Составить уравнение плоскости через точку параллельно плоскости – , .

Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты не равны 0. в противном случае уравнение называется неполным.

  1. D=0 Ax+Ву+Сz=0 – плоскость, проходящая через начало координат.

Остальные случаи определяются положением нормального вектора n={А;В;С}.

  1. А=0 Ву+Сz+D=0 – уравнение плоскости, параллельной оси Ох. (Т.к. нормальный вектор n={0;В;С} перпендикулярен оси Ох).

  2. В=0 Ах+Сz+D=0 — уравнение плоскости, параллельной оси Оу. (Т.к. нормальный вектор n={А;0;С} перпендикулярен оси Оy).

  3. С=0 Ах+Ву+D=0 — уравнение плоскости,

    параллельной оси Оz. (Т.к. нормальный вектор n={А;B;0} перпендикулярен оси Оz).

  4. А=В=0 Сz+D=0 – z=-D/C уравнение плоскости, параллельной плоскости Оху (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оу).

  5. А=С=0 Ву+D=0 — у=-D/В- уравнение плоскости, параллельной плоскости Охz (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оz).

  6. В=С=0 Ах+D=0 – x=-D/A- уравнение плоскости, параллельной плоскости Оуz (т.к. эта плоскость параллельна осям Оу и Оz).

  7. A=D=0 By+Cz=0 — уравнение плоскости, проходящей через ось Ох.

  8. B=D=0 Ax+Cz=0 — уравнение плоскости, проходящей через ось Оy.

  9. A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – координатная плоскость Оху. (т.к. эта плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат).

  10. А=С=D=0 By=0 (y=0) – координатная плоскость Охz. (т.к. эта плоскость параллельна Охz и проходит через начало координат).

  11. B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – координатная плоскость Оуz. (т.к. эта плоскость параллельна Оуz и проходит через начало координат).

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Выведем уравнение плоскости, проходящей через 3 различные точки М111;z1), М222;z2), М333;z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М2=(х2121;z2-z1) и М1М3=(х3131;z3-z1) не коллинеарны. Поэтому точка М(х,у,z) лежит в одной плоскости с точками М

1, М2 и М3 тогда и только тогда, когда векторы М1М2, М1М3 и М1М=(х-х1;у-у1;z-z1) — компланарны, т.е. , когда их смешанное произведение равно 0

(М1М· М1М2· М1М3=0), т.е.

(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

(Разложив определитель по 1-й строке и упростив получим общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0).

Т.о. три точки однозначно определяют плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках на осях.

Плоскость Π пересекает оси координат в точках М1(а;0;0), М2(0;b;0), M3(0;0;c).

М(х;у;z)- переменная точка плоскости.

Векторы

М1М=(х-а;у;z)

М1М2=(0-а;b;0) определяют данную плоскость

М1М3=(-a;0;c)

Т.е. М1М· М1М2· М1М3=0

Разложим по 1-й строке: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Разделим равенство на abc≠0. Получим:

(5) уравнение плоскости в отрезках на осях.

Уравнение (5) можно получить из общего уравнения плоскости, предполагая, что D≠0, разделим на D

Ax+By+Cz+D=0

Ax+By+Cz=-D

Обозначив –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – получим уравнение 4.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол φ между двумя плоскостями α1 иα2 измеряется плоским углом между 2 лучами, перпендикулярными прямой, по которой эти плоскости пересекаются. Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных . Достаточно определить один из этих углов.

Пусть плоскости заданы общими уравнениями:

1: A1x+B1y+C1z+D1=0

2: A2x+B2y+C2z+D2=0

Нормальные векторы этих плоскостей: n1={A1;B1;C1}, n2={A2;B2;C2}.

Тогда искомый угол φ можно определить как угол между нормальными векторами

n1 и n2, следовательно:

сosφ=, т.е. сosφ= (6)

  1. Если плоскости α1||α2, то и нормальные векторы n1||n2. Следовательно, условие параллельности плоскостей: (7)

При этом, если , то плоскости совпадают.

2) Если плоскости α1α2, то и нормальные векторы n1n2. Следовательно, условие перпендикулярности плоскостей: А1А21В21С2=0 (8).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;3;1) параллельно плоскости 2х-3у+4z-5=0.

Т.к. α1||α2, то в качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем вектор n1=(2;-3;4). Параметр D найдем, подставив в уравнение 2х-3у+4z +D=0 координаты точки М.

studfiles.net

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) $Ax+By+Cz+D=0 -$ общее уравнение плоскости $P,$ где $\overline{N}=(A, B, C) -$ нормальный вектор плоскости $P.$

 

2) $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости $P,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ Вектор $\overline N$ называется нормальным вектором плоскости.

