Составить матрицу размером 3 2 ранг которой равен 2: Онлайн калькулятор. Ранг матрицы

методы, примеры нахождения и определения

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы

— наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук. 

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2×1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)×2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(-7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(-7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)×6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор Mok(k+1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору Mok , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mok , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М=2-141

Записываем все окаймляющие миноры:

12-1-207341,20-10374-21,2-13071411,12-1341006,20-14-21036,2-13411065.

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Поскольку элемент а11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2041.

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их(4-2)×(5-2)=6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

• путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
• путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

• в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
• в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00, Rank(A)=n

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k

 

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Rank(A)=p

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0

• для квадратных матриц А порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, Rank(A)=n

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k, k<n

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент а11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1а11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~А(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~А(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1)(-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(-5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент а22(2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А(2) на 1а22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320-92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-2203000000000000

• К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 32;
• к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 92;
• к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 32.

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание 

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Что такое ранг матрицы в математике

Оглавление

Время чтения:  7 минут

417

Из статьи вы узнаете, что такое ранг матрицы, научитесь его находить методом определений, окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований (методом Гаусса).

Ранги матриц

Определение

Минором k-ого порядка матрицы называется определитель матрицы, вырезанной из заданной матрицы удалением одной или более её строк и столбцов.

Объясним это понятие на примерах. Допустим нам дана матрица

\[\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 6 & 10 & 14 \\ 3 & 7 & 11 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{array}\]

Чтобы найти минор M₂₃ вычёркиваем из неё вторую строку и третий столбец. В результате получаем

\[\begin{array}{lll} 1 & 5 & 13 \\ 3 & 7 & 15 \\ 4 & 8 & 16 \end{array}\]

Это и есть искомый, нужный нам минор. Посмотрим матрицы низших порядков.

Если нам дана матрица первого порядка, то её минором будет сама эта матрица. Если нам дана матрица второго порядка, допустим

\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]

То её минорами будут M₁₁=4, M₁₂ = 3, M₂₁=2, M₂₂=1

Для матрицы порядка pxn число миноров k-го порядка равно C^k_p*C^k_n , где C^k_p=p!/k!(p-k)!, C^k_n=n!/k!(n-k)! являются числом сочетаний из p по k и из n по k.

Определение

Ранг матрицы — это максимальный порядок её миноров, для которых определитель не равен нулю. Обозначается ранг матрицы A, как rang A.

Из выше приведённого определения можно сделать два важных заключения:

1. Ранг любой ненулевой матрицы отличен от нуля;
2. Ранг нулевой матрицы равняется нулю.

Эквивалентными матрицами называют матрицы, которые имеют один и тот же ранг.

Методы нахождения ранга матрицы

Каким именно способом нахождения ранга матрицы пользоваться в конкретной ситуации зависит от вашего умения, предпочтений и самой предложенной матрицы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нахождение ранга матрицы по определению

Нам нужно узнать, какой ранг матрицы А порядка p×n. Для нахождения ранга матрицы по определению последовательность действий и рассуждений следующая:

1. Проверяем миноры первого порядка. Если все они (именно все) в нашей матрице равны нулю, то rang A = 0;
2. Проверяем миноры второго порядка. Если они оказались равными нулю, то. rang A = 1;
3. Проверяем миноры третьего порядка. Если они нулевые, то rang A = 2.

Продолжаем исследования, каждый раз увеличивая порядок на один. Возможны следующие две ситуации:

1. Если среди миноров k-го порядка будет иметься хоть один, отличающийся от нуля, а все без исключения миноры (k+1)-го порядка окажутся нулевыми, то ранг будет равным k.
2. Если из миноров k-го порядка хоть один ненулевой, а миноры (k+1)-го порядка получить уже нельзя, то ранг матрицы тоже будет k.

