Сумма косинуса и синуса одного угла: Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение

Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α+β2 и α-β2. Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2

Формулы суммы и разности для косинусов

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2cosα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·β-α2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β. Углы α+β2 и α-β2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α=α+β2+α-β2=α2+β2+α2-β2β=α+β2-α-β2=α2+β2-α2+β2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме  sinα+sinβ заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sinα+sinβ=sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sinα+β2+α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα+β2cosα-β2

Действия по выводу остальных формул аналогичны. 

Вывод формулы разности синусов

sinα-sinβ=sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2-sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα-β2cosα+β2

Вывод формулы суммы косинусов

cosα+cosβ=cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2+cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==2cosα+β2cosα-β2

Вывод формулы разности косинусов

cosα-cosβ=cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2-cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==-2sinα+β2sinα-β2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α=π2, β=π6. Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α=π2, β=π6sinπ2+sinπ6=1+12=32sinπ2+sinπ6=2sinπ2+π62cosπ2-π62=2sinπ3cosπ6=2·32·32=32

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α=165°, β=75°. Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α=165°, β=75°sinα-sinβ=sin165°-sin75°sin165-sin75=2·sin165°-75°2cos165°+75°2==2·sin45°·cos120°=2·22·-12=22

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Произведение косинусов, синусов и синуса на косинус

Формулы произведений косинусов cos(α)×cos(β), синусов sin(α)×sin(β) и синуса на косинус sin(α)×cos(β) можно выразить из четырех базовых формул — косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса разности sin(α−β) и синуса суммы sin(α+β):

cos(α−β) = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) (I) cos(α+β) = cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) (II) sin(α−β) = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) (III) sin(α+β) = sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) (IV)

Эти четыре формулы вывести трудно, поэтому их проще запомнить. Но с их помощью можно вывести искомые тригонометрические тождества.

Произведение косинусов

Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:

cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения синусов сокращаются} = cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)

В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синусов

Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:

cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения косинусов сокращаются} = sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:

sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,

т.

е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синуса на косинус

Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:

sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = {одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются} = sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)

Получаем равенство:

sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:

sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,

т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.

Итоговые формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинус

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2 sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2 sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2

Эти формулы мы получили из четырех базовых формул: косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса суммы sin(α−β) и синуса разности sin(α+β).

И эти четыре равенства мы между собой складывали и вычитали.

Оглавление

Следующий урок →

Сумма синусов и косинусов — Учебные пособия по визуализации, вычислениям и математике

\(\newcommand{L}[1]{\| #1 \|}\newcommand{VL}[1]{\L{ \vec{# 1} }}\newcommand{R}[1]{\operatorname{Re}\,(#1)}\newcommand{I}[1]{\operatorname{Im}\, (#1)}\)

• Сэмюэл Грейтцер «Много веселых фактов» Арбелос 4 (1986), вып. 5, 14-17.
• Майкл П. Кнапп Синусы и косинусы углов в арифметической прогрессии Математика Журнал 82.5 (2009): 371-372.

Доказательство на этой странице соответствует «Множеству веселых фактов» Сэмюэля Грейтцнера. 9{N-1} \sin(a + nd) = \begin{случаи} N \sin a & \text{if} \sin(\frac{1}{2}d) = 0 \\ R \sin ( a + (N — 1) \frac{1}{2} d) & \text{иначе} \end{cases}\end{split}\]

Доказательство

Основной порядок игры состоит в том, чтобы переставить сумму так, чтобы члены в текущая итерация суммы отменяет условия в предыдущей итерации, и поэтому мы можем избавиться от суммы.

это телескоп ряд.

Сначала мы сделаем ряд косинусов. Доказательство синуса почти идентично. 9{N-1} \bigg ( \sin(a + (n + \frac{1}{2}) d) — \sin(a + (n — \frac{1}{2}) d) \bigg )\]

Выписывание членов в сумме:

\[\begin{split}2 \sin(\frac{1}{2} d) C «=» \bigg ( \sin(a + \frac{1}{2}d) — \sin(a — \frac{1}{2}d) \bigg) + \\ \bigg ( \sin(a + \frac{3}{2}d) — \sin(a + \frac{1}{2}d) \bigg) + \\ … \\ \bigg ( \sin(a + (N — \frac{3}{2}) d) — \sin(a + (N — \frac{5}{2} d) \bigg) + \\ \bigg ( \sin(a + (N — \frac{1}{2}) d) — \sin(a + (N — \frac{3}{2} d) \bigg )\end{split}\ ]

Серия телескопов, потому что второй член на каждой итерации отменяется первый член на предыдущей итерации. Нам остается только с первый член последней итерации и второй член из первого:

\[2 \sin(\frac{1}{2} d) C = \sin(a + (N — \frac{1}{2}) d) — \sin(a — \frac{1}{2} d)\]

Теперь идем в обратном направлении с \(\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta) = 2\cos \alpha \sin \beta\).

Пусть \(\alpha + \beta = a + (N — \frac{1}{2}) d\) и \(\alpha — \beta = a — \frac{1}{2} d\). Решение для \(\альфа\) и \(\beta\) получаем:

\[2 \sin(\frac{1}{2} d) C = 2 \cos( a + (N — 1) \frac{1}{2} d ) \sin( N \frac{1}{2} d )\]

Решаем для \(C\), чтобы закончить доказательство.