 

3) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 -$  уравнение плоскости в отрезках на осях, где $a,$  $b$ и $c -$ величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат.

 

4) $\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&x_2-x_1&x_3-x_1\end{vmatrix}=0 — $ уравнение плоскости, которая проходит через три точки $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ и $C(x_3, y_3, z_3).$ 

 

 

5) $x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0 -$ нормальное уравнение плоскости, где $\cos\alpha, \cos\beta$ и $\cos\gamma -$ направляющие косинусы нормального вектора $\overline{N},$ направленного из начала координат в сторону плоскости, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до плоскости.

 

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

 

Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $P: Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|.$$

 {jumi[*3]}

Примеры:

2.180.

а) Заданы плоскость $P: -2x+y-z+1=0$ и точка $M(1, 1, 1).$ Написать уравнение плоскости $P’,$ проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $P$ и вычислить расстояние $\rho(P, P’).$ 

Решение.

Так как п.лоскости $P$ и $P’$ параллельны, то нормальный вектор для плоскости $P$ будет также нормальным вектором для плоскости $P’.$ Из уравнения плоскости получаем $\overline{N}=(-2, 1, -1).$

Далее запишем уравнение плоскости по формуле (2): $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ 

$-2(x-1)+(y-1)-(z-1)=0\Rightarrow -2x+y-z+2=0.$

Ответ: $-2x+y-z+2=0.$

 

 

 

2.181. 

а) Написать уравнение плоскости $P’,$ проходящей через заданные точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ перпендикулярно заданной плоскости $P: -x+y-1=0.$

Решение.

Из уравнения плоскости $P,$ находим ее нормальный вектор $\overline{N}=(-1, 1, 0).$ Плоскость, перпендикулярная плоскости $P,$ параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку $M_3(x, y, z)\in P’$ такую, что что $\overline{M_1M_3}||\overline{N}.$

$\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$

Условие коллинеарности векторов $\overline{M_1M_3}$ и $\overline{N}:$ $\frac{x_{M_1M_3}}{x_N}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_N}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_N}.$

Поскольку $z_N=0,$ то есть вектор $N\in XoY,$ то $z_{M_1M_3}=0.$

$\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}.$ Пусть $x=2,$ тогда $y=1.$

Мы нашли точку $M_3=(2, 1, 0).$

Так как точка $M_1\in P’,$ то и $M_3\in P’.$ Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(2, 1, 0).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\2-1&1-2&0-0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)0+(-1)z+(y-2)-(-1)z-(-1)(x-1)-(y-2)0=0\Rightarrow$ $\Rightarrow-z+y-2+z+x-1=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

2.182.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ параллельно векторам $a_1(0, 1, 2)$ и $a_2(-1, 0, 1).$ 

Решение.

Поскольку вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2$ (см. векторное произведение), то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор $[a_1, a_2]$ является нормальным для плоскости $P.$ Найдем этот вектор:

$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\0&1&2\\-1&0&1\end{vmatrix}=i(1-0)-j(0+2)+k(0+1)=i-2j+k.$

Таким образом $\overline{N}=[a_1, a_2]=(1, -2, 1).$

Теперь можно найти уравнение плоскости $P,$ по формуле (2), как плоскости, проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ перпендикулярно  вектору $\overline N=(1, -2, 1):$

$1(x-1)-2(y-1)+1(z-1)=0\Rightarrow$

$x-2y+z=0.$

Ответ: $x-2y+z=0.$

 

 

2.183.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ параллельно вектору $a=(3, 0, 1).$

Решение.

Поскольку вектор $a$ параллелен плоскости $P,$ то для всякого вектора $\overline{M_1M_3},$ параллельного вектору $a,$ точка $M_3\in P.$

Пусть $M_3=(x, y, z).$ Тогда $\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$ Так как $\overline{M_1M_3}||a,$ то $\frac{x_{M_1M_3}}{x_а}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_а}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_а}.$ $y_a=0,$ то есть вектор $a\in XoZ$ и  всякий параллельный ему вектор так же будет принадлежать этой плоскости. Таким образом, $y_{M_1M_3}=y-2=0\Rightarrow y=2.$

Из условия параллельности векторов имеем $\frac{x-1}{3}=\frac{z}{1}.$ Пусть $x=4,$ тогда $z=1.$

Мы получили точку $M_3=(4, 2, 1).$

Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(4, 2, 1).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\4-1&2-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\3&0&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+1\cdot z\cdot 0+(y-2)3-3(-1)z-0\cdot 1\cdot(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+3y-6+3z-y+2=0\Rightarrow -x+2y+3z-3=0.$

Ответ: $-x+2y+3z-3=0.$ 

 

2.184.