Примеры

Пример 1. Требуется определить ранг матрицы A

\[\begin{array}{lllll}5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\2 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\]

Решение:

Т. к. размер матрицы 3 на 5, и минимальным из этих чисел является 3, то rang A≤ 3. Связано это с
тем, что миноры 4-го порядка из данной матрицы уже не создашь, предел достигнут.

В нашем примере из миноров первого порядка есть те, что не равны нулю. Известно, что для перехода к
вычислению миноров второго порядка достаточно, чтобы хоть один из них (не важно какой) был неравным
нулю.

Из миноров 2-го порядка \[\begin{array}{ll}5 & 0 \\7 & 0\end{array}\] равен нулю, поэтому смотрим
следующий минор. Ясно, что \[\begin{array}{ll}7 & 0 \\2 & 0\end{array}\] тоже будет равняться нулю.
Постараемся найти более удачные варианты. Возможно \[\begin{array}{ll}5 & 2 \\7 & 3\end{array}\]
нулю не будет равен. Вычислим его. 5*3 – 7*2 = 1.

Наши предположения оправдались. Так как нашёлся хоть один минор второго порядка, который не равен нулю, нужно
приступить к исследованию миноров третьего порядка. Выберем тот из них, в котором нет нулей, например:

\[\begin{array}{ccc}5 & -3 & 2 \\-7 & -4 & 3 \\2 & -1 & 1\end{array}\]

Вычисляем его. -20 — 18 — 14 + 16 + 21 + 16 = 0. Как видим, он нулевой. Исследовав другие миноры третьего
порядка тоже узнаем, что они тоже нулевые. Нет ни одного отличного от нуля. Следовательно, rang A = 2.
Задачу можно считать решённой.

Ответ: rang A = 2.

---

Пример 2. Определить ранг матрицы B

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\-5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Это квадратная матрица четвёртого порядка. Ранг её не должен превышать четырёх. Видно, что среди миноров
первого ранга есть ненулевые.

Сразу переходим к исследованию миноров второго ранга. Посмотрим, например, \[\begin{array}{cc}4 & -2 \\5
& 0 \end{array}\]. Он равен 0 – 10 = -10. Приступаем к исследованию миноров третьего ранга. Возьмём:

\[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -3 \\-5 & 0 & 0 \\9 & 7 & -7\end{array}\]

Его значение 105 – 105 =0. Придётся исследовать другой подобный минор. Берём

\[\begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\0 & -4 & 0 \\7 & 8 & -7\end{array}\]

Он равен -28, т. е. отличен от нулевого, поэтому переходим к минорам ещё на один порядок выше. Здесь у нас
только один выбор – сама матрица.

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Её минор равен 86, т. е. опять же отличен от нуля. Это значит, что ранг нашей матрицы равен 4. Решение
найдено.

Ответ: rang B = 4.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Во многих случаях он позволяет сократить количество проделываемых вычислений довольно значительно.

Теорема

Если все миноры, которые окаймляют минор k-го порядка, относящийся к матрице А, имеющей порядок p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А будут тоже нулевыми.

Алгоритм нахождения ранга матрицы при пользовании этим методом следующий:

1. Смотрим на миноры первого порядка. Если они все нулевые, значит и ранг нашей матрицы будет равным нулю. Если хотя бы один из них отличен от нуля, переходим к следующему шагу;
2. Смотрим, какие миноры окаймляют минор M₁. Если они все равны нулю, то ранг матрицы будет равен 1. При наличии хотя бы одного отличного от нуля ранг матрицы будет равен 2 или числу, превосходящему 2;
3. Исследуем миноры, окаймляющие минор M_2.. Они будут третьего порядка. Если все они нулевые, то ранг нашей матрицы будет равным 2. Если найдётся хотя бы один отличный от нуля, то ранг матрицы будет больше или равен 3.

Как и в предыдущем методе, продолжаем исследования, увеличивая каждый раз порядок на 1 до тех пор, пока все миноры не окажутся нулевыми, или не получится составить окаймляющий минор.

