Степени мнимой единицы: Комплексные числа

Мнимая единица | это… Что такое Мнимая единица?

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду.

Содержание 1 Для комплексных чисел 1.1 Определение 1.2 Степени мнимой единицы 1.3 Факториал 1.4 Корни из мнимой единицы 2 Иные мнимые единицы 3 См.также 4 Ссылки

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.  — это одно из решений уравнения

  или  

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число является вещественным :

^[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также,

^[2]

Корни из мнимой единицы

Основная статья: Арифметический корень

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

См.также

• Дуальные числа и Двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексные числа

Ссылки

1. ↑ Показательная форма комплексного числа
2. ↑ «abs(i!)», WolframAlpha.

• http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00048/74100.htm

Лекция по высшей математике «Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа»

Тема:         Мнимая единица, ее степени.  Комплексные числа.

                Алгебраическая форма комплексного числа.

 

Цели:  расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней, понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму комплексного  числа; развивать умения обобщать полученные знания, способствовать развитию логического мышления;

воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

 

План (изучаемые вопросы)

1. Мнимые числа. Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.
2. Определение комплексного числа.
3. Алгебраическая форма комплексного числа.

 

1.Мнимые числа

 

Определение. Число, квадрат которого равняется -1, называется мнимой  единицей и 

                         обозначается і; і ²= -1

Определение. Числа, которые имеют вид bі, где b — действительное число, называются

                         мнимыми числами.

Например: 

Известно, что действительные числа изображаются точками на оси ОХ. Мнимые числа изображаются точками на оси ОУ, в связи с чем ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ — мнимой осью. Множество мнимых чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством действительных чисел.

Определение. Два мнимых числа b₁i и b₂i называются равными, если b₁₌b₂

Определение. Мнимое число (-bi) называется противоположным мнимому числу bі.

Например: и  и  .

 

Теорема. Любая  натуральная степень числа і может быть преобразована к

одной из четырех видов 1; і; -1; -і.

Доказательство.

Рассмотрим выражение і^m, где m — натуральное число. Понятно, что возможны четыре случая:

1) m = 4k,              k=1,2,…

2)

m=4k +1,           k=0, 1,2,…

3) m 4k +2,             k = 0,1,2,…

4) m=4k+3,            k=0,1,2,. …

Пусть  m = 4k,        тогда  і^м=і^Ак=(і^А) ^к=1^к =1  

Пусть m=4k +1,    тогда  і^м = і^Ак+1 = і^Ак і=1і=і     

Пусть m= 4k +2,   тогда і^м=і^Ак+2 = і^Ак і ² =1(-1)=-1

Пусть m=4k+3,     тогда  і^м

 

Пример.    Вычислить значение выражения

Решение:

.

Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно пользоваться таким правилом:

1) разделить показатель степени на 4;

2) заменить і^м на і^р, где р — остаток, полученный при делении т на 4, то есть число р находится из равенства т = 4к + р.

 

 

2. Комплексные числа

Определение. Комплексным числом называется число, которое имеет вид а+bi, где а, b –

                         действительные числа, i — мнимая единица. При этом число «а» называется

                         действительной частью комплексного числа, «b» — мнимой частью

                         комплексного числа.

Символически действительную и мнимую части комплексного числа обозначают так:  (ре зет),  (им зет).

В основе этих обозначений использованы первые буквы латинских слов , что означает «действительный» и «Imaginaries», что означает «мнимый».

 

Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z= а+ bі называют bi.

 

Определение. Два комплексных числа Z₁ = a₁ + b₁i  и z₂ = а₂ + b₁i называются равными, если

                         Re z₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂.

Для комплексных чисел не существует понятий больше и меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.

Определение. Комплексное число (-а-bi) называется противоположным комплексному числу

                         а + bі.

Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые

                         части противоположные, называются комплексно сопряженными числами и

                         обозначаются соответственно  и .

