, что произойдет, если ваш расчет или измерение оканчиваются нулем? Например, что если вы измерите ветку длиной 200 см (а не 199 или 201 см)? Нули в измеренном значении 200 см в этом случае выглядят неоднозначно, так как можно предположить, что имеется только одна значащая цифра.
Один из способов уменьшить эту двусмысленность — использовать значащие цифры в экспоненциальном представлении, что обсуждается в следующем разделе.ЗНАЧИМАЯ ЦИФРА ПРАВИЛА
ПРАВИЛА ЗНАЧИМОЙ ЦИФРЫСРЕДНЯЯ ШКОЛА
Феникс, Аризона 85032
ХИМИЯ ВЕБ-САЙТ
тема 003
ЗНАЧИМЫЕ ЦИФРЫ
ПРАВИЛО №1 — Все цифры от 1 до 9 являются значащими
Если масса
тела измеряется как 15,8 г, это означает, что масса известна
лежат между 15,7 и 15,9г.
В числе 15.8 3 значащие цифры.
ПРИБОР, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭТОГО ИЗМЕРЕНИЯ МАССЫ, МОЖЕТ ОБНАРУЖИТЬ ТОЛЬКО
РАЗЛИЧИЯ 0,1 Г ИЛИ 100 МГ.
Если масса
объекта измеряется как 12,3456 г, это означает, что масса равна
Известно, что он находится между 12,3455 и 12,3457 г. Есть 6 значащих цифр
в 12.3456. ПРИБОР, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭТОГО ИЗМЕРЕНИЯ МАССЫ, МОЖЕТ ТОЛЬКО
ОБНАРУЖИВАЙТЕ РАЗЛИЧИЯ НА 0,1 МГ ИЛИ 100 МИКРОГРАММ.
В целом, вы считаете все «определенные» цифры и последнюю цифру
это неопределенно, но тем не менее существенно.
ПРАВИЛО №2 — Нуль является значащим, когда он находится между две ненулевые цифры
Количества 306, 30,6, 3,06 и 0,306 содержат 3 значащие цифры, начиная с 0 между 3 и 6 значимо. Число 306 означает, что истинный значение находится где-то между 305 и 307, таким образом, ноль известен с достоверность и значимость . То есть, нули внутри числа всегда значащие.
ПРАВИЛО №3 — Неиспользуемые нули в конце для хранения нуля не имеют значения
Количества 279,0, 27,90 и 2,790 содержат 4 значащие цифры. Опять же, первая достоверно известны три числа, и всегда берется последнее число как значительный.
Величины 0,2790 и 0,27900 имеют 4 и 5 значащих цифр, соответственно. В числе 0,27900, НЕ важно, что есть два последовательных нуля. Первый нуль известен точно и последний ноль, хотя и неизвестен с уверенностью, все же имеет значение. Таким образом, 4.000 имеет 4 значащие цифры.
ПРАВИЛО №4 — Ноль, используемый для фиксирования десятичной точки никогда не бывает значительным.
Количества 0,456, 0,0456 и 0,00456 содержат 3 значащие цифры. В этом случае вы нужно думать в терминах экспоненциальных чисел. 0,0456 равно 4,56 х 10 -2 (только 3 значащие цифры), а 0,00456 равно 4,56 x 10 -3 (опять же, только три значащих числа). Таким образом, 470 000 имеет только 2 значимых цифры.
Однако 470 000 с линией, проведенной над последним нулем
или наличие десятичной точки указывает на то, что в измерении было шесть
значимые фигуры. 0,000000004 имеет только одну значащую цифру;
оставшиеся нули использовались для фиксации десятичной точки.Вопросы :
1.Сколько значащих цифр в числе 0,01020?
Спросите себя: сколько цифр известно с уверенностью? Ответ = 5
2. Какое из следующих чисел имеет наименьшее количество значащих цифр? 0,00030, 123, 0,4005, 2,04, 2,004, 123 и 2,04 имеют по 3 значащих цифры, но 0,00030 совпадает с 3,0 x 10 -4 , поэтому имеет только 2 значащих значения. цифры.
3. Сколько значащих цифр в числе 20,010?
Еще раз, четыре цифры известны с уверенностью и есть пять
значимые фигуры.
4.Сколько значащих цифр в числе 0,01000?