Примеры

Пример 3. Дана матрица С

\[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 1 & 3 \\-3 & 0 & 5 & 4 \\-5 & 4 & 7 & 10\end{array}\]

Решение: Сразу приступим к исследованию миноров второго порядка. Возьмём \[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\-3 & 0\end{array}\].

Он будет равным 6, т.е. отличным от нуля.

Составляем окаймляющий минор. Для этого прибавляем к нашему минору следующую строку и следующий столбец. Получаем:

\[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1 \\-3 & 0 & 5 \\-5 & 4 & 7\end{array}\]

Он равен нулю. Исследование окаймляющих миноров придётся продолжить. Берём следующий за добавленным столбец и получаем

\[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\-3 & 0 & 4 \\-5 & 4 & 10\end{array}\]

Он тоже оказывается равным нулю. Других окаймляющих миноров нет, а значит ранг нашей матрицы будет равен 2. Решение найдено.

Ответ: rang С = 2.

---

Пример 4. Дана матрица D

\[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & 4 & 5 \\3 & 6 & -2 & -1 & 3 \\-2 & -4 & 2 & 5 & 7 \\-1 & -2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Решение:

Как и в предыдущем случае, лучше его начать с вычисления минора второго порядка. Посмотрим \[\begin{array}{ll}1 & 2 \\3 & 6\end{array}\]. Он равен нулю. Берём другой минор \[\begin{array}{cc}2 & 0 \\6 & -2\end{array}\]. Он оказался равен -4.

Берём один из окаймляющих его миноров, например, \[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он равен нулю. Берём ещё один \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 4 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он также равен нулю.

Посмотрим \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 5 \\6 & -2 & -3 \\-4 & 2 & 7\end{array}\]. Он равен 4.

Переходим к четвёртому порядку.

\[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 5 \\3 & 6 & -2 & -3 \\-2 & -4 & 2 & 7 \\-1 & -3 & 2 & 1\end{array}\]

Он равен нулю. Придётся взять другой.

\[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 4 & 5 \\6 & -2 & -1 & -3 \\-4 & 2 & 5 & 7 \\-2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Он оказывается также равным нулю. Т. к. последний ненулевой минор у нас был третьего порядка, то и ранг матрицы будет равным 3. Решение найдено.

Ответ: rang E = 3.

Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований или методом Гаусса

Под элементарными преобразованиями понимают перестановку строк, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к одной из строк, умноженных на некоторое число элементов другой строки.

Все указанные преобразования не меняют ранга матрицы. Пользуясь ими можно привести матрицу к виду, когда все из её элементов кроме a₁₁, a₂₂, a₃₃ … a_rr будут равны нулю, а значит ранг матрицы станет равняться r.

При нахождении ранга матрицы методом Гаусса нужно предвидеть, какие преобразования приведут к упрощению матрицы, а какие нет. К сожалению, сделать это далеко не всегда бывает просто.

Пример 5

Дана матрица F

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\75 & 94 & 54 & 134 \\25 & 32 & 20 & 48\end{array}\]

Решение:

Из третьей строки этой матрицы вычитаем вторую, Из второй строки вычитаем первую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 2 & 5\end{array}\]

Далее из второй строки вычитаем первую, умноженную на три

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 & 5\end{array}\]

Из четвёртой строки отнимаем третью и вторую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Из четвёртого столбца вычитаем третий, предварительно помноженный на два

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Делим первый столбец на 25 и вычитаем из второго столбца первый, до этого помножив его на 31

\[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 17 & 9 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

От третьего столбца отнимаем первый до этого помножив его на 17, а второй на 2; от четвёртого столбца отнимаем первый, умноженный на 9 и прибавляем второй, помноженный на 2

\[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Так как ранг полученной матрицы равен 3, то у исходной матрицы он тоже будет равняться 3. Решение найдено.

Ответ: rang F = 3.

