Составьте комбинаторную задачу которая решается с помощью правила умножения: Составьте комбинаторную задачу которая решается с помощью правила умножения. — Знания.site

Правило умножения при решении комбинаторных задач

Тема урока: Правило умножения при решении комбинаторных задач

Цели урока: довести до понимания каждого учащегося понятия «комбинация», «дерево вариантов», правило умножения как способа решения задач комбинаторики путём рассуждений, показать применение способов в предложенных ситуациях, задачах.

Оборудование: ПК, проектор, интерактивная доска SMART BOARD.

МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ:

Программное обеспечение для доски Smart Board.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку.

Учитель: Добрый день, я учитель математики, зовут меня Елена Ивановна, сегодня я проведу у вас урок, надеюсь, что он будет интересным для нас.

Слайд 1

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным» сказал Блез Паскаль

У вас на партах лежит рабочий лист (приложение 1), Найдите на нём таблицу, которая называется оценочный лист, впишите свою фамилию, имя. В течение урока вы будете выполнять различные задания, оценивать свои результаты и вносить их в оценочный лист. По ходу урока я буду напоминать вам об этом, и том, какие оценки вы можете заносить в таблицу.

Сегодня на уроке мы откроим новую страницу в изучении математике. Ребята, попробуйте сами догадаться, о чём пойдёт речь.

Обратите внимание на экран. Слайд 2

Что общего на этих картинках? Чем они отличаются?

Ответы детей.

Или иначе меняется комбинация шаров.

На доске появилось слово «комбинация» Слайд 3

Комбинация — перебор вариантов, сочетание или взаимное расположение чего-либо. Шторка

А комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов и правил расчёта числа комбинаций.

Комбинаторика возникла в 17 веке. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был связан с математикой немецким философом, Лейбницем.

В математике есть термин «комбинаторные задачи». Как вы думаете, какие это задачи? Слайд 4

Задача, в которой нужно осуществить перебор и подсчитать число всевозможных вариантов, точнее комбинаций, называют комбинаторной.

Давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока:

«Правило умножения при решении комбинаторных задач» Шторка

Чтобы понять какие задачи бывают на комбинации или варианты перебора, рассмотрим следующую задачу:

Задача:

Вы сидите по два человека за партой. Встаньте и поздоровайтесь с соседями за вашей и соседней партой, как принято в обществе здороваться при встрече.

Подсчитайте, сколько всего рукопожатий вы сделали?

Первый поздоровался с тремя, второй с двумя, третий с одним 3*2*1=6

Постановка проблемы.

А если вы захотите поздороваться все друг с другом? Сколько рукопожатий всего будет сделано? Может быть есть другой способ решения этой задачи?

Вернёмся к ней позднее.

Рассмотрим следующую задачу: Слайд 5

Перед вами в корзине лежат три фигуры.

Задание: составьте различные возможные комбинации из фигур, лежащих в корзине, при этом используйте все фигуры. Сосчитайте комбинации.

Кто хочет выполнить это задание у доски ?

Сколько комбинаций получилось? (ответ 6)

Это один из вариантов комбинаторных задач.

Учитель : Задача в которой нужно осуществить перебор и подсчитать число всевозможных вариантов ,точнее комбинаций, называют комбинаторной.

Внимание. Слайд 6

На доске записаны 5 цифр- 0,1,2,3.4. Нужно составить их этих цифр двузначные числа. Назовите несколько чисел. Одна комбинация: 2и 3 23, 1и 4 -14- вторая комбинация.

Вам нужно подсчитать, сколько чисел (комбинаций цифр) можно составить из этих пяти цифр?

Что вы будете делать?

На доске показан способ решения этой задачи при помощи дерева вариантов.

-почему от ствола отходит только 4 ветки?

-что означает вторая группа ветвей?

-почему от каждой ветви первой группы отходит по 5 ветвей второй группы?

-сколько двузначных чисел получилось?

Поднимите руку, те, у кого получились все 20 комбинаций? Есть другие ответы? Давайте проверим. Шторка

Поставьте в оценочный лист 3 балла, кто ошибся с числом двузначных чисел, не ставьте баллы.

Чтобы найти все двузначные числа из этих цифр, мы составили схему, которая называется геометрической моделью, дерево вариантов.

— итак, получилось 20 двухзначных чисел.

Как вы думаете, количество вариантов изменится, если взять не 5, а 9 цифр? Оно станет большим?

Ученики ответят: дерево вариантов разрастётся, если нет я отвечу:

-дерево вариантов разрастётся. Решение займёт много времени и места.

А можете вы предложить другой способ решения этой задачи?

Рассмотрим его.

Сколько цифр единиц для каждой из 4 цифр десятков найдётся?

-5.

Значит, для каждой из 4 по пять.

Действие, которое позволяет находить сумму одинаковых слагаемых называется – умножением. 4*5=20

Способ рассуждения, при котором нашли все возможные комбинации, называют правилом умножения. Слайд 7

Применение правила умножения к решению задач. (Шторка)

Решите самостоятельно следующую задачу:

Каждый из вас имеет компьютер. Чтобы никто не смог открыть вашу папку или компьютер вы ставите пароль.

Вы должны составить кодовое слово — пароль из предложенных букв слова ЗАМОК, используя каждую букву только один раз. Сколько вариантов придётся перебрать тому, кто попытается открыть ваши файлы?

Можно показать часть дерева вариантов, можно воспользоваться правилом умножения.

Если кому-то из вас трудно найти все варианты, можете воспользоваться алгоритмом на ваших рабочих листах (дерево можно построить на обратной стороне)

Сколько комбинаций получилось у вас? (ответ:120)

Если решили верно( любым способом)-3 балла, если строили дерево вариантов, но не достроили-2 балла

если нет-0 баллов.

