Сравнение чисел с степенями: Сравнить числа 8^80 и 6^90

Как сравнивать степени | Логарифмы

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

• Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

• Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

Примеры.

№1. Сравнить значения выражений:

   

Решение:

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

   

   

Решение:

Сравниваем показатели степеней:

   

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

   

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

   

Решение:

Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

   

Решение:

Основание

   

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

Сравнение степеней с одинаковыми показателями.

1) Для возрастающих функций ( x>0):

   

   

Пример.

Для положительных значений аргумента

   

например,

   

Для отрицательных значений аргумента

   

например,

   

 

2) Для убывающих функций:

   

   

Пример.

Для положительных значений аргумента

   

например,

   

Для отрицательных значений аргумента:

   

например,

   

 

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

   

при отрицательных — меньшие 1:

   

Если основание меньше единицы — соответственно,

   

   

Пример.

Сравнить

   

Решение:

   

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

Рубрика: Показательная функция | Комментарии

Степени сравнения в английском языке (Degrees of comparison)

WAR

Все диктатуры создают внешних врагов и репрессии, чтобы вечно сидеть на троне.

Если вы не можете отличить правду от искусной лжи, тогда задумайтесь о законах, о свободе слова, как часто и где менялась власть.

CNN News BBC News Telegram Wikipedia

Большинство описательных прилагательных и наречий образа действия, времени и др. в английском языке имеют три степени сравнения: положительная, сравнительная и превосходная степени. Степень сравнения не образуется от относительных, притяжательных, вопросительных и большинства количественных прилагательных и некоторых наречий.

• как прилагательные
• Mark is fast but Bob is faster. – Марк быстрый, но Боб еще быстрее.
• Jack is the fastest runner in our team. – Джек — самый быстрый бегун в нашей команде.

• как наречие
• He drives fast, but we can drive faster than him. – Он быстро ездит, но мы можем ехать быстрее, чем он.
• We drive the fastest we can. – Мы едем так быстро, как только можем.

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ	СРАВНИТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ	ПРЕВОСХОДНАЯ СТЕПЕНЬ
ПОЛОЖИТЕЛ. СТЕПЕНЬ	СРАВНИТЕЛ. СТЕПЕНЬ	ПРЕВОСХОД. СТЕПЕНЬ
Односложные прилагательные и наречия
warm теплый	warmer теплее	warmest самый теплый
hot горячий	hotter горячее	hottest самый горячий
Двусложные прилагательные на -ow, -le, -er, -y
nice приятный	nicer приятнее	nicest самый приятный
narrow узкий	narrower более узкий	narrowest самый узкний
simple простой	simpler проще	simplest самый простой
tender нежный	tenderer нежнее	tenderest нежнейший
happy счастливый	happier счастливее	happiest самый счастливый
severe строгий	severer строже	severest самый строгий
Все остальные прилагательные
modern современный	more modern более современный	most modern самый современный
terrible страшный	more terrible страшнее	most terrible самый страшный

Положительная степень (positive form) – указывает на признак предмета (прилагательное) или признак действия, признак другого признака (наречие). Это обычная словарная форма прилагательного или наречия.

Сравнительная степень (comparative form) выражает сравнение между двумя предметами или действиями, другими признаками. Сравнительная степень образуется с помощью суффикса —er или слова more (более).

Превосходная степень (superlative form) используется для сравнения трех и более предметов, действий, других признаков, из которых один выделяется больше остальных. Эта форма указывает на высшую степень определенного признака. Превосходная степень образуется с помощью суффикса —est или слова most

(больше всего) и в большинстве случаев используется с определенным артиклем the.

Односложные прилагательные и наречия

Односложные прилагательные и наречия образуют сравнительную и превосходную степени сравнения с помощью добавления суффиксов —er и —est.

small – маленький hard – тяжело

smaller – меньше, меньший harder – тяжелее

the smallest – наименьший, самый маленький the hardest – наиболее тяжело

Если односложные прилагательные и наречия оканчиваются на одну согласную букву, перед которой стоит одна гласная буква, то перед суффиксами —

er и —est конечная согласная удваивается. Однако, конечная буква «w» не удваивается.

big → bigger → the biggest hot → hotter → the hottest

slow → slower → the slowest low → lower → the lowest

Если односложные прилагательные и наречия оканчиваются на немую букву «e», эта гласная буква выпадает перед суффиксами —er и —est.

• сute → cuter → the cutest
• pale → paler → the palest
• late → later → the latest

Если односложные прилагательные и наречия оканчиваются на гласную —

y, перед которой стоит согласная, —y меняется на —i перед суффиксами —er и —est. Но конечная гласная —y не меняется, если перед ней стоит другая гласная буква.

dry → drier → the driest busy → busier → the busiest

gray → grayer → the grayest

Двусложные прилагательные на -ow, -le, -er, -y

Двусложные прилагательные, которые оканчиваются на суффиксы —ow, —le, —er, —y, могут образовывать сравнительную и превосходную степени как с помощью суффиксов —er и —est, так и с помощью слов more (больше) и the most (самый).

