Способы решения матриц: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Способы нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица . Требуется найти обратную матрицу.

Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.

1. Вычислить определитель данной матрицы. Если, то обратной матрицы не существует (матрицавырожденная).

2. Составить матрицу из алгебраических дополненийэлементов матрицы.

3. Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу.

4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель 

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.

1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрицеединичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блокк простейшему виду.

При этом блочная матрица приводится к виду, где— квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы.

3. Если , то блокравен обратной матрице, т.е.. Если, то матрицане имеет обратной.

В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы можно привести ее левый блокк упрощенному виду(см. рис. 1.5). При этом блочная матрицапреобразуется к виду, где— элементарная матрица, удовлетворяющая равенству. Если матрицаневырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей. Тогда из равенстваследует, что. Если же матрицавырожденная, то ее упрощенный видотличается от единичной матрицы, а матрицане имеет обратной.

11.Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛАУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛАУ и условия его применимости.

Матричными уравнениями называются уравнения вида : A*X=C; X*A=C; A*X*B=C где матрица А,В,С известны ,матрица Х не известна, если матрицы А и В не вырождены, то решения исходных матриц запишется в соответственном виде : Х=А

-1 *С; Х=С*А^-1; Х=А^-1*С*В^-1Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений. С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,…,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется 

матрицей свободных членов, а матрица-столбец X – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков .

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения 

метод Гаусса.

12.Однородные СЛАУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛАУ.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

13.Понятие линейной независимости и зависимости частных решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений (ФСР) и её нахождение. Представление общего решения однородной СЛАУ через ФСР.

 Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (

a, b): для .  Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).  Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x),y

2(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b). 

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Теорема

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.

е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последнихстроках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений

.

14 Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.

В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.

Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.

Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.

Отметим два очевидных свойства минорного ранга.

1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.

2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.

15.Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на матрицу). Линейная комбинация векторов.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором. Числа называются координатами вектора.

Два (ненулевых) вектора a и b равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторови.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Вычитание векторов. Вектор направлен противоположно вектору. Длины векторовиравны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины. Он сонаправлен с вектором, если k больше нуля, и направлен противоположно, если k меньше нуля.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.  А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и .

  Линейная комбинация векторов 

     Линейной комбинацией векторов называют вектор

где — коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если — нетривиальной.

16.Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Скалярным произведением векторов а и в называется число,

Скалярное произведение используется для вычисления:1)нахождения угла между ними;2)нахождение проекции векторов;3)вычисление длины вектора;4)условия перпендикулярности векторов.

Длиной отрезка АВ называют расстоянием между точками А иВ. Угол между векторами А и В называют угол α=(а,в) ,0≤ α ≤П. На который необходимо повернуть 1 вектор,чтоб его направления совпало с другим вектором. При условии,что их начала совпадут.

Ортом а называется вектор а имеющий единичную длину и направления а.

17.Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

Система векторов a1,a2,…,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,…,λnтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+…+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система {a1,a2} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1 и a2 коллинеарны.

б) система {a1,a2,a3} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1,a2 и a3компланарны.

теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Следствие.1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Домашнее задание по теме «Матрица»

ФИНАНСЫЛекция 1

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства

Цель:приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами, определителей и их свойств.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Комбинированное занятие, включающее в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами. Определители и их свойства».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

Изучение нового материала.

Определение матрицы.

Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из  строк и  столбцов, называют матрицей порядка  (  на  ) и обозначают символом  . В общем виде матрица выглядит так

 .

Числа  называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса: первый показывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй – номер столбца. Размерность матрицы указывать не обязательно. При  матрицу называют матрицей-строкой, а при  — матрицей-столбцом.

Матрицу, все элементы которой, равны нулю, называют нулевой матрицей и обычно обозначают .

Таким образом,  .

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. , то матрицу называют квадратной  порядка и обозначают символом . В квадратной матрице  элементы с одинаковыми индексами  называют элементами главной диагонали, а элементы, сумма индексов которых равна   , элементами побочной диагонали. Во множестве квадратных матриц особую роль играет матрица

 .

Ее называют единичной матрицей. Все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нули.

Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие ниже или выше элементов главной диагонали, равны нулю. Например, матрицы  и  треугольные, причем матрицу  называют верхнетреугольной, а матрицу  – нижнетреугольной.

Определение. Две матрицы одинакового порядка  и  называют

равными и пишут  = , если все элементы с одинаковыми

индексами обеих матриц совпадают.

Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа _ij, составляющие матрицу, называютсяэлементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(_ij)= (1)

Первый индекс i (i = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй j(j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать заглавными буквами, напримерА, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называетсястрокой, а вертикальный –столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называетсяпорядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаютсяравными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (_ij) размером т п, В = (_ij)размером pq.A = B, если m = p, n = q и _ij = _ijдляi = 1, 2, …,m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i = j)называется главной диагональю матрицы (_11,_22, _33,…,_nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (_ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называетсяединичной матрицей Е.

А =

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называетсянуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называетсяматрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называетсяматрицей-столбцом.

Определение. Матрицу А^t называют транспонированнойпо отношению к матрице А ,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками.

Например, пусть А — матрица размеровт п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице А^t называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

(A^t)^t = A,

(A + B)^t = A^t + B^t,

(A)^t = A^t,

(AB)^t = B^tA^t.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матрицА = (_ij) и В = (_ij) одинаковых размеров т п называется матрица С того же размера, элементы которых равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. С=А + В = (_ij + _ij) дляi = 1, 2, …, m,j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если А = (_ij) и В = (_ij), то _ij = — _ij. Матрица В называется матрицей,противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (_ij) размером т п на число  называется матрица (_ij) тех же размеров, которая обозначаетсяА.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц А иВодинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (_ij) размеров т п на матрицу В = (_ij) размеров nk называется матрица С = (с_ij) размеров mk, каждый элемент с_ij которой вычисляется по формуле

с_ij = _i1_1j + _i2_2j + … + _in_nj, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n. (2)

Другими словами, элемент с_ij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание: Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы сомножителяВ. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножениеi-той строки матрицы А наj-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. ПоложимС = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрицеВ, т. е. матрица С размеров 23. Пусть С = (с_ij), тогда по формуле (2) получаем

с₁₁ = 2(-1) + 32 = 4, с₁₂ = 22 + 31 = 7, с₁₃ = 20 + 3(-1) = — 3,

с₂₁ =(-1)(-1) + 42 = 9, с₂₂ =(-1)2 + 41 = 2,с₂₃ = (-1)0 + 4(-1) =-4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Определители и их свойства.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка  .Определителем этой матрицы называют число, обозначаемое  , или  , или  , полученное из элементов матрицы  по следующему правилу:   . Например, если  , то   .

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка  . Определителем этой матрицы назовем число  .

 =  , или

 (1)

Равенство (1) называют разложением определителя по элементам первой строки.

Выражения  ;  и  называют алгебраическими дополнениями элементов  ,  и соответственно. Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки может быть записано в виде:  .

Нетрудно заметить, что аналогичным образом определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Закрепление нового материала.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = и В = .

Решение: С = А – В -В = С =

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

Задания для решения:

 1.Вычислить произведение матриц:

 .

Решение. Первая матрица имеет размеры 2´3, а вторая размеры 3´3, поэтому произведение существует. В результате умножения получится матрица С = (c_ij) размеров 2´3. Вычислим ее элементы.

 с₁₁ = (-2)×3 + 3×1 + 1×4 = 1, с₁₂ = (-2)×(-1) + 3×1 + 1×6 = 11,

с₁₃ = (-2)×2+3×0+1×8 = 4, с₂₁ = 0×3 + 5×1 + 6×4 = 29,

с₂₂ = 0×(-1) + 5×1 + 6×6 = 41, с₂₃ = 0×2+5×0+6×8 = 48.

Ответ:  .

 2.Вычислить произведение матриц:

  .

Решение. Первая матрица имеет размеры 3´3, а вторая размеры 2´3. Число столбцов в первой матрице (3) не совпадает с числом строк во второй матрице (2), поэтому произведение не существует,

Ответ: произведение не существует.

 3.Вычислить произведение матриц:

 .

Ответ:  .

 4.Вычислить произведение матриц:

 .

5.Вычислить произведение матриц:

  .

6.Вычислить произведение матриц:

 .