Кто решал задачу при помощи дерева? При помощи правила умножения? Какой способ, по-вашему, лучше? Почему? Какой способ надежней? Какой экономней по времени? (у каждого способа свои преимущества, все зависит от человека, который его использует.)

Ребята, а сейчас мы сможем ответить на вопрос, который поставили в начале урока?

Подсчитайте, сколько всего рукопожатий вы бы сделали?

Сколько человек в классе? (18)

171615…

Первый поздоровался с17, второй с 16, третий с 15 и т. д.

Мы разобрали решение нескольких задач вместе с вами, а дома каждый из вас попробует решить самостоятельно задачи, которые есть на ваших листах.

Домашняя работа

1 вариант

А)Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6, 8?Цифры не могут повторяться.

Б)Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться ?

2.вариант

А)Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3,5,7,9?Цифры не могут повторяться

Б) Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться ?

Итоги урока

Сегодня на уроке вы рассмотрели понятия Слайд 8 : (дети отвечают)

(С опорой на доску) учитель показывает, дети называют слово, словосочетание и комментируют его. ШТОРКА

что такое комбинации, рассмотрели комбинаторные задачи и два способа их решения: дерево вариантов и правило умножения.

Приведите примеры с комбинациями цифр и букв, которые встречаются в вашей жизни.

Коды на входных дверях подъездов дома, сейфы, ячейки в банке, пин-коды на карточках, коды на продуктах, номера телефонов и т. д. Слайд 9

Подсчитайте колличество баллов в ваших листах, оцените свою работу, согласно набранных баллов.

А теперь, ребята, давайте сделаем оценку нашего урока. В преддверии Новогодних праздников, нарядим ёлочку. Каждый из вас повесит на ёлочку шарик своего настроения.

Если урок отличный интересный захватывающий , то жёлтый шарик

Если урок нормальный, обычный, то красный,

Если своей работой на уроке я доволен , то зелёный,

Если урок скучный, работа без интереса то фиолетовый.

Посмотрите, какая красивая ёлочка у нас получилась.

Я приготовила вам новогодний сюрприз. С наступающим новым годом вас!

Слайд 10

Спасибо за урок!

Фамилия, имя			Итого баллов
№1	№2	№3

8-9 баллов – «5»

6-7 баллов – «4»

5 и меньше баллов – без оценки

ЗАМОК (буквы можно менять местами, нельзя использовать одну букву несколько раз)

1. Для первой буквы можно использовать все …. букв.

2.Для второй буквы ….вариантов( осталось не использованных букв).

3. Для третьей буквы….. варианта.

4. Для четвёртой… вариантов, так же считаю варианты для числа комбинаций

для пятой и шестой буквы.

Все варианты найду с помощью правила …………….. и получу ответ.

Домашняя работа

А) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6, 8?

Б) Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться?

Фамилия, имя			Итого баллов
№1	№2	№3

8-9 баллов – «5»

6-7 баллов – «4»

5 и меньше баллов – без оценки.

ЗАМОК (буквы можно менять местами, нельзя использовать одну букву несколько раз).

1. . Для первой букв можно использовать все …. букв.

2.Для второй буквы …. вариантов (осталось не использованных букв).

3. Для третьей буквы….. варианта.

4. Для четвёртой… вариантов, так же считаю варианты для числа комбинаций

для пятой и шестой буквы.

Все варианты найду с помощью правила …… ……….. и получу ответ.

Домашняя работа

А) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3,5,7,9?

Б) Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться?

Комбинаторная задача. Простейшие комбинаторные задачи. Комбинаторные задачи: примеры

Преподаватели математики знакомят своих учеников с понятием «комбинаторная задача» еще в пятом классе. Это необходимо для того, чтобы они сумели в дальнейшем работать с более сложными заданиями. Под комбинаторностью задачи можно понимать возможность решить ее с помощью перебора элементов конечного множества.

Главным признаком задач такого порядка является вопрос к ним, который звучит как «Сколько вариантов?» или «Сколькими способами?» Решение комбинаторных задач напрямую зависит от того, понял ли решающий их смысл, сумел ли он правильно представить действие или процесс, которые были описаны в задании.

Как решить комбинаторную задачу?

Важно корректно определить тип всех имеющихся в рассматриваемой задаче соединений, но при этом необходимо произвести проверку относительно того, имеются ли в ней повторы элементов, изменяются ли сами элементы, играет ли большую роль их порядок, а также относительно некоторых других факторов.

Задача. Математика: задачи. Ответ задачи

Математическая задача — это проблемная ситуация, которая решается путём использования…

Комбинаторная задача может иметь целый ряд ограничений, которые могут быть наложены на соединения. В этом случае понадобится просчитать полностью ее решение и проверить, оказывают ли эти ограничения какое-либо влияние на соединение всех элементов. Если влияние действительно имеется, необходимо проверить, какое именно.

С чего начать?

Для начала необходимо научиться решать простейшие комбинаторные задачи. Овладение простым материалом позволит научиться разбираться в более сложных заданиях. Рекомендуется сначала начать решать задачи с ограничениями, которые не учитываются при рассмотрении более простого варианта.

Также рекомендуется попытаться решать сначала те задачи, в которых нужно рассматривать меньшее количество общих элементов. Таким образом вы сможете понять принцип создания выборок и научиться в дальнейшем самостоятельно создавать их. Если задача, для которой необходимо использовать комбинаторику, состоит из комбинации нескольких более простых, рекомендуется решать ее по частям.

