2.6. Полная группа событий
Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn образующих полную группу, равна единице Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn) = 1.
Пример. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.
Решение. Событие «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1; 0,7 + 0,2 + Р = 1; Р = 0,1.
2.7. Противоположные события
Определение. Противоположными называют два единственно
возможных события, образующих полную
группу. Если одно из двух противоположных
событий обозначено через А, то другое
принято обозначать .
Пример. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А – попадание, то — промах.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Примечание. 1) Если вероятность одного из двух противоположных событий равна Р, то вероятность другого обозначают через q, и p + q = 1.
2) При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем
§ 3. Теорема умножения вероятностей
3.1. Произведение событий
Определение. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Пример. А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.
Определение. Произведением нескольких событий
называют событие, состоящее в совместном
появлении всех этих событий.
3.2. Условная вероятность
Определение. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Определение. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Установить вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых, поэтому Этот же результат получим, использовав формулу.
Вероятность появления белого шара при первом испытании: Общее число исходов совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета:
Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 ∙ 3 = 9 исходов, следовательно:
3.
3. Теорема умножения вероятностей зависимых событийВероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) ∙ РА(В).
Примечание. Р(ВА) = Р(В) ∙ РВ(А), но Р(АВ) = Р(ВА),
поэтому Р(А) ∙ РА(В) = Р(В) ∙ РВ(А).
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7
эллиптических валиков. Сборщик взял
один валик, а затем второй. Установить
вероятность того, что первый из взятых
валиков – конусный, а второй –
эллиптический.
Решение. — первый валик конусный.
— второй валик эллиптический, при условии, что первый валик конусный. Тогда
НОУ ИНТУИТ | Лекция | Некоторые теоремы теории вероятностей
< Дополнительный материал 2 || Лекция 4
Ключевые слова: вероятность, слово
Основные теоретические сведения
Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (ключевое слово «или»):
| ( 1.9) |
Теорема 2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице:
(
1. 10) |
Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
| ( 1.11) |
| ( 1.12) |
Теорема 4. Если событие А влечет за собой событие B, т.е. то
(
1. 13) |
Теорема 5. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:
| ( 1.14) |
Теорема 6. Вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло (ключевое слово «и»), и находится по формуле:
| ( 1.15) |
ru/2010/edi»>Теорема 7. Вероятность произведения независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:| ( 1.16) |
Пример решения задачи
Задача: Вероятность появления бракованной детали в партии равна 0,015. Найти вероятность того, что из этой партии будет изъята небракованная деталь.
| Дано: P(A)=0,015 | Решение: 1. А – деталь, изъятая из партии, бракованная В – из партии изъята небракованная деталь По теореме о вероятности противоположного события: Ответ: P(B)=0,985 |
| P(B)=? |
Дальше >>
< Дополнительный материал 2 || Лекция 4
Q.
37 Какова сумма вероятностей… [БЕСПЛАТНОЕ РЕШЕНИЕ]Выберите язык
Предлагаемые языки для вас:
Немецкий (DE)
Дойч (Великобритания)
Европа
- английский (DE)
- английский (Великобритания)
Выберите язык
Предлагаемые языки для вас:
Немецкий (DE)
Дойч (Великобритания)
Европа
- английский (DE)
- английский (Великобритания)
Кв.
37
Проверено экспертами
Найдено: Страница 217
Перейти к главе
Самые популярные вопросы для учебников по математике
Рекомендуемые пояснения к учебникам по математике
94% пользователей StudySmarter получают более высокие оценки.
Бесплатная регистрация
Вероятность для нескольких событий | Колледж Алгебра
Результаты обучения
- Найдите вероятность объединения двух событий.
- Найдите вероятность двух событий, у которых нет общих исходов.
- Найдите вероятность того, что событие не произойдет.
- Найдите количество событий в выборке, которая включает множество вариантов.
Нас часто интересует вероятность того, что произойдет одно из нескольких событий. Предположим, мы играем в карточную игру и выиграем, если следующей вытянутой картой будет либо черва, либо король. Нам было бы интересно найти вероятность того, что следующей картой будет черва или король.
объединение двух событий [латекс]E\text{ и }F,\text{написано }E\cup F[/latex] — это событие, которое происходит, если одно или оба события происходят.
[латекс]P\левый(E\чашка F\правый)=P\левый(E\правый)+P\левый(F\правый)-P\левый(E\колпачок F\правый)[/латекс]
Предположим, вращается показанный ниже счетчик. Мы хотим найти вероятность вращения апельсина или [латекс]б[/латекс].
Всего 6 секций, 3 из них оранжевые. Таким образом, вероятность вращения оранжевого цвета равна [латекс]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex]. Всего 6 секций, 2 из них имеют [латекс]б[/латекс]. Таким образом, вероятность вращения [латекс]b[/латекс] равна [латекс]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/latex]. Если бы мы сложили эти две вероятности, мы бы дважды учитывали сектор, который является одновременно оранжевым и [латекс]b[/латекс]. Чтобы найти вероятность вращения апельсина или [латекса]b[/латекса], нам нужно вычесть вероятность того, что сектор одновременно оранжевый и содержит [латекс]b[/латекс].
[латекс]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}[/latex]
Вероятность вращения оранжевый или [латекс]b[/латекс] — это [латекс]\dfrac{2}{3}[/латекс].
Общее примечание: вероятность объединения двух событий
Вероятность объединения двух событий [латекс]Е[/латекс] и [латекс]F[/латекс] (пишется [латекс]Е\чашка F[ /latex] ) равно сумме вероятности [latex]E[/latex] и вероятности [latex]F[/latex] за вычетом вероятности [latex]E[/latex] и [latex]F[/ латекс], встречающиеся вместе [латекс]\текст{(}[/латекс], который называется пересечение [латекс]E[/латекс] и [латекс]F[/латекс] и записывается как [латекс]Е\заглавная буква F[/латекс] ).
