Сопряженное число для комплексного числа: определение, свойства и примеры решений

Комплексно сопряженные числа — интернет энциклопедия для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сопряженное (или комплексно сопряженное) число с комплексным числом \(\ z=x+i y \) является числом \(\ \overline{z}=x-i y \)

ПРИМЕР

Задачей

поиска для комплексного числа \(\ z=-34-i \) является его сопряженное число.

Решение.

Комплексное сопряженное число является числом вида \(\ \overline{z}=x-i y \) . Вещественной частью комплексного числа \(\ z=-34-i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=-34 \), мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=-1 \).

Следовательно, сопряженное число имеет вид: \(\ \overline{z}=-34+i \)

Ответ

\(\ \overline{z}=-34+i \)

На комплексной плоскости сопряженные числа зеркалируются относительно оси действительных чисел.

Свойства комплексно-сопряженных чисел

1. \(\ |z|=|z| \), т. е. модули сопряженных чисел равны.

Например.

Модуль комплексного числа \(\ z=-4+i \) равен \(\ r=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{17} \). {2}}=-\frac{13}{29}+i \frac{11}{29} \)

Ответ

\(\ \overline{z_{1} \div z_{2}}=-\frac{13}{29}+i \frac{11}{29} \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Модуль комплексного числа Показательная форма записи комплексного числа Тригонометрическая форма записи комплексного числа Алгебраическая форма записи комплексного числа

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Комплексно сопряженные числа: определение, свойства, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Алгебра Что такое комплексно сопряженные числа

В данной публикации мы рассмотрим, что такое комплексно сопряженные числа, а также перечислим их основные свойства. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

• Определение комплексно сопряженных чисел
• Свойства комплексно сопряженных чисел

Определение комплексно сопряженных чисел

Дано комплексное число z = a + bi. Комплексно сопряженным к нему является число z = a – bi (для обозначения используется черточка сверху).

Таким образом, у комплексно сопряженных чисел действительные части одинаковые, а мнимые отличаются по знаку.

Пример:
Для числа z = 3 + 2i комплексно сопряженным является z = 3 – 2i.

Геометрическая интерпретация

Если перенести комплексно сопряженные числа на комплексную плоскость, то они будут зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси (RE).

Свойства комплексно сопряженных чисел

1. Если z = z, значит число z является действительным.

Пример:
z = 2, значит z ∈ R, следовательно z = 2, т.е. z = z.

2. Модули комплексно сопряженных чисел равны, т.е. |z| = |z|. А так как такие числа на комплексной плоскости зеркальны, то их аргументы отличаются по знаку.

3. Сумма комплексно сопряженных чисел – это действительное число: z + z = 2 RE z.

Пример:
z = 5 + 2i
z = 5 – 2i
z + z = 5 + 2i + 5 – 2i = 5 + 5 = 10, а 10 ∈ R.

4. Произведение комплексно сопряженных чисел равняется квадрату их модуля и является действительным числом:

z ⋅ z = |z|² ∈ R.

Пример:
z = 6 – 4i
z = 6 + 4i
z ⋅ z = (6 – 4i)(6 + 4i) = 36 + 24i – 24i – 16i² = 36 – 16 ⋅ (-1) = 52, а 52 ∈ R.

Модуль считается так:

5. Для z = a + bi и z = a – bi справедливо:

6. Для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂:

Сложение и вычитание	ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-5.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="150" height="304" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-5.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-5.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="150" height="304" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-5.png" />»>
Умножение	ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-6.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-6.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="135" height="262" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-6.png" />»>
Деление	ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-7.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="88" height="171" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2021/06/kompleksno-sopryajennye-chisla-7.png" />»>

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Комплексно-сопряженное число

.

Теорема, примеры

С каждым комплексным числом связано другое комплексное число, известное как комплексно-сопряженное число . Комплексно-сопряженное комплексное число — это другое комплексное число, имеющее ту же действительную часть, что и исходное комплексное число, а мнимая часть имеет ту же величину, но противоположный знак. Произведение комплексного числа на его комплексно-сопряженное число есть действительное число.

Комплексное сопряжение дает зеркальное отражение комплексного числа относительно горизонтальной оси (действительной оси) в плоскости Аргана. В этой статье мы рассмотрим значение сопряжения комплексного числа, его свойства, теорему о комплексном корне и некоторые приложения комплексно-сопряженного числа.

