П на 4 на окружности: Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac{π}{2}\), \(-\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку \(\frac{π}{2}\). \(\frac{π}{2}\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки \(-\)\(\frac{π}{2}\). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac{3π}{2}\). Для этого дробь \(\frac{3}{2}\) переведем в смешанный вид \(\frac{3}{2}\)\(=1\)\(\frac{1}{2}\), т.

е. \(\frac{3π}{2}\)\(=π+\)\(\frac{π}{2}\). Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

                                    

 

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\).

Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{6}\).
\(\frac{π}{4}\) – это половина от \(\frac{π}{2}\) (то есть, \(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\)\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\) – это половина четверти окружности.

                                   

\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\)\(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.

           

\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\)\(=\)\(\frac{π}{3}\)\(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\).

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\),\(π\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

     

     

 

Обозначаем числа \(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)

Обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\), для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π + π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=π+\)\(\frac{π}{6}\). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\).

                                  

Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\). Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\)\(=-\)\(\frac{3π}{3}\)\(-\)\(\frac{π}{3}\)\(=-π-\)\(\frac{π}{3}\). Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\).

                               

Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\), для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π-π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π}{4}\)\(-\)\(\frac{π}{4}\)\(=2π-\)\(\frac{π}{4}\). Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\), надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\).

                     

Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{π}{4}\),\(-\)\(\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{6}\),\(\frac{11π}{6}\), \(\frac{2π}{3}\),\(-\)\(\frac{3π}{4}\).

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Еще один вывод:

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\). Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\)\(=\)\(\frac{6π}{2}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(=3π+\)\(\frac{π}{2}\)\(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac{16π}{3}\). Вновь преобразования: \(\frac{16π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π + π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π}{3}\)\(+\)\(\frac{π}{3}\)\(=5π+\)\(\frac{π}{3}\)\(=4π+π+\)\(\frac{π}{3}\). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{3}\) – и мы найдем место точки \(\frac{16π}{3}\).

Нанесем на окружность число \(-\)\(\frac{21π}{2}\).
\(-\)\(\frac{21π}{2}\)\(= -\)\(\frac{20π}{2}\)\(-\)\(\frac{π}{2}\)\(=-10π-\)\(\frac{π}{2}\). Значит, место \(-\)\(\frac{21π}{2}\) совпадает с местом числа \(-\)\(\frac{π}{2}\).

Обозначим \(-\)\(\frac{29π}{6}\).
\(-\)\(\frac{29π}{6}\)\(=-\)\(\frac{30π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-5π+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-4π-π+\)\(\frac{π}{6}\). Для обозначение \(-\)\(\frac{29π}{6}\), на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac{π}{6}\).

Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки \(-8π\),\(-7π\), \(\frac{11π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{3}\),\(\frac{17π}{6}\),\(-\)\(\frac{20π}{3}\),\(-\)\(\frac{11π}{2}\).

Скачать статью

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность, то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

\((\)\(\frac{π}{2}\)\(;π)\)- вторая четверть		\((0;\)\(\frac{π}{2}\)\()\) — первая четверть
\((π;\)\(\frac{3π}{2}\)\()\) — третья четверть		\((\)\(\frac{3π}{2}\)\(;2π)\) — четвертая четверть

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций.

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Найдите \(\sin⁡a\), если \(\cos⁡a=-0,6\) и \(π<a<\)\(\frac{3π}{2}\)		Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?  Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.
\(\sin^2⁡a+\cos^2⁡a=1\)		Подставим известное, и проведем вычисления. 2⁡a=0,64\)
\(\sin⁡a=0,8\)   или   \(\sin⁡a=-0,8\)		У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой? Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство  \(π<a<\) \(\frac{3π}{2}\), то есть угол \(a\) такой, что больше \(π\), но меньше \(\frac{3π}{2}\). Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: \(-0,8\).

Ответ: \(\sin⁡a=-0,8\).

