Возведение комплексных чисел в степень
Начнем с квадрата.
Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно.
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:
Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел,
Аналогично для показательной формы: если , то:
Пример 10 Дано комплексное число , найти z20.
Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. В примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Пример 11 Дано комплексное число , найти z30. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.
Представим число в тригонометрической форме: (это число z4 Примера 8). Используем формулу Муавра :
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12 Возвести в степень комплексные числа i10, i33, (-i)21.
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Пример 13 Возвести в степень комплексные числа
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Рассмотрим пример:
Нельзя извлечь корень Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения
Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: и т.
д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.
Пример 14 Решить квадратное уравнение
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным формулам получаем два корня:
– сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:
Нетрудно понять, что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно n корней, часть из которых могут быть комплексные
Пример 15 Найти корни уравнения 4z2+1=0 и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложим квадратный двучлен на множители:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа
Уравнение вида имеет ровно n корней , которые можно найти по формуле:
где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:
Пример 16 Найти корни уравнения
Перепишем уравнение в виде
В данном примере , n=2 , поэтому уравнение будет иметь два корня: z0 и z1 .
Общую формулу можно сразу детализировать:
Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :
Число располагается в первой четверти, поэтому:
Еще более детализируем формулу:
Подставляя в формулу значение k=0, получаем первый корень:
Подставляя в формулу значение k=1, получаем второй корень:
Ответ:
Пример 17 Найти корни уравнения , где
Сначала представим уравнение в виде :
Если , тогда
Обозначим привычной формульной буквой:
Таким образом, требуется найти корни уравнения
В данном примере n=3, а значит, уравнение имеет ровно три корня: z0, z1, z2
Детализирую общую формулу:
Найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число располагается во второй четверти, поэтому:
Еще раз детализирую формулу:
Корень удобно сразу же упростить:
Подставляем в формулу значение k=0 и получаем первый корень:
Подставляем в формулу значение k=2 и получаем третий корень:
Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса.
Все корни будут располагаться на данной окружности.
Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: .
Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку z1.
По такому же алгоритму строится точка z2.
Возведение комплексных чисел в степень
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для
комплексного числа легко вывести свою
формулу сокращенного умножения: .
Аналогичную формулу можно вывести для
квадрата разности, а также для куба
сумма и куба разности. Но эти формулы
более актуальны длязадач
комплексного анализа,
поэтому на данном уроке я воздержусь
от подробных выкладок.
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:
Просто до безобразия.
Пример 10
Дано комплексное число , найти .
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси
боже, не нужно считать на калькуляторе
,
а вот угол в большинстве случае следует
упростить. Как упростить? Образно
говоря, нужно избавиться от лишних
оборотов. Один оборот составляет
радиан
или 360 градусов.
Смотрим сколько у нас
оборотов в аргументе
:
оборотов,
в данном случае можно убавить один
оборот:
.
Надеюсь всем понятно, что
и
–
это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).
Хотя – ни в коем случае не ошибка.
Пример 11
Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа , ,
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Пример 13
Возвести в степень комплексные числа ,
Это
пример для самостоятельного решения.
Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:
Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
Пример 14
Решить квадратное уравнение
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,
Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!
И
вообще, любое уравнение с многочленом
«энной» степени
имеет
ровно
корней,
часть из которых может быть комплексными.
Простой пример для самостоятельного решения:
Пример 15
Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.
Градусы или радианы для угла в комплексном уравнении
спросил
Изменено 3 года, 4 месяца назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Если вас попросили преобразовать сложное уравнение в полярную форму:
$r\cos(\theta) + ir\sin(\theta)$
Должен ли угол быть в радианах для значения теты или угол может быть также в градусах?
В какой форме угол должен быть выражен в радианах?
- комплексные числа
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Вообще говоря, когда вы выполняете расчеты, используйте только радианы, иначе производные требуют раздражающего коэффициента преобразования.
(В данном случае это не имеет значения, но использовать градусы неестественно.)
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Нет, угол также может быть в градусах.
Чтобы найти $\theta$ из декартова представления, вы можете составить прямоугольный треугольник, противоположная сторона которого является координатой $y$, а прилежащая сторона — координатой $x$.
9{-1} \frac{y}{x}$ также должно быть безразмерным.$\endgroup$
$\begingroup$
Величина комплексного числа определяется только $r$, а $\theta$ является лишь его аргументом, представляющим собой угол, на который оно наклонено к вещественной оси в плоскости Аргана.
Таким образом, вы можете использовать $\theta$ либо в градусах, либо в радианах, потому что мы просто находим $\sin$ и $\cos$ этого угла.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.