Выбор зависит от предпочтений говорящего, однако форма с суффиксом —er и —est встречается чаще с короткими словами.

• crazy → crazier → the craziest
• crazy → more crazy →the  most crazy

• pretty → prettier → the prettiest
• pretty → more pretty →the  most pretty

Прилагательные quiet (тихий) и simple (простой) могут образовывать сравнительную и превосходную степени как с помощью суффиксов —er и —est, так и с помощью слов more (больше) и the most (самый).

• quiet – quieter → the quietest
• quiet → more quiet → the most quiet

• simple → simpler → the simplest
• simple → more simple → the most simple

• narrow → narrower → the narrowest
• narrow → more narrow →the most narrow

More и most

Двусложные и трехсложные прилагательные и наречия (в основном, с суффиксом -ly) образуют степени сравнения с помощью слов more (более) и the most (самый).

• useful → more useful → the most useful
• stupid → more stupid → the most stupid
• curious → more curious → the most curious
• impressive → more impressive → the most impressive

• often → more often → the most often
• wisely → more wisely → the most wisely
• comfortably → more comfortably → the most comfortably
• independently → more independently → the most independently

More и most также используются для образования степеней сравнения у прилагательных, которые образовались от причастий, независимо от количества слогов, из которых состоит прилагательное.

• tired → more tired → the most tired
• hurt → more hurt → the most hurt
• caring → more caring → the most caring
• worrying → more worrying → the most worrying
• annoyed → more annoyed → the most annoyed

Исключения

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ СЕТПЕНЬ	СРАВНИТЕЛЬТНАЯ СТЕПЕНЬ	ПРЕВОСХОДНАЯ СТЕПЕНЬ
ПОЛОЖИТЕЛ. СТЕПЕНЬ	СРАВНИТЕЛ. СТЕПЕНЬ	ПРЕВОСХОД. СТЕПЕНЬ
Исключения
good, well хороший, хорошо	better лучший, лучше	best самый лучший, лучше всего
bad, badly плохой, плохо	worse хуже	worst самый плохой
many, much многочисленный, много	more больше	most больше всего
little маленький, мало	less меньше	least найменьший, меньше всего
far далекий, далеко	farther дальше по растоянию	farthest самый дальний по растоянию
far давний, давно	further более отдаленный по времени	furthest самый дальний по времени

Наречия early (рано) и loudly (громко) образуют степени сравнения только с помощью суффиксов —er и —est.

• early → earlier → the earliest
• loudly → loudlier → the loudliest

Наречия quickly (быстро) и slowly (медленно) могут иметь две разные формы степеней сравнения.

• quickly → quicker → the quickest
• quickly → more quickly → the most quickly

• slowly → slower → the slowest
• slowly → more slowly → the most slowly

Уменьшительные степени

Слова less (менее) и the least (наименее) используются с прилагательными и наречиями для образования их меньшей и наименьшей степени. Они используются как и слова more и the most и являются их антонимами.

useful – полезный stupid – глупый often – часто wisely – мудро

less useful – менее полезный less stupid – менее глупый less often – менее часто less wisely – менее мудро

the least useful – наименее полезный the least stupid – наименее глупый the least often – наименее часто the least wisely – наименее мудро

Артикли в степенях сравнения

Прилагательные в форме сравнительной степени, которые стоят перед существительными, могут использоваться как с неопределенным артиклем a / an, так и с определенным артиклем the в зависимости от контекста в предложении.

• Choose a softer pillow. – Выбери (любую) более мягкую подушку.
• I have two pillows. I can give you the softer one. – У меня есть две подушки. Я могу тебе дать ту, что помягче.

Превосходная степень, как правило, используется с определенным артиклем the, однако перед наречиями он часто опускается.

• He is the most powerful man in the world. – Он самый могущественный человек в мире.
• Kate is the cutest girl i have ever met. – Кейт – самая милая девочка, которую я когда либо встречал.

• You should drive the fastest you can because we are already late. – Тебе стоит ехать так быстро, насколько ты можешь, потому что мы уже опаздываем.
• Use this information most wisely. – Используй эту информацию самым мудрым способом.

Определенный артикль the может также опускаться перед прилагательными, если они стоят после глагола to be или других глаголов-связок и после него не стоит существительное или фраза, которые определяет это прилагательное.

• This man is (the) most powerful as he controls all banks in our country. – Этот человек самый влиятельный, так как он контролирует все банки в нашей стране.
• Kate is (the) cutest when she wears this dress. – Кейт самая милая, когда надевает это платье.

Слово most не всегда является показателем превосходной степени прилагательных и может быть синонимом слова very в значении «крайне», «очень», «чрезвычайно». В этом случае перед most может стоять и определенный the, и неопределенный артикль a / an, или они могут отсутствовать перед существительными множественного числа. В этом значении most может использоваться со всеми прилагательными, включая односложные.

• I am most happy to see you again. – Я чрезвычайно рад видеть тебя снова.
• These kids are most clever children.

  No related posts.