 

 

3.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

 

Комплексное число, представленное в виде  называется комплексным числом в алгебраической форме.

 

Сложение комплексных чисел

 

Определение. Суммой двух комплексных чисел  и   называется

                         комплексное число .

           Итак,                  (1)

Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.

 

Сумма сопряженных чисел всегда является действительным числом

 

то есть, . (2)

 

Вычитание комплексных чисел

 

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется такое

                         комплексное число , которое в сумме с числом  дает число  .

Вычитание комплексных чисел всегда возможно.

Теорема. Для любых комплексных чисел и  всегда существует разница , которая определена однозначно.

Таким образом, для того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть мнимую часть разности  

 

 

Получается,        (3)

Разность двух сопряженных чисел всегда является мнимым числом.

,

 

то есть,     (4)

 

Умножение комплексных чисел

 

Определение. Произведением двух комплексных чисел   и  называется такое комплексное число, которое определяется формулой: (5)

 

Чтобы умножить комплексные числа следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив при этом на -1 и привести  подобные члены.

 

В процессе умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение. Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом  

.

 

Пример. Найти значение выражения     .

Решение:          .

.

Деление комплексных чисел

 

Определение. Частным двух комплексных чисел  и  называется такое

                         комплексное число z, которое в произведении с дает .

Всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.

Теорема. Частное  определено и к тому же однозначно для всех комплексных чисел  и  , если только , то есть .

 (7)

 

Пример. Вычислить  значение выражения     .

Решение:

 

Над комплексными числами в алгебраической форме возможно выполнять и такие действия, как возведение в степень, извлечения корня. Но выполнение этих действий в алгебраической форме довольно трудоемкое.

 

Закрепление изученного материала.

 

1. Вычислить:   

2. Среди приведенных примеров укажите :

а) чисто мнимые комплексные числа;

б) чисто действительные комплексные числа;

в) сопряженные комплексные числа;

г) равные комплексные числа:

         

3. Выполнить действия:  Ответ.

4. На основании равенства комплексных чисел найти действи­тельные числа  и если  Ответ.  

5. Решить квадратные уравнения и проверить выполнение тео­ремы Виета:

      а)  б)  Ответ. а)  б)

 

 

Контрольные вопросы:

 

1.Дать определение комплексного числа.

2.Сформулировать определение мнимой единицы.

3.Как найти степень мнимой единицы.

4.Какие комплексные числа называют равными, сопряженными?

5.Записать формулу для нахождения произвольного степени мнимой единицы.

6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.

7. Дать определение суммы, произведения и частного двух комплексных чисел.

 

 

 

 

 

Литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

2. Лунгу, К.  Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).

3. Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.

Как вычислить степень i

Мнимое число — это комплексное число, которое можно записать как действительное число, умноженное на мнимую единицу i, которая определяется своим свойством i2 = −1. Другими словами, мнимые числа — это те числа, которые при возведении в квадрат дают отрицательное значение. Чтобы узнать значение i, мы должны рассмотреть комплексные числа и роль i в сформированном новом уравнении.

Упрощение «i»

x2 = 0 – 1

x2 = -1

x = √-1

x = i

Вычисление степеней числа, представленного i

Значение йоты, обозначенное как i, равно √-1. Значение мнимого единичного числа i существует, когда внутри квадратного корня есть отрицательное число, так что единичное мнимое число равно корню из -1. Следовательно, квадрат мнимой единицы равен -1, а ее куб равен значению, – i. Точно так же мы можем найти значение йоты, решив его для разных показателей степени.

Воображаемая единица i представляет собой квадратный корень из -1. Следовательно, квадрат мнимой единицы равен -1. Вот как это будет, если мы изменим степени i.

i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = i2 X i         = -1 x i =  -i

i4 = i2 X i2      = -1 x -1 = 1

3 i

3 i X i         = 1 x i = i

i6 = i4 X i2      = 1 x -1 = -1

Чтобы понимать мнимые числа, необходимо понимать степени мнимой единицы. Можно видеть, что существует закономерность для мощностей мнимой единицы.