Это сложно и требует некоторого размышления. Как экспоненциальное число
его можно представить как 1.000 x 10 -2 и тогда присутствие
из ЧЕТЫРЕХ значащих цифр становится очевидным.
5.Сколько из следующих чисел имеют 4 значащие цифры? 3.0156,
18,00, 0,007000, 3,45 х 10 4 и 0,0021
Тимоти К.К. Су, профессор
Химический факультет
Университет Массачусетса Дартмут
Предположим, линейка используется для измерения длины объекта, как показано на рисунке ниже.
Некоторые из вас могут сказать, что его длина составляет 6,75 см. Некоторые могут сказать, что это 6,74 см.
или 6,76 см. Мы довольно
уверен, что длина где-то между 6,7 см и 6,8 см.
третья (последняя) цифра является разумным
думаю. Другими словами, мы можем оценить только ближайшую сотую до .
сантиметра. Есть
погрешность не менее 0,01 см.
Неразумно сообщать значение, подобное 6,75342183.
см, так как мы даже не уверены в третьей цифре. Последние шесть цифр
бессмысленны. Предположим, мы берем значение 6,75 см. В этом заявленном измерении
первые две цифры определенно значащие.
Третья цифра тоже
значителен, но связан с некой неопределенностью. это наше лучшее
оценка того, где он находится между 6,7 и 6,8 см. Следовательно, есть три
значащие цифры в измеренной величине, указанной выше.
Аналогично, все измеренные величины обычно сообщаются в таком
таким образом, что последняя цифра является неопределенной.
Все цифры, известные с уверенностью, включая неопределенные цифры в
измерения называются значащими цифрами .
Значение
№ С.Ф.
2,456
4
1003.2
5
1,03000
6
0,0000402
3
230000
2 — 6
В последнем примере неясно, сколько
значимые цифры есть. Предположим, есть
три значащие цифры, это число равно 230 000 ± 1 000.
Если две значащие цифры,
число представляет 230 000 ± 10 000. Чтобы преодолеть эту двусмысленность
а также для удобства
манипуляции, такие числа всегда должны быть записаны в экспоненциальном виде
(научное) обозначение: 2,30 x 10 5
(3 значащие цифры).
Обычно очень большие и очень маленькие числа
выражается в экспоненциальном
обозначение:
0,00000001230 = 1,230 x 10 -8 ( четыре значащих цифры)
3000000000. = 3,0 x 10 9 ( две значащие цифры)
Н.Б. Только те цифры перед показателем степени используются для выражения числа
значимых фигур. Делать
не добавлять экспоненциальный член к числу значащих цифр.
Считается, что точные числа имеют бесконечную количество значащих цифр. Например, если вы
сказал: «A вдвое (или в два раза) больше, чем B», число 2 было бы точным. Или, если бы вы сказали: «Там
— это 4 кварты в галлоне», цифра 4 будет быть точным. Точные числа обычно включают подсчитанные значения
или определения.
ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ БОЛЬШЕ ПРАКТИКИ ИЛИ КОНЦЕПЦИЯ ЕЩЕ НЕ ПОНЯТНО ВАМ, ТОГДА УКАЖИТЕ В БРАУЗЕРЕ:
http://www.chem.tamu.edu/class/fyp/mathrev/mr-sigfg.html
1.
5: Значимые цифры и качество измерений- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 213134
- Определите количество значащих цифр в сообщаемом значении.
Проведение научных измерений
значащих цифр в измерении состоят из всех определенных цифр в этом измерении плюс одна неопределенная или предполагаемая цифра. Некоторые цифры основаны на определенных делениях или маркировках, которые видны на инструменте, используемом для измерения. Инструмент с большим количеством градуировок приведет к измерению с более значащими цифрами. Неопределенная цифра — это предположение или оценка того, куда падает объект между ближайшими делениями.
Следовательно, в правильно зарегистрированном измерении последняя цифра является значимой, но не обязательной.
Используя любую линейку на приведенном ниже рисунке, становится ясно, что длина объекта находится между 2 и 3. Нижняя линейка содержит только целые числа. С помощью этой линейки можно оценить десятую цифру, и длина объекта может быть указана как 2,5. Однако другой человек может решить, что измерение равно 2,4 или, возможно, 2,6. Следовательно, в то время как 2 точно известно, значение десятой цифры неизвестно. Измерение, выполненное с помощью нижней линейки, содержит 2 значащие цифры, поскольку видимая градация позволяет узнать только одну определенную цифру , 2, и одну неопределенную или предполагаемую цифру.
