Сумма последовательности: Сумма последовательности | Онлайн калькулятор

2

Естественный Аналог Суммы Последовательности 8 Букв

Решение этого кроссворда состоит из 8 букв длиной и начинается с буквы И

---

Ниже вы найдете правильный ответ на Естественный аналог суммы последовательности 8 букв, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.

ответ на кроссворд и сканворд

Пятница, 24 Мая 2019 Г.

---

---

ИНТЕГРАЛ

предыдущий следующий

---

---

ты знаешь ответ ?

ответ:

связанные кроссворды

1. Интеграл
1. Величина, которая получается в результате действия, обратного дифференцированию
2. Знак интегрирования и результат этой операции (математическое)
2. Интеграл
1. В математике: величина 8 букв
2. Знак обобщенного суммирования и результат этой операции (мат. ) 8 букв
3. Знак интегрирования и результат этой операции (мат.) 8 букв
4. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей 8 букв

похожие кроссворды

1. Естественный аналог суммы последовательности. неформально говоря 8 букв
2. Перенесение суммы текущего счета одного лица на счет другого
3. Ком. округление суммы платежа по счету в сторону уменьшения
4. Письменное долговое обязательство об уплате определенной суммы в указанный срок
5. Указание срока, с которого начинается начисление процентов на суммы
6. Требование о возмещении вексельной суммы и об уплате процентов, пени
7. Часть денег, удержанная из суммы, предназначенной к выплате
8. Простейшее устройство для определения суммы двух величин
9. Перевод суммы денег из одной валюты в другую
10. То же, что ремиссия (округление суммы платежа)
11. Открыватель чисел, получающихся из суммы двух предыдущих
12. Аппарат, на котором отпечатываются талоны с указанием полученной суммы
13. В бухгалтерии — перевод суммы со счета на счет
14. Скидка с суммы счета за уплату до срока или наличными

Объяснение вывода формулы суммы арифметической последовательности первых n слагаемых

Пытаюсь понять вывод формулы суммы арифметической последовательности первых $n$ слагаемых.

Я не понимаю, какие правила или рассуждения позволяют сложить две последовательности в обратном порядке, чтобы устранить общую разность $d$ и прийти к выводу, что сумма арифметической последовательности первых $n$ членов равна половине $ n$ раз больше суммы первого и последнего членов. Кажется, это надуманный способ устранить общее отличие от расширенного, основанного на некоторых необъяснимых знаниях о $d$ и арифметических последовательностях в целом.

Я исследовал этот вопрос в учебниках по математике и в Интернете, и каждый раз, когда приводится вывод, я не могу найти объяснения, почему для математика очевидно, что, складывая последовательности, они получают формулу.

Фон.

Вывод формулы, объясняемый во многих учебниках и на интернет-сайтах, выглядит следующим образом.

1. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии для первых $n$ членов $S_n$, мы можем выписать сумму относительно первого члена $a_1$ и общей разности $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + … + a_n $$

2. Можно также записать последовательность в обратном порядке относительно последнего члена $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n — d) + (a_n — 2d) + (a_n — 3d) + … + a_1 $$

3. Складывая эти последовательности вместе, мы получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

$$ \начать{массив}{г} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n — d) + (a_n — 2d) + (a_n — 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \конец{массив} $$

4. Так как есть $n$ много сложений $(a_1 + a_n)$, длинная сумма упрощается как $n(a_1 + a_n)$ и находя $S_n$, мы приходим к формуле.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

К сожалению, я не могу найти аргументацию ни в одном из этих объяснений, почему были добавлены две последовательности (обычная и обратная). Для меня имеет смысл, что они были добавлены, но не почему это было следующим логическим шагом при выводе формулы.

Вопрос.

Почему для получения формулы были добавлены две последовательности и что это говорит о природе арифметических последовательностей?

Пытаясь понять это, я заметил, что, изучая множество последовательностей, мы можем видеть, что отношение суммы последовательности для первых $n$ членов $S_n$ и суммы первого и последнего членов $(a_1 + a_n)$ всегда $\frac{n}{2}$ для любой арифметической последовательности. Таким образом, можно было бы сказать по индукции, что если для любой арифметической последовательности верно, что:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

Тогда также должно быть верно, что:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Однако для меня это все еще не объясняет, почему вывод решает добавить две последовательности.