Узнаем как научиться решать задачи по математике без особых…

В курсе математики обязательно встречаются разного рода уравнения и задачи, но у многих они…

Решение комбинаторных задач

Такие задачи могут показаться простыми в решении, однако комбинаторика достаточно сложна для освоения, некоторые из них не имеют решения уже на протяжении последних сотен лет. Одной из самых известных задач является определение количества магических квадратов специального порядка, когда число n больше 4.

Комбинаторная задача тесно связана с теорией вероятности, которая появилась еще в средневековые времена. Вероятность происхождения того или иного события можно вычислить только с использованием комбинаторики, в данном случае понадобится чередовать все факторы местами, чтобы получить оптимальное решение.

Решение задач

Комбинаторные задачи с решением используются для обучения учеников и студентов работе с данным материалом. Если же говорить в целом, они должны вызвать у человека интерес и желание найти общее решение. Помимо математических расчетов, необходимо применять умственное напряжение и использовать догадку.

В процессе решения поставленных задач ребенок сможет развить у себя математическое воображение и комбинаторные способности, это может серьезно пригодиться ему в дальнейшем. Постепенно уровень сложности решаемых заданий необходимо повышать, чтобы не забывать имеющиеся знания и добавлять к ним новые.

Способ 1. Перебор

Методы решения комбинаторных задач очень сильно отличаются друг от друга, но все они могут быть использованы учеником для получения ответа. Одним из самых простых, но в то же время и самых долгих способов является перебор. При нем необходимо просто перебрать все возможные варианты решения, не составляя каких-либо схем и таблиц.

Как правило, вопрос в такой задаче связан с возможными вариантами происхождения того или иного события, например: какие числа можно составить с помощью цифр 2, 4, 8, 9? Путем перебора всех вариантов составляется ответ, состоящий из возможных комбинаций. Такой способ прекрасно подходит, если количество возможных вариантов сравнительно невелико.

Способ 2. Дерево из вариантов

Некоторые комбинаторные задачи можно решить, только составляя схемы, в которых будет подробно указана информация о каждом элементе. Составление дерева возможных вариантов – еще один способ нахождения ответа. Он подходит для решения не слишком-то сложных задач, в которых имеется дополнительное условие.

Пример такой задачи:

• Какие пятизначные числа можно составить из цифр 0, 1, 7, 8? Для решения понадобится построить дерево из всех возможных комбинаций, при этом имеется дополнительное условие – число не может начинаться с нуля. Таким образом, ответ будет состоять из всех чисел, которые будут начинаться с 1, 7 или 8.

Способ 3. Формирование таблиц

Решение комбинаторных задач можно выполнить и с помощью таблиц. Они схожи с деревом возможных вариантов, поскольку предлагают наглядное решение ситуации. Для нахождения правильного ответа нужно сформировать таблицу, причем она будет зеркальной: горизонтальные и вертикальные условия будут одинаковыми.

Возможные варианты ответов будут получаться на пересечении столбцов и строчек. При этом ответы на пересечении столбца и строки с одинаковыми данными получаться не будут, эти пересечения необходимо особо пометить, чтобы не запутаться при составлении итогового ответа. Этот способ не слишком-то часто выбирается учениками, многие отдают предпочтение дереву с вариантами.

Способ 4. Умножение

Есть еще один способ, с помощью которого можно решить комбинаторные задачи, – правило умножения. Он прекрасно подходит в том случае, когда по условию не нужно перечислять все возможные варианты решения, необходимо просто найти их максимальное количество. Этот метод единственный в своем роде, им пользуются очень часто, когда только начинают решать комбинаторные задачи.

Пример такой задачи может выглядеть следующим образом:

• 6 человек ожидают экзамена в коридоре. Сколько способов можно использовать, чтобы расположить их в общем списке? Для получения ответа необходимо уточнить, сколько их них может быть на первом месте, сколько на втором, на третьем и т. д. Ответом будет число 720.

Комбинаторика и ее виды

Комбинаторная задача не является только лишь школьным материалом, студенты вузов также изучают ее. В науке существует несколько видов комбинаторики, и у каждого из них имеется собственная миссия. Перечислительная комбинаторика должна рассматривать задачи на перечисление и подсчет возможных конфигураций с дополнительными условиями.

Структурная комбинаторика является компонентом вузовской программы, в ней изучаются теории матроидов и графов. Экстремальная комбинаторика также имеет отношение к вузовскому материалу, и здесь имеются свои индивидуальные ограничения. Еще один раздел – теория Рамсея, занимающаяся изучением структур в случайных вариациях элементов. Существует и лингвистическая комбинаторика, которая занимается рассмотрением вопроса о сочетаемости тех или иных элементов между собой.

Методика преподавания комбинаторных задач

Согласно учебным планам, возраст учеников, который рассчитан на первичное знакомство с данным материалом и на решение комбинаторных задач, – 5 класс. Именно там впервые данная тема предлагается на рассмотрение ученикам, они знакомятся с явлением комбинаторности и пытаются решать поставленные перед ними задачи. При этом очень важно, чтобы при постановке комбинаторной задачи использовался метод, когда дети сами занимаются поиском ответов на вопросы.

Кроме всего прочего, после изучения указанной темы будет намного легче вводить понятие факториала и использовать его при решении уравнений, задач и пр. Таким образом, комбинаторность играет важную роль при получении дальнейшего образования.

Комбинаторные задачи: зачем они нужны

Если вы знаете, что такое комбинаторные задачи, то никаких сложностей с их решением вы испытывать не будете. Методика их решения может пригодиться при необходимости составления расписаний, графиков работы, а также сложных математических вычислений, для выполнения которых не подойдут электронные устройства.