Верхняя линейка содержит метки, позволяющие с точностью до десятого места. Теперь тот же объект можно измерить как 2,55. Измеритель способен оценить сотые доли, потому что он может быть уверен, что десятая цифра равна 5. Опять же, другой измеритель может сообщить, что длина объекта равна 2,54 или 2,56.
В этом случае есть две определенные цифры, 2 и 5, причем сотая цифра является неопределенной. Измерение, проведенное с помощью верхней линейки, содержит 3 значащих цифры, потому что видимая градация позволяет узнать вторую определенную цифру, и необходимо снова записать одну неопределенную цифру. Поскольку верхняя линейка позволяет проводить измерения с дополнительной значащей цифрой, верхняя линейка лучше подходит для измерения длин по сравнению с нижней линейкой.
Ни с одной из линейок невозможно указать длину 2,553, , так как для любого измерения может быть записана только одна неопределенная цифра .
Рисунок \(\PageIndex{1}\): Измерение с помощью двух разных линеек.Пример \(\PageIndex{1}\)
Используйте каждую диаграмму, чтобы сообщить об измерении с надлежащим количеством значащих цифр.
Решения
Ответ a: 4,33 psi
Объяснение: Стрелка находится между 4,3 и 4,4, поэтому измерение должно включать «4,3» в качестве определенных цифр.
Следующая цифра должна быть оценена. Стрелка выглядит примерно как одна треть пути через пространство, поэтому сотый разряд можно оценить как «3». Поэтому измерение сообщается с тремя значащими цифрами. Наконец, единицей измерения на инструменте является «фунт на квадратный дюйм», что является аббревиатурой от «фунтов на квадратный дюйм» (единица давления).
Ответ б: 1,25 см
Объяснение: Прямоугольник находится между 1,2 и 1,3, поэтому измерение должно включать «1,2» в качестве определенных цифр. Следующая цифра должна быть оценена. Прямоугольник выглядит примерно посередине пространства, поэтому сотые доли можно оценить как «5». Поэтому это измерение также сообщается с тремя значащими цифрами. Наконец, единицей измерения на инструменте является «см».
Подсчет значащих цифр
При интерпретации отчета об измерении необходимо иметь возможность подсчитать количество значащих цифр, содержащихся в нем, без возможности просмотра инструмента, который использовался для выполнения измерения.
В таблице ниже подробно описаны правила определения количества значащих цифр в сообщаемом измерении.
| Правило | Примеры |
|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите количество значащих цифр в каждом из них и определите правило, используемое для каждого вывода.
- 5,87
- 0,031
- 52,90
- 0,2001
- 500
- 5,00 x 10 2
Решения
Ответ a : 3
Объяснение: Все три цифры являются значащими, поскольку все они ненулевые цифры (правило № 1).
Ответ b : 2
Объяснение: 3 и 1 значимы (правило №1). Ведущие нули (пишется до 3) не имеют значения (Правило №5).
Ответ c : 4
Объяснение: Цифры 5, 2 и 9 значимы (Правило №1). Ноль, записанный как после – 9, также имеет значение, поскольку число содержит запятую – (Правило 4).
Ответ d : 4
Объяснение: Значимыми являются цифры 2 и 1 (Правило №1). Ведущий ноль (записанный перед 2) не имеет значения (Правило № 5). Нули, написанные между , 2 и 1, являются значащими (Правило №3).
Ответ e : 1
Объяснение: Значимая цифра 5 (правило №1). Нули, написанные после 5, не имеют значения, потому что число не содержит записанной десятичной точки 9.
0006 (Правило № 6).
Ответ f : 3
Объяснение: Это число записано в экспоненциальном представлении. Все цифр в коэффициенте (5, 0 и 0) значащие, а числа в основании («х 10») и степени (2) — нет.
Укажите количество значащих цифр в каждом из них.
