Точка пересечения прямой и плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
- Содержание
- 1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
- 3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L1:
, | (1) |
и плоскость α:
α: Ax+By+Cz+D=0. | (2) |
где M1(x1, y1, z1) − точка, лежащая на прямой L1, q1={m1, p1, l1} − направляющий вектор прямой L1, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.
Найти точку пересечения прямой L1 и плоскости α (Рис.
1).Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
p1(x−x1)=m1(y−y1) |
l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
l1y−p1z=l | (6) |
Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L1 и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L1 лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L1 и плоскости α.
Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же
2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L1 в параметрическом виде:
и плоскость α:
α: Ax+By+Cz+D=0. | (9) |
где M1(x1, y1, z1) − точка, лежащая на прямой L1, q1={m1, p1, l1} − направляющий вектор прямой L1, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и плоскости α
Метод 1. Приведем уравнения прямой L1 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:
Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):
Откроем скобки и найдем t:
Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L1 лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.
Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L1 и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).
3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой L1:
и плоскости α:
α: 7x−5y+2z+19=0. | (16) |
Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
3x−y=11, | (19) |
2y−3z=−22. | (20) |
Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):
Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33.
Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Запишем решение:
Ответ. Точка пересечения прямой L1 и плоскости α имеет следующие координаты:
M (37/2, 89/2, 37). |
Пример 2. Найти точку пересечения прямой L1:
и плоскости α:
α: 6x+2y+z+7=0. | (23) |
Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
−5x−y=8, | (26) |
4y+5z=23. | (27) |
Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):
Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L1 и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.
Ответ. Прямая L1 и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.
Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L1:
и плоскости α:
α: 2x+y−z+11=0. | (31) |
Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):
2(1+2t)+(−5−5t)−(8−t)+11=0. |
Откроем скобки:
2+4t−5−5t−8+t+11=0. | (32) |
Упростив уравнение, получим:
0t=0. | (33) |
Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L1 удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L1 лежит на плоскости α.
Ответ. Прямая L1 лежит на плоскости α.
Как найти периметр эллипса
Компьютеры admin 0 комментариев
Содержание
- 1 Калькулятор
- 2 Решение примеров
- 2.0.1 Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти периметр эллипса, зная длину двух полуосей.
- 2.0.1.1 Онлайн калькуляторы
- 2.0.1.2 Актуальная информация
- 2.0.1 Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти периметр эллипса, зная длину двух полуосей.
Введите длину большой и малой полуосей эллипса, укажите точность расчета и нажмите «Посчитать». Калькулятор выполнит расчет периметра эллипса (расчет приблизительный).
Калькулятор
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная, больше расстояния между F1 и F2.
Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса, а расстояние между ними — фокусным расстоянием.
Проходящий через фокусы эллипса отрезок, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a.
Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
Формулу периметра эллипса нельзя выразить при помощи простейших функций.
Расчет длины/периметра эллипса совсем не является тривиальной задачей, как можно было бы подумать.
Легко рассчитать длину окружности, по формуле
Но такой же простой подход совершенно не подходит для эллипса.
В точном выражении периметр эллипса можно выразить только через эллиптические функции вот по такой формуле
— большая полуось эллипса
В быту, конечно же используются приближеные формулы, о которых мы расскажем.
Одна из них выглядит вот так
В два раза более точные данные дает формула
И еще более точный периметр эллипса дает выражение
Но, все равно каковы бы не были формулы, они все равно только приближенно дают периметр эллипса.
Мы, с помощью точной формулы через эллиптический интеграл, получаем независимость от подобных ограничений, и получаем абсолютную точность, при любых значениях эллипса.
Решение примеров
Эллипс задан уравнением
Найти его периметр
Введем известные параметры a=2 и b=5 и получим результат
Уравнение эллипса |
Эксцентриситет эллипса |
Почему в исходных данных, ввести можно только значения полуосей? По другим параметрам, что не считает?
Калькуляторы на этом сайте, в том числе и этот, не предназначены для замены Вашего мозга. Они лишь упрощают рутинные операции, или те операции где возможно ошибиться. И только.
Поэтому если Вы не можете например по эксцентриситету и одной из полуосей, вычислить вторую полуось , я лишь могу выразить сочуствие Вашим способностям. И математика и геометрия не Ваш конёк.
С другой стороны недостаток ума ваших способностей, легко компенсируется деньгами, тем людям, которые за Вас эту работу могут сделать.
Кроме этого есть калькулятор, который по двум точкам стоит каноническое уравнение, а также по любым другим пяти точкам может строить кривую второго порядка на плоскости. Этого на мой взгляд более чем достаточно.
Но в любом случае, если у читателя возникнет желание попросить автора сделать калькулятор по любым другим параметрам, в принципе это сделать можно.