В школах с углубленным изучением математики и информатики комбинаторные задачи изучаются дополнительно, для этого составляются спецкурсы, методические пособия и задачи. Как правило, несколько задач подобного типа могут входить в состав Единого Государственного Экзамена по математике, обычно их «прячут» в части С.

Как решить комбинаторную задачу быстро

Очень важно суметь разглядеть комбинаторную задачу быстро, поскольку она может иметь завуалированную формулировку, это особенно важно при сдаче ЕГЭ, где каждая минута на счету. Выпишите отдельно информацию, которую вы видите в тексте задачи, на листок, а затем попытайтесь проанализировать ее с точки зрения четырех известных вам способов.

Если вы можете уложить информацию в таблицу или другое образование, пробуйте ее решать. Если классифицировать ее вы не можете, в этом случае лучше всего оставить ее ненадолго и перейти к решению другой задачи, чтобы не терять драгоценное время. Данной ситуации можно избежать, если заранее порешать некоторое количество задач этого типа.

Где найти примеры

Единственное, что поможет вам научиться решать комбинаторные задачи, – примеры. Их вы можете найти в специальных математических сборниках, которые продаются в магазинах образовательной литературы. Однако там можно найти информацию лишь для студентов вуза, школьникам придется искать задачи дополнительно, как правило, для них задания придумываются остальными учителями.

Преподаватели вузов считают, что студентам необходимо тренироваться и постоянно предлагают им дополнительную учебную литературу. Одним из лучших сборников считается «Методы дискретного анализа в решении комбинаторных задач», написанный в 1977 году и выпускаемый неоднократно ведущими издательствами страны. Именно там можно найти задачи, которые были актуальны на тот момент и остаются актуальными сегодня.

Что делать, если нужно составить комбинаторную задачу

Чаще всего комбинаторные задачи необходимо составлять преподавателям, которые обязаны научить студентов мыслить нешаблонно. Здесь все будет зависеть от творческого потенциала составителя. Рекомендуется обратить внимание на уже существующие сборники и попробовать составить задачу так, чтобы она сочетала в себе сразу несколько способов ее решения и имела отличные от книжных данные.

Преподаватели вузов в этом плане намного свободнее школьных, они зачастую дают своим студентам задание самим придумать комбинаторные задачи с подробными методами решения и объяснениями. Если вы не относитесь ни к тем, ни к другим, можно попросить помощи у тех, кто действительно разбирается в вопросе, а также нанять частного репетитора. Одного академического часа достаточно для того, чтобы составить несколько подобных задач.

Комбинаторика – наука будущего

Многие специалисты в области математики и физики считают, что именно комбинаторная задача может стать толчком в развитии всех технических наук. Достаточно лишь нестандартно подойти к решению тех или иных проблем, и тогда можно будет ответить на вопросы, которые уже несколько веков не дают покоя ученым. Некоторые из них всерьез утверждают, что комбинаторика является подспорьем для всех современных наук, особенно космонавтики. Намного проще будет высчитывать траектории полета кораблей с помощью комбинаторных задач, также они позволят определить точное нахождение тех или иных небесных светил.

Реализация нестандартного подхода уже давно началась в азиатских странах, там ученики даже элементарные задачи по умножению, вычитанию, сложению и делению решают, используя комбинаторные методы. На удивление многих европейских ученых, методика действительно работает. Школы Европы пока что только начали перенимать опыт своих коллег. Когда именно комбинаторика станет одним из основных разделов математики, предположить сложно. Сейчас наука изучается ведущими учеными планеты, которые стремятся популяризировать ее.

20.3: Правило умножения — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

83507

• Джереми Сильвестр
• Университет Альберты Августана

Пример \(\PageIndex{1}\): подсчет небольшого декартова произведения.

Что такое \(\vert A \times B \vert\) для \(A = \{0, 1, 2, 3 \}\) и \(B = \{-1, 0, 1 \}\ text{?}\)

Solution

Мы можем решить это, просто выписав элементы \(A \times B\) и сосчитав их.

\begin{align*} A \times B & = \{ (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1 ,1),\\ & \quad (2,-1), (2,0), (2,1), (3,-1), (3,0), (3,1) \} \end {align*}
Итак, \(\vert A \times B \vert = 12\text{.}\)

Пример \(\PageIndex{2}\): подсчет большого декартова произведения.

Что такое \(\vert C \times D \vert\) для \(C = \{ a,b,c,\ldots,z \}\) и \(D = \{0,1,2, \cdots,99 \}\text{?}\)

Solution

Выписать все элементы \(C \times D\) и затем подсчитать их все кажется большой работой. Вместо этого, используя наш опыт из рабочего примера \(\PageIndex{1}\), обратите внимание, что мы обычно выполняем задачу записи элементов декартова произведения в виде шаблона, чтобы убедиться, что мы получаем их все. Один за другим мы выбираем один элемент первого набора \(C\text{,}\) и соединяем его с каждые элемента второго набора \(D\text{. }\) Из этого шаблона мы видим, что для каждого \(c \in C\text{,}\) есть \(\vert D \vert\) элементов \(C \times D\) с \(c\) в качестве первой координаты, и существуют \(\vert C \vert\) такие группировки элементов из \(C \times D\text{.}\ ) Таким образом, мы приходим к

\begin{equation*} \vert C \times D \vert = \vert C \vert \cdot \vert D \vert = 26 \cdot 100 = 2600 \text{.} \end{equation *}

Контрольная точка \(\PageIndex{1}\)

Для множеств \(X\) и \(Y\text{,}\) определите отношение эквивалентности на \(X \times Y\), чьи классы эквивалентности раздел \(X \times Y\) способом, описанным в предоставленном решении рабочего примера \(\PageIndex{2}\). Затем опишите, как количество классов и количество объектов в каждом классе соответствуют \(\vert X \vert\) и \(\vert Y \vert\text{.}\)

Теорема \(\PageIndex{1}\): Правило умножения.

