Сумма независимых событий: Сложение вероятностей — урок. Алгебра, 11 класс.

Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.

Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.

Суммой (А+В) двух событий, называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Пример Если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В – попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А+В.

П онятие суммы событий можно проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна. Пусть событию А соответствует взятие наугад точки плоскости из области А, а событию В – взятие точки из области В, то сумме событий соответствует попадание точки в область АВ (рис. 1).

Причем а) соответствует случаю несовместных событий, а

б) – для совместных событий.

Теорема (сложения вероятностей) Вероятность суммы двух

несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (3).

Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.

С обытие А называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не происходит.

П ротивоположные события всегда несовместны. Легко видеть, что Р(А+А)=Р(А)+Р(А)=1 (4).

Пример В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 – денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В – денежный. Тогда А+В – купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему сложения вероятностей для вычисления искомой вероятности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=

Теорема сложения для совместных событий будет рассмотрена ниже.

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называется событие наступления всех этих событий.

Например, двукратное попадание в цель есть произведение двух событий.

При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называется

зависимым от события В.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого, зависимыми – в противном случае.

Теорема (умножения вероятностей) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)(5).

Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А при условии появления В и обозначается Р

В(А).

Теорема Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А) (6).

Пример Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?

Решение: Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда АВ – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):

Заметим, что полученная в решении вероятность 0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!

Теорема (расширенная теорема сложения) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения):

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (7).

Пример В электрическую цепь последовательно включены 2 предохранителя. Вероятность выхода первого из строя равна 0,6; второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из предохранителей.

Решение: Событие А – выход из строя первого предохранителя, В – второго, А+В – выход из строя хотя бы одного из них.

События А и В совместны и независимы, поэтому по расширенной теореме сложения получим:

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии § 2. Определения § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) § 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия § 5. Однородные уравнения первого порядка § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным § 7. Линейные уравнения первого порядка § 8. Уравнение Бернулли § 9. Уравнение в полных дифференциалах § 10. Интегрирующий множитель § 11. Огибающая семейства кривых § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка § 13. Уравнение Клеро § 14. Уравнение Лагранжа § 15. Ортогональные и изогональные траектории § 16. (n) = f(x) § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости § 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи § 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7. Дифференцирование изображения § 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал § 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому § 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ

Вероятность — Правило суммы

Энди Хейс, Карли Мур, Яш Сингхал, и

способствовал

Содержимое

• Правило суммы для взаимоисключающих событий
• Обобщенное правило суммы
• Смотрите также

Представьте, что вы бросаете шестигранный кубик. Можно выкинуть нечетное число. Если \(O\) — это событие, когда выпало нечетное число, то \(O=\{1,3,5\}\). Также возможно, что выпало составное число. Если \(C\) — это событие, когда выпадает составное число, то \(C=\{4,6\}\).

Теперь подумайте, возможно ли выбросить число, которое является одновременно нечетным и составным . Как оказалось, в выборочном пространстве бросков шестигранных игральных костей невозможно выбросить нечетное составное число. События \(О\) и \(С\) называются взаимоисключающие , то есть они не могут произойти одновременно.

Это различие очень важно для правила суммы взаимоисключающих событий :

Пусть \(A\) и \(B\) — взаимоисключающие события. Тогда вероятность объединения этих событий равна

.

\[P(A\чашка B)=P(A)+P(B).\]

«\(\cup\)» — это символ объединения. Поскольку события являются множествами, объединение событий можно понимать почти так же, как объединение множеств. \(P(A\cup B)\) — вероятность любого события \(A\) 9Происходит событие 0019 или \(B\).

Это правило можно интуитивно понять с помощью диаграммы Венна, показывающей выборочное пространство, которое включает события \(A\) и \(B\):

Пусть \(S\) — выборочное пространство, включающее взаимоисключающих событий \(A\) и \(B\). Диаграмма Венна этого демонстрационного пространства изображена ниже:

Обратите внимание, что между событиями \(A\) и \(B\) нет перекрытия. Когда события взаимоисключающие, невозможно, чтобы оба произошли одновременно.

Объединение \(A\) и \(B\) показано синим цветом. Вероятность этого союза можно вычислить следующим образом:

\[P(A\cup B)=\dfrac{|A|+|B|}{|S|}=\dfrac{|A|}{|S|}+\dfrac{|B|}{| S|}=P(A)+P(B).\]

Сегодня у Мэри есть 2 зеленые юбки, 3 красные юбки и 4 синие юбки. Она выбирает юбку случайным образом, причем каждая юбка может быть выбрана с одинаковой вероятностью. Какова вероятность того, что Мэри выберет зеленую юбку или синюю юбку ?

