Сумма последовательностей: Онлайн калькулятор нахождения суммы последовательности чисел, формулы

Функция sum() в Python, сумма последовательности.

Вычисляет сумму всех элементов в последовательности.

Синтаксис:

sum(iterable, /, start=0)

Параметры:

• iterable — объект, поддерживающий итерацию,
• start — число, начальное значение для суммы.

Возвращаемое значение:

• сумма элементов.

Описание:

Функция sum() начинает суммирование элементов последовательности iterable с начального значения start, если оно указано, сложение происходит слева направо и в результате возвращает их сумму.

Функция sum() ожидает, что элементы iterable являются числами, а начальное значение start не может быть строкой. Если аргумент iterable пуст, то функция sum() возвращает начальное значение start, если оно указано.

Для некоторых случаев использования функции sum() есть хорошие альтернативы

:

• Для суммирования чисел с плавающей запятой с повышенной точностью используйте math.fsum().
• Предпочтительный и быстрый способ объединить последовательность строк — это вызов метода str.join(sequence).
• Чтобы объединить нескольких последовательностей, рассмотрите возможность использования itertools.chain().

Изменено в Python 3.8: Параметр start может быть указан как аргумент ключевого слова.

Примеры вычисления суммы разных последовательностей.

• Стандартные приемы вычисления суммы,
• Вычисление суммы списка строк с числами,
• Подсчет суммы чисел в строке разделенных пробелами.
• Подсчет суммы цифр в числе.

Стандартные приемы вычисления суммы.

>>> x = []
>>> sum(x)
# 0
# Сумма чисел, переданных 
# в качестве аргументов (каждая отдельно). 
>>> sum(x, 10)
# 10
# сумма списка целых чисел
>>> x = [1, 2, 3, 4]
>>> sum(x, 10)
# 20
# сумма списка целых и десятичных чисел
>>> x = [1.1, 2.2, 3.3, 4.256]
>>> sum(x, 1)
# 11.856000000000002
>>>

Вычисление суммы списка строк с числами.

Для преобразования спискастрок с числами включая десятичные c разделением их по типам int и float, необходимо перед преобразованием в тип float проверять строку на вхождение точки ‘.’.

Для проверки строки на целое число перед преобразованием проверим, что строка состоит только из десятичных чисел str.isdigit().

После выполнения всех преобразований применим функцию sum().

>>> str_list = ['8.3', '11', 'девять.', '1', '5', '3', '9', 'пять', '15', '13', '7', '13.9', 'число']
>>> def str_to_num(str):
...     str = str.strip()
...     if '. ' in str and str.replace('.', '').isdigit():
...         return float(str)
...     elif str.isdigit():
...         return int(str)
... 
>>> num_list = []
>>> for i in str_list:
...     n = str_to_num(i)
...     if n is not None:
...         num_list.append(str_to_num(i))
>>> num_list
# [8.3, 11, 1, 5, 3, 9, 15, 13, 7, 13.9]
>>> sum(num_list)
# 86.2

Подсчет суммы чисел в строке разделенных пробелами/запятыми/подстрокой.

В этом случае необходимо сначала преобразовать строку с числами, разделенные пробелами/запятыми или какой либо подстрокой в список строк с числами.

Это можно сделать следующими способами

:

• по разделителю, например пробелу ' ' или ';' методом строки str.split(),
• по разделителю, состоящему из регулярного выражения функцией re.split(),
• вытащить все цифры из исходной строки при помощи функцией re.findall().

Дальнейший алгоритм вычисления суммы чисел, находящихся в строке с разделителем будет аналогичен предыдущему примеру.