Если есть \(m\) способов выполнить задачу \(S\) и \(n\) способов выполнить задачу \(T\text{,}\), то есть \(m n\) способов выполнить задача \(S\), за которой следует задача \(T\text{. }\)

Предупреждение \(\PageIndex{1}\)

Правило умножения применяется только к последовательным задачам \(S,T\) таким образом, что количество способов выполнения задачи \(T\) не зависит от выбора, сделанного при выполнении задачи \(S\text{.}\)

Пример \(\PageIndex{3}\): подсчет декартовых элементов произведения путем создания произвольного элемента.

Чтобы создать конкретный пример элемента из \(A \times B\text{,}\), мы должны сначала выбрать элемент \(A\) в качестве первой координаты (задача \(S\)), затем выберите элемент \(B\) в качестве второй координаты (задача \(T\)). Есть \(m = \vert A \vert\) способов выполнить задачу \(S\) и \(n = \vert B \vert\) способов выполнить задачу \(T\text{.}\) Следовательно, Правило умножения гласит, что существует \(m n\) способов построить элемент \(A \times B\text{,}\), что означает \(\vert A\times B \vert = m n\text{.}\ )

Пример \(\PageIndex{4}\): Выбор кандидатов.

Предположим, вы директор по кастингу и вам нужно выбрать как основного актера, так и дублера на главную роль в спектакле. Если \(n\) актеров прослушиваются на роль, то есть \(n\) различных способов выбрать основного актера. После того, как этот выбор сделан, остается \(n-1\) различных способов выбрать дублера. Следовательно, существует \(n (n — 1)\) способов разыграть роль.

Теперь фактический список кандидатов на роль дублера будет различаться в зависимости от того, какому актеру предлагается главная роль. Однако независимо от того, кто выбран на роль лидера, номер остальных кандидатов в дублеры такой же.

Примечание \(\PageIndex{1}\)

Мы можем распространить правило умножения на любое (конечное) количество последовательных задач.

Пример \(\PageIndex{5}\): мощность декартова произведения многих множеств.

Если \(A_1,A_2,\ldots,A_m\) конечные множества с \(\vert A_j \vert= m_j\text{,}\), то

\begin{equation*} \vert A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_\ell \vert = m_1 m_2 \cdots m_\ell \text{.} \end{equation*} 9\ast_5\), в котором нет двух одинаковых букв, существует

• \(5\) способов выбрать первую букву,
• \(4\) оставшихся способов выбрать вторую букву,
• \(3\) оставшихся способов выбрать третью букву,
• \(2\) оставшихся способов выбрать четвертую букву и
• только \(1\) оставшийся способ выбрать последнюю букву. 3 = 125\text{.}\)

  Количество инъекций.
  Введение \(f: A \hookrightarrow B\) может быть построено в три шага: выберите \(f(a)\text{,}\), затем выберите \(f(b)\) на

  отличных от \(f(a)\text{,}\), затем выберите \(f(c)\), чтобы он отличался как от \(f(a)\), так и от \(f(b)\text{.}\ ) Первый шаг имеет \(\vert B \vert = 5\) вариантов. Второй шаг имеет \(\vert B \setminus \{f(a)\} \vert = 4\) вариантов. Третий шаг имеет \(\vert B \setminus \{f(a),f(b)\} \vert = 3\) вариантов. Таким образом, количество инъекций равно \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\text{.}\)

  Взгляд вперед.

  Обратите внимание, что количество инъекций получилось равным

  \begin{equation*} \dfrac{\vert B \vert!}{(\vert B \vert — \vert A \vert)!} \text{.} \end{equation*}
  Мы лучше поймем, как эта формула появляется в разделе 21.4.

  Количество сюръекций.
  Предположим, \(f: A \rightarrow B\text{. }\) Так как \(\vert A \vert = 3\text{,}\)

  наибольших , что \(\vert f(A)\vert \) может быть \(3\text{,}\), что происходит, когда \(f\) является инъективным. Однако даже в таком большом случае он все равно меньше, чем \(\vert B \vert\text{,}\), поэтому сюръекции не существует. То есть количество сюръекций равно \(0\text{.}\)

  ---

  Эта страница под названием 20.3: Правило умножения распространяется в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License 1.3 и была создана, изменена и/или курирована Джереми Сильвестром посредством исходного контента, отредактированного в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Джереми Сильвестр

     Лицензия

     ГНУ ФДЛ

     Версия лицензии

     1,3

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. source@https://sites. ualberta.ca/~jsylvest/books/EF/book-elementary-foundations.html

  Неявное умножение? – The Math Doctors

  Я хочу завершить эту серию темой, которая постоянно возникает как в классах, так и в социальных сетях: как вы оцениваете выражение типа \(a\div bc\) или \(8\div 4( 3-1)\), где умножение указано без специального символа? Есть несколько причин, по которым можно интерпретировать это иначе, чем правило, которое мы обсуждали, согласно которому умножение и деление выполняются слева направо. Сначала мы рассмотрим это с точки зрения студентов и преподавателей, а затем (в следующий раз) исследуем некоторые исторические вопросы, чтобы завершить серию.