Как видите, находить ранг даже больших матриц с неравным количеством строк и столбцов достаточно просто. Чтобы проделывать указанную математическую операцию без серьёзных для себя затруднений, требуется лишь понимание сущности изложенных методов и некоторая практика. После этого проблем у вас возникать не должно.

линейная алгебра — Найдите $x$ так, чтобы ранг матрицы был равен $2$

$\begingroup$

Учитывая матрицу $$\begin{pматрица} 1 и 3 и -3 и х\\ 2&2&х&-4\ 1 и 1-x и 2x+1 и -5-3x\\ \end{pmatrix}$$ Найдите $x$ так, чтобы ранг матрицы был равен $2$

---

Во-первых, отмечу, что я не могу использовать метод определителя, так как это не квадратная матрица. Поэтому я перехожу к минорному методу. Поскольку задан ранг $2$, определитель любого минора $x \times 3$ должен быть равен нулю. Так что я беру

$$\begin{vmatrix} 1 и 3 и -3\\ 2 и 2 и х \\ 1 и 1-х и 2х+1 \\ \end{vmatrix} =0. $$

Мой расчет дает $x=\pm 2$. Однако, если я подставлю значения в матрицу, ранг получится равным $3$. Что я делаю не так?

• линейная алгебра
• матрицы
• ранг матрицы

$\endgroup$

7

$\begingroup$

$\begin{pmatrix} 1 и 3 и -3 и х\\ 2&2&х&-4\ 1 и 1-x и 2x+1 и -5-3x\\ \end{pmatrix}$ $\overset{R_2-2R_1\\R_3-R_1}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 и 3 и -3 и х\\ 0 и -4 и х+6 и -4-2х \\ 0 и -2-х и 2х+4 и -5-4х\\ \end{pmatrix}$

$\overset{\frac{R_2}{4}}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 и 3 и -3 и х\\ 0 и -1 & \ гидроразрыва {1} {4} (х + 6) & -1- \ гидроразрыва {х} {2} \\ 0 и -2-х и 2х+4 и -5-4х\\ \end{pmatrix}$ 92}{4}-\frac{5x}{4}-4=0\tag{1}$

не имеет решения.

Таким образом, ранг матрицы будет $3$ и не зависит от выбора $x$ .

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Существует несколько эквивалентных определений «ранга» матрицы. Если вы хотите использовать определители, воспользуйтесь определением: «Ранг матрицы $A$ равен наибольшему $n$ такому, что $A$ содержит подматрицу $n \times n$, определитель которой отличен от нуля». Поскольку ваша матрица содержит подматрицы 2×2 с ненулевым определителем, ранг должен быть 2 или 3. Посмотрите на все подматрицы 3×3. Если вы можете найти $x$ такое, что все 4 из этих подматриц имеют определитель 0, то для этого значения $x$ ранг вашей матрицы равен 2. Если таких $x$ нет, ранг равен 3. 92-4} \end{bmatrix} $$ Ранг 2 требует, чтобы последняя строка была нулевой, что невозможно. Обратите внимание на 1 в третьем столбце последней строки. Это не может быть устранено. В результате $\text{rank}(A)=3$.

$\endgroup$

1

Ранг матрицы. Определение

Ранг матрицы равен количеству линейно независимых строк (или столбцов) в ней. Следовательно, он не может превышать количество строк и столбцов. Например, если мы рассмотрим единичную матрицу порядка 3 × 3, все ее строки (или столбцы) линейно независимы, и, следовательно, ее ранг равен 3.

Давайте узнаем больше о ранге матрицы вместе с ее математическим определением и посмотрим, как найти ранг матрицы вместе с примерами.