- 36,7 м
- 0,006140 с
- 804 кг
- 3800 г
- Ответить на
- Ответ : 3
Объяснение: Все три цифры являются значащими, поскольку все они ненулевые цифры (Правило № 1). - Ответ б
- Ответ : 4
Объяснение: 6, 1 и 4 значимы (правило № 1).
Ведущие нули (пишется до 6) не имеют значения (Правило №5). Нуль, записанный как после , 4 значащий, потому что число содержит записанную десятичную точку (Правило 4). - Ответ c
- Ответ : 3
Объяснение: 8 и 4 значимы (правило №1). Нуль, написанный между , 8 и 4, также имеет значение (правило № 3). - Ответить д
- Ответ : 2
Объяснение: 3 и 8 значимы (правило №1). Нули, написанные после 8, не имеют значения, поскольку число не содержит записанной десятичной точки (Правило № 6).
Ведущие нули (пишется до 6) не имеют значения (Правило №5). Нуль, записанный как после , 4 значащий, потому что число содержит записанную десятичную точку (Правило 4).Точные числа
Целые числа, полученные либо путем подсчета объектов, либо из определений, являются точными числами, которые, как считается, имеют бесконечно много значащих цифр.
Если мы сосчитали, например, четыре предмета, то число 4 имеет бесконечное число значащих цифр (т. е. оно представляет 4.000…). Точно так же 1 фут (фут) определяется как содержащий 12 дюймов (дюйм), поэтому и «1», и «12» будут содержать бесконечно много значащих цифр.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Показать страницу Содержание
- нет на странице
- Метки
Значимые цифры | Техасский шлюз
Что такое значимые цифры?Правила значимых фигурРасчеты и значимые цифрыПрактика значимых цифр
Выше представлены трехметровые палочки, разбитые на разные части: 1 метр, 10 единиц по 10 сантиметров и отрезки по 1 сантиметру. Самое точное измерение, которое можно сделать с помощью первой палки, составляет 1 метр. Вторая палочка имеет точность 10 сантиметров, и, наконец, последняя палочка имеет точность 1 сантиметр.
Если для измерения длины синей линии используется первая измерительная линейка, точное считывание невозможно, поскольку длина составляет менее 100 см. Используя вторую палку, можно приблизительно предположить, что длина составляет более 20 см. Наконец, третья метровая палочка показывает, что длина синей линии составляет около 22 сантиметров.
В научной работе требуется более высокий уровень точности. Ученые выражают уровень точности с помощью значащих цифр. Давайте увеличим линейку и снова измерим объект.
Теперь, когда вы лучше видите объект и линейку, вы можете видеть, что объект имеет длину 22,5 см.
22,5 см — более точное число, чем ранее снятые мерки. Точность измерения 22,5 см составляет 3 значащих цифры. Когда вы решаете математические или научные задачи, вам необходимо знать, какой уровень точности или значащих цифр должен иметь ваш ответ. Значащие цифры числа — это цифры, которые определяют точность числа.
Поскольку измерение требует участия человека, никакое измерение не является точным. Измерения должны включать все точно измеренные значения и одну неопределенную цифру (последнюю цифру).
Как и большинство вещей в науке, значимые цифры имеют правила.
- Ненулевые цифры и нули между ненулевыми цифрами всегда значимы.
- Начальные нули не имеют значения.
- Нули справа от всех цифр, отличных от нуля, имеют значение, только если отображается десятичная точка.
- Для значений, записанных в экспоненциальном представлении, цифры в коэффициенте являются значащими.
- В десятичном логарифме столько цифр после запятой, сколько значащих цифр в исходном числе.
Давайте рассмотрим эти правила по одному и рассмотрим несколько примеров.
Правило 1: Ненулевые цифры и нули между ненулевыми цифрами всегда имеют значение.
Это правило состоит из двух частей. Давайте посмотрим на каждую часть.
Часть A: Ненулевые цифры всегда значимы.
Это самое простое правило. Это правило просто означает, что все числа, отличные от нуля (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9), всегда значащие. Число 56,7 имеет 3 значащих цифры.
Часть B: Нули между ненулевыми цифрами всегда значимы.
Если ноль попадает между двумя ненулевыми числами, он является значимым. Если у вас было измерение 805,74, вы знаете, что 8, 5, 7 и 4 являются значимыми на основании Части А Правила 1. Ноль также является значимым, поскольку он находится между двумя ненулевыми цифрами. Итак, 805,74 будет иметь 5 значащих цифр.