Понимание возможностей мнимой единицы необходимо для понимания мнимых чисел. Следуя приведенным выше примерам, он всегда упрощается до -1, -i, 1 или i. Простой способ упростить воображаемую единицу, возведенную в степень, состоит в том, чтобы разделить степень на 4, а затем возвести воображаемую единицу в степень напоминания.

Например: чтобы упростить i23, сначала разделите 23 на 4.

23/4 = 5 остаток 3. Таким образом, i23 = i3 = -i …… как уже было показано выше.

Квадрат мнимого числа ib равен (ib)2 = – b2 , где b – действительное число. Мнимое число может быть добавлено к действительному числу, чтобы сформировать другое комплексное число. Например, a + ib — это комплексное число, где «a» — действительная часть комплексного числа, а «b» — мнимая часть комплексного числа.

Что такое комплексное число?

Комплексное число — это элемент системы счисления, содержащий действительное число, умноженное на мнимую единицу i, где i — квадратный корень из -1.

Каждое комплексное число может быть представлено в виде a + bi, где a и b — действительные числа.

Никакое действительное число не удовлетворяет приведенному выше уравнению, i2 = -1, а комплексные числа допускают решения всех полиномиальных уравнений и даже тех, которые не имеют решений в действительных числах. Вот почему комплексное число имеет решающее значение для мнимого числа i.

Операции с мнимыми числами

Основные арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Обсудим эти операции над мнимыми числами.

Мы также знаем, что мнимые числа являются частью комплексных чисел.

Операции с мнимыми числами и вычисление степеней i

• Сложение или вычитание: сумма или разность двух комплексных чисел — это комплексное число, действительная и мнимая части которого получаются простым сложением или вычитанием соответствующих действительных и мнимых частей , соответственно. то есть

(a+bi)±(x+yi)=(a±x)+i(b±y)

• Умножение: Произведение двух комплексных чисел находится путем их умножения, рассматривая их как двучлены:

(a+bi)(x+yi)=ax+iay+ibx+i2by

=ax + i(ay+bx)-by [i2= -1]

=(ax-by)+i(ay +bx)

• Деление: Рационализируем знаменатель путем умножения и деления на сопряженное комплексное число.

a+bix+yi=a+bix+yi*x-yix-yi

=(a+bi)(x-yi)x2-y2i2

=(ax+by)+i(bx-ay)x2+y2

Несколько интересных фактов о мнимых числах корни многочленов кубической и четвертой степени были открыты итальянскими математиками: см.

Никколо Фонтана Тарталья, Джероламо Кардано.

Мнимые числа не являются «воображаемыми», они действительно существуют и имеют множество применений.

Мнимые числа используются для представления волн.

Мнимые числа появляются в уравнениях, которые не касаются оси x.

Мнимые числа очень полезны в продвинутом исчислении.

Комплексные числа играют роль в квантовой механике, теории, описывающей поведение природы в масштабе атомов и субатомных частиц.

Мнимые числа также можно применять для обработки сигналов, что полезно в сотовых и беспроводных технологиях, а также в радиолокации и даже в биологии (мозговые волны).

Обычно обозначаемые символом i, мнимые числа обозначаются символом j в электронике (поскольку i уже обозначает «ток»).

Воображаемые числа | Superprof

В этой статье мы обсудим, что такое мнимые и комплексные числа, как к мнимым числам применяются степени и как умножать и делить комплексные числа. Начнем сначала с мнимых чисел.

Узнайте больше об обучении математике здесь, на Superprof.

Что такое мнимые числа?

Мнимые числа также называются комплексными числами и являются произведением действительных чисел, скажем, «а» и мнимой единицы «i». Математически они записываются следующим образом:

Мнимое число =

Здесь «a» — действительное число, а «i» — мнимая единица.