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(1, 2,0),$ $M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(3, 0, 1).$ 

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\3-1&0-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\2&-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+z(-2)+2(y-2)1-2(-1)z-(-2)(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+-2z+2y-4+2z+2x-2-y+2=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

 {jumi[*4]} 

mathportal.net

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым — ALL

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и направляющих векторов прямых.

Введём обозначения:

— радиус-вектор точки плоскости;

— радиус-вектор точки;

— направляющий вектор первой прямой;

— направляющий вектор второй прямой.

Векторная форма:

Координатная форма:

  • уравнение плоскости, проходящей через три точки;
  • уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
  • уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
  • уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
  • уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
  • уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
  • уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.187.
  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.221.
  • Участник:Logic-samara

allll.net

Глава 38. Общее уравнение плоскости

913 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n={1; -2; 3}.
914 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n={5; 0; -3}.
915 Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916 Даны точки M1(3; -1; 2), M2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1перпендикулярно вектору .
917 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М
1
(3; 4; -5) параллельно векторам a1={3; 1; -1) и a2={1; -2; 1}.
918  

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно векторам a1={l1, m1, n1} и a2={l2; m2; n2}, может быть представлено в следующем виде:

.

919 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; -1; 3), M2(3; 1; 2) параллельно вектору a={3; -1; 4}.
920
 

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) параллельно вектору a={l; m; n}, может быть представлено в следующем виде:

.

921 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1), М3(2; 0; 2).
922  

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2), M3

(x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде:

.

923 Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
923.1 ;
923.2 ;
923.3 ;
923.4 ;
923.5 ;
923.6 .
924 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
924.1  , ;
924.2 , ;
924.3 , .
925 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
925.1 , ;
925.2 , ;
925.3  , .
926 Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:
926.1 , ;
926.2 , ;
926.3 , .
927 Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
927.1 , ;
927.2 , ;
927.3 , .
928 Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
928.1 , ;
928.2 , ;
928.3 , ;
928.4 , .
929 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .
930 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3; -2; -7) параллельно плоскости .
931 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям , .
932 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям , .
933

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям , , может быть представлено в следующем виде:

.

934 Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; -1; -2), M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости .
935

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости , может быть представлено в следующем виде:

.

936 Установить, что три плоскости , , имеют общую точку, и вычислить ее координаты.
937 Доказать, что три плоскости , , проходят через одну прямую.
938 Доказать, что три плоскости , , пересекаются по трем различным параллельным прямым.
939 Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :
939.1 имеют одну общую точку;
939.2 проходят через одну прямую;
939.3 пересекаются по трем различным параллельным прямым.

a-geometry.narod.ru

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки — КиберПедия

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Составим уравнение плоскости, которая проходит через три данные точки М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2), М3(х3; у3; z3). Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и составим векторы = (х – х1; у у1; z – z1), = (х2 – х1; у2у1; z2 – z1), = (х3 – х1; у3у1; z3 – z1). Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарны. Используя условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получим ∙ ∙ = 0, то есть

= 0. (3.5)

Уравнение (3.5) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

 

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Угол между плоскостями

Пусть даны две плоскости

А1х + В1у + С1z + D1 = 0,

А2х + В2у + С2z + D2 = 0.

За угол между плоскостями принимаем угол φ между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами (что дает два угла, острый и тупой, дополняющих друг друга до π). Так как нормальные векторы плоскостей = (А1, В1, С1) и = (А2, В2, С2) перпендикулярны им, то получаем

cosφ =

или

cosφ = .

 

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Если две плоскости перпендикулярны, то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю: ∙ = 0. Значит, условием перпендикулярности двух плоскостей является

А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

 

Условие параллельности двух плоскостей

Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормальные векторы. Тогда одноименные координаты нормальных векторов пропорциональны. Значит, условием параллельности плоскостей является

= = .

 

 

Расстояние от точки М0(x0, y0, z0) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0.

Расстоянием от точки М0(x0, y0, z0) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость, и находится по формуле

d = .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(– 1, 2, 7) перпендикулярно вектору = (3, – 1, 2).

Решение

Согласно уравнению (3.1) получаем

3(х + 1) – (у – 2) + 2(z – 7) = 0,

3ху + 2z – 9 = 0.