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac{π}{2}\), но и углы от \(2π\) до \(\frac{5π}{2}\), и от \(4π\) до \(\frac{9π}{2}\), и от \(6π\) до \(\frac{13π}{2}\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

\((-π;-\)\(\frac{3π}{2}\)\()\)- вторая четверть		\((-\)\(\frac{3π}{2}\)\(;-2π)\) — первая четверть
\((-\)\(\frac{π}{2}\)\(;-π)\) — третья четверть		\((0;-\)\(\frac{π}{2}\)\()\) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Смотрите также:
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом
Как обозначать точки на числовой окружности

геометрия — Координаты равноудаленных n точек на окружности в R?

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

Часть R Language Collective

мы можем использовать комплексные числа, чтобы достичь этого довольно просто, но вы должны использовать правильный синтаксис. вообще комплексные числа можно записать как ai + b (например, 3i + 2 ). Если есть только мнимая компонента, мы можем написать просто ai . Итак, воображаемый — это просто 1i .

 Nбаллов = 20
баллы = exp(2i * pi * (1:Npoints)/Npoints)
сюжет (точки)
 

Если по какой-либо причине вам необходимо перевести комплексную плоскость на декартову, вы можете извлечь действительную и мнимую составляющие, используя Re() и Im() .

 точек. Декартово = data.frame (x = Re (точки), y = Im (точки))
 

2

Вы тоже можете попробовать это (и избежать сложной арифметики), чтобы иметь точки на единичной окружности на реальной плоскости:

 n <- 50 # количество точек, которые вы хотите на единичной окружности
pts.circle <- t(sapply(1:n,function(r)c(cos(2*r*pi/n),sin(2*r*pi/n))))
график (pts.circle, col = 'красный', pch = 19, xlab = 'x', ylab = 'y')
 

 f <- функция(х){
  я <- sqrt(as.complex(-1))
  ехр(2*пи*я*х)
}
> f(0/4)
[1] 1+0i
> f(1/4)
[1] 0+1i
> f(2/4)
[1] -1+0i
> f(3/4)
[1] 0-1i
 

Сказав это, нельзя ли найти равноотстоящие точки на окружности, не прибегая к комплексным числам?

 eq_spacing <- function(n, r = 1){
  политочки <- seq(0, 2*pi, length. out=n+1)
  политочки <- политочки[-длина(многоточечные)]
  circx <- r * sin(многоточечный)
  circy <- r * cos(polypoints)
  data.frame(x=circx, y=circy)
}
eq_spacing (4)
               х у
 1 0,000000e+00 1,000000e+00
 2 1.000000e+00 6.123032e-17
 3 1.224606э-16 -1.000000э+00
 4 -1.000000e+00 -1.836910е-16
график (eq_spacing (20), asp = 1)
 

5

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

точек окружности (видео)

Большинство из нас научились рисовать окружность на уроках математики с помощью циркуля. Все, что нам нужно было знать, это место, где расположить центр круга, и меру радиуса, которую нужно установить на компасе. Затем мы удерживали циркуль в центре и вращали карандашную часть по кругу, чтобы нарисовать круг. Если бы мы нарисовали его на миллиметровой бумаге и внимательно посмотрели, мы, вероятно, смогли бы найти несколько определенных точек на нашем круге. 9{2}\)

 

Просто, правда? Но мы немного увлеклись. Вернемся к нашей проблеме. Если нам дан центр окружности и 1 другая точка, можем ли мы найти 3 другие точки на окружности?

Давайте решим реальную задачу, чтобы посмотреть, как это сделать.

Найдите не менее 3 других точек на окружности, у которых есть точка в точке \((2,6)\) и центр в точке \((-2,3)\).

Итак, наша точка будет в точке \((2,6)\). И наш центр находится в \((-2,3)\).

92\)

 

Возьмем квадратный корень с обеих сторон и получим \(r=5\).