Правило 2: Ведущие нули не имеют значения.
Ведущие нули — это нули, которые являются «заполнителями». В числе 0,69 в разряде единиц стоит начальный ноль. 6 и 9 значащие. Итак, 0,69 имеет две значащие цифры. Размер 0,000156 нм имеет три значащих цифры.
Правило 3: Нули справа от всех ненулевых цифр имеют значение, только если отображается десятичная точка.
Эти нули иногда называют конечными нулями, потому что они идут после (или справа) ненулевых чисел. Есть три разных сценария с конечными цифрами.
Сценарий 1
Целое число содержит нули в конце, а десятичная дробь отсутствует.
Если в целом числе есть конечные нули и нет десятичной дроби, эти нули не являются значащими. Примером этого может быть измерение 5
0 граммов. Поскольку в этом измерении нет десятичной точки, будут только две значащие цифры, 5 и 9.
Сценарий 2
Справа от десятичной дроби стоят конечные нули.
Нули в конце справа от десятичной дроби являются значащими. Примером этого может быть измерение 165,00 мл. В этом измерении два нуля в конце имеют значение, поскольку отображается десятичная дробь.
Сценарий 3
Целое число содержит нули в конце и присутствует десятичная дробь.
Если в целом числе есть конечные нули и отображается десятичная дробь, то нули являются значащими. Например, измерение 750 граммов будет иметь три значащих нуля из-за десятичной дроби.
Правило 4: Для значений, записанных в экспоненциальном представлении, цифры в коэффициентах являются значащими.
Научная запись обсуждалась в предыдущем уроке этого модуля. Помните, что число, выраженное в экспоненциальной записи, состоит из двух частей: коэффициента и 10, возведенного в степень. Размер 6,40 × 10 90 101 -3 90 104 молей будет иметь три значащие цифры.
Правило 5: В десятичном логарифме столько цифр после запятой, сколько значащих цифр в исходном числе.
Логарифм состоит из двух частей, разделенных десятичной дробью. Цифры до (слева) от запятой называются характеристикой, а цифры после (справа) от запятой — мантиссом. Согласно правилу 5 в мантиссе должно быть столько цифр, сколько значащих цифр в исходном числе. Давайте посмотрим на пример.
log(2,43 × 10 1 ) имеет три значащих цифры. Когда вы посчитаете логарифм, вы получите следующее:
1. 386
Обратите внимание, что исходное число состояло из трех значащих цифр, а мантисса состоит из трех цифр. Поскольку значащими являются только числа в мантиссе, это значение имеет только три значащих цифры.
Правила Обзор!
Посмотрите это видео, чтобы ознакомиться с правилами значащих цифр, связанных с нулями.
Источник: Значащие цифры и ноль, Тайлер ДеВитт, YouTube
При выполнении расчетов в науке важно выражать ответ правильным количеством значащих цифр. В этом разделе вы ознакомитесь с правилами расчетов и значащими цифрами.
Сложение и вычитание со значащими цифрами
Правило сложения и вычитания со значащими цифрами следующее:
Когда измерения добавляются или вычитаются, окончательный ответ не может содержать больше десятичных знаков, чем наименее точное измерение.
При сложении и вычитании измерений уровень точности, с которым вы выражаете свой окончательный ответ, не зависит от количества значащих цифр в исходной задаче, а вместо этого определяется положением или разрядным значением младшей значащей цифры в исходной задаче. проблема.
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть примеры сложения и вычитания значащих цифр.
Источник: Сложение и вычитание со значительными цифрами, Тайлер ДеВитт, YouTube
Теперь попробуйте! Помните,
- завершите вычисления, как обычно, и
- выразить окончательный ответ путем округления до разрядного значения, соответствующего числу в исходной задаче с наименее точным разрядным значением.
Умножение и деление со значащими цифрами
Правило умножения и деления со значащими цифрами следующее:
При умножении или делении измерений ответ не может содержать больше значащих цифр, чем наименее точное измерение.
Это правило просто означает, что окончательный ответ не может быть более точным, чем наименее точное измерение. Подсчитайте значащие цифры в каждом измерении вместо числа знаков после запятой при умножении и делении измерений.