>>> line = '8.3 11 девять 1 5 3 9 пять 15 13 7 13.9 число'
# 1 - используем метод строки str.split()
>>> str_list = line.split(' ')
>>> str_list
# ['8.3', '11', 'девять', '1', '5', '3', '9', 'пять', '15', '13', '7', '13.9', 'число']
# 3 способ - используем функцию re.findall()
>>> line = '8.3 11 девять. 1 5 3 9 пять 15 13 7 13.9 число'
>>> match = re.findall(r'[\d\.?,?]+', line)
>>> list(match)
# ['8.3', '11', '1', '5', '3', '9', '15', '13', '7', '13.9']
# Далее будем делать то же самое что и в предыдущем примере
...
# Выполняем преобразование списка строк с 
# числами str_list в  список целых и десятичных чисел
...
# в итоге преобразований, описанных в предыдущем
# примере получаем список чисел, к которым 
# применим функцию 'sum()'
>>> num_list
# [8.3, 11, 1, 5, 3, 9, 15, 13, 7, 13.9]
>>> sum(num_list)
# 86.2

Подсчет суммы цифр в числе.

Допустим есть число, целое или вещественное и необходимо подсчитать сумму цифр этого числа. Для того, что бы это сделать нужно это число преобразовать в список входящих в него цифр, а потом применить к полученному списку функцию sum().

Алгоритм действий будет следующим:

• преобразуем число в строку при помощи функции str();
• число может быть как
  int, так и float, следовательно необходимо произвести замену десятичного разделителя '.' при помощи строкового метода str.replace();
• преобразовываем полученную строку с числом в список строк с цифрами функцией list();
• далее преобразовываем каждый элемент полученного списка строк с цифрами в список целых чисел используя функцию map();
• применяем функцию sum() к итоговому списку.

>>> pi = 3.1415926
# число в строку
>>> str_pi = str(pi)
# производим замену десятичного разделителя
>>> str_pi = str_pi.replace('.', '')
# строку с числом в список строк с цифрами
>>> lst_str = list(str_pi)
# преобразовываем каждый элемент полученного
# списка строк с цифрами в список целых чисел
>>> lst_num = map(int, lst_str)
# применяем функцию `sum()`
>>> s = sum(lst_num)
>>> s
# 31

Числовые последовательности — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

• Как мы привыкаем к последовательностям на протяжение нашей жизни?
• Что такое золотое сечение?

Что значит “действовать последовательно”? Мы делаем что-то по определенным принципам, не нарушаем правила. Все наши действия будут иметь логику, которую мы сможем отследить. В математике также можно составлять числа в строгом порядке. Называться такие ряды будут последовательностями. 

Понятие последовательности 

Посмотрим на несколько рядов чисел и порассуждаем.

По какому принципу составлен ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.? Всё просто: к каждому новому числу прибавляют единицу. 

А какой принцип в ряде чисел 2, 4, 6, 8 и т.д.? Здесь к каждому новому числу прибавляют 2. 

Что можно сказать про ряд 2, 4, 8, 16, 32 и т.д.? Каждое новое число умножают на 2. 

Все приведенные выше ряды чисел будут называться последовательностью. Как описать ее одним термином?

Ненадолго вспомним функции чисел. Разберем функцию f(x)=x+1. 
Если x = 0, то f(x) = 1.
Если x = 1, то f(x) = 2.
Если x = 2, то f(x) = 3.
Если x = 3, то f(x) = 4.

Внимательно посмотрим на значения функции: это и будет наша первая последовательность 1, 2, 3, 4, 5. Мы можем сделать вывод, что последовательность можно задать с помощью функции. 

На самом деле, любая последовательность и есть функция. Теперь дадим определение. 

Последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел или его части. 

То есть подставлять в такую функцию можно только натуральные числа. 

Подробнее про функцию, ее значение, область определения и другие свойства можно прочесть в статье «Определение и график функции». 

Аргумент будет обозначать порядковый номер числа в последовательности. Первое число в последовательности будет задаваться х = 1, второе число х = 2, n число как х = n. 

Числа, которые образуют последовательность, — это члены последовательности. И у каждого члена последовательности есть свой порядковый номер. 

Как же обозначаются члены последовательности? Не будем же мы каждый раз писать “двадцатый член последовательности” или что-то подобное? 