[латекс]P\левый(E\чашка F\правый)=P\левый(E\правый)+P\левый(F\правый)-P\левый(E\колпачок F\правый)[/латекс]
Пример: вычисление вероятности объединения двух событий
Из стандартной колоды вытягивается карта. Найдите вероятность того, что выпадет сердце или цифра 7.
Показать решение
Попробуйте
Карта вытягивается из стандартной колоды.
Найдите вероятность того, что выпадет красная карточка или туз.
Показать решение
Вычисление вероятности взаимоисключающих событий
Предположим, что спиннер снова вращается, но на этот раз нас интересует вероятность вращения апельсина или [латекса]d[/латекса]. Не существует секторов, которые одновременно оранжевые и содержат [латекс]d[/латекс], поэтому эти два события не имеют общих результатов. События называются взаимоисключающими, если они не имеют общих исходов. Поскольку перекрытия нет, вычитать нечего, поэтому общая формула равна 9.0005
[latex]P\left(E\cup F\right)=P\left(E\right)+P\left(F\right)[/latex]
Обратите внимание, что при взаимоисключающих событиях пересечение [latex]E[/latex] и [latex]F[/latex] — пустой набор. Вероятность вращения апельсина равна [латекс]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex], а вероятность вращения [латекса]d[/латекс] равна [латекс]\ гидроразрыв{1}{6}[/латекс]. Мы можем найти вероятность вращения апельсина или [латекса]d[/латекса], просто сложив две вероятности.
[латекс]\begin{align}P\left(E\cup F\right)&=P\left(E\right)+P\left(F\right) \\ &=\frac{1}{ 2}+\frac{1}{6} \\ &=\frac{2}{3} \end{align}[/latex]
Вероятность вращения апельсина или [латекса]d[/латекса] равна [латекс]\dfrac{2}{3}[/латекс].
Общее примечание: вероятность объединения взаимоисключающих событий
Вероятность объединения двух взаимоисключающих событий [latex]E[/latex] и [latex]F[/latex] определяется как
[latex]P\left(E\cup F\right)=P\left(E\right)+P\left(F\right)[/latex]
Как: Для заданного набора событий вычислить вероятность объединения взаимоисключающих событий.
- Определить общее количество исходов для первого события.
- Найдите вероятность первого события.
- Определить общее количество исходов для второго события.
- Найдите вероятность второго события.
- Сложите вероятности.
Пример: вычисление вероятности объединения взаимоисключающих событий
Из стандартной колоды вытягивается карта.
{\prime}[/latex], представляет собой набор результатов в выборочном пространстве, которых нет в [latex]E [/латекс]. Например, предположим, что нас интересует вероятность того, что лошадь проиграет скачки. Если событием [latex]W[/latex] является лошадь, выигравшая скачки, то дополнением события [latex]W[/latex] является лошадь, проигравшая скачки. 9{\prime}\right)=1-P\left(E\right)[/latex]
Вероятность выигрыша лошади, прибавленная к вероятности проигрыша лошади, должна быть равна 1. Следовательно, если вероятность лошадь, выигравшая гонку, равна [latex]\frac{1}{9}[/latex], вероятность того, что лошадь проиграет гонку, равна просто
[latex]1-\dfrac{1}{9}=\dfrac {8}{9}[/latex]
Общее примечание: Правило дополнения
Вероятность того, что произойдет дополнение к событию , равна 9{\prime}\right)=1-P\left(E\right)[/latex]
Пример: Использование правила дополнения для вычисления вероятностей
Брошены два шестигранных числовых куба.
- Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел меньше или равна 3.
- Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел больше 3.
Показать раствор
Попробуй
Брошены два числовых кубика. Используйте правило дополнения, чтобы найти вероятность того, что сумма меньше 10.
Показать решение
Вычисление вероятности с использованием теории счета
Многие интересные задачи на вероятность связаны с принципами счета, перестановками и комбинациями. В этих задачах мы будем использовать перестановки и комбинации, чтобы найти количество элементов в событиях и выборочных пространствах. Эти задачи могут быть сложными, но их можно упростить, разбив их на более мелкие задачи на счет.
Предположим, например, что в магазине есть 8 сотовых телефонов, и 3 из них неисправны. Мы можем захотеть найти вероятность того, что пара, купившая 2 телефона, получит 2 исправных телефона.
Для решения этой задачи нам нужно рассчитать все способы выбора 2-х телефонов, которые не являются бракованными, а также все способы выбора 2-х телефонов. Есть 5 исправных телефонов, поэтому есть [latex]C\left(5,2\right)[/latex] способы выбрать 2 исправных телефона. Есть 8 телефонов, поэтому есть [latex]C\left(8,2\right)[/latex] способы выбрать 2 телефона. Вероятность выбора 2 исправных телефонов:
[латекс]\begin{align}\frac{\text{способы выбора 2 исправных телефонов}}{\text{способы выбора 2 телефонов}}&=\frac{C\left(5,2 \right)}{C\left(8,2\right)} \\[1мм] &=\frac{10}{28} \\[1mm] &=\frac{5}{14} \end{align }[/latex]
Пример: вычисление вероятности с использованием теории счета
Ребенок случайным образом выбирает 5 игрушек из корзины, в которой находятся 3 кролика, 5 собак и 6 медведей.
- Найдите вероятность того, что выбраны только медведи.
- Найдите вероятность того, что выбраны 2 медведя и 3 собаки.
- Найдите вероятность того, что выбрано не менее 2 собак.