7.Вычислить произведение матриц:

 .

9.Вычислить степень матрицы:

 .

10. Вычислить степень матрицы:

 .

Итоги занятия.

Вопросы и задания для самооценки:
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: 
— матрицей, квадратной, единичной, диагональной, транспонированной матрицей;
— обратной матрицей, рангом матрицы, базисным минором;
— определителем, минором, алгебраическим дополнением;
ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА: 
— суммы матриц, произведения матрицы на скаляр, произведения матриц;
— определителей.
ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ:
— для вычисления определителей второго и n-го порядка, для нахождения обратной матрицы.
СФОРМУЛИРОВАТЬ 
— существования и единственности обратной матрицы; теорему о базисном миноре.
Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

Найти: а) б)

9

Как решать линейные уравнения с помощью матриц

Содержание

В математике матрица представляет собой массив чисел, расположенных в виде прямоугольника и разделенных на строки и столбцы. Одним из применений матриц является решение линейных уравнений. Понятие, обратное матрице, наряду с другими операциями над матрицей используется для решения системы $n$ линейных уравнений с $n$ переменными.

Давайте разберемся, как решать линейные уравнения с матрицами с помощью методов и примеров.

Как решать линейные уравнения с матрицами

В этом методе значения переменных в системе уравнений рассчитываются путем умножения обратной матрицы на матрицу значений в правой части.

Если у нас есть система уравнений с $n$ переменными $x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_n$, представленная как

$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + … + a_{1n} x_n = c_1$

$a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + … + a_{2n} x_n = c_2$

$a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 + … + a_{3n} x_n = c_3$

…………………………………………………………………………

$a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + … + a_{nn} x_n = c_n$

Шаги, необходимые для решения приведенной выше системы линейных уравнений, равны

.

• Все переменные в уравнениях должны быть записаны в соответствующем порядке.
• Переменные, их коэффициенты и константы должны быть написаны на соответствующих сторонах.

Решение системы линейных уравнений методом нахождения обратной состоит из двух новых матриц а именно

• Матрица A: представляет переменные
• Матрица B: представляет константы

После этого решается система уравнений с использованием матричного умножения путем записи приведенных выше уравнений в матричной форме, как показано ниже:

$\begin{bmatrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + … + a_{1n} x_n \\  a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + … + a_{2n} x_n  \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 + … + a_{3n} x_n \\ ………………………………… . \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + … + a_{nn} x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ … \\ c_n \end{bmatrix}$

$=> \begin{bmatrix}  a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n}  \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & … & a_ {2n}  \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & … & a_{3n}  \\ … & … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & a_ {n3} & … & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ …  \\ x_n  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ …  \\ c_n  \end{bmatrix} $

$=> \text{AX} = \text{B}$ —————————— (1)

, где $\text{A} = \begin{bmatrix}  a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n}  \\ a_{21} & a_{22} & a_{ 23} & … & a_{2n}  \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & … & a_{3n}  \\ … & … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & … & a_{nn} \end{bmatrix}$

$\text{X} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ …  \\ x_n  \end{bmatrix}$

$\text{B} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ …  \\ c_n  \end{bmatrix}$ 9{-1} \text{B}$

Если $| \текст{А}| = 0$ и $( \text{Adj A}) \text{B} \ne 0$, то система несовместна

Если $| \текст{А}| = 0$ и $( \text{Adj A}) \text{B} = 0$, то система совместна и имеет бесконечно много решений.

Примечание:  

• $\text{AX} = 0$ известна как однородная система линейных уравнений, здесь $\text{B} = 0$. Система однородных уравнений всегда совместна.
• Система имеет нетривиальное решение (ненулевое решение), если $| \текст{А} | = 0$

Примеры решения линейных уравнений с помощью матриц

Пример 1: Решить пару линейных уравнений $3x – 4y = 6$ и $2x – 3y = 6$

Данная пара уравнений равна

$3x – 4y = 6$ ———————————— (1)

$2x – 3y = 6$ ———————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 3 & -4\\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6\\ 6 \end{bmatrix }$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где 9{-1} = \frac{\text{Adj}(\text{A})}{|\text{A}|} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3 & 4\ \ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4\\ 2 & -3 \end{bmatrix}$