Для членов последовательности существует свое обозначение: an, где индекс после буквы а обозначает порядковый номер члена последовательности.  

Например, 

• а₁ — первый член последовательности, 
• а₂₀ — двадцатый член последовательности, 
• а₁₀₀ — сотый член последовательности и так далее. 

Таким образом можно обозначить любой член последовательности. 

Как мы привыкаем к последовательностям на протяжение нашей жизни? Вспомним считалочки, которые мы использовали в играх в детстве: “Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять”.  Первая строчка многих подобных считалочек — это последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5. Дальше в школе на уроках физкультуры нас распределяют по командам, присваивая каждому свой номер. И это тоже последовательность. Потом мы поступаем в вуз и попадаем в списки абитуриентов, тоже — в ещё одну последовательность.

Способы задания числовой последовательности

Рассмотрим, каким способами можно задать числовую последовательность.  

Первый способ — это указать все члены последовательности. Однако он не всегда удобен, поскольку в последовательности может быть бесконечное количество членов. 

Второй способ мы уже использовали — это задать общую формулу. Тогда можно будет найти любой член последовательности. В этом случае нужно будет подставить порядковый номер члена последовательности в формулу. 

Допустим, дана последовательность a_n = 3n + 40, и нам нужно найти третий член последовательности. Тогда нужно подставить n = 3 в формулу: 

a₃ = 3 * 3 + 40 = 9 + 40 = 49. 

Аналогичным способом можно будет найти любой член в данной последовательности. 

Рассмотрим ещё пример. Что мы можем сказать про последовательность чисел 2, 4, 12, 32, 88 и так далее? Определенный закон здесь вывести достаточно сложно. Всё потому, что следующий член последовательности зависит от предыдущего. 

Обратим внимание на третий член последовательности: 12 = 2 * 6 = 2(2 + 4). А если посмотреть на четвертый член последовательности? 32 = 2 * 16 = 2(4 + 12). 

И так с каждым членом последовательности: он равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. 

Это еще один способ задания последовательности, когда используется рекуррентная формула. Ее особенность в том, что каждый член последовательности выражен с помощью предыдущих членов последовательности. 

Одним из примеров такой последовательности будут числа Фибоначчи. Это последовательность, в которой первые два члена равны 1, а все следующие являются суммой двух предшествующих им. 

Числа Фибоначчи выглядят так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и так далее.

Как задать их с помощью рекуррентной формулы? Допустим, мы хотим найти член an в этой последовательности. Мы знаем, что для этого нужно сложить два предыдущих члена, то есть a_n-1 и a_n-2. Вот мы и получили формулу.

a_n = a_n-1 + a_n-2. 

Что такое золотое сечение? Золотое сечение — это пропорциональное деление отрезка на неравные части. При этом весь отрезок относится к большей части, как меньшая часть этого отрезка относится в большей его части.  Золотое сечение можно представить в виде “завитка”, который вписан в прямоугольник. Прямоугольник будет делиться на квадраты, стороны которых равны числам Фибоначчи.  Принципы золотого сечения позволяет построить гармоничную композицию, а значит, применяются в архитектуре и искусстве. Более того, их можно встретить в природе. Форма ракушек, завитки ростков, семена подсолнуха, шишки, даже ураган (если посмотреть на него сверху) имеют форму золотого сечения или приближенную к нему.

Виды числовых последовательностей

Возьмем обычную последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …, a_n. Мы можем сказать, что каждый следующий член последовательности больше, чем предыдущий. Такие последовательности называются возрастающими. 

Если перевернуть ее и получить последовательность 5, 4, 3, 2, 1, …, a_n — последовательность будет называться убывающей. Для такой последовательности обязательно, чтобы каждый следующий член был меньше, чем предыдущий. 

Что, если мы просто будем менять знак числа? Например, −1, 1, −1, 1 и так далее? Тогда последовательность будет ни убывающей и ни возрастающей. 

Такую последовательность можно задать с помощью формулы a_n = (-1)ⁿ. 