Посмотрите следующее видео, чтобы узнать больше об умножении и делении со значащими цифрами.
Источник: Умножение и деление со значащими цифрами, Тайлер ДеВитт, YouTube
Теперь попробуйте! Помните,
- выполнить расчет,
- подсчитывают количество значащих цифр в каждом измерении, а
- округлить окончательный ответ, используя наименьшее количество значащих цифр исходной задачи.
- Печать
- Поделиться
Значимые цифры и неопределенность
Руководство по эксплуатации ICP: часть 15 Пол Гейнс, доктор философии.
Обзор
В аналитической химии существуют определенные основные понятия, которые помогают аналитику при обработке аналитических данных. Последний раздел (часть 14) касался точности, прецизионности, среднего значения и отклонения применительно к химическим измерениям в общей области аналитической химии. В этом разделе будут рассмотрены значимые цифры и неопределенность.
Значащие цифры
При работе с аналитическими данными важно быть уверенным, что вы используете и сообщаете правильное количество значащих цифр. Количество значащих цифр зависит от неопределенности измерения или процесса установления данного сообщаемого значения. В данном числе сообщаемыми цифрами, т. е. значащими цифрами, являются те цифры, которые являются определенными, и первая неопределенная цифра. Читатель сбивается с толку, когда видит данные или значения, сообщаемые без неопределенности, сообщаемой с этим значением.
Пример
Образец, измеренный с использованием ICP-OES, содержит 0,00131 ppm Fe. Это значение с уверенностью означает, что образец содержит 0,0013 частей на миллион Fe и что существует неопределенность в отношении последней цифры (1). Тем не менее, мы знаем, как сложно проводить измерения трассировки с точностью до 3 значащих цифр, и это может быть более чем подозрительно. Если значение сообщается как 0,00131 ± 0,00006 частей на миллион Fe, это указывает на то, что была оценка неопределенности. Заявление о том, как была определена неопределенность, добавит гораздо больше ценности данным, позволяя пользователю делать суждения относительно достоверности сообщаемых данных в отношении количества сообщаемых значащих цифр.
Примеры
- Вы покупаете стандартный раствор, сертифицированный как содержащий 10 000 ± 3 ppm бора, приготовленный по весу с использованием 5-местных аналитических весов. В этом числе 5 значащих цифр. Однако атомный вес бора равен 10,811 ± 5. Поэтому трудно поверить в приведенные данные, принимая во внимание только этот факт.
- Число 0,000013 ± 0,000002 содержит две значащие цифры. Нули слева от числа никогда не являются значащими. Научная запись облегчает жизнь читателю и сообщает число как 1,3 x 10 -5 ± 0,2 x 10 -5 предпочтительнее в некоторых кругах.
- Считается, что число, указанное как 10 300, имеет пять значащих цифр. Сообщение о нем как 1,03 x 10 4 подразумевает только три значащие цифры, что означает неопределенность ± 100. Сообщение о неопределенности 0,05 x 10 4 не оставляет впечатления, что неопределенность составляет ± 0,01 x 10 4 , т.е. , ± 100.
- Число, представленное как 10 300 ± 50, содержащее четыре значащие цифры. Если число сообщается как 10 300 ± 53, количество значащих цифр по-прежнему равно 4, и число, указанное таким образом, приемлемо, но 3 в 53 не является значащим.
Математические расчеты требуют хорошего понимания значащих цифр. При умножении и делении число с наименьшим количеством значащих цифр определяет количество значащих цифр в результате. При сложении и вычитании количество значащих цифр определяется наименьшим количеством цифр слева или справа от запятой.
Примеры
- Число 1,4589 (пять значащих цифр) умножается на 1,2 (две значащие цифры). Произведение, равное 1,75068, будет представлено как 1,8 (две значащие цифры).
- Число 1,4589 (пять значащих цифр) делится на 1,2 (две значащие цифры). Дивиденд, равный 1,21575, будет представлен как 1,2 (две значащие цифры).
- При добавлении 5,789 (четыре значащие цифры) к 105 (три значащие цифры) будет сообщено как 111.
Неопределенность
Международный словарь основных и общих терминов в метрологии (VIM) определяет неопределенность как: .»