---

Определить события \(G\) и \(B\) следующим образом:

• \(G=\) Мэри выбирает зеленую юбку.
• \(B=\) Мэри выбирает синюю юбку.

Мэри не может выбрать и зеленую, и синюю юбку, поэтому применяется правило суммы:

\[P(G\cup B)=P(G)+P(B)=\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}.\ _ \квадрат\]

\[0\] \[ \frac{9}{30} \] \[ \фракция{10}{30} \] \[ \frac{11}{30} \] \[ \фракция{19{30} \] \[ \фракция{20}{30} \] \[ \фракция{21}{30} \] \[1\]

На столе в общей сложности 30 разных книг: 9 книг по математике, 10 книг по физике и 11 книг по химии.

Какова вероятность получить книгу, которая не является книгой по математике?

Предыдущие примеры и задачи несколько ограничены, поскольку требуют взаимоисключающих событий. Далее идет обобщенное правило суммы :

Пусть \(A\) и \(B\) события (не обязательно взаимоисключающие). Вероятность объединения этих событий равна

.

\[P(A\чашка B)=P(A)+P(B)-P(A\крышка B).\]

Это правило можно интуитивно понять с помощью диаграммы событий Венна \(A\) и \(B\):

Пусть \(S\) — выборочное пространство, включающее события \(A\) и \(B\). Диаграмма Венна этого демонстрационного пространства изображена ниже:

В этом примере события \(A\) и \(B\) не являются взаимоисключающими, и это видно по перекрывающемуся разделу в середине. Этот перекрывающийся раздел является событием \(A\cap B\). Это событие представляет собой событие \(A\), происходящее одновременно с событием \(B\).

Объединение \(A\) и \(B\) показано синим цветом. Если мы хотим вычислить вероятность объединения, то сложение вероятностей \(A\) и \(B\) приводит к двойному подсчету секции в середине. Вероятность этого участка необходимо вычесть, чтобы учесть это:

\[P(A\cup B)=\dfrac{|A|}{|S|}+\dfrac{|B|}{|S|}-\dfrac{|A\cap B|}{|S |}=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]

Если вы знакомы с принципом включения и исключения, эта концепция очень похожа.

В мешке 34 шарика. В мешке 14 синих шариков, 4 из них синие и полосатые. 16 шариков полосатые (из этих шариков те же 4 шарика и синие, и полосатые).

Какова вероятность того, что вы вытащите из мешка шарик синего или полосатого цвета?

---

В задаче упоминается, что вы вычисляете вероятность того, что шарик окажется синим или полосатым . Использование слова «или» здесь важно. «Или» означает, что мы находим вероятность объединения событий.

Пусть \(B\) будет событием извлечения синего шарика. Пусть \(T\) будет событием извлечения полосатого шарика.

В задаче упоминается, что шарики могут быть как синими, так и полосатыми. Это указывает на то, что эти события , а не взаимоисключающие. \(B\cap T\) — это событие, когда вынимается одновременно синий и полосатый шарик. \(B \cup T\) — это событие, когда вынимается синий или полосатый шарик.

Цель состоит в том, чтобы найти \(P(B\cup T)\), вероятность того, что вытащен либо синий шарик, либо полосатый шарик.

По приведенной выше формуле \(P(B\чашка T)=P(B)+P(T)-P(B\cap T).\)

Это дает \(P(B\cup T)=\frac{14}{34}+\frac{16}{34}-\frac{4}{34}=\frac{26}{34}=\ гидроразрыв{13}{17}.\)

Следовательно, вероятность вытащить голубой или полосатый шарик равна \(\frac{13}{17}.\ _\square\)

\[\dfrac{2}{5}\] \[\dfrac{1}{2}\] \[\dfrac{17}{20}\] \[\dfrac{9}{10}\]

Бросается 20-гранная игральная кость.

Какова вероятность того, что выпадет четное или простое число, или и то, и другое?

---

Изображение предоставлено : Викимедиа Клеман Букко-Леша.

• Вероятностное правило произведения
• Вероятность по дополнению
• Принцип включения и исключения
• Вероятностный принцип включения и исключения

Цитировать как: Вероятность — правило суммы. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/вероятность-правило-суммы/

Вероятность независимых событий: Определение | StudySmarter

Пандемия Covid-19 привела к краху многих предприятий и потере работы людьми. Это привело к тому, что люди начали создавать предприятия, которые могли бы процветать во время пандемии. Можно сказать, что эти предприятия независимы от пандемии.