Эллипс — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость. Окружность является частным случаем эллипса.
Приближённая формула для нахождения периметра эллипса:
, где a — большая полуось, где b — малая полуось эллипса.
Максимальная погрешность этой формулы
0,63% при эксцентриситете эллипса
0,988 (соотношение осей
1/6,5). Погрешность всегда положительная.
Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти периметр эллипса, зная длину двух полуосей.
Онлайн калькуляторы
Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, финансовые калькуляторы. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры.
Актуальная информация
Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.
Определите калькулятор конических сечений
Калькулятор сечений конических сечений — это веб-калькулятор, который поможет вам идентифицировать конические сечения по их уравнениям. Вот почему их обычно называют коническим сечением.
Конические формы включают параболы, окружности, эллипсы и гиперболы. Среди них парабола наиболее распространена. Калькулятор конического сечения поможет вам получить больше информации или некоторые важные параметры из уравнения конического сечения.
Как идентифицировать коническое сечение по его уравнению
Этот идентификатор уравнения конического сечения помогает вам идентифицировать конические сечения по их уравнению, например, кругу, параболе, эллипсу и гиперболе. Калькулятор также дает вам представление о других важных свойствах, например, радиусе, дирексе, фокусном расстоянии, фокусе, вершине, большой оси, малой оси и т. д. Этот калькулятор также строит точный график уравнения коники. Калькулятор формирует уравнения стандартной формы 92+Dx+Ey+F=0, где A,B,C,D,E,F — константы
Из стандартного уравнения легко определить тип конуса, например,
B2−4AC<0 , если коника существует, то это круг или эллипс
B2−4AC=0, если коника существует, то это парабола
B2−4AC>0 , если коника существует, то это гипербола
Подробнее об окружностях
Геометрически круг определяется как набор точек на плоскости, которые равноудалены от определенной точки, это расстояние обычно называют радиусом. 92Центр (h,k):(x−h)2+(y−k)2=r2.
где r — радиус
По любому уравнению окружности можно найти центр и радиус, выполнив квадратный метод. Наш калькулятор поможет вам найти центр и радиус окружности для любого уравнения.
График окружности: Центр: (0,0), Радиус: 5
Параболы
С технической точки зрения, парабола — это набор точек, которые равноудалены от линии (называемой директрисой) и точки на линии, называемой фокусом.
Параболы обычно имеют коническое сечение. Парабола может быть представлена в виде
y=a(x−h)2+k, где (h,k) — вершина, а x=h — ось симметрии или линия симметрии; Примечание: это представление параболы, обращенной вверх.
Вышеупомянутое также может быть представлено как
это вертикальная парабола. Обратите внимание, что это также можно записать как y−k=a(x−h)2 или b(y−k)=(x−h)2+k, где b=1a. Линия симметрии
Для горизонтальной параболы (линия оси параллельна оси x) 92/36=1 Решение: Используйте калькулятор, чтобы найти решение этой и других связанных проблем.
Гипербола
Как правило, гипербола выглядит как две противоположные параболы, которые симметричны.
Геометрически гипербола определяется как набор точек, расстояния которых от двух фиксированных точек (фокусов) внутри гиперболы всегда одинаковы, d1−d2=2a.
Где ‘2a’ известен как фокусный радиус или расстояние по локальным радиусам, постоянная фокуса или постоянная разность.
92=1, где (h,k) — центр
Калькулятор эллипса — Расчет с помощью уравнения эллипса
Калькулятор уравнения эллипса находит уравнение эллипса. Мы можем найти важную информацию об эллипсе. Эллиптические линзы и формы широко используются в промышленных процессах.
Нам нужны только параметры общей или стандартной формы эллипса формулы Эллипса, чтобы найти требуемые значения. Это может быть полезно для студентов и изучающих математику!
В двумерной геометрии эллипс — это фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. Их расстояние всегда остается одним и тем же, и эти две неподвижные точки называются фокусами эллипса. На рисунке мы дали представление различных точек.
Двумя фокусами являются точки F1 и F2. Глядя на рисунок выше, вы можете подумать, что такое фокусы эллипса? Это отрезок, проведенный через фокусы. Вы должны помнить, что середина этого отрезка является центром эллипса. Линия фокусов также проходит через центр «О» эллипса, перед нахождением фокусов эллипса определяют площадь поверхности.
Эллипс определяется своей осью, вам нужно понять, что такое большие оси? Большая ось и наибольший диаметр эллипса, проходящие из центра эллипса и соединяющие конечную точку с границей. Это самая длинная часть эллипса, проходящая через центр эллипса. Калькулятор уравнения эллипса измеряет главные оси эллипса, когда мы вставляем нужные параметры.