Разумеется, не все последовательности бывают бесконечными. Ранее мы рассматривали только бесконечные последовательности: в них можно было подставить любое значение n. 

Возьмем последовательность простых однозначных чисел: 2, 3, 5, 7. Больше однозначных чисел нет — продолжить последовательность мы не можем. 

Последовательность, в которой ограничено количество членов, будет называться конечной последовательностью. Если же в последовательности не ограничено количество членов, и их можно задавать до бесконечности, то такая последовательность будет называться бесконечной последовательностью.  

Фактчек

• Последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел или его части. 
• Каждый член последовательности имеет свой номер, который отображается в индексе. Например, a₁ — первый член последовательности, а a₂₅ — двадцать пятый. 
• Последовательность можно задать несколькими способами. Во-первых, выписать все члены последовательности. Во-вторых, задать общую формулу. В-третьих, задать рекуррентную формулу. 
• Рекуррентная формула — это формула, в которой каждый следующий член последовательности зависит от предыдущих. Ярким примером такой последовательности являются числа Фибоначчи, где каждое число является суммой двух предыдущих. 
• Последовательности бывают возрастающими и убывающими. В возрастающих последовательностях каждый следующий член больше предыдущего, а в убывающей каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. В бесконечных последовательностях не ограничено количество членов. А в конечных последовательностях количество членов ограничено. 

Проверь себя

Задание 1. 
Выберите конечную числовую последовательность.

1. Числа Фибоначчи.
2. Четные положительные числа.
3. Нечетные трехзначные числа.
4. Нечетные отрицательные числа. 

Задание 2. 
Выберите убывающую последовательность. 

1. 10, 9, 8, 7, 6, 5, …, a_n
2. Числа Фибоначчи
3. 1, 2, 3, 4, 5, …, a_n
4. 1, 3, 5, 7, 9, …, a_n 

Задание 3. 
Выберите возрастающую последовательность. 

1. 100, 90, 80, …, a_n
2. \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), …, a_n
3. Числа Фибоначчи
4. −1, −2, -3, …, a_n

Задание 4. 
Какая последовательность является числами Фибоначчи? 

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
3. 1, 4, 9, 16, 25, …
4. 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), …

Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 3 4. — 2

Формула арифметического ряда — ChiliMath

Слово ряд подразумевает сумму . Мы можем преобразовать данную арифметическую последовательность в арифметическую серию, добавив члены последовательности. Пример ниже подчеркивает разницу между ними.

Последовательность против серии

Арифметическая последовательность (список):

\large{2,4,6,8,10,…}

Арифметическая последовательность (сумма):

\large{2 + 4 + 6 + 8 + 10…}

Обратите внимание, что в последовательности мы перечисляем термины, разделенные запятыми, а в сериях термины добавляются, как указано плюсом.

Таким образом, арифметическая последовательность представляет собой просто сумму членов арифметической последовательности . В частности, сумма первых \large\color{red}{n} членов арифметической последовательности называется частичной суммой . Частичная сумма обозначается символом \large{{S_n}}.

---

Ниже приведена общая форма формулы арифметического ряда. Лучше всего это работает, если в задаче заданы первый и последний члены.

Примечания:

▶︎ Формула арифметического ряда также известна как формула частичной суммы.

▶︎ Формула частичной суммы может быть описана словами как произведение среднего первого и последнего членов и общее количество членов в сумме.

▶︎ Формула арифметической последовательности включена в формулу частичной суммы. На самом деле это n-й член или последний член \large\color{blue}{a_n} в формуле.

▶︎ Ознакомиться с и формула арифметического ряда и формула арифметической последовательности (формула n-го члена), потому что они идут рука об руку при решении многих задач.

\Large{{S_n} = n\left( {{{{a_1} + \,{a_n}} \over 2}} \right)}

и

\large{{a_n} = {a_1} + \left( {n — 1} \right)d}

---

Прежде чем мы начнем работать с примерами, вы, возможно, помните, что я упоминал, что формула арифметической последовательности встроена в формулу арифметического ряда. Если мы заменим и расширим формула n-го члена в рамках формулы частичной суммы мы получим новую и полезную форму формулы арифметического ряда.