Вот что такое независимые события. Бизнес — это событие, а Covid-19 — другое, и они никак не влияют друг на друга.

В этой статье мы увидим определение независимых событий, формулы, связанные с независимыми событиями, и примеры их применения. Мы также увидим, как мы можем визуально представить этот тип событий в форме так называемых диаграмм Венна.

Определение независимых событий

Независимое событие — это когда возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

У вас может быть два отдельных события, которые не имеют ничего общего друг с другом. Возникнет одно или нет, не повлияет на поведение другого. Вот почему они называются независимыми событиями.

Когда вы подбрасываете монету, выпадает либо орел, либо решка. Возможно, вы три раза подбрасывали монету, и она трижды выпадала орлом. Вы можете подумать, что у него есть шанс выпасть решкой, когда вы подбросите его в четвертый раз, но это не так.

Тот факт, что он выпал решкой, не означает, что вам может повезти и в следующий раз выпадет решка. Выпадение орла и выпадение решки при подбрасывании монеты — это два независимых события.

Предположим, вы покупаете машину, и ваша сестра надеется поступить в университет. В этом случае эти два события также независимы, потому что покупка автомобиля не повлияет на шансы вашей сестры поступить в университет.

Другие примеры независимых событий:

• Выиграть в лотерею и получить новую работу;

• Поступить в колледж и выйти замуж;

• Выиграть гонку и получить диплом инженера.

Бывают случаи, когда сложно определить, независимы ли два события друг от друга. При попытке узнать, являются ли два (или более) события независимыми, следует принять во внимание следующее:

Формула вероятности независимых событий

Чтобы найти вероятность события, используйте формулу:

Вероятность наступления события=Количество способов, которыми может произойти событиеКоличество возможных исходов.

Здесь мы говорим о вероятностях независимых событий, и вы можете найти вероятность того, что два независимых события произойдут одновременно. Это вероятность их пересечения. Для этого нужно умножить вероятность одного события на вероятность другого. Формула для этого приведена ниже.

P(AиB)=P(A∩B)=P(A)×P(B),

где P — вероятность

P(A∩B) — вероятность пересечения A и B

P(A) — вероятность A

P(B) — вероятность B

Рассмотрим независимые события A и B. P(A) равно 0,7, а P(B) равно 0,5, тогда:

P(A∩B)=0,7×0,5=0,35

Эту формулу также можно использовать, чтобы выяснить, действительно ли два события независимы друг от друга. Если вероятность пересечения равна произведению вероятности отдельных событий, то они являются независимыми событиями, в противном случае — нет.

Позже мы рассмотрим другие примеры.

Независимые события, представленные на диаграммах Венна

Диаграмма Венна предназначена для наглядности. Вспомните формулу нахождения вероятности одновременного наступления двух независимых событий.

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Пересечение A и B можно изобразить на диаграмме Венна. Посмотрим, как.

Диаграмма Венна — StudySmarter Original

На приведенной выше диаграмме Венна показаны две окружности, представляющие два пересекающихся независимых события A и B. S представляет все пространство, известное как образец пространства . Диаграмма Венна дает хорошее представление о событиях и может помочь вам лучше понять формулы и расчеты.

Пространство выборки представляет возможные исходы события.

При построении диаграммы Венна может потребоваться найти вероятность всего пространства. Приведенная ниже формула поможет вам в этом.

S=1-(P(A)+P(A∩B)+P(B)

Примеры и расчеты вероятности независимых событий

Давайте применим формулы, о которых мы говорили, для использования в приведенных ниже примерах.

Рассмотрим два независимых события A и B, связанные с бросанием игральной кости. Событие A выбрасывает четное число, а событие B — кратное 2. Какова вероятность того, что оба события произойдут одновременно?

Решение

У нас есть два события A и B.

Событие A – выпадение четного числа

Событие B – выпадение числа, кратного 2

Оба события независимы. У игральной кости шесть граней, и возможные числа, которые выпадут, — 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Нас просят найти вероятность того, что оба события произойдут одновременно, что является их пересечением.

Формула для использования:

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Из формулы видно, что для расчета пересечения необходимо знать вероятность каждого события происходит.