Что теперь? Как мы можем использовать эту информацию, чтобы найти больше точек на нашем круге? Мы собираемся использовать другой вид компаса, чтобы сделать это! Давайте возьмем лист миллиметровой бумаги и нанесем на график то, что мы знаем на данный момент.

Поскольку мы знаем наш радиус, мы можем двигаться на север, юг, восток и запад от этой точки ровно на 5 единиц, чтобы найти больше точек! Перемещаться по точкам компаса на нашей миллиметровой бумаге легко, а поскольку радиус — это расстояние от центра круга до всех точек на круге, мы знаем, что окажемся на нашем круге, когда пройдем 5 единиц.

Посмотрите, сколько точек мы нашли! Пройдя на север пять единиц, мы нашли \((-2,8)\), пройдя на запад, мы нашли \((-7,3)\), пройдя на юг, мы нашли \((-2,-2)\), и пройдя восток мы нашли \((3,3)\)! 4 балла! На один больше, чем задача просила нас найти.

И это еще не все! Мы можем найти еще больше точек, если захотим, поскольку данная точка не является одной из наших 4 «компасных точек». Если мы посмотрим, насколько далеко от центра находится эта точка, мы сможем найти больше точек, которые находятся на таком же L-образном расстоянии. Здесь мы видим, что \((2,6)\) находится на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх от центра круга. Таким образом, я могу нарисовать L-формы из центра, которые перемещаются на 4 единицы влево или вправо, а затем на 3 единицы вверх и вниз, чтобы найти больше точек.

Мы нашли еще 3! На левой (или западной) стороне мы нашли \((-6,6)\) и \((-6,0)\), а ниже нашей заданной точки мы нашли \((2,0)\). Всего у нас теперь 8 точек на нашем круге, включая данную! И если мы готовы заняться более сложной математикой, мы можем найти любую из бесконечного числа точек на нашем круге. Раз уж мы в таком положении, давайте попробуем и это!

Сначала нам нужно установить наш домен, чтобы мы знали, какие \(x\)-значения мы можем выбрать. Крайнее левое значение \(x\) на нашем круге — это наша «западная» точка в точке -7. Наша самая правая точка — это наша «восточная» точка на +3. Итак, наш домен — это \(x\geq -7\) и \(x\leq 3\).

\(\text{Домен: } {{x\mid-7\leq x\leq 3}}\)

 

Таким образом, мы можем выбрать любое значение \(x\) от -7 до 3 чтобы найти соответствующие \(y\)-значения на окружности. Да, множественное число, потому что их будет 2.

Итак, давайте выберем \(x=-4\) из нашего домена. Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить это в наше уравнение для этого круга и найти \(y\).

Итак, мы используем значение \(x\) -4. И помните, наш центр находится в точке \((-2,3)\). Итак, теперь все, что мы собираемся сделать, это подставить это в наше уравнение для окружности. Так что помните, это: 9{2}=21\)

 

И мы возьмем квадратный корень из обеих частей. У нас остается:

\(y-3=+\sqrt{21}\)

 

И все, что нам нужно сделать, это добавить 3 к обеим сторонам. Итак, наши ответы:

\(y=+\sqrt{21}+3\)

 

Таким образом, наши два значения равны \(\sqrt{21}+3\) и \(-\sqrt{ 21}+3\). Если мы наносим эти точки на график, мы можем оценить их значение с помощью калькулятора, чтобы найти, что наши значения \(y\) приблизительно равны 7,58 и -1,58. Так что мы можем изобразить их тоже!

Теперь у нас на круге 10 очков! Можете ли вы найти еще? Поставьте это видео на паузу и попробуйте. Ответ для всех целых значений \(x\) появится вскоре после снятия паузы.