Ниже приведена альтернативная формула арифметического ряда. Учтите это, если последний член равен , а не .

Формула альтернативного арифметического ряда

где:

\large{{a_1}} – первый член

\large{{d}} – общая разность

\large{{n}} – число слагаемых в сумме

---

Примеры применения формулы арифметического ряда

Пример 1: Найдите сумму первых 100 натуральных чисел.

Это простая задача. Цель этой задачи — служить вводным примером. Это должно помочь вам быстро ознакомиться с формулой арифметического ряда. Как только вы поймете, как использовать формулу, вы сможете решать более сложные задачи, как вы увидите позже в этом уроке.

Напомним, что натуральные числа — это счетные числа. Мы можем записать конечную арифметическую последовательность как

1,2,3,4,…,100

и связанный с ней арифметический ряд как

1 + 2 + 3 + 4 + … + 100

Ясно, что первый член 1, последний член равен 100, и количество добавляемых членов также равно 100.

Подставьте значения в формулу, затем упростите, чтобы получить сумму.

Поскольку {a_1} = 1, {a_{100}} = 100 и n = 100, мы имеем

Таким образом, сумма первых 100 натуральных или счетных чисел равна 5050.

Если вы хотите больше попрактиковаться в нахождении суммы первых 200, 300, 400 и 500 натуральных чисел, вы можете использовать список частичных сумм натуральных чисел до 1000, который я создал в качестве ключа к ответу.

---

Пример 2: Найдите частичную сумму заданного арифметического ряда.

\large{7 + 12 + 17 + 22 + … + 187}

Если вы впервые решаете задачу такого типа, это может показаться вам немного сложным. Не то чтобы это сложно, а потому, что нужные вам значения не указаны явно. Это может сбить вас с толку, потому что вы даже не знаете, с чего начать. Однако, если у вас есть стратегия с самого начала, вы поймете, что эта проблема не так уж и плоха.

Нам нужно изучить данную серию. Определите ценности, которые важны и полезны для нас. Иногда, делая это таким образом, нам открывается следующий логический шаг.

Итак, это информация, которую мы собрали из сериала. Первый член равен 7. Так как 12-7=5, 17-12=5 и 22-17=5, то общая разность равна 5. Последний член равен 187. Это означает количество членов \large\color{ red}n, добавляемый в серию, отсутствует.

\большой{a_1} = 7

\large{d=5}

\large{a_n} = 187

\large{n = \,?}

Надеюсь, сейчас вы согласитесь со мной, что у нас нет другого выхода, кроме как использовать формула n-го члена , чтобы найти \large\color{red}n. Как только мы найдем значение для \large{n}, мы подставим его в формулу арифметического ряда вместе с первым и последним членами, чтобы найти сумму данного арифметического ряда.

Теперь давайте найдем \large{n}, используя формулу n-го слагаемого.

Наконец, у нас есть все значения, необходимые для вычисления суммы заданного ряда: \large{n=37}, \large{a_1} = 7 и \large{a_n} = 187,

---

Пример 3: Найдите сумму первых больших членов арифметической прогрессии.

\large{12\,\,19\,\,26\,\,33\,…}

Стратегия аналогична примеру 2. Вместо нахождения количества членов \ большой\цвет{красный}n, мы будем использовать формулу n-го члена, чтобы найти 51-й член. Затем мы используем формулу арифметического ряда для вычисления суммы первых 51 членов последовательности.

Итак, какое значение мы можем извлечь из данной задачи?

Что ж, количество добавляемых терминов \large\color{red}n явно задано в задаче, которая равна n=51.

Теперь из арифметической последовательности легко определить первый член и общую разность. Первый член, очевидно, равен 12, а общая разность равна 7, поскольку 19 — 12 = 7, 26 — 19 = 7 и 33 — 26 = 7.