Объяснение урока: Сумма бесконечной геометрической последовательности

В этом объяснении мы научимся вычислять сумму бесконечной геометрической последовательности.

Геометрическая последовательность — это последовательность, имеющая общее отношение между последовательными элементами. Мы можем рассчитать значение обыкновенного отношения, разделив любой член на член, который ему предшествует.

Например, следующая последовательность является геометрической: 1,3,9,27,81,….

Эта последовательность имеет знаменатель, равный 3, так как каждый член можно вычислить, умножив предыдущий член на 3. в следующей последовательности:

Посмотрите, что происходит, когда мы делим термин на предшествующий ему термин: 𝑇𝑟𝑇=𝑇𝑟𝑇𝑟=𝑟.

Независимо от того, какую пару терминов мы выбираем, их частное всегда равно 𝑟, знаменателю.

Давайте обобщим.

Определение:

Геометрическая последовательность — это последовательность, имеющая общее отношение между последовательными элементами. Общий член 𝑇 геометрической последовательности с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟 определяется формулой 𝑇=𝑇𝑟.

Геометрический ряд представляет собой сумму заданного числа членов геометрической последовательности. Ряд может быть конечным или бесконечным.

Определение:

Обычное отношение 𝑟 геометрической последовательности, 𝑛-й член которой равен 𝑇, определяется выражением 𝑟=𝑇𝑇.

В качестве альтернативы, оно также может быть задано как 𝑟=𝑇𝑇. 

Теперь вернемся к нашему предыдущему примеру геометрической последовательности: 1,3,9,27,81,….

Мы замечаем, что по мере увеличения числа членов 𝑛 значение самого члена 𝑇 растет экспоненциально. Тогда мы могли бы заключить, что если бы нам нужно было вычислить сумму большого числа членов, наш результат был бы особенно велик. На самом деле, когда 𝑛 приближается к бесконечности для этой последовательности, сумма членов 𝑆 также будет стремиться к бесконечности.

Однако это не всегда так. На самом деле, как это ни парадоксально, некоторые бесконечные геометрические последовательности от 90 093 до 90 094 имеют конечную сумму. Мы можем увидеть такие последовательности при рассмотрении фрактальной геометрии, например, при вычислении площади снежинки Коха или при преобразовании повторяющихся десятичных дробей в их эквивалентную дробную форму.

Когда бесконечная геометрическая последовательность имеет конечную сумму, мы говорим, что ряд (это просто сумма всех членов) равен сходящийся . Чтобы геометрический ряд сходился, нам нужно, чтобы последовательные члены становились экспоненциально меньшими, пока не приблизились к нулю. Для этого обыкновенное отношение должно находиться в интервале ]−1,1[.

Например, следующая последовательность имеет обыкновенное отношение 12 и является сходящейся; когда 𝑛 приближается к бесконечности, 𝑇 приближается к нулю, то есть мы можем найти сумму бесконечной последовательности: 8,4,2,1,12,….

Определение:

Бесконечный геометрический ряд называется сходящимся, если абсолютное значение знаменателя 𝑟 меньше 1: |𝑟|1.

Чтобы найти формулу суммы членов бесконечной геометрической последовательности, давайте сначала рассмотрим конечный геометрический ряд с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟 с членами 𝑛: 𝑆=𝑇+𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟+⋯+𝑇𝑟 .

Умножение этого уравнения на 𝑟 дает 𝑟𝑆=𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟+⋯+𝑇𝑟. . Обратите внимание, что когда мы вычитаем слагаемые в правой части, большинство слагаемых становятся равными нулю:0003

Разделив обе части этого уравнения на 1−𝑟, получим формулу суммы первых 𝑛 членов геометрического ряда с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟: 𝑆=𝑇(1−𝑟)1−𝑟. 

Ранее мы утверждали, что для сходящегося геометрического ряда −1𝑟1.

Это означает, что по мере того, как 𝑛 приближается к бесконечности, 𝑟 должно стремиться к нулю.

Другими словами, если |𝑟|1, то lim→∞𝑟=0.