1.	Что такое комплексное сопряжение?
2.	Комплексное сопряжение матрицы
3.	Умножение комплексного сопряжения
4.	Теорема о комплексно-сопряженном корне
5.	Свойства комплексного сопряжения
6.	Часто задаваемые вопросы о комплексном сопряжении

Что такое комплексное сопряжение?

Комплексно-сопряженное комплексное число — это другое комплексное число, действительная часть которого совпадает с исходным комплексным числом, а величина мнимой части такая же, но с обратным знаком. Комплексное число имеет форму a + ib, где a, b — действительные числа, a называется действительной частью, b называется мнимой частью, а i — мнимое число, равное корню из минус 1. Комплексно-сопряженное число a + ib с действительной частью ‘a’ и мнимой частью ‘b’ задается как a — ib, действительная часть которого равна ‘a’, а мнимая часть равна ‘-b’. a — ib представляет собой отражение a + ib относительно действительной оси (оси X) в аргандовой плоскости. Комплексное сопряжение комплексного числа используется для рационализации комплексного числа.

Определение комплексного сопряжения

Комплексное сопряжение комплексного числа z является его зеркальным отражением относительно горизонтальной оси (или оси x). Комплексно-сопряженное комплексное число \(z\) обозначается \(\bar{z}\). В полярной форме комплексное сопряжение комплексного числа re ^ix равно re ^-ix . Простой способ определить сопряжение комплексного числа — заменить «i» на «-i» в исходном комплексном числе. Комплексно-сопряженное число x + iy равно x — iy, а комплексно-сопряженное число x — iy равно x + iy. Как и на изображении, приведенном ниже, если комплексное число z лежит в первом квадранте, его образ относительно горизонтальной оси, то есть комплексно-сопряженное число \(\bar{z}\), лежит в четвертом квадранте. Рассмотрим несколько примеров: комплексно-сопряженное число 3 — i равно 3 + i, комплексно-сопряженное число 2 + 3i равно 2 — 3i.

Комплексное сопряжение матрицы

Комплексно-сопряженная матрица A с комплексными элементами — это еще одна матрица, элементы которой являются комплексно-сопряженными элементами матрицы A. Рассмотрим матрицу-строку A = [1-i 4+2i 3+7i], комплексно-сопряженную матрицу матрица A равна B = [1+i   4-2i   3-7i], где каждая запись в матрице B является сопряженной для каждой записи в матрице A. Комплексно-сопряженная матрица A обозначается \(\bar{A}\) . Итак, B = \(\bar{A}\). Рассмотрим еще один пример матрицы с комплексными элементами и найдем ее комплексно-сопряженную.

Умножение комплексного сопряжения

Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, произведение представляет собой действительное число, значение которого равно квадрату модуля комплексного числа. Чтобы определить значение продукта, мы используем алгебраическое тождество (x+y)(x-y)=x ² -y ² и i ² = -1. Если комплексное число a + ib умножить на его комплексно-сопряженное число a — ib, мы получим

(a + ib)(a — ib) = a ² — (ib) ² = a ² — i ² b ² = a ² + b ²

Рассмотрим пример и умножим на i комплексное число 3. его сопряженное 3 — i

(3 + i)(3 — i) = 3 ² — (i) ² = 3 ² — i ² = 9 + 1 = 10 = квадрат величины 3 + я

Теорема о комплексно-сопряженном корне

Теорема о комплексно-сопряженных корнях утверждает, что если f(x) — многочлен с действительными коэффициентами и a + ib — один из его корней, где a и b — действительные числа, то комплексно-сопряженное число a — ib также является корнем многочлена f(x).

Чтобы лучше понять теорему, давайте рассмотрим пример многочлена с комплексными корнями. Рассмотрим f(x) = x ³ — 7x ² + 41x — 87. Теперь корни многочлена f(x) равны 3, 2 + 5i, 2 — 5i. Здесь 2 + 5i и 2 — 5i — корни f(x) и сопряженные друг другу. Это означает, что невещественные корни, то есть комплексные корни многочлена, встречаются парами. Следовательно, если мы знаем один комплексный корень многочлена, то мы можем сказать, что его комплексно-сопряженный корень также является корнем многочлена, не вычисляя его.

Свойства комплексного сопряжения

Давайте теперь обсудим некоторые свойства комплексного сопряжения, которые могут сделать наши вычисления простыми и легкими. Рассмотрим два комплексных числа z и w и их комплексно-сопряженные числа \(\bar{z}\) и \(\bar{w}\) соответственно.