1.	Что такое ранг матрицы?
2.	Как найти ранг матрицы?
3.	Нахождение ранга матрицы методом минора
4.	Ранг матрицы с использованием формы Echelon
5.	Ранг матрицы с использованием нормальной формы
6.	Ранг столбца и ранг строки матрицы
7.	Свойства ранга матрицы
8.	Часто задаваемые вопросы о ранге матрицы

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы — это порядок старшего ненулевого минора. Рассмотрим ненулевую матрицу A. Говорят, что действительное число r является рангом матрицы A, если оно удовлетворяет следующим условиям:

• каждый минор порядка r + 1 равен нулю.
• Существует по крайней мере один минор порядка ‘r’, отличный от нуля.

Ранг матрицы A обозначается через ρ (A). Здесь «ρ» — греческая буква, которую следует читать как «ро». Таким образом, ρ (A) следует читать как «ро A» (или) «ранг A».

Как найти ранг матрицы?

Ранг матрицы можно определить тремя способами. Самый простой из этих способов — «преобразование матрицы в эшелонированную форму».

• Второстепенный метод
• Использование эшелонированной формы
• Использование обычной формы

Рассмотрим подробно каждый из этих методов.

Нахождение ранга матрицы методом минора

Вот шаги, чтобы найти ранг матрицы A минорным методом.

• Найдите определитель матрицы A (если матрица A квадратная). Если det (A) ≠ 0, то ранг A = порядок A.
• Если либо det A = 0 (в случае квадратной матрицы), либо A — прямоугольная матрица, то проверьте, существует ли минор максимально возможного порядка, отличный от нуля. Если существует такой ненулевой минор, то ранг A = порядок этого конкретного минора.
• Повторите предыдущий шаг, если все миноры порядка, рассмотренного на предыдущем шаге, равны нулю, а затем попытайтесь найти ненулевой минор порядка, который на 1 меньше, чем порядок из предыдущего шага.

Вот пример.

Пример: Найдите ранг матрицы ρ (A), если A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{массив}\right]\).

Решение:

A — квадратная матрица, поэтому мы можем найти ее определитель.

дет (А) = 1 (45 — 48) — 2 (36 — 42) + 3 (32 — 35)
= -3 + 12 — 9
= 0

Итак, ρ (A) ≠ порядок матрицы. т. е. ρ (A) ≠ 3,

Теперь посмотрим, сможем ли мы найти любой ненулевой минор порядка 2.

\(\left|\begin{array}{ll}
1 и 2 \\\
4 и 5
\end{array}\right|\) = 5 — 8 = -3 ≠ 0.

Итак, существует минор порядка 2 (или 2 × 2), отличный от нуля. Таким образом, ранг A, ρ (A) = 2,

Ранг матрицы с использованием формы Echelon

Что, если в приведенном выше примере первый минор порядка 2 × 2, который мы нашли, был равен нулю? Нам нужно было найти все возможные миноры порядка 2 × 2, пока мы не получим ненулевой минор, чтобы убедиться, что ранг равен 2. Этот процесс может быть утомительным, если порядок матрицы больше. Чтобы упростить процесс нахождения ранга матрицы, мы можем преобразовать ее в эшелонированную форму. Говорят, что матрица «А» находится в форме эшелона, если она находится либо в форме верхнего треугольника, либо в форме нижнего треугольника. Мы можем использовать элементарные преобразования строки/столбца и преобразовать матрицу в форму Echelon.

Преобразование строки (или столбца) может быть одним из следующих:

• Замена двух строк местами.
• Умножение строки на скаляр.
• Умножение строки на скаляр и последующее добавление его к другой строке.

Вот шаги, чтобы найти ранг матрицы.

• Преобразуйте матрицу в форму Echelon, используя преобразование строки/столбца.
• Тогда ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в результирующей матрице.

Ненулевая строка матрицы — это строка, в которой хотя бы один элемент отличен от нуля.

Пример: Найти ранг матрицы A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{array}\right]\) (та же матрица, что и в предыдущем примере), преобразовав ее в эшелонированную форму.

Решение:

Дана матрица, A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{массив}\right]\).