ПРИМЕЧАНИЕ 1. Параметром может быть, например, стандартное отклонение (или его кратное значение) или ширина доверительного интервала.
ПРИМЕЧАНИЕ 2: Неопределенность измерения, как правило, состоит из многих компонентов. Некоторые из этих компонентов могут быть оценены по статистическому распределению результатов или серии измерений и могут быть охарактеризованы стандартными отклонениями. Другие компоненты, которые также могут быть охарактеризованы стандартными отклонениями, оцениваются из предполагаемых вероятностных распределений на основе опыта или другой информации. В Руководстве ISO эти различные случаи называются оценками типа A и типа B соответственно.
Существует множество публикаций по расчетам неопределенностей. Я обеспокоен тем, что многие презентации по этой теме написаны на языке, который может быть труден для понимания новичком. Тем не менее, есть четкое и полное руководство, которое я очень рекомендую.
Рекомендуемая литература
Независимо от того, являетесь ли вы новичком или опытным знатоком предмета, я настоятельно рекомендую вам прочитать Количественная неопределенность в аналитических измерениях, опубликованную Eurachem.
Из многочисленных томов публикаций на эту тему, которые я видел за эти годы, этот выделяется среди всех остальных. Он достаточно подробный, написан понятным языком и включает в себя несколько хороших примеров.
Дополнительная литература
A. Значащие цифры :: Физика
Термин «значащие цифры» на самом деле относится к определенным цифрам в числе. Их иногда называют значащими цифрами. В этом документе мы будем использовать термин «значимые цифры» для обсуждения более широкой темы. Таким образом, мы все еще можем сказать «цифра», чтобы привлечь ваше внимание к конкретной обсуждаемой цифре. После того, как вы ознакомитесь с темой, вы можете использовать любой термин.
Представляем важные цифры
Значимыми считаются только те цифры или разряды числовой величины, которые являются результатом фактического измерения. Например, если вы измеряете толщину монеты, вы можете записать ее как
. 1,6 мм или 0,16 см или 0,0016 м.
Сколько значащих цифр в этом измерении? Ясно, что только цифры 1 и 6 являются фактическими измеренными значениями. Следовательно, у нас есть только 2 значащие цифры. Нули, используемые в качестве заполнителей, не имеют значения. Это будет включать все нули в 0,0016 м.
Мы можем использовать научную запись, чтобы избежать недоразумений. Мы бы сообщили об измерении как:
1,6 мм или 1,6 x 10 1 см или 1,6 x 10 3 м.
При использовании экспоненциальной записи каждая цифра, которая появляется, является значимой. Вот несколько примеров.
2.736 имеет 4 значащих цифры
2.00 имеет 3 значащих цифры
4 x 10 3 имеет 1 значащую цифру.
Но 4,0 x 10 3 имеет 2 значащие цифры.
Стандартная нотация не позволила бы нам различить последние два примера. Они оба появятся как 4000.
Другие числа, имеющие значащие цифры
Прямое измерение — не единственный способ, которым число может содержать значащие цифры. Число может быть точным или определенным числом, оно может быть целым числом или может быть вычислено из чисел, имеющих значащие цифры.
Определенные числа: Основание натуральных логарифмов: e = 2,781828… . Это число имеет математическое определение и является точным. Каждая цифра, которую вы выбираете для отображения из этого числа, является значимой. = 3,14159…, квадратный корень из 2 (= 1,4142135…) и подобные числа также точны. Определенные значения преобразования единиц измерения также являются точными. Например, в дюйме ровно 2,54 сантиметра. Так определяется дюйм. Так что это число (2,54 см/дюйм) является точным.
Целые числа: Когда вы считаете, результат является точным (при условии, что вы не сбились со счета). Если вы скажете другу, что заплатили за компьютер 2000 долларов, в этом числе будет только одна значащая цифра. Большинство людей не станут беспокоить своих друзей ценой «Одна тысяча девятьсот восемьдесят семь долларов и тридцать шесть центов» (19 долларов).87.36). С другой стороны, компьютерная проблема 2000 года (Y2K), получившая столько внимания, представляет собой число с четырьмя значащими цифрами. Счет лет точен. Проблема не возникала, когда счетчики компьютерных дат переключались на ’99, и не возникала при переключении на ’01.