• Комплексно-сопряженное произведение двух комплексных чисел равно произведению комплексно-сопряженных двух комплексных чисел, то есть \(\overline{zw} = \bar{z}.\bar{w} \)
• Комплексное сопряжение частного двух комплексных чисел равно частному комплексно-сопряженного отношения двух комплексных чисел, то есть \(\overline{(z/w)} = \bar{z} / \bar{ ш}\)
• Комплексное сопряжение суммы двух комплексных чисел равно сумме комплексно-сопряженных чисел двух комплексных чисел, то есть \(\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w} \)
• Комплексно-сопряженная разность двух комплексных чисел равна разности комплексно-сопряженных двух комплексных чисел, то есть \(\overline{z-w} = \bar{z}-\bar{w}\)
• Сумма комплексного числа и его комплексно-сопряженного числа равна удвоенной действительной части комплексного числа, то есть \(z + \bar{z} = 2Re(z)\)
• Разница между комплексным числом и его комплексно-сопряженным числом равна удвоенной мнимой части комплексного числа, то есть \(z — \bar{z} = 2Im(z)\)
• Произведение комплексного числа на его комплексно-сопряженное число равно квадрату модуля комплексного числа, то есть \(z. 2\)
• Действительная часть комплексного числа равна действительной части его комплексно-сопряженного числа, а мнимая часть комплексного числа равна минусу мнимой части его комплексно-сопряженного числа, то есть \(Re(z) = Re(\bar{z})\) и \( Im(z) = -Im(\bar{z})\)

Важные замечания по сопряжению комплексного числа

• Комплексно-сопряженное число x + iy равно x — iy, а комплексно-сопряженное число x — iy равно x + iy.
• Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, произведение представляет собой действительное число, значение которого равно квадрату модуля комплексного числа.
• Комплексные корни многочлена идут парами.

Темы, связанные с комплексно-сопряженными числами

• Деление комплексных чисел
• Формула комплексного числа
• Добавление комплексных чисел

Часто задаваемые вопросы о комплексном сопряжении

Что такое комплексное сопряжение

в математике?

Комплексное сопряжение комплексного числа — это другое комплексное число, действительная часть которого совпадает с исходным комплексным числом, а величина мнимой части такая же, но с обратным знаком. Комплексное сопряжение a + ib с действительной частью ‘a’ и мнимой частью ‘b’ задается как a — ib, действительная часть которого равна ‘a’, а мнимая часть равна ‘-b’.

Как найти сопряженное комплексное число?

Чтобы найти комплексно-сопряженное число a + ib, мы меняем знак i, то есть a — ib является комплексно-сопряженным числом a + ib.

Что такое сопряжение комплексного числа 4 – 3i?

Комплексное сопряжение 4 — 3i равно 4 + 3i. Чтобы определить комплексно-сопряженное число a + ib, мы меняем знак i, то есть a — ib является комплексно-сопряженным числом a + ib.

Что такое комплексное сопряжение действительного числа?

Вещественное число не имеет мнимой части, поэтому комплексно-сопряженным веществом действительного числа является само число. Например, комплексно-сопряженное число действительного числа 3 равно 3.

Как найти комплексно-сопряженное число дроби?

Если z и w — два комплексных числа, то комплексно-сопряженная дробь z/w определяется как: \(\overline{(z/w)} = \bar{z} / \bar{w}\) . Комплексное сопряжение дроби двух комплексных чисел равно дроби комплексно-сопряженных двух комплексных чисел.

Что такое комплексно-сопряженные корни?

Теорема о комплексно-сопряженных корнях утверждает, что если f(x) — многочлен с действительными коэффициентами, а a + ib — один из его корней, где a и b — действительные числа, то комплексно-сопряженное число a — ib также является корнем многочлен f(x). Это означает, что невещественные корни, то есть комплексные корни многочлена, встречаются парами.

Что такое комплексно-сопряженная пара?

Комплексно-сопряженная пара — это пара двух комплексных чисел, являющихся сопряженными друг другу. Например, a + ib и a — ib образуют комплексно-сопряженную пару.

Объяснение урока: сопряженные комплексные числа

В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства сопряженных чисел для вычисления выражения.