Мы можем рассмотреть, что происходит с нашим сходящимся геометрическим рядом, когда 𝑛 приближается к бесконечности. Для |𝑟|1 lim→∞𝑇(1−𝑟)1−𝑟=𝑇(1−0)1−𝑟=𝑇1−𝑟.

Иногда это называют суммой до бесконечности геометрического ряда.

Определение: сумма бесконечной геометрической последовательности

Если обыкновенное отношение 𝑟 удовлетворяет условию |𝑟|1, то сумма бесконечного геометрического ряда с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.∞

Давайте теперь рассмотрим вопрос, который требует от нас применения наших знаний об общих соотношениях в геометрических последовательностях и условиях сходимости этих рядов, а также вычислить значение сходящегося бесконечного геометрического ряда.

Пример 1. Нахождение суммы бесконечного геометрического ряда

Нахождение суммы геометрического ряда 132+134+138+⋯.

Ответ

Мы знаем, что если знаменатель 𝑟 удовлетворяет условию |𝑟|1, то сумма бесконечной геометрической последовательности с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.∞

Мы видим, что первый член равно 132, поэтому нам нужно рассчитать обыкновенное отношение 𝑟. Мы находим это, разделив термин на предшествующий ему термин, поэтому мы будем использовать первые два термина: 𝑟=134÷132=12.

Мы видим, что абсолютное значение обыкновенного отношения меньше 1, поэтому мы можем найти сумму этого ряда, полагая 𝑇=132 и 𝑟=12: 𝑆=1−=132÷12=13.∞ 

Сумма ряда равна 13.

В нашем следующем примере мы увидим, как применять эту технику при работе с радикальными отношениями.

Пример 2. Определение знаменателя бесконечной геометрической последовательности и нахождение ее суммы, если она существует

Рассмотрим ряд 160+160√2+80+80√2+40+40√2+⋯.

Ряд геометрический. Каково его обыкновенное отношение?

Сходится ли этот ряд? Если да, то какова его сумма?

Ответ

Часть 1

Обычное отношение в геометрической последовательности 𝑟 находится путем деления члена ряда на член, который ему предшествует. Выберем первые два члена: 160√2÷160=1√2.

Обычное отношение равно 1√2.

Заметьте, мы получили бы тот же результат, если бы разделили третий член на второй или даже любой член на член, который ему предшествует!

Часть 2

Геометрический ряд сходится, если |𝑟|1 или −1𝑟1.

В данном случае −11√21, что означает, что этот ряд сходится. Таким образом, мы можем найти сумму ряда с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟, применяя формулу 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=160 и 𝑟=1√2: 𝑆=1601−.∞√

упрощая 1−1√2, мы создаем общий знаменатель √2: 1−1√2=√2√2−1√2=√2−1√2.

Сумма ряда теперь равна 𝑆=160=160×√2√2−1=160√2√2−1.∞√√

Чтобы закончить, мы должны не забыть рационализировать знаменатель умножить на сопряжено с из √2−1. Сопряжение находится путем изменения знака между двумя терминами: +1=320+160√21.∞

Факторизуя это выражение, мы находим 𝑆=1602+√2.∞

Да, ряд сходится, с бесконечной суммой 1602+√2 .

В наших предыдущих двух примерах мы установили существование суммы и вычислили эту сумму на основе нескольких первых членов ряда. Мы также можем использовать формулу для 𝑛-го члена геометрической прогрессии, чтобы получить тот же результат.

Пример 3. Нахождение суммы бесконечного числа членов геометрической последовательности по заданному ее общему члену .

Ответ

Общий член геометрического ряда с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟 равен 𝑇=𝑇𝑟.

Сравнивая это с нашей последовательностью, мы видим, что они не совсем совпадают. Вместо этого мы можем использовать формулу 𝑛-го члена, которую нам дали, чтобы сгенерировать первые два члена.

Когда 𝑛=1, 𝑇=3×14=3×14=3.

Когда 𝑛=2, 𝑇=3×14=3×14=314.

Таким образом, первый член равен 3, а обыкновенное отношение равно 314÷3=114.

Поскольку знаменатель находится в интервале (−1,1), ряд сходится, поэтому мы можем найти его сумму, используя формулу 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=3 и 𝑟=114: 𝑆=31 −=3÷1314=4213.∞

Как упоминалось ранее, применение этого процесса выходит за рамки только данного ряда. На самом деле мы можем представить повторяющееся десятичное число как дробь, представляя десятичное число как геометрическую серию.