Применяем R ₂ → R ₂ — 4R ₁ и R ₃ → R ₃ — 7R ₁ , получаем: 90}{lbegin }
1 и 2 и 3 \\
0&-3&-6\
0 и -6 и -12
\end{array}\right]\)

Теперь применим R ₃ → R ₃ — 2R ₂ , получаем:

\(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
0&-3&-6\
0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь он в форме Echelon, и теперь нам нужно подсчитать количество ненулевых строк.

Количество ненулевых строк = 2 = ранг A.

Следовательно, ρ (A) = 2.

Обратите внимание, что мы получили тот же ответ, когда вычисляли ранг с использованием миноров.

Ранг матрицы с использованием нормальной формы

Если прямоугольную матрицу A можно преобразовать в форму \(\left[\begin{array}{ll}
I_r&0\\
0 и 0
\end{array}\right]\) с помощью элементарных преобразований строк, то говорят, что A находится в нормальной форме. Здесь I_r — единичная матрица порядка «r», и когда A преобразуется в нормальную форму, ее ранг равен ρ (A) = r. Вот пример. Преобразование в нормальную форму полезно при определении ранга прямоугольной матрицы. Но его можно использовать и для нахождения ранга квадратных матриц.

Пример: Найти ранг матрицы A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 1 и 2 \\
1 и 3 и 2 и 2 \\
2 и 4 и 3 и 4 \\
3 и 7 и 4 и 6
\end{array}\right]\) (снова та же матрица), приведя ее к нормальной форме.

Решение:

Применить R ₂ → R ₂ — R ₁ , R ₃ → R ₃ — 2R ₁ , и R ₄ → R ₄ — 3R ₁ получаем:

\(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 1 и 2 \\
0&1&1&0\
0&0&1&0\
0 и 1 и 1 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь применим, R ₁ → R ₁ — 2R ₂ и R ₄ → R ₄ — R _{5 0 9\
, 0 слева[\begin{массив}{lll}
1 и 0 и -1 и 2 \\
0&1&1&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)}

Применить R ₁ → R ₁ + R ₃ и R ₂ → R ₂ — R ₃ ,

\begin{массив}{lll}
1 & 0 & 0 & 2 \
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь применим C ₄ → C ₄ — 2C ₁ ,

\(\left[\begin{array}{lll}
1&0&0&0&0\
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Это то же самое, что и \(\left[\begin{array}{ll}
I_3&0\\
0 и 0
\end{массив}\right]\).

Следовательно, ранг A равен ρ (A) = 3,

Ранг столбца и ранг строки матрицы

Когда мы вычислили ранг матрицы, используя ступенчатую форму и нормальную форму, мы увидели, что ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в приведенной форме матрицы. На самом деле это известно как «ранг строки матрицы», поскольку мы подсчитываем количество ненулевых «строк». Точно так же ранг столбца — это количество ненулевых столбцов, или, другими словами, это количество линейно независимых столбцов. Например, в приведенном выше примере (из предыдущего раздела)

• Ранг строки = количество ненулевых строк = 3
• Ранг столбца = количество ненулевых столбцов = 3

Из этого очень ясно, что здесь «ранг строки = ранг столбца». На самом деле это верно для любой матрицы.

Свойства ранга матрицы

• Если A невырожденная матрица порядка n, то ее ранг равен n. т. е. р (А) = п.
• Если A находится в форме Echelon, то ранг A = количеству ненулевых строк A.
• Если A находится в нормальной форме, то ранг A = порядок единичной матрицы в ней.
• Если A — сингулярная матрица порядка n, то ρ (A) < n.
• Если A — прямоугольная матрица порядка m x n, то ρ (A) ≤ минимума {m, n}.
• Ранг единичной матрицы порядка n равен самому n.
• Ранг нулевой матрицы равен 0.