Одним из важных понятий, связанных с комплексными числами, является понятие комплексного сопряжения. идея конъюгата не может быть новой идеей. Когда вы учитесь манипулировать и упрощать радикалы, вы, возможно, познакомились с идеей конъюгата. Для радикального выражения 𝑎+𝑏√𝑐 сопряжение определяется как 𝑎−𝑏√𝑐. Комплексное сопряжение на самом деле является частным случаем этого, где 𝑐 — отрицательное число.

Определение: комплексное сопряжение

Для комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 комплексно-сопряженное число, 𝑧 определяется как 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Комплексное сопряжение иногда обозначается 𝑧∗.

Простое рассмотрение определения показывает, что для любого комплексного числа 𝑧, сопряженное сопряженного равно 𝑧; что 𝑧=𝑧.

Давайте начнем с примера, где мы найдем сопряжение данного комплексного числа.

Пример 1: Комплексное сопряжение

Чему равно комплексное число 2−7𝑖?

Ответ

Напомним, что комплексное сопряжение 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 есть 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Для комплексного числа, которое нам дали, 𝑎=2 и 𝑏=−7 (мы должны быть осторожны, чтобы не пропустить знак минус). Таким образом, комплекс сопряженное равно 2−(−7)𝑖, что мы можем упростить до 2+7𝑖.

В предыдущем примере мы нашли сопряженное комплексное число. Помните, что действительное число — это частный случай комплексного числа. В следующем примере мы рассмотрим сопряжение вещественного числа.

Пример 2: комплексное сопряжение действительного числа

Если 𝑧 действительное число, чему будет равно его сопряженное?

Ответ

Определение комплексного сопряжения 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Если 𝑧 — чисто вещественное число, мы известно, что 𝑏=0. Это означает, что если 𝑧 является действительное число, 𝑧=𝑧.

Следовательно, если 𝑧 — действительное число, его комплексно-сопряженное число совпадает с исходным числом.

Точно так же мы могли бы задать этот вопрос: каково комплексное сопряжение чисто мнимого номер 𝑧? Используя определение комплексного сопряжения, учитывая, что мы имеем 𝑎=0, получаем, что для чисто мнимого числа 𝑧=−𝑧.

В следующем примере мы рассмотрим сумму комплексного числа с его сопряженным.

Пример 3. Сумма числа и его комплексно-сопряженного числа

Найдите комплексно-сопряженное число −7−𝑖 и сумму этого числа с его комплексное сопряжение.

Ответ

Комплексное сопряжение 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равно 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Следовательно, для данного нам комплексного числа имеем 𝑎=−7 и 𝑏=−1. Следовательно, комплексно-сопряженная −7+𝑖.

Теперь мы можем сложить эти два числа вместе и получить −7−𝑖+−7+𝑖=−14.

Обратите внимание, что результатом сложения этого числа с его комплексно-сопряженным числом было действительное число. Этот не случайно: для любого комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 имеем 𝑧+𝑧=𝑎+𝑏𝑖+𝑎−𝑏𝑖=2𝑎.

Мы также можем записать это как 𝑧+𝑧=2(𝑧)Re.

Мы могли бы также задать этот вопрос: что происходит, когда мы берем разность числа с его комплексом сопряжение? Аналогичным образом мы можем написать 𝑧−𝑧=𝑎+𝑏𝑖−(𝑎−𝑏𝑖)=2𝑏𝑖, что также можно выразить как 𝑧−𝑧=2𝑖(𝑧)Im.

Теперь рассмотрим пример, в котором мы рассматриваем разность числа с его комплексно-сопряженным числом.

Пример 4. Решение уравнений с комплексно-сопряженными числами

Найдите комплексное число 𝑧, которое удовлетворяет следующим уравнениям: 𝑧+𝑧=−5,𝑧−𝑧=3𝑖.

Ответ

Вспоминаем тождество 𝑧+𝑧=2(𝑧)Re. Используя это тождество, мы можем записать первое уравнение как 2(𝑧)=−5.Re

Следовательно, Re(𝑧)=−52.

Далее вспоминаем тождество 𝑧−𝑧=2𝑖(𝑧)Im. Прежде чем мы сможем применить это тождество к второе уравнение, мы сначала умножаем на -1, что дает 𝑧−𝑧=−3𝑖.

Теперь мы можем использовать идентификатор, чтобы переписать это как 2𝑖(𝑧)=−3𝑖.Im

Деление на 2𝑖 дает Im(𝑧)=−3𝑖2𝑖=−32.