  Два способа оценки ax÷by

  Давайте сначала рассмотрим один из предыдущих вопросов, которые у нас были по этой проблеме, в 1999 году, чтобы подготовить почву:

   Порядок действий
  Проблема была представлена ​​так:
     а = 1,56
     б = 1,2
     х = 7,2
     у = 0,2
     топор / по = ?
  Вот два способа, которыми я это решил:
  1) Сначала я переписал задачу как [1.  56(7.2)/1.2](0.2). Во-вторых, а умножается на х. Продукт был 11,232. Затем, поскольку скобок не было, я следовал порядку операций и разделил 11,232 на b, что равнялось 1,2. Частное было 9.36. Затем я умножил 9,36 на y, что составило 0,2. Окончательный ответ был 1,872.
  2) С другой стороны, первое, что я сделал, это умножил а на х. Продукт, который был 11,232, пока отложили. Затем b умножили на y, что дало произведение 0,24. Теперь проблема была решена путем деления 11,232 (или ax) на 0,24 (или на), чтобы получить окончательный ответ 46,8.
  Скажите, пожалуйста, какой ответ правильный и почему? 

  (Обратите внимание, что в то время единственным способом ввести деление в нашей электронной почте было использование косой черты \(a/b\), которая, как я обычно полагаю, представляет собой выражение, на самом деле написанное как \(a\div b\) , Я буду время от времени вставлять обелус, ÷, где мы сделали грубые попытки смоделировать его.)

  Первый способ следует за PEMDAS буквально, как обычно учат и как я представил его здесь, вычисляя слева направо как \(a\cdot x\div b\cdot y = ((a\cdot x)\div б)\cdot у\).

  Второй видит это как \(ax\div by = (ax)\div (by)\). Это не объясняется тем, что следует какому-то обученному правилу, а просто делает то, что выглядит правильно, либо потому, что деление читается, как если бы это была дробная черта, либо просто потому, что « на » выглядит как единое целое. Мы увидим несколько причин, по которым учащиеся сделали это.

  Хотя я был с Спросите доктора Математики меньше года, это был уже знакомый вопрос, на который я хотел подробно ответить ради архива:

   Вы не одиноки, задаваясь этим вопросом. У нас было несколько других вопросов о выражениях, подобных вашему, от сбитых с толку учителей и учеников, которые обнаружили, что разные книги или учителя дают разные ответы, и даже калькуляторы расходятся во мнениях. 

  Обратите внимание, что не только ученики делают то, что им кажется правильным, но и некоторые учебники и калькуляторы следуют второму методу.

  Новое правило или как правильно?

  Я подробно остановился на двух методах, приняв версию PEMDAS за правильную (хотя у меня есть некоторые сомнения по этому поводу):

   Как написано, ваше выражение
      топор / по
  должно оцениваться  слева направо  : a умножить на x, разделить на b, умножить на y.
    Умножение не выполняется перед делением, но оба выполняются в том порядке, в котором они появляются. Ваше первое решение верное.
    Некоторые тексты составляют правило  , как и во втором решении,  что умножение без символа («подразумеваемое умножение») должно выполняться перед любыми другими операциями в выражении  [кроме возведения в степень], включая «явное умножение» с использованием символа. Следуя этому правилу, вы должны умножить a на x, затем умножить b и y, а затем разделить одно на другое. В некоторых (вероятно, в большинстве) текстов такое правило не упоминается, но  некоторые из них могут использовать его, не говоря об этом, что гораздо хуже  . 

  Кажется, я придумал термин « подразумевает или неявно умножает », когда я ответил на свой первый вопрос по этой теме за несколько месяцев до этого, чтобы сослаться на умножение, обозначенное простым размещением двух чисел, переменных или выражений в скобках друг рядом с другом — «

  сопоставление », как это называют другие — например \( ab\) или \( 2b\) или \( a(b+c)\), в отличие от явного написания \( a\times b\) или \( a\cdot b\).

  Мы видели несколько вопросов от студентов, чьи учебники учили только обычному PEMDAS, но оценивали второй способ в примерах или решениях без комментариев. Возможно, это произошло из-за того, что ответы в конце были написаны кем-то другим, а не автором, но это непростительное несоответствие.

  Зачем автору вводить это дополнительное правило? В разное время у меня были разные мнения о том, является ли это правило хорошей идеей, но я всегда признавал, что это не то, чему обычно учат:

   Я не знаю общего правила среди математиков, согласно которому умножение следует выполнять до явное умножение. Насколько я понимаю, все умножения помещаются в одно и то же место в порядке операций. 
    Однако это не является необоснованным правилом  , так как кажется, что подразумеваемое умножение более тесно связывает операнды вместе,  хотя бы визуально  ; но идея Порядка Операций (или приоритета, как это называется в компьютерном мире) должна гарантировать, что все будут одинаково интерпретировать двусмысленное выражение — так что , если некоторые тексты изменят правила, или если люди делай то, что кажется естественным, цель потеряна  .  

  Правило, которое не является правилом, бесполезно, каким бы разумным оно ни было. Да, «новое правило» — это естественный способ чтения \(ax\div by\), потому что \(by\) выглядит как единое целое; но пока этому не научат все, мы не можем этого делать и ожидать, что нас поймут все читатели.

  В частности, многие студенты предполагают, что оно представляет собой горизонтальную версию \(\displaystyle\frac{ax}{by}\):

   Проблема здесь в том, что выражение выглядит так, как будто оно должно быть
       топор
      ----
       к
  В часто задаваемых вопросах доктора математики о написании математических выражений в электронной почте одна из наших рекомендаций состоит в том, чтобы  использовать круглые скобки везде, где это возможно, чтобы избежать двусмысленности  , даже там, где правила должны прояснять это, потому что в некоторых ситуациях их легко забыть. .
  Поэтому в электронной почте мы бы написали это так:
      ax/(by) или (ax/b)*y
  в зависимости от того, что задумано.  