Вероятность наступления события = количество способов, которыми это может произойти, общее количество возможных исходов

Следовательно, P(A)=36=12

P(B)=36=12

Теперь подставим формулу

P(A∩B)=12×12=14

Таким образом, вероятность того, что произойдут оба события, равна 14.

Давайте рассмотрим другой пример.

P(A)=0,80 и P(B)=0,30 и A и Bare независимые события. Что такое P(A∩B)?

Решение

Нас просят найти P(A∩B), когда P(A)=0,80 и P(B)=0,30. Все, что нам нужно сделать, это подставить в формулу ниже.

P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,80×0,30=0,24

Следовательно, P(A∩B)=0,24.

К третьему примеру.

В классе 65% учеников любят математику. Если наугад выбраны два ученика, какова вероятность того, что они оба любят математику, и какова вероятность того, что первый ученик любит математику, а второй нет?

Решение

У нас есть два вопроса. Во-первых, найти вероятность того, что математика понравится обоим учащимся, а во-вторых, найти вероятность того, что одному математика понравится, а другому — нет.

То, что один ученик любит математику, не влияет на то, нравится ли математика и второму ученику. Так что это независимые события. Вероятность того, что им обоим нравится математика, есть вероятность пересечения событий.

Если мы назовем события A и B, мы можем рассчитать их по приведенной ниже формуле.

P(A∩B)=P(A)×P(B)=65100×65100=0,65×0,65=0,4225

Обратите внимание, что мы разделили на 100. Это потому, что мы имеем дело с процентами.

Теперь найдем вероятность того, что первому ученику понравится математика, а второму — нет. Это два отдельных независимых события, и чтобы найти то, что мы ищем, мы должны найти пересечение обоих событий.

Вероятность того, что математика понравится первому ученику, равна

P(A)=65%=0,65

Вероятность того, что второй ученик не полюбит математику, равна

P(B)=1-0,65=0,35 теперь получите наш окончательный ответ, подставив уравнение выше.

P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,65×0,35=0,2275

Давайте рассмотрим четвертый пример.

C и D — события, где P(C)=0,50, P(D)=0,90. Если P(C∩D)=0,60, являются ли C и D независимыми событиями?

Решение

Мы хотим знать, независимы ли события C и D. Чтобы узнать это, мы будем использовать формулу ниже.

P(C∩D)=P(C)×P(D)

Нам дано

P(C)=0,50P(D)=0,90P(C∩D)=0,60

Если мы подставим в формулу и получим пересечение, которое отличается от того, что предполагает вопрос, тогда события не независимы, иначе они независимы.

Подставим.

P(C∩D)=0,50×0,90P(C∩D)=0,45

Мы получили 0,45, а вопрос говорит, что пересечение должно быть 0,60. Это означает, что события не являются независимыми.

Далее, пятый пример.

A и B — независимые события, где P(A)=0,2 и P(B)=0,5. Нарисуйте диаграмму Венна, показывающую вероятности этого события.

Решение

Диаграмма Венна нуждается в некоторой информации. Одни из них даны, а для других приходится рассчитывать.

P(A)=0,2P(B)=0,5P(A∩B)=?P(S)=?(вероятность всего пространства)

Теперь найдем недостающую информацию.

P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,2×0,5=0,1

P(S)=1-(P(A)+P(A∩B)+P(B) )=1-(0,2+0,1+0,5)=1-0,8=0,2

Теперь давайте нарисуем диаграмму Венна и введем информацию.

И последнее.

Из приведенной ниже диаграммы Венна найдите

1. P(C∩D)
2. P(C∪D)
3. P(C∪D’)

16 a Решение P(C∩D)

P(C∩D)=P(C)×P(D)

Из диаграммы Венна

P(C)=0,2P(D)=0,6

Итак, мы Теперь подставьте формулу.

P(C∩D)=P(C)×P(D)=0,2×0,6=0,12

б. P(C∪D)

Здесь нужно найти объединение обоих событий. Это будет суммирование вероятности C, D и пересечения.

P(C∪D)=P(C)+P(D)+P(C∩D)=0,2+0,6+0,12=0,92

c. P(C∪D’)

C∪D’ означает все в C, чего нет в D. Если мы посмотрим на диаграмму Венна, мы увидим, что она включает 0,2, C∩D и 0,8.

Итак, мы имеем:

P(C∪D’)=P(C)+P(C∩D)+S=0,2+0,12+0,8=1,12

Независимые вероятности — ключевые выводы

• Вероятность независимого события – это когда возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

  No related posts.