Это дает нам ReandIm(𝑧)=-52(𝑧)=-32. Следовательно, 𝑧=−52−32𝑖.

В следующем примере мы вычислим произведение комплексного числа на его сопряженное.

Пример 5.

Произведение комплексного числа на его комплексно-сопряженное число

Найдите комплексно-сопряженное число 1+𝑖 и произведение этого числа со своим комплексным сопряжением.

Ответ

На первую часть вопроса: комплексно-сопряженное число 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равно 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Мы можем написать комплексное число 1+𝑖 как 1+1𝑖, что говорит нам о том, что 𝑎=1 и 𝑏=1. Комплексное сопряжение 1+1𝑖 равно 1−1𝑖, что совпадает с 1−𝑖.

Следовательно, комплексно-сопряженное число 1+𝑖 равно 1−𝑖.

Ко второй части вопроса: Рассмотрим произведение 1+𝑖 и его сопряженного 1−𝑖, разложив по скобкам: (1+𝑖)(1−𝑖)=1+𝑖−𝑖−𝑖=1−𝑖.

Поскольку 𝑖=−1, результирующее выражение равно 1−(−1)=2.

Следовательно, произведение 1+𝑖 и его сопряженного равно 2.

Еще раз отметим, что произведение этого комплексного числа на его комплексно-сопряженное число равно настоящий номер. Это пример общего свойства комплексного сопряжения. В частности, мы находим, что произведение комплексного числа и его сопряженного на самом деле является частным случаем разность двух квадратов: (𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)=𝑥−𝑦. Параметр 𝑥=𝑎 и 𝑦=𝑏𝑖 дает нам (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖)=𝑎−(𝑏𝑖), и, используя тот факт, что 𝑖=−1, получаем 𝑧𝑧=𝑎+𝑏.

Свойство: комплекс конъюгат

для комплексного числа 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖,

• 𝑧+𝑧 = 2 (𝑧) re,
• 𝑧 — 𝑧 = 2𝑖 (𝑧) IM,
• 𝑧𝑧 = ,
• 𝑧=𝑧 эквивалентно 𝑧∈ℝ.

В следующем примере мы рассмотрим, как операция суммы или произведения комплексных чисел взаимодействует с операцией сопряжения.

Пример 6. Комплексно-сопряженные суммы и произведения

Рассмотрим 𝑧=5−𝑖√3 и 𝑤=√2+𝑖√5.

1. Рассчитать 𝑧 и 𝑤.
2. Найдите 𝑧+𝑤 и (𝑧+𝑤).
3. Найдите 𝑧𝑤 и (𝑧𝑤).

Ответ

Часть 1

Комплексное сопряжение 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равно 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Мы можем написать комплексное число 𝑧=5−𝑖√3 как 5+−√3𝑖, что говорит нам 𝑎=5 и 𝑏=−√3, поэтому комплексно-сопряженное число 𝑧 равно 𝑧=5−−√3𝑖=5+𝑖√3. Аналогично для 𝑤 мы видим, что 𝑎=√2 и 𝑏=√5, что приводит к сопряженному 𝑤=√2−𝑖√5.

Часть 2

Используя ответы из части 1, вычисляем 𝑧+𝑤=5+𝑖√3+√2−𝑖√5=5+𝑖√3+√2−𝑖√5.

Собрав подобные термины, мы можем переписать его следующим образом: 𝑧+𝑤=5+√2+√3−√5𝑖.

Теперь мы можем вычислить (𝑧+𝑤). Во-первых, мы оцениваем термин внутри скобки: 𝑧+𝑤=5−𝑖√3+√2+𝑖√5=5+√2+√5−√3𝑖.

Чтобы взять комплексное сопряжение этого числа, заметим, что это число имеет вид 𝑎+𝑏𝑖, где 𝑎=5+√2 и 𝑏=√5−√3. Поскольку комплексно-сопряженная форма имеет вид 𝑎−𝑏𝑖, мы имеем (𝑧+𝑤)=5+√2−√5−√3𝑖. Заметив −√5−√3=−√5+√3=√3−√5, мы также можем записать это комплексное число как 5+√2+√3−√5𝑖. Теперь мы можем видеть, что это то же самое число, которое получается из выражения 𝑧+𝑤.

Часть 3

Используя ответы из части 1, мы можем написать 𝑧𝑤=5+𝑖√3√2−𝑖√5.