Итак, вот информация, которую мы собрали. Это означает, что n-й член — это то, что мы ищем.

\большой{a_1}=12

\большой{n=51}

\large{d=7}

\large{a_n}=\,?

Подставьте значения в формулу n-го члена , затем упростите, чтобы получить 51-й член.

Наконец мы можем найти сумму первых 51 слагаемых, потому что мы знаем количество слагаемых n=51, первое слагаемое {a_1}=7 и последнее слагаемое {a_n}=362.

---

Пример 4: 10-й член арифметической последовательности равен 17, а 30-й член равен -63. Чему равна 50-я частичная сумма \large{S_{50}} арифметической прогрессии?

Вот общая картина. Чтобы найти 50-ю частичную сумму, нам нужно знать первый член \large{a_1} и последний член \large{a_n}, который совпадает с 50-м членом. Очевидно, что в ряду будет 50 терминов, потому что мы суммируем термины с первого по 50-й член.

Чтобы найти первый член \large{a_1}, мы будем использовать формулу n-го члена вместе с данной информацией в задаче, чтобы сгенерировать систему уравнений, где неизвестными переменными являются первый член \large{a_1} и общая разница d.

\large{{a_n} = {a_1} + \left( {n — 1} \right)d}

Следовательно, мы имеем

• 10-й член равен 17

• 30-й член равен -63

Вот эту систему уравнений мы и собираемся решить. Мы можем найти значения первого члена \large{a_1} и общей разности \large{d}.

Мы решим эту систему уравнений, используя метод исключения. Мы вычтем уравнение №2 из уравнения №1, чтобы избавиться от \large{a_1}, тем самым изолировав \large{d}.

Это дает нам

Так как мы уже знаем значение общей разности \large{d}, мы можем легко найти первый член \large{a_1}. Выберите любое из двух уравнений, уравнение №1 или уравнение №2, подставьте значение \large{d}, затем решите для \large{a_1}. Мы выберем уравнение № 1, потому что с ним гораздо проще работать.

Зная первый член и общую разность последовательности, мы можем составить формулу, которая может определить любой член в последовательности.

Используя формулу, которую мы придумали, теперь мы можем найти 50-й член \large{{a_{50}}} в последовательности.

Наконец, у нас есть все, что нужно для вычисления 50-й частичной суммы с использованием формулы арифметического ряда.

Подставьте значения в формулу и упростите.

---

Пример 5: 10-й член арифметической прогрессии равен 23, а его 12-я частичная сумма равна 192. Найдите сумму первых 40 членов последовательности.

Чтобы найти первые 40 членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой основного арифметического ряда. Однако нам нужно указать недостающие значения в формуле, а именно первый член \large{{{a_1}}} и последний член \large{{{a_n}}}. Количество добавляемых членов \large{n} уже задано и равно 40.

Теперь построим систему уравнений, в которой неизвестными являются первый член \large{a{}_1} и общая разность \ большой {д}.

Первое уравнение исходит из данной информации, что \large{{a_{10}} = 23}. Подставьте значения в формулу n-го члена.

Второе уравнение исходит из данной информации, что \large{{S_{12}} = 192}. Подставьте значения в альтернативную формулу арифметического ряда.

Это система уравнений, которую мы будем решать методом исключения.

Умножьте уравнение №1 на -12.

Затем добавьте это к уравнению №2. Получаем {d=2}.

Найдя значение \large{d}, теперь мы можем найти значение \large{a{}_1}. Выберите любое из двух уравнений, подставьте значение \large{d}, затем найдите \large{a{}_1}. Мы будем использовать уравнение № 1, потому что это более простое уравнение.

Так как мы уже знаем значения \large{a{}_1} и \large{}_1}, теперь мы готовы написать общий член последовательности, который может найти любой член в последовательности.

Чтобы найти 40-й член , у нас есть

Наконец, у нас есть все необходимые значения, как показано ниже, для вычисления 40-й частичной суммы .