Вот другие точки на окружности с целыми \(x\)-значениями:

\((-5,-1)(-5,7)\)
 
\((-3,2\ sqrt{6}+3)(-3,-2\sqrt{6}+3)\)
 
\((-1,2\sqrt{6}+3)(-1,-2\sqrt{6 }+3)\)
 
\((0,\sqrt{21}+3)(0,-\sqrt{21}+3)\)
 
\((1,-1)(1,7) \)

 

Надеюсь, это видео о поиске точек на окружности было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Длина окружности | Уравнения окружности

 

Вопрос № 1:

 
Какие из следующих наборов точек находятся на окружности с центром в \((3,6)\) и радиусом 13 единиц?

\((-8,-18)\) и \((2,6)\)

\((-3,5)\) и \((4,8)\)

\(( -2,-6)\) и \((8,18)\) 92=169\)
\(25+144=169\)
\(169=169\)

Поскольку упорядоченная пара \((8,18)\) дает истинное утверждение при подстановке ее в уравнение окружности, она удовлетворяет уравнению, поэтому она также является точкой окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

 
Какие из следующих точек лежат на окружности с центром в \((-2,4)\) и содержат точку \((-2 ,0)\)?

\((0,4-2\sqrt{3})\) и \((0,4+2\sqrt{3})\) 92=16\)
\(4+4\cdot3=16\)
\(4+12=16\)
\(16=16\)

Так как упорядоченная пара \((0,4+2\ sqrt{3})\) дает истинное утверждение при подстановке его в уравнение окружности, оно удовлетворяет уравнению, поэтому также является точкой на окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

 
Каковы крайняя левая и крайняя правая точки на окружности с центром в \((4,-1)\) и содержащей точку \((8 ,2)\)?

\((4,-6)\) и \((4,4)\) 92}\)
\(r=5\)

Пока \(r=\pm5\), мы используем только 5, так как радиус имеет неотрицательную длину.

На координатной плоскости мы можем использовать значение \(r\) для подсчета длины радиуса в 5 единиц по горизонтали слева и справа (или к западу и востоку) от центра круга, чтобы найти самый дальний крайний левый и правые точки соответственно.

Если считать длину радиуса в 5 единиц к западу от центра, получается самая левая точка \((-1,-1)\) на окружности. Отсчет длины радиуса в 5 единиц к востоку от центра дает самую правую точку \((9,-1)\).

При подсчете длины радиуса в 5 единиц от центра к западу и востоку всегда получаются крайняя левая и крайняя правая точки на окружности. Ниже приведены 2 дополнительные точки, которые нанесены на окружность. Хотя обе точки также находятся в 5 единицах от центра, обратите внимание, что ни крайняя левая, ни крайняя правая точки не совпадают.

Скрыть ответ

Вопрос №4:

 
Вы привязываете своего питомца веревкой к столбу, вбитому в землю. Когда веревка полностью вытянута, ваш питомец может ходить по кругу вокруг столба. Если веревка имеет длину 10 футов, а кол установлен в начале координатной плоскости, какие из следующих точек находятся на пути, по которому идет ваш питомец? 92=100\)
\(36+64=100\)
\(100=100\)

Поскольку упорядоченная пара \((6,8)\) дает истинное утверждение при подстановке ее в уравнение окружности, она удовлетворяет уравнению, поэтому она также является точкой окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Концы спиц велосипедной шины крепятся к центру ступицы шины и ее ободу. Шина содержит 20 спиц. Если центр ступицы находится в начале координатной плоскости, а конец одной из ее спиц находится в точке \((6,-2)\) на координатной плоскости, в каком наборе точек могут быть концы двух из остальные 19спицы лежат?

\((-4,10)\) и \((2,20)\)

\((0,40)\) и \((40,0)\)

\(( -2,6)\) и \((5,\sqrt{15})\)

\((2,10)\) и \((4,-2\sqrt{10})\)

Показать Ответ

Ответ:

Поскольку центр ступицы велосипеда находится в начале координат плоскости, это точка с координатами \((0,0)\). Мы можем использовать начало координат и заданную точку на окружности, чтобы найти ее радиус.

Уравнение окружности в стандартной форме имеет вид \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), где \((h,k)\) - центр окружности, а \ (r\) — радиус окружности.