Следовательно, $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4\\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6\\ 6 \end {bmatrix}$

$=> \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 6 – 4 \times 6\\ 2 \times 6 – 3 \times 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ -6 \end{bmatrix}$

Решение пары линейных уравнений $3x – 4y = 6$ и $2x – 3y = 6$ равно $x = -6$ и $y = -6$

Пример 2: Решить пару линейных уравнений $2x – 5y = 9$ и $-6x + 15y = 11$

Данная пара уравнений равна

$2x – 5y = 9$ ———————————— (1)

$-6x + 15y = 11$ ———————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 2 & -5\\ -6 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9{-1} = \frac{\text{Adj}(\text{A})}{|\text{A}|}$

$|\текст{А}| = \begin{vmatrix} 2 & -5\\ -6 & 15 \end{vmatrix} = 2 \times 15 – (-5) \times (-6) = 30 – 30 = 0$

Поскольку $|\text{A}| = 0$, поэтому данная система уравнений не имеет решений, т. е. система уравнений несовместна.

Пример 3: Решение системы линейных уравнений

Данная система уравнений равна

$x – y + z = 2$ ———————————— (1)

$-2x + y + z = 6$ ———————————— (2)

$2x + 2y + z = -3$ ———————————— (3)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

• $\text{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ 9{-1} = \frac{\text{Adj}(\text{A})}{|\text{A}|}$

  $|\текст{А}| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1\end{vmatrix} = 1 \times (1 \times 1 – 1 \times 2) – (- 1) \times (-2 \times 1 – 1 \times 2) + 1 \times (-2 \times 2 – 1 \times 2)$

  $ = 1 \раз (1 – 2) + 1 \раз (-2 – 2) + 1 \раз (-4 – 2) = 1 \раз (-1) + 1 \раз (-4) + 1 \ раз (-6)$

  $ = -1 – 4 – 6 = -11$

  Поскольку $|\text{A}| \ne 0$, поэтому данная система уравнений имеет единственное решение. 9{-1}$, найдем сопряженную, которая вычисляется транспонированием матрицы кофакторов, а матрица кофакторов получается из миноров матрицы $\text{A}$.

  Миноры $\text{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1\end{bmatrix}$ равны

  $\text{M}_{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = 1 \times 1 – 1 \times 2 = 1 – 2 = -1 $

  $\text{M}_{1, 2} = \begin{bmatrix} -2 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -2 \times 1 – 1 \times 2 = -2 – 2 = -4$

  $\text{M}_{1, 3} = \begin{bmatrix} -2 & 1\\ 2 & 2 \end{bmatrix} = -2 \times 2 – 1 \times 2 = -4 – 2 = -6$

  $\text{M}_{2, 1} = \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -1 \times 1 – 1 \times 2 = -1 – 2 = -3$

  $\text{M}_{2, 2} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = 1 \times 1 – 1 \times 2 = 1 – 2 = -1$

  $\text{M}_{2, 3} = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 1 \times 2 – (-1) \times 2 = 2 + 2 = 4$ 9{-1} = \frac{\text{Adj}(\text{A})}{|\text{A}|} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -1 & 3 & -2\\ 4 & -1 & -3 \\ -6 & -4 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2\\ -4 & 1 & 3 \\ 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

  Следовательно, $\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2\\ -4 & 1 & 3 \ \ 6 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 6 \\ -3\end{bmatrix}$

  $= \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 \times 2 – 3 \times 6 + 2 \times (-3) \\ -4 \times 2 + 1 \times 6 + 3 \times ( -3) \\ 6 \times 2 + 4 \times 6 + 1 \times (-3) \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 – 18 – 6 \\ -8 + 6 – 9\\ 12 + 24 – 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -22 \\ -11 \\ 33 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1\3\end{bmatrix}$

  Следовательно, решение системы уравнений $x – y + z = 2$, $-2x + y + z = 6$ и $2x + 2y + z = -3$ равно $x = -2$, $y = -1$ и $z = 3$ 

  Практические задачи

  Решите следующую систему уравнений, используя матричный метод.