\(\blacksquare\)

Сумма синусов

Это почти идентично, но применяется:

\[\begin{split}\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \ грех \ альфа \ грех \ бета \\ \cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \ подразумевает \\ \cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta\end{split}\] 9{N-1} \bigg ( \cos ( a + ( n + \frac{1}{2}) d ) — \cos ( a + (n — \frac{1}{2}) d ) \bigg ) \\ = \cos ( a + (N — \frac{1}{2}) d ) — \cos ( a — \frac{1}{2} d ) \\ = -2 \sin (a + (N — 1)\frac{1}{2} d ) \sin ( N \frac{1}{2} d )\end{split}\]

Затем найдите \ (С\).

\(\blacksquare\)

Числовая проверка

Мы проверяем, что формулы дают правильные ответы из числовых сумм.

 >>> from __future__ import print_function, Division
 

 >>> импортировать numpy как np
 

 >>> def предсказанная_cos_sum(a, d, N):
... d2 = d/2.
... если np.allclose (np.sin (d2), 0):
... вернуть N * np.cos(a)
... вернуть np.sin(N * d2) / np.sin(d2) * np.cos(a + (N - 1) * d2)
...
>>> определение предсказанной_sin_sum(a, d, N):
... d2 = d/2.
... если np.allclose (np.sin (d2), 0):
... вернуть N * np.sin(a)
... вернуть np.sin(N * d2) / np.sin(d2) * np.sin(a + (N - 1) * d2)
...
>
 >> def fact_cos_sum(a, d, N):
... углы = np.arange(N) * d + a
... вернуть np.sum (np.cos (углы))
...
>>> Defactual_sin_sum(a, d, N):
... углы = np.arange(N) * d + a
... вернуть np.sum (np.sin (углы))
 

Когда \(\sin(\frac{1}{2}d) \ne 0\):

 >>> print('cos',
... предсказанная_cos_sum(4, 0,2, 17),
... фактическая_сумма_коса(4, 0,2, 17))
cos 7,7038472261 7,7038472261
>>> print('sin',
... предсказанная_sin_sum(4, 0,2, 17),
... фактическая_сумма_sin(4, 0,2, 17))
грех -6,27049470825 -6,27049470825
 

Когда \(\sin(\frac{1}{2}d) \приблизительно 0\):

 >>> print('cos : sin(d/2) ~ 0;',
. .. предсказанная_cos_sum (4, np.pi * 2, 17),
... фактическая_сумма_коса (4, np.pi * 2, 17))
cos : sin(d/2) ~ 0; -11.1119415547 -11.1119415547
>>> print('sin : sin(d/2) ~ 0;',
... предсказанная_sin_sum (4, np.pi * 2, 17),
... фактическая_сумма_sin(4, np.pi * 2, 17))
грех : грех(д/2) ~ 0; -12,8656424202 -12,8656424202
 

Нахождение косинуса сумм и разностей углов

Автор: Ян Куанг и Эллейн Касе и

Обновлено: 22.09.2022

Тригонометрия Для Манекены

Исследуйте книгу Купить на Amazon

Вы можете использовать формулы суммы и разности для косинуса для вычисления косинуса суммы и разности углов аналогично тому, как вы можете использовать формулы суммы и разности для синуса, потому что формулы внешне очень похожи друг на друга. При работе с синусом и косинусом суммы и разности углов вы просто подставляете заданные значения переменных (углов). Просто убедитесь, что вы используете правильную формулу, основанную на информации, которую вы дали в вопросе.

Вот формулы суммы и разности для косинусов:

Формулы суммы и разности для косинуса (и синуса) могут сделать больше, чем вычислить триггерное значение для угла, не отмеченного на единичной окружности (по крайней мере, для углов, кратных 15 градусов). Их также можно использовать для нахождения косинуса (и синуса) суммы или разности двух углов на основе информации о двух углах. Для таких задач вам будут даны два угла (назовем их А и В), синус или косинус А и В и квадрант(ы), в котором расположены два угла.

Используйте следующие шаги, чтобы найти точное значение cos(A + B), учитывая, что cos A = –3/5, с A в квадранте II координатной плоскости, и sin B = –7/25, с B в квадранте III:

1. Выберите подходящую формулу и замените известной вам информацией, чтобы определить недостающую информацию.

   , то подстановки приводят к этому уравнению:

   Чтобы продолжить, вам нужно найти cos B и sin A.

2. Нарисуйте изображения, изображающие прямоугольные треугольники в квадранте(ах).

   Рисование картинок поможет визуализировать недостающую информацию.

   Вам нужно нарисовать один треугольник для угла A в квадранте II и один треугольник для угла B в квадранте III. Используя определение синуса как opp / hyp и косинуса как adj / hyp, на этом рисунке показаны эти треугольники. Обратите внимание, что значение катета отсутствует в каждом треугольнике.

3. Чтобы найти пропущенные значения, используйте теорему Пифагора.

   Длина отсутствующего участка на рис. а равна 4, а длина отсутствующего участка на рис. б равна –24.

4. Определите отсутствующие коэффициенты триггера для использования в формуле суммы или разности.

   Вы используете определение косинуса, чтобы найти, что cos B = –24/25, и определение синуса, чтобы найти, что sin A = 4/5.

5. Замените отсутствующие тригонометрические соотношения в формулу суммы или разности и упростите.

   No related posts.