Сравнение по модулю онлайн: Онлайн калькулятор: Решение сравнений по модулю

Однако, если вы когда-либо оценивали обед на 10 человек и обнаруживали, что осталось много еды, вы на самом деле имеете дело с проблемой мода. Люди используют модульную арифметику все время, особенно когда речь идет об остатках, времени и календарных расписаниях.

В этом разделе вы узнаете о модуле, его основных операциях и использовании в реальной жизни.

Что такое модуль?

Модульная арифметика, иногда называемая арифметикой часов, представляет собой вычисление, включающее число, которое сбрасывается на ноль каждый раз, когда целое достигнуто число больше 1, которое является модом. Примером этого является 24-часовые цифровые часы, которые сбрасываются на 0 в полночь.

В математике модуль — это остаток или число, оставшееся после деления числа на другое значение. Modulo также упоминается как «mod».

Стандартный формат для mod:
a mod n
Где a — это значение, которое делится на n .

Например, вы вычисляете 15 по модулю 4. Когда вы делите 15 на 4, получается остаток.
15 / 4 = 3,75

Вместо десятичной формы (0,75) при использовании функции mod в калькуляторе остаток представляет собой целое число. В этом примере 15/4 = , остаток 3 , что также равно 15 = (4 * 3) + .3. Вот как рассчитать его вручную:

15 Мод 4
15 — 4 = 11
11 — 4 = 7
7 — 4 = 3

Расчет мод с отрицательным номером

. можно предположить, что функция mod генерирует те же значения, что и положительные числа, когда одно число отрицательное. На самом деле это не так.

Например, если у вас есть 340 mod 60 , остаток будет 40 .
Но если у вас -340 мод 60 , остаток 20 .

Почему это происходит? Mathforum.org объясняет, что с положительным числом, таким как 340, вычитаемое кратное на меньше, чем абсолютное значение , что дает 40. 60 = 160
160 – 60 = 100
100 – 60 = 40

Но с -340 мы вычитаем число с большим абсолютным значением , поэтому функция mod генерирует положительное значение. Результирующий остаток также меньше по сравнению с тем, когда оба числа положительны.

Вот как решить mod с отрицательным числом:
a mod n равно a/n = r (остаток)
Следовательно, a mod n 0 0 0 0 0 0 0 9 0 1 9 0 0 0 0

Обратите внимание: Когда мы вводим a/b в калькулятор, мы берем десятичную часть сгенерированного значения и округляем ее до следующего целого числа . Сделаем это на примере ниже:

-340 mod 60
-340/60 = 5,6, когда мы берем десятичную часть, получается целое число 9.0009 -6
= -340 -(-6) * 60
= -340 -(-360)
= 20

Чтобы вам было проще представить, числовая строка ниже показывает разницу в значениях.

Кто создал модульную арифметику?

Согласно Britannica, концепция модульной арифметики использовалась древними цивилизациями, такими как индийцы и китайцы. Примером может служить китайская книга Master Sun’s Mathematical Manual , которая датируется 300 годом нашей эры.

Кроме того, модульная арифметика использовалась для решения астрономических и сезонных расчетов, которые были задачами, связанными с естественными и искусственными циклами.

Карл Фридрих Гаусс и теория чисел

В западной математике немецкий математик и физик Карл Фридрих Гаусс провел первое систематическое исследование модульной арифметики. Гаусс считается одним из из самых влиятельных фигур в современной математике.

В возрасте 20 лет в 1801 году он опубликовал Disquisitiones Arithmeticae , которая заложила основу современной теории чисел и показала первое доказательство квадратичного закона взаимности.

В теории чисел ученые анализируют свойства природных числа, которые являются целыми числами, такими как -1, -2, 0, 1, 2 и так далее. Их цель состоит в том, чтобы обнаружить неожиданные математические закономерности и взаимодействия между натуральными числами.

Britannica отмечает, что в модульной арифметике, где mod равен N , все числа (0, 1, 2, …, N — 1,) известны как вычеты по модулю Н . остатки добавляются путем нахождения арифметической суммы чисел, а по модулю вычесть из суммы столько раз, сколько возможно. Это уменьшает сумму до число M, , которое находится между 0 и N – 1.

В своей книге Гаусс включил обозначение с символом ≡, который читается как «соответствует». Вместо обычного символа = тройка сегменты горизонтальной линии означают равенство и определение.

Например, если мы сложим сумму 2, 4, 3 и 7, сумма будет равна 6 (модуль 10). Это 16 ≡ (по модулю 10). Это означает, что 16 разделить на 10 дает в остатке 6. Аналогично, 16 – 10 = 6,9.0003

Другой пример, 13 ≡ 1 (mod 12). Это означает, что 13, разделенное на 12, дает остаток 1. Аналогично, 13 – 12 = 1.

Каково реальное использование модов?

Для практического применения мод особенно полезен для работы с с течением времени.

Поскольку в сутках 24 часа, имеет смысл обратиться к время в 24-часовом формате. Это принцип, лежащий в основе системы военного времени, начиная с в полночь с 00:00 часов и заканчивая час в 23:00 с 23:00 часов.

Вместо 9 часов вечера они говорят 2100 часов. военные используют это для координации с базами и другим персоналом, расположенным в разные часовые пояса. Кроме того, все пилоты (коммерческие или нет) используют 24-часовой часы, чтобы избежать путаницы при путешествии между часовыми поясами.

Чтобы установить стандарт, пилоты и военные используют среднее время по Гринвичу (GMT), которое они также называют зулусским временем (Z). Например, когда пилоты сообщают, что самолет прибудет на базу в 21:00 по Гринвичу, это означает, что он прибудет в 9PM по Гринвичу.