Распределяя по скобкам, получаем 𝑧𝑤=5√2−5𝑖√5+𝑖√3√2−𝑖√3√5.

переписать это как 𝑧𝑤=5√2+√15−5√5−√6𝑖.

Мы вычисляем (𝑧𝑤), сначала находя 𝑧𝑤, а затем принимая комплексное сопряжение следующим образом: 𝑧𝑤=5−𝑖√3√2+𝑖√5.

Распределяя по скобкам, находим 𝑧𝑤=5√2+5𝑖√5−𝑖√3√2−𝑖√3√5.

Упрощая, получаем 𝑧𝑤=5√2+√15+5√5−√6𝑖.

Чтобы взять комплексное сопряжение этого числа, заметим, что это число имеет форму 𝑎+𝑏𝑖, где 𝑎=5√2+√15 и 𝑏=5√5−√6. Поскольку комплексно-сопряженная форма принимает вид 𝑎−𝑏𝑖, мы имеем (𝑧𝑤)=5√2+√15−5√5−√6𝑖.

Мы видим, что это то же самое комплексное число, которое мы получили из 𝑧𝑤.

В предыдущем примере мы видели, что для комплексных чисел 𝑧 и 𝑤, 𝑧+𝑤=(𝑧+𝑤) и 𝑧𝑤=(𝑧𝑤). Это, по сути, общее правило, справедливое для любой пары комплексные числа, при выводе которых используются точно такие же приемы, как и в предыдущем примере.

Свойство: алгебраические операции и комплексные сопряжения

Для заданных комплексных чисел 𝑧 и 𝑤 имеем следующие тождества:

𝑧𝑤=(𝑧𝑤),

𝑧𝑤=𝑧𝑤.

В нашем последнем примере мы будем использовать свойства комплексного сопряжения для решения уравнения с комплексной переменной 𝑧.

Пример 7. Решение уравнений, включающих комплексные сопряжения

Решите 𝑧𝑧+𝑧−𝑧=4+2𝑖.

Ответ

Мы могли бы подойти к этой задаче одним из двух способов: мы могли бы написать 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и подставить его в уравнение, а затем решить для 𝑎 и 𝑏; в качестве альтернативы мы могли бы использовать свойства комплексных сопряженных чисел. Мы продемонстрируем оба подхода.

Метод 1

Напомним, что комплексное сопряжение 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равно 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Используя это выражение, мы имеем 4+2𝑖=𝑧𝑧+𝑧−𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖)+(𝑎−𝑏𝑖)−(𝑎+𝑏𝑖).

Мы можем сначала раздать (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖)=𝑎−𝑎𝑏𝑖+𝑎𝑏𝑖−𝑏𝑖, что упрощается до 𝑎+𝑏, если вспомнить, что 𝑖=−1.

Распределение по оставшимся скобкам, обращая внимание на −(𝑎+𝑏𝑖)=−𝑎−𝑏𝑖, имеем 4+2𝑖=𝑎+𝑏+𝑎−𝑏𝑖−𝑎−𝑏𝑖=𝑎+𝑏−2𝑏𝑖.

Это приводит к уравнению 4+2𝑖=𝑎+𝑏−2𝑏𝑖.  Напомним, что два комплексных числа равны, когда равны действительная и мнимая части.

Приравнивание действительных частей комплексных чисел в обеих частях уравнения дает 4=𝑎+𝑏. Приравнивание мнимых частей дает 2=−2𝑏, что приводит к 𝑏=−1. Подставляя значение для 𝑏 в приведенном выше уравнении мы получаем 𝑎+(−1)=4𝑎=3.

Следовательно, 𝑎=±√3. Это дает нам, что 𝑎 может быть либо √3, либо −√3, а 𝑏 равно −1. Поскольку 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, у нас есть два возможных решения задачи уравнение: 𝑧=√3−𝑖𝑧=−√3−𝑖.и

Метод 2

Воспользуемся свойствами комплексно-сопряженных чисел следующим образом. Мы сначала замечаем, что левая часть уравнения состоит из двух частей:

Для каждой из этих двух частей напомним тождества

• 𝑧𝑧=𝑎+𝑏,
• 𝑧−𝑧=2𝑖(𝑧)Im.

Чтобы получить выражение (2), мы можем перемножить обе части второго тождества, чтобы получить 𝑧−𝑧=−2𝑖(𝑧).