Пример 4. Повторяющиеся десятичные дроби

Найдя сумму бесконечной геометрической прогрессии, выразите 0,̇37̇5 в виде обыкновенной дроби.

Ответ

Повторяющееся десятичное число 0.̇37̇5=0.375375375375….

Это означает, что мы можем разделить его на 0,375+0,000375+0,000000375+⋯, а затем записать каждый член в виде дроби: 0,̇37̇5=3751000+3751000000+3751000000000+⋯.

Это геометрический ряд с первым членом 3751000 и знаменателем 11000. Поскольку знаменатель находится в интервале ]−1,1[ мы можем сказать, что этот ряд сходится, и таким образом найти его сумму.

Использование формулы 𝑆 = 𝑇1 — 𝑟∞ с 𝑇 = 3751000 и 𝑟 = 11000 дает 𝑆 = 1– = 3751000 ÷ 9991000 = 375999.∞

Полностью видим, что повторяющееся десятичное число 0.̇37̇5 эквивалентно 125333.

Давайте теперь рассмотрим, как этот процесс будет отличаться для повторяющегося десятичного числа, цифры которого не все повторяются.

Пример 5: Повторяющиеся десятичные дроби

Найдя сумму бесконечной геометрической прогрессии, выразите 0,4̇3 в виде обыкновенной дроби.

Ответ

Повторяющееся десятичное число 0,4̇3=0,4333333….

Это означает, что мы можем разделить его на 0,4+0,0̇3=0,4+0,03+0,003+0,0003+⋯.

Рассматривая сумму 0,03+0,003+0,0003+⋯, мы видим, что имеем геометрический ряд с первым членом 𝑇=0,03. Обычное отношение 0,0030,03=110.

Поскольку абсолютное значение этого знаменателя меньше 1, этот ряд сходится, поэтому мы можем найти его сумму.

Использование формулы 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=0,03 и 𝑟=110 дает 𝑆=0,031−=0,03÷910=390. ∞

Полностью упрощая, мы видим, что повторяющееся десятичное число 0,0̇3 эквивалентно 130.

Это означает, что 0,4̇3=0,4+130=1330.

Как обыкновенная дробь, 0,4̇3 равно 1330.

В нашем следующем примере мы рассмотрим, как найти бесконечную сумму геометрической прогрессии, зная значение двух ее членов. Это будет включать применение формулы для общего члена геометрической последовательности, а затем вычисление значения обыкновенного отношения в обратном направлении.

Пример 6. Нахождение суммы бесконечной геометрической последовательности по значениям двух членов

Нахождение суммы бесконечной геометрической последовательности, если первый член равен 171, а четвертый член равен 17164.

Ответ

Геометрический ряд сходится, если |𝑟|1 или −1𝑟1, где 𝑟 — знаменатель.

В этом случае сумма бесконечной геометрической последовательности с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.∞

Обратите внимание, что нам дано значение первого и четвертого членов, поэтому нам нужно будет использовать эту информацию для расчета обыкновенного отношения.

Воспользуемся формулой для 𝑛-го члена геометрической прогрессии с 𝑇=171 и 𝑇=17164: 𝑇=𝑇𝑟17164=171𝑟17164=171𝑟.

разделите на 171 и найдите кубический корень из обеих частей уравнения: 164=𝑟𝑟=14.

Поскольку абсолютное значение этого знаменателя меньше 1, этот ряд сходится, и мы можем найти его сумму.

Использование формулы 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=171 и 𝑟=14 дает 𝑆=1711−=171÷34=228,∞

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 228,

В нашем последнем примере мы рассмотрим, как можно применить формулу бесконечной суммы геометрического ряда для вычисления первого члена.

Пример 7. Нахождение первого члена бесконечной геометрической последовательности по ее знаменателю и сумме членов

Найдите первый член бесконечной геометрической последовательности, знаменатель которой равен 14, а сумма равна 9867.

Ответ

Мы знаем, что если знаменатель 𝑟 удовлетворяет условию |𝑟|1, то сумма бесконечной геометрической последовательности с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.