  Используя круглые скобки, мы можем избежать написания того, что люди, которых учили другим правилам или которые игнорируют правила, которым их учили, могли бы воспринять иначе, чем мы предполагали.

  Проблемы с калькулятором

   В моем исследовании для другого «пациента» доктора математики я обнаружил, что некоторые калькуляторы экспериментировали с этим правилом. Калькуляторы имеют несколько иные потребности, чем математики, поскольку они должны вводить данные линейно, один символ за другим, поэтому они вынуждены принимать решение об этом. На веб-сайте TI я узнал, что они преднамеренно добавили эту «функция» в TI 82, а затем убрали ее из TI 83, вероятно, потому, что решили, что это не стандартное правило и оно будет путать людей. 

  Связь там давно вышла из строя; но когда в 2008 году возник конкретный вопрос о калькуляторе, я процитировал слова TI из их базы знаний:

   Подразумеваемое умножение и калькуляторы TI.
  ...
  Решение 11773. Подразумеваемое умножение по сравнению с явным умножением в графических калькуляторах TI. 
  Имеют ли подразумеваемое умножение и явное умножение одинаковый приоритет в графических калькуляторах TI?
    Неявное умножение имеет более высокий приоритет, чем явное умножение , чтобы пользователи могли вводить выражения таким же образом, как они были бы написаны. Например, TI-80, TI-81, TI-82 и TI-85 оценивают 1/2X как 1/(2*X), в то время как другие продукты могут оценивать то же выражение как 1/2*X слева направо. правильно. Без этой функции было бы необходимо группировать 2X в круглых скобках, что обычно не делается при написании выражения на бумаге.
  Этот порядок приоритета был изменен для семейства TI-83, семейства TI-84 Plus, семейства TI-89, TI-92 Plus, Voyage™ 200 и портативного устройства TI-Nspire™ в режиме TI-84 Plus. Неявное и явное умножение имеют одинаковый приоритет. 

  Это ясно показывает, что разработчики калькуляторов должны устанавливать свои собственные правила, которые не обязательно должны совпадать с правилами письма на бумаге; но педагоги, кажется, убедили их оставить все как можно более одинаковым ради учеников.

  В заключение (назад к ответу 1999 года):

   Итак, отвечая на ваш вопрос, я думаю  оба ответа можно считать правильными  - значит, конечно, что  сам вопрос неверен  . Я предпочитаю стандартный способ (ваш первый ответ) в общении со студентами, , если их собственный текст не содержит правила «сначала неявное умножение»  ; но на практике, если бы я встретил это выражение, я, вероятно, сначала проверил бы, откуда оно взялось, чтобы увидеть, могу ли я сказать, что имелось в виду. Главный урок, который нужно усвоить, заключается не в том, какому правилу следовать, а в том, как избежать двусмысленности в том, что вы пишете сами.  Не доставляй другим людям таких хлопот.  

  Впоследствии у нас было еще много вопросов по этому поводу; Я просто процитирую несколько уникальных фрагментов из некоторых из этих ответов.

  Старомодная математика?

  Вот типичный пример школьного конфликта, начиная с 2000 года:

   Порядок Операции Спор
  Задача гласит: N ÷ ml, где n=12, m=6 и l=3.  Я считаю, что правильный ответ должен быть 0,6666, так как 12 разделить на 18 равно этому. Муж со мной согласен.
  Мой сын пришел домой очень расстроенный из школы, с запиской от учителя, что ответ был неправильным. Она указала, что я должен был разделить 6 (m) на 12 (n), прежде чем разделить 3 (l) на уравнение. Ее ответ был 6.
  Мой сын очень расстроен мной; его учитель сказал ему, что я занимаюсь "старомодной математикой". Мне нужно вернуться в школу? 

  Проблема в \(N\div ml\), и родители сначала выполняют умножение. Я частично ответил:

   Я могу сообщить вам хорошие и плохие новости. Во-первых, плохие новости: в соответствии с обычным порядком выполнения правил, которые сейчас изучаются, ваш ответ неверен. ... 

  Я объяснил стандартные правила и добавил:

   НО...
  Вы не одиноки в своем мнении. Эта часть правила — совместное выполнение умножения и деления — вероятно, является последним правилом, которое стабилизировалось; Я знаю, что в 1920-х, по крайней мере, договоренности не было.  Кажется, соглашение сложилось, но сейчас оно рушится, как я слышал от многих студентов, чьи тексты отвечают на подобные вопросы так же, как и вы. Похоже, что они добавляют  неустановленное правило, которое кажется вполне разумным в данном контексте  , что подразумеваемое умножение (обозначаемое простым помещением двух переменных или выражений вместе, как в «ml») должно быть выполнено первым. Конечно,  выглядит как , как будто это и должно означать. Проблема в том, что, хотя я слышал, что это правило равно  часто следовал за , я почти никогда не слышал, чтобы  учили , поэтому эти тексты не следуют их собственным установленным правилам. 

  В следующий раз я расскажу больше об истории.

   Так как этот тип выражения настолько двусмыслен, люди расходятся во мнениях по поводу правил, а правила легко упустить из виду, я считаю, что  ни ваш ответ, ни ответ учителя неверны: вопрос неверен  . Ни один ответственный математик не стал бы писать такое выражение; мы бы просто сказали
       н
      ---
      м л
  так что не было бы вопроса о его значении.  В конце концов, цель правил — позволить нам ясно общаться, а не помогать нам обманывать учеников и устраивать ссоры между семьями.
  Так что на самом деле вы можете быть «старомодным»; или вы можете быть на переднем крае. В любом случае, боюсь, вам просто нужно узнать, как они это делают в классе, и следовать за ними. Не должно быть больше таких проблем, о которых нужно беспокоиться. 