Символ «i» используется для обозначения мнимой единицы в математике. В математической записи воображаемая единица записывается как квадратный корень из -1.

Если 2 умножить на эту воображаемую единицу «i», то мы можем записать это как 2i или . Квадрат мнимого числа является отрицательным числом. Например, квадрат «i» равен .

Мнимые числа очень полезны в математике, потому что они облегчают объяснение задач, связанных с извлечением квадратного корня из отрицательного числа. Мнимые числа неосязаемы, т. е. не обладают осязаемой ценностью, поэтому они не классифицируются как действительные числа и не могут быть представлены на числовой прямой. Например, квадратный корень из -36 равен 6i.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Что такое комплексные числа?

Помните, что комплексные числа отличаются от мнимых чисел. Они имеют вид , где a и b — действительные числа. Комплексные числа состоят из двух частей: a и bi. Часть «а» комплексных чисел — это действительная часть числа, а часть «би» комплексных чисел — мнимая часть.

Применение мнимых чисел в других областях

Классифицируемые как комплексные числа, мнимые числа используются во многих других областях помимо математики:

• Они широко используются в электричестве и квадратных уравнениях. В электронике они представлены символом j , потому что i в электронике обозначает ток. Эти числа особенно используются в электронике переменного тока (переменного тока).
• Во время синусоидальной волны переменный ток меняется с положительного на отрицательное и с отрицательного на положительное. Мнимые и действительные числа помогают в расчетах электроэнергии переменного тока.
• Эти номера также применимы при обработке сигналов. Обработка сигналов играет жизненно важную роль в сотовых, беспроводных и радиолокационных технологиях.
• Эти числа чрезвычайно полезны в теории чисел, геометрии, физике и технике.

Силы воображаемой единицы

. определенной степени i , разделите показатель степени на 4 и запишите число как:

.

Здесь Q представляет частное, а R представляет остаток.

Например, рассмотрим воображаемое число

Когда 22 делится на 4, мы получаем частное 5 и остаток 2. Математически это можно записать так:

равно 1 и равно -1:

Теперь рассмотрим другой пример. Когда 27 делится на 4, мы получаем частное 6 и остаток 3. Математически мы можем записать это как:

равно 1 и равно — i:

В следующем разделе мы оценим некоторые выражения, содержащие мнимые числа, используя арифметические операции умножения и деления.

Пример 1

Вычислить . Запишите ответ в виде комплексного числа.

Решение

В этом примере мы будем умножать два выражения так же, как мы умножаем двучлены.

Наше выражение не имеет формы . Его можно еще больше упростить, потому что

 

Пример 2

Вычислить . Запишите ответ в виде комплексного числа.

Решение

Мы будем умножать два выражения так же, как мы умножаем биномы, чтобы упростить выражение в этом примере:

Наше выражение не имеет формы . Его можно еще упростить, потому что

 

Пример 3

Оценить . Запишите ответ в виде комплексного числа.

Решение

Как и в биномиальных выражениях, первое выражение будет умножено на второе:

 .

Наше выражение не имеет формы . Его можно еще больше упростить, потому что

 

Пример 4

Вычислить . Запишите ответ в виде комплексного числа.

Решение

Как и в биномиальных выражениях, первое выражение будет умножено на второе:

 .

Наше выражение не имеет формы . Его можно еще больше упростить, потому что

 

Пример 5

Решите выражение

Решение

Чтобы решить деление комплексных чисел, мы используем сопряженные числа. Чтобы взять сопряженное, поменяйте знак между выражениями в знаменателе. Сопряжение 6 — 2i равно 6 + 2i. Теперь мы будем умножать и делить выражение на сопряженное следующим образом:

Заместитель в вышеуказанном выражении:

Упрощение вышеуказанное

 

Пример 6

Упростите выражение

Решение

Поскольку в этом примере используются комплексные числа, мы будем использовать сопряженные числа. Чтобы взять сопряженное, поменяйте знак между выражениями в знаменателе.

No related posts.