Важные примечания о рангах матрицы:

• При преобразовании матрицы в ступенчатую или нормальную форму мы можем использовать преобразование строк или столбцов. Мы также можем использовать сочетание преобразований строк и столбцов.
• Чтобы найти ранг матрицы, приведя ее к ступенчатой ​​или нормальной форме, мы можем подсчитать количество ненулевых строк или ненулевых столбцов.
• Ранг столбца = ранг строки для любой матрицы.
• Ранг квадратной матрицы порядка n всегда меньше или равен n.

☛ Связанные темы:

• Калькулятор определителя
• Калькулятор собственных значений
• Калькулятор сложения матриц
• Калькулятор умножения матриц

Часто задаваемые вопросы о ранге матрицы

Что такое определение ранга матрицы?

Ранг матрицы — это количество линейно независимых строк или столбцов в ней. Ранг матрицы A обозначается ρ (A), что читается как «ро матрицы A». Например, ранг нулевой матрицы равен 0, так как в ней нет линейно независимых строк.

Как найти ранг матрицы?

Чтобы найти ранг матрицы, мы можем использовать один из следующих методов:

• Найдите ненулевой минор старшего порядка, и его порядок даст ранг.
• Преобразуйте матрицу в эшелонированную форму, используя операции со строками и столбцами. Тогда количество ненулевых строк в ней даст ранг матрицы.
• Преобразование матрицы в нормальную форму \(\left[\begin{array}{ll}
  I_r&0\\
  0 и 0
  \end{array}\right]\), где I_r — единичная матрица порядка ‘r’. Тогда ранг матрицы = r.

Каков ранг матрицы порядка 3 × 3?

Ранг матрицы порядка 3 × 3 равен 3, если ее определитель НЕ равен 0. Если ее определитель равен 0, то преобразовать ее в эшелонированную форму с помощью преобразования строки/столбца, тогда количество ненулевых строк/столбцов присвоил бы звание.

Каков ранг матрицы порядка 2 × 2?

Если определитель матрицы 2 × 2 НЕ равен 0, то ее ранг равен 2. Если ее определитель равен 0, то ее ранг равен либо 1, либо 0. Точный ранг можно найти, приведя ее к ступенчатой ​​или нормальной форме. форма.

Как найти ранг матрицы с помощью определителя?

Чтобы найти ранг матрицы порядка n, сначала вычислите ее определитель (в случае квадратной матрицы). Если НЕ 0, то его ранг = n. Если он равен 0, то посмотреть, существует ли ненулевой минор порядка n — 1. Если такой минор существует, то ранг матрицы = n — 1. Если все миноры порядка n — 1 нули, то мы должны повторить процесс для миноров порядка n — 2, и так далее, пока мы не сможем найти ранг.

Каков ранг нулевой матрицы?

Нулевая матрица представляет собой квадратную матрицу, в которой все элементы равны 0. Определитель нулевой матрицы и любого ее минора сам равен 0. Следовательно, не существует минора нулевой матрицы, отличного от нуля. Следовательно, ранг нулевой матрицы равен 0.

Как быстро найти ранг матрицы?

Если определитель матрицы не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку матрицы. Это можно использовать как ярлык. Но этот ярлык не работает, когда определитель равен 0. В этом случае мы должны использовать либо минорную форму, форму эшелона, либо нормальную форму, чтобы найти ранг, как процессы объясняются на этой странице.

Каковы применения ранга матрицы?

Ранг матрицы в основном используется для определения количества решений системы уравнений. Если система имеет «n» уравнений с «n» переменными, то сначала мы находим ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов.

• Если ранг (расширенная матрица) ≠ ранг (матрица коэффициентов), то система не имеет решения (несовместна).
• Если ранг (расширенная матрица) = ранг (матрица коэффициентов) = количество переменных, то система имеет единственное решение (непротиворечивое).
• Если ранг (расширенная матрица) = ранг (матрица коэффициентов) < количества переменных, то система имеет бесконечное число решений (непротиворечивых).

  No related posts.