\large{n=40}

\large{{a_1} = 5}

\large{{{a_n} = 83}}

Подставьте значения в формулу арифметического ряда, затем упростите.

---

You might also be interested in:

Derivation of the Arithmetic Series Formula

Arithmetic Series Formula Practice Problems

Arithmetic Sequence Formula

Arithmetic Sequence Formula Practice Problems

Geometric Sequence Formula

Geometric Series Formula

Формула бесконечного геометрического ряда

7.2 — Арифметические последовательности

7.2 — Арифметические последовательности

Арифметическая последовательность – это последовательность, в которой разница между последовательными условия постоянны.

Общая разница

Поскольку это различие является общим для всех последовательных пар терминов, оно называется общая разница. Обозначается д. Если разница в последовательных термов непостоянна, то последовательность не является арифметической. Общая разница можно найти, вычитая два последовательных члена последовательности.

Формула обыкновенной разности арифметической прогрессии: d = a _n+1 — а _н

Общий термин

Арифметическая последовательность является линейной функцией. Вместо y=mx+b мы пишем a _n =dn+c где d — общая разность, а c — константа (не первый член последовательность, однако).

Рекурсивное определение, поскольку каждый термин находится путем добавления общего различия к предыдущему члену равно 90 277 k + 1 90 278 = a 90 277 k 90 278 + d.

Для любого члена последовательности мы добавили разницу на один раз меньше, чем номер срока. Например, для первого члена мы не добавили разница вообще (0 раз). Для второго члена мы добавили разницу однажды. Для третьего члена мы добавили разницу два раза.

Формула общего члена арифметической прогрессии: a _n = а ₁ + (n-1) d

Частичная сумма арифметической последовательности

Серия – это сумма последовательности. Мы хотим найти часть n ^th . сумма или сумма первых n членов последовательности. Обозначим n ^th частичное сумма как S _n .

Рассмотрим арифметический ряд S ₅ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Здесь это простой способ вычислить сумму арифметического ряда.

С ₅ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14

Ключ в том, чтобы изменить порядок терминов. Сложение коммутативно, поэтому изменение порядок не меняет сумму.

S ₅ = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

Теперь сложите эти два уравнения вместе.

2*S ₅ = (2+14) + (5+11) + (8+8) + (11+5) + (14+2)

Обратите внимание, что каждая из этих сумм в правой части равна 16. Вместо записи 16 (сумма первого и последнего членов) пять раз, мы можем записать это как 5 * 16 или 5*(2+14)

2*S ₅ = 5*(2 + 14)

Наконец, разделите все это на 2, чтобы получить сумму, а не удвоенную сумму

С ₅ = 5/2 * (2 + 14)

Я намеренно не упростил 2+14, чтобы вы могли видеть, где числа родом из. Эта сумма будет равна 5/2 * (16) = 5 (8) = 40,

.

Теперь, если мы попытаемся понять, откуда взялись разные части этой формулы Отсюда мы можем сделать предположение о формуле для n ^th частичной суммы.

5 потому, что было пять терминов, n. 16 это сумма первого и последние сроки, ₁ + a _n . 2 потому что мы добавили сумму дважды и останется 2. Следовательно, сумма первых n членов арифметического последовательность S _n =n/2*(a ₁ +a _n )

 

Существует еще одна формула, которая иногда используется для n ^th частичного сумма арифметической прогрессии. Он получается подстановкой формулы общий термин в приведенную выше формулу и упрощение. Предпочтительный метод это пойти дальше и найти n ^{-й термин} , а затем просто вставьте этот номер в формулу.

S _n = n/2 * ( 2a ₁ + (n-1) d )

Пример

Найдите сумму от k=3 до 17 из (3k-2).

Первый член находится путем подстановки k=3 в 3k-2, чтобы получить 7. Последний срок равен 3(17)-2 = 49. Всего 17 — 3 + 1 = 15 терминов. Итак, сумма равна 15 / 2 * (7 + 49) = 15 / 2 * 56 = 420.