Как это связано с модулем? Для проживающих в одном часовом поясе важнее определять время, разделяя день и ночь. Вот почему 12-часовое стандартное время использует модуль.

Вместо того, чтобы говорить 1600 часов, мы просто говорим 4 часа. 12-часовое стандартное время использует mod 12 , так что 1600 часов становятся 4 часами.

Когда мы назначаем встречи, это обычно понимают люди значит 4 часа дня. Если не указано иное, встреча в 4 утра абсурдна, если только вы не работаете ночью и не проводите онлайн-встречи с клиентами из других часовых поясов.

Систематизация книг, банковской информации и ставок по жилищным кредитам

Мод полезен для систематизации больших объемов информации. Книги отслеживается с использованием модульной арифметики для расчета контрольных сумм по международному стандарту номера книг (ISBN). В 2007 году была введена 13-значная система номеров ISBN. (ранее было 10) было введено, чтобы помочь производителям определить большой объем книг.

Тот же принцип используется банками для выявления ошибок в международных номерах банковских счетов (IBAN) при отслеживании транзакций из других стран.

Когда речь идет о жилищных кредитах, мод используется для сброса расчетов на новый период. Например, ипотека с регулируемой процентной ставкой 5/6 (ARM) периодически пересматривает свои процентные ставки каждые 6 месяцев. Мод используется для соответствующей корректировки ставок.

Криптография и компьютерное искусство

Модульная арифметика имеет и другие применения в области криптографии, искусства и графического дизайна.

В течение многих лет художники использовали математические формы, основанные на формулах, для создания рисунков. Сегодня та же концепция применяется к компьютерной графике, а также к скульптуре и современной живописи.

В криптографии коды написаны для защиты секретных данных. Криптографы используют мод в тесте Диффи-Хеллмана Обмен ключами в настройке SSL-соединений для шифрования веб-трафика.

Шифрование важно, поскольку оно позволяет пользователям защищать информацию. Вот почему ваши личные электронные письма, номер кредитной карты и другие личные данные должны быть зашифрованы всякий раз, когда вы отправляете информацию в Интернете.

Итоговый результат

Модификация — это математическая функция, которая позволяет нам измерить остаток в сумме. Мы используем это фундаментальное понятие всякий раз, когда говорим о времени.

Концепция модульной арифметики использовалась древними Китайцы и индийцы на протяжении веков. Но он был представлен в западной математики немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом, который также разработал основа теории чисел.

Реальное использование мода включает организацию ISBN и банковской информации, сброс ставок ARM, дизайн компьютерной графики и криптографию, которая помогает защитить личные данные.

Об авторе

Корин — страстный исследователь и автор финансовых тем, изучающих экономические тенденции, их влияние на население, а также то, как помочь потребителям принимать более разумные финансовые решения. Другие ее тематические статьи можно прочитать на Inquirer.net и Manileno.com. Она имеет степень магистра творческого письма Филиппинского университета, одного из ведущих учебных заведений мира, и степень бакалавра коммуникативных искусств Колледжа Мириам.

Калькулятор модуля

Базовый калькулятор

Поделись этим калькулятором и страницей

Использование калькулятора

Вычислить a mod b , что для положительных чисел является остатком от деления a на b в задаче на деление. Операция по модулю находит остаток, поэтому, если вы делите a на b и есть остаток n , вы бы сказали a mod b = n .

Как выполнить расчет по модулю

Операция по модулю находит остаток от деления a на b . Чтобы сделать это вручную, просто разделите два числа и запишите остаток. Если вам нужно найти 27 по модулю 6, разделите 27 на 6.

• 27 мод 6 = ?
• 27 ÷ 6 = 4 с остатком 3
• 27 мод 6 = 3

Пример расчета по модулю

Вам нужно написать программу, которая сообщает пользователю, является ли введенное им число кратным 4. Для этого можно использовать вычисление по модулю.

Если число кратно 4, то при делении его на 4 в остатке будет 0. Таким образом, вы создадите логику для ввода и использования мод 4 операция на нем. Если результат равен 0, число кратно 4, в противном случае число не кратно 4.

Логика этой части вашей программы будет следующей:

• x число, введенное пользователем
• Если x mod 4 = 0, то x кратно 4
• Иначе x не кратен 4

Если бы вы не использовали оператор мода, вам пришлось бы выполнять математические операции в коде. Например, вам нужно будет вычислить «равно 496 кратно 4?». Вы должны разделить 496 на 4, так что 496 / 4 = 124 без остатка. С точки зрения модуса, 496 по модулю 4 = 0, так что да, 496 кратно 4.

Является ли число 226 кратным 4? Разделите 226 на 4, так что 226/4 = 56 с остатком 2. 226 mod 4 = 2, так что нет, 226 не кратно 4.

В некоторых калькуляторах и языках компьютерного программирования a % b совпадает с mod b совпадает с modulo b, где % или mod используются в качестве операторов по модулю.

Пример: 1 мод 2

1 mod 2 — это ситуация, когда делитель 2 больше делимого 1, поэтому полученный остаток равен делимому 1.

При делении 1 на 2 2 превращается в 1 ноль раз с остатком 1. Таким образом, 1 mod 2 = 1 .

Аналогично, 5 mod 10 = 5 , так как 10 делится на 5 нулевых умножений, а 5 остается в остатке.

Для положительных чисел всякий раз, когда делитель (модуль) больше делимого, остаток равен делимому.