  В последнее время драки, как правило, происходят в социальных сетях!

  Неправильное использование свойства дистрибутива

  Я закончу последним архивным обсуждением. Этот вопрос от 2017 года:

   Еще больше о порядке операций
  Мне любопытно узнать, какой ответ на это:
     8/4(3 - 1)
  Строго следуя PEMDAS, ответ равен 4:
     8/4(2)
     2*2
     4
  Однако, если вы будете следовать дистрибутивному свойству, вы получите 1:
     8/((4*3) - (4*1))
     8/(12 - 4)
     8/8
     1
  Какой из них будет правильным и почему?
     
  Оба варианта действительны, поэтому я не уверен, какой ответ будет правильным. 
  Это должно быть правильно или неправильно, а не два разных ответа. 

  Я ответил набором своих стандартных ответов на такого рода вопросы; даже мой первый заархивированный ответ на эту тему в 1999 году был в значительной степени стандартным ответом, который я давал другим раньше. Здесь я просто рассмотрю несколько сделанных мною замечаний, которые не были полностью освещены выше.

  Сначала я подытожил происходящее:

   Проблема не в конфликте между PEMDAS и дистрибутивом; дело в том, что  строгая интерпретация  PEMDAS противоречит  естественному впечатлению человека  значения выражения, так что вы неосознанно применяете альтернативную интерпретацию, когда думаете, что просто применяете распределительное свойство. 

  Если вы вспомните более ранние заявления о том, что PEMDAS (а) согласуется со свойствами операций и (б) соответствует визуальному впечатлению от наших обозначений, то некоторые тревожные звоночки уже должны звучать!

   Когда вы распределяли, вы ПРЕДПОЛАГАЛИ, что это 4, а не 8/4 умножает (3 - 1).  При этом вы нарушали правила и всего  делал то, что считал нужным  . Если бы вы следовали правилам И распространяли, вы бы получили это:
     (((8/4)*3) - ((8/4)*1))
     ((2*3) - (2*1))
     6 - 2
     4 

  На самом деле не свойство распределения привело к «неправильному» результату, а тот факт, что при распределении 4 рассматривалось как множитель.

   Те, кто говорят, что вы должны  распространять сначала , ставят телегу впереди лошади: вы не можете применять трюки для оценки выражения, прежде чем вы сначала не узнаете, что оно ОЗНАЧАЕТ, но они думают, что свойство распределения влияет на значение. (На самом деле свойство дистрибутивности здесь — пустая трата времени, потому что оно заставляет вас делать два умножения там, где нужно только одно!)
  Смысл определяется порядком действий. Умножение должно производиться до или после деления? 92\div 4b + c\): 
   
   На самом деле есть несколько разных причин, которые люди приводят (это очень популярный вопрос), некоторые из которых лучше, чем другие. 
  Как утверждает ваш друг, правила, как обычно учат, говорят нам выполнять все умножения и деления слева направо (в пределах любого их кластера) и не делать исключений, из-за которых 4b будет оцениваться первым. Многие из нас здесь согласятся с этим и покончат с этим.
  Некоторые люди сначала оценили бы 4b из-за неправильного понимания PEMDAS,  думает, что это означает, что умножение должно быть выполнено до деления . Я думаю, вы знаете, что они ошибаются.
  Другая неверная причина, примененная к несколько иному виду выражения, — это неправильное понимание скобок : правило, что скобки «предшествуют» всему остальному, приводит их к мысли, что в выражении вроде 12/4(4-1) умножение 4 (4-1) должно быть сделано первым. Но правило о скобках на самом деле говорит только о том, что то, что находится ВНУТРИ скобок, должно быть оценено в первую очередь; результат обрабатывается как любое другое число. (Я иногда называю это " липкие скобки  "вид.)
  Другая причина, связанная с этим вторым типом выражений, заключается в том, что дистрибутивное свойство   вынуждает вас сначала выполнять умножение, потому что сначала вычисляется 4(4-1) = 4*4-4*1 = 12, а затем разделять; но это вызывает вопрос, потому что единственная причина, по которой они взяли 4, а не 12/4, в качестве множителя слева, заключается в том, что им это показалось именно так.  И, конечно же, свойство дистрибутивности — это всего лишь способ, которым вы можете, если хотите, переписать выражение так, чтобы оно давало то же самое значение; это вне вопроса о том, что само по себе ЗНАЧИТ это выражение.
  В конце концов, большинство людей, вероятно, делают это всего лишь , потому что это кажется правильным  : 4b выглядит ближе друг к другу, поэтому мы, естественно, хотим сделать это в первую очередь. Но они не могут указать ни на одно правило, оправдывающее это; и поскольку математика — это доказательство и то, что вы ЗНАЕТЕ правильно, а не только то, что кажется правильным, это нехорошо. 
   Пример «липких скобок» см. в
   Связана ли цифра 2 с числами в скобках? 
   Пример отображения знака деления в виде дробной черты (и подробное обсуждение того, как не поддаваться влиянию внешнего вида) см. в разделе 9.0034
   Порядок операций и дробей 
   Назад к ответу 2017 года …
   Избегание — лучшая политика 
   
   В книгах и рукописной математике за пределами элементарного уровня мы почти никогда не используем символ горизонтального деления, вместо этого используем дроби, которые не оставляет двусмысленности.
  No related posts.