Пример 2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; – 3; – 7) параллельно плоскости 2х – 6у – 3z + 5 = 0.

Решение

Вектор = (2; – 6; – 3) перпендикулярный к плоскости перпендикулярен и к параллельной плоскости. Значит, искомая плоскость проходит через точку М(2; – 3; – 7) перпендикулярно вектору = (2; – 6; – 3). Найдем уравнение плоскости по формуле (3.1):

2(х – 2) – 6(у + 3) – 3(z + 7) = 0,

2х – 6у – 3z – 43 = 0.



 

Пример 3.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2; 3; – 1) и М2(1; 5; 3)перпендикулярно к плоскости 3ху + 3z + 15 = 0.

Решение

Вектор = (3; – 1; 3) перпендикулярный к заданной плоскости будет параллелен искомой плоскости. Таким образом, плоскость проходит через точки М1 и М2 параллельно вектору .

Пусть М(x; y; z) произвольная точка плоскости, тогда векторы = (х – 2; у – 3; z + 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

 

 

Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

(х – 2) – (у – 3) + (z + 1) = 0,

10(х – 2) – (– 15)(у – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(х – 2) + 3(у – 3) – (z + 1) = 0,

+ 3уz – 14 = 0 – уравнение плоскости.

 

Пример 4.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям 2ху + 5z + 3 = 0 и х + 3уz – 7 = 0.

Решение

Пусть – нормальный вектор искомой плоскости. По условию плоскость перпендикулярна данным плоскостям, значит и , где = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Значит, в качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и , то есть = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Подставив координаты вектора в уравнение плоскости, проходящей через начало координат Ах + Ву + Сz = 0, получим

– 14х + 7у + 7z = 0,

или

2хуz = 0.

 

Вопросы для самопроверки

1 Записать общее уравнение плоскости.

2 Каков геометрический смысл коэффициентов при х, у, z в общем уравнении плоскости?

3 Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к вектору = (А; В; С).

4 Записать уравнение плоскости в отрезках по осям и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

5 Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2), М3(х3; у3; z3).

6 Записать формулу, по которой находят угол между двумя плоскостями.

7 Записать условия параллельности двух плоскостей.

8 Записать условие перпендикулярности двух плоскостей.

9 Записать формулу, по которой вычисляется расстояние от точки до плоскости.



 

Задачи для самостоятельного решения

1Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; – 1; 1) перпендикулярно вектору = (1; – 2; 3). (Ответ: х – 2у + 3z – 7 = 0)

2Точка Р(1; – 2; – 2) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к плоскости. Составить уравнение этой плоскости. (Ответ: х – 2у – 2z – 9 = 0)

3Даны две точки М1(2; – 1; 3) и М2(– 1; 2; 4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору . (Ответ: 3х – 3уz – 6 = 0)

4Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(3; – 1; 2), М2(4; – 1; – 1), М3(2; 0; 2). (Ответ: 3х + 3у + z – 8 = 0)

5Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; – 1; 2) и М2(2; 1; 3) параллельно вектору = (3; – 1; 4). (Ответ: 9х + 7у – 5z – 10 = 0)

6Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; 3; – 4) параллельно векторам = (3; 1; – 1) и = (1; – 2; 1). (Ответ: х + у + 7z + 14 = 0)

7Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; – 1; 1) перпендикулярно плоскостям 2ху + z – 1 = 0 и х + 2уz + 1 = 0. (Ответ: х – 3у – 5z + 1 = 0)

8Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1; 0; 1) и М2(1; 2; – 3) перпендикулярно плоскости ху + z – 1 = 0. (Ответ: х + 2у + z – 2 = 0)

9Найти угол между плоскостями 4х – 5у + 3z – 1 = 0 и х – 4уz + 9 = 0. (Ответ: φ = arccos0,7)

10Найти расстояние от точки М(2; – 1; – 1) до плоскости 16х – 12у + 15z – 4 = 0. (Ответ: d = 1)

11Найти точку пересечения трех плоскостей 5х + 8уz – 7 = 0, х + 2у + 3z – 1 = 0, 2х – 3у + 2z – 9 = 0. (Ответ: (3; – 1; 0))

12Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М1(1; – 2; 6) и М2(5; – 4; 2) и отсекает равные отрезки на осях Ох и Оу. (Ответ: 4х + 4у + z – 2 = 0)

13Найти расстояние между плоскостями х + 2у – 2z + 2 = 0 и 3х + 6у – 6z – 4 = 0. (Ответ: d = )

 

cyberpedia.su

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.