Малая ось эллипса: Малая ось с наименьшим диаметром эллипса называется малой осью. Он проходит только через центр, а не из фокусов эллипса. Мы можем использовать калькулятор фокусов эллипса, чтобы найти малую ось эллипса.
AB — большая ось, а CD — малая ось, и они не будут равны друг другу.
Большая полуось:
Половина длины большой оси до границы до центра называется большой полуосью и обозначается буквой «а».
Малая полуось:
Половина длины малой оси до границы с центром называется малой полуосью и обозначается буквой «b».
Фокусное расстояние эллипса:
Расстояние между одним из фокусов и центром эллипса называется фокусным расстоянием и обозначается буквой «с». Вы должны знать, что c = 0 эллипс станет кругом. Фокусы калькулятора уравнения эллипса показывают фокусы эллипса.
Вершина эллипса:
Вам может быть интересно, как найти вершины эллипса. Для этого сначала вам может понадобиться знать, каковы вершины эллипса.
« Вершины являются конечной точкой большой оси эллипса, мы представляем их как A и B.
Центр эллипса:
В средней точке двух осей, большой и малой осей, мы можем также говорят, что середина отрезка соединяет два фокуса. Обозначается буквой «О». Калькулятор центра эллипса используется для нахождения центра эллипса.
Эксцентриситет эллипса:
Отношение расстояния от центра эллипса до одного из фокусов и одной из вершин. Эксцентриситет используется для нахождения округлости эллипса.
Площадь эллипса:
Это область, занимаемая эллипсом. Калькулятор площади эллипса точно представляет площадь эллипса.
Периметр эллипса:
Общее расстояние, пройденное границами эллипса, называется периметром эллипса.
Формула эллипса для поиска различных вычислений:Мы представляем большую формулу эллипса и находим различные свойства эллипса во всех формулах, где «a» представляет большую полуось, а «b» представляет малая полуось эллипса.
Различные расчеты | Формулы |
Периметр эллипса 9{2}}= 1 $$ В уравнении эллипса нам нужно понимать следующие термины: Где: (x,y) — вершины эллипса: (c_1,c_2) — вершины эллипса. координаты центра эллипса: Теперь «а» — это расстояние по горизонтали между центром одной из вершин. Где «b» – расстояние по вертикали между центром одной из вершин. Мы можем использовать калькулятор эллипса стандартной формы, чтобы найти стандартную форму. Что нужно понимать в формуле эллипса:В вашем уравнении для эллипса есть несколько важных соображений:
Площадь эллипса: 92. В этой ситуации мы просто пишем «a» и «b» вместо r. Мы можем найти площадь эллипса калькулятор, чтобы найти площадь эллипса. Таким образом, формула площади эллипса показана ниже:A = π • ab Где «a» и «b» представляют собой расстояние по большой и малой осям от центра до вершин. {2 })}}$$ Что такое эксцентриситет эллипса?Отношение расстояния от центра эллипса до одного из фокусов и одной из вершин является эксцентриситетом эллипса: Необходимо помнить, что значение эксцентриситета находится между 0 и 1. Если значение ближе к «0», то эллипс имеет более круглую форму, а если значение ближе к 1, то эллипс имеет более продолговатую форму. Теперь, как найти уравнение эллипса, нам нужно подставить значения в следующую формулу: 9{2}}}{b}$$ Работа с калькулятором уравнения эллипса:Приступайте к поиску уравнения эллипса вместе с различными связанными параметрами за несколько мгновений с помощью этого лучшего калькулятора эллипса. Давайте посмотрим, как он работает! Калькулятор эллипса прост в использовании, вам нужно ввести только следующие входные значения: Ввод:
Вывод: Уравнение калькулятора эллипса обычно отображается во всех ожидаемых результатах
Результаты учитываются при использовании калькулятора эллипса. Часто задаваемые вопросы:Могут ли большая и малая оси эллипса быть равными эллипсу?Нет, большая и малая оси эллипса никогда не могут совпадать. Вот почему эллипс — это эллипс, а не окружность. Как создается эллипс?Эллипс — это коническая форма, которая образуется, когда плоскость срезает конус под углом к основанию. Сколько Фокусных Точек в Эллипсе?Эллипс имеет два фокуса, и линзы имеют такую же эллиптическую форму. Где находится эксцентриситет эллипса?Эксцентриситет всегда находится между 0 и 1. В чем разница между эллипсом и окружностью?Эллипс всегда подобен сплющенному кругу. Единственная разница между двумя геометрическими фигурами заключается в том, что эллипс имеет разные большую и малую оси. Заключение:Эллипс используется во многих примерах реального времени, вы можете описать наземные объекты, такие как кометы, земля, спутник, луны и т. |