  • $3x + 2y = 8$, $6x – 4y = 9$
  • $x + 3y = 6$, $2x – 3y = 12$
  • 141 долл. США x + 93 г = 189 долл. США,  93 долл. США x + 141 г. = 45 долл. США 90 028
  • $x – y + z = 2$, $2x – y – z = -6$, $2x + 2y + z = -3$
  • $3x + y + z = 2$, $x + 2y + z = -3$, $3x + y + 2z = 4$
  • $x – 3y + z = -5$, $-3x – y – z = 1$, $2x – 2y + 3z = 1$

  Часто задаваемые вопросы

  Что вы подразумеваете под линейным уравнением?

  Линейное уравнение — это уравнение первой степени, которое имеет одну или несколько переменных.

  Что вы подразумеваете под непротиворечивыми уравнениями?

  Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая одно или несколько решений.

  Приведите формулу, используемую в методе умножения матриц для решения линейных уравнений.

  Формула, используемая в методе умножения матриц для решения линейных уравнений: $\text{AX} = \text{B}$, где $\text{A}$ — матрица коэффициентов, $\text{X}$ — переменная матрица, а $\text{B}$ — постоянная матрица. {-1} \text{B}$, где $\text{X}$ — матрица переменных , $\text{A}$ — матрица коэффициентов, а $\text{B}$ — матрица констант в правой части уравнений.

  Рекомендуемое чтение

  • Правило Крамера – определение, формулы и примеры
  • Что такое обратная матрица – определение, формула и примеры
  • Транспонирование матрицы – значение, свойства и примеры
  • Свойства определителя (с формулами и примерами)
  • Что такое определитель матрицы – значение, определение и примеры
  • Операции с матрицами — сложение, вычитание и умножение
  • типов матриц (со свойствами и примерами)
  • Что такое матрица в математике – значение, определение и примеры

  Вам также может понравиться

  Правило Крамера – определение, формулы и примеры

  Содержание Что такое правило Крамера?Формула правила КрамераПравило Крамера 2 x

  Читать далее

  Математические карточки для бесплатной печати – скачать PDF

  Карточки по математике являются ценным пособием для учащихся всех возрастов и 9 лет. 0003

  Читать далее

  Загружаемые флэш-карты PDF

  CodingHero-Maths-Flash-CardsDownload

  Читать далее

  numpy — Как решить уравнение с двумя матрицами в python?

  Во-первых, linalg не поможет, так как это нелинейная задача: неизвестное A умножается само на себя. Вы хотите решить систему из 18 квадратных уравнений с 9 неизвестными. Для универсальной системы мы не ожидаем никаких решений, но здесь много структуры.

  В моей версии SymPy (1.1.1) прямые попытки решить даже одно из матричных уравнений A*B*A=B*A*B или A*A=I не завершаются за разумное время. Так что давайте последуем совету Saintsfan342000 и подойдем к задаче численно, как к задаче минимизации. Вот как я это сделал:

   импортировать numpy как np
  из scipy.optimize импорт свернуть
  B = np.массив([[1,0,0], [0,-1,0], [0,0,1]])
  функция определения (A, B):
      A = A. reshape((3, 3))
      вернуть np.linalg.norm(A.dot(B).dot(A)-B.dot(A).dot(B))**2 + np.linalg.norm(A.dot(A)-np. глаз(3))**2
  пока верно:
      предположение = np.random.uniform (-2, 2, размер = (9,))
      res = минимизировать (функция, предположение, аргументы = (B,))
      если res.fun < 1e-15:
          A = res.x.reshape ((3, 3))
          печать(А)
   

  Минимизируемая функция представляет собой сумму квадратов норм Фробениуса A*B*A-B*A*B и A*A-I . Я помещаю минимизацию в цикл, потому что есть некоторые локальные минимумы, где минимизация застревает; поэтому, когда минимальное найденное значение недостаточно близко к нулю, я игнорирую результат и начинаю заново. Через некоторое время скрипт напечатает кучу матриц вроде 9.0003

   [[ 0,70386835 0,86117949 -1,40305355]
   [0,17193376 0,49999999 0,81461157]
   [-0,25409118 0,73892171 -0,20386834]]
   

  , которые имеют две важные особенности:

  • центральный элемент A[1,1] равен 1/2
  • след матрицы (сумма диагональных элементов) равен 1.

    No related posts.