Рациональные дроби: Любая дробь, составленная из целых чисел, является точной. Итак, 2/5 или 1/137 — это отношения точных целых чисел, и они также точны. Студент должен быть осторожен с этими дробями. Чтобы применить это правило, описываемая величина должна быть целым числом. Таким образом, одно яйцо равно одной двенадцатой (1/12) дюжины, но отношение трех дюймов к двум дюймам (3 дюйма/2 дюйма) не является точным, поскольку мы не можем измерить длину с неограниченной точностью.
Когда мы преобразуем рациональные числа в десятичные дроби, они всегда дают набор повторяющихся цифр. Например (106/33) = 3,2121212… .
Вычисленные результаты: Любая математическая операция с числами, имеющими значащие цифры, приведет к числу со значащими цифрами. Однако количество значащих цифр в результате зависит от всех входных данных задачи. Эти процедуры описаны ниже в разделе «Округление после математических операций».
Округление:
При вычислении результатов на калькуляторе часто отображается много цифр. Поскольку само вычисление не может повысить точность наших измерений, мы должны решить, сколько из этих цифр значимы, и округлить результат до соответствующего числа цифр.
Вот правило округления:
После того, как вы решили, сколько цифр вы сохраните, посмотрите на первую цифру, которую вы отбросите. Когда первая отклоненная цифра меньше 5, вы округлите в меньшую сторону (просто удалите отклоненные цифры). Когда первая отклоненная цифра больше 5 округляется вверх (это означает, что вы по-прежнему будете удалять отклоненные цифры, но теперь вы добавляете единицу к последней сохраненной цифре). Если первая отбрасываемая цифра равна 5, округлите ее в большую или меньшую сторону, чтобы последняя сохраненная цифра была четной. Если мы всегда округляем 5, мы искажаем результаты для очень больших наборов данных. Например:
273,92 округление до 4 цифр равно 273,9
1,97 округление до 2 цифр равно 2,0
2,55 округление до 2 цифр равно 2,6
4,45 округление до 2 цифр равно 4,4
Округление после математических операций:
Правило выбора числа сохраняемых цифр зависит от выполняемой математической операции. Самый простой случай — умножение или деление. Здесь количество значащих цифр в результате равно количеству значащих цифр в наименее точном значении, использованном при вычислении. В следующих примерах наименее точное число выделено жирным шрифтом.
(273,92) X ( 3,25 ) = 890,24 округляется до 890 (3 цифры, потому что 3,25 имеет только 3 цифры).
(1/3) X ( 5,20 ) = 1,73333 округляется до 1,73 (3 цифры, потому что 5,20 имеет 3 цифры). Примечание: 1/3 является точным, поскольку 3 является целым числом.
(1,97) X ( 2 ) = 3,94 округляется до 4 (только 1 цифра, потому что 2 имеет только 1 цифру).
( 2.0 ) X = 6,28318… округляется до 6,3 (только 2 цифры, потому что 2,0 имеет только 2 цифры).
Последний пример с использованием (3.14159…) заслуживает внимания. Вычисления с числом пи, пожалуй, самые распространенные случаи, когда учащиеся пишут более значащие цифры, чем должны.
Для сложения или вычитания правило можно сформулировать так: «Если некоторая степень числа десять в одном из входных данных является неопределенной, она не может быть указана в выходных данных». Но это легче увидеть на примере. Сумма 12,8 + 11 = 24, а не 23,8. Это связано с тем, что 11 в десятом месте неопределенно, и поэтому мы не знаем, что если что-то было добавлено к 0,8. Это помогает настроить сложение или вычитание в стандартном разрядном формате с выстраиванием десятичных знаков: 92, поэтому мы не знаем результат вычитания из него 5.
Чтобы прояснить вашу проблему и избежать этой трудности, вы можете использовать экспоненциальную запись и округлить столбцы до десятичного разряда, который содержит младший значащий разряд всего набора значений перед выполнением вычисления. Наши примеры становятся:
Последовательные вычисления и промежуточные результаты:
Часто результаты одного вычисления используются как одно из значений в последующем вычислении. Затем этот ответ можно использовать в еще одном расчете и так далее. Повторное округление на каждом шаге может привести к ошибкам, которых не было бы, если бы вы объединили все шаги алгебраически и вычислили окончательный результат сразу.