Свойства декартова произведения множеств: Декартово произведение множеств — ПриМат

Содержание

Основные свойства декартова произведения.

1. Если , то . То есть декартово произведение множеств не обладает свойством коммутативности.

Действительно, по определению если то , а . Но так как , то . Отсюда .

2. Декартово произведение множеств не обладает свойством ассоциативности: для любых множеств .

3. Если хотя бы одно из множеств А или В пусто, то и декартово произведение этих множеств есть множество пустое:

Ø= Ø Ø Ø = Ø.

Это свойство следует из понятия декартова произведения и понятия пустого множества.

4. Для любых трех множеств справедливы следующие утверждения:

4.1.

4.3.

Докажем, например, свойство 4.3.

Обозначим множество , а множество . Покажем, что .

Пусть , тогда по определению декартова произведения множеств . По определению разности двух множеств получим: . Так как , то пара . Из того, что следует, что пара . Тогда по определению разности двух множеств пара . В силу доказанного и произвольности выбора элемента во множестве можно сделать вывод о том, что

Докажем, что .

Пусть . Тогда по определению разности двух множеств , и . По определению декартова произведения двух множеств . Так как , то . Тогда будем иметь , откуда следует, что

В силу доказанного и произвольности выбора элемента во множестве можно сделать вывод о том, что .

Так как и , то , что и требовалось доказать.

Теорема: Число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств А и В равно произведению чисел элементов в каждом из них:

Раздел II. Элементы комбинаторики

Лекция № 7. АЛГОРИТМЫ И МОДЕЛИ.

Контрольные вопросы:

1. Понятие алгоритма и его свойства.

2. Способы задания алгоритмов.

3. Классификация алгоритмов.

4. Понятия модели и моделирования.

5. Метод математического моделирования. Основные виды математических моделей.

6. Аксиоматический метод и моделирование.

7. Связь с начальным курсом математики.

Литература:

Лекции №№ 8 — 9.

ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ.

Контрольные вопросы:

Понятие о комбинаторной задаче.
Правила суммы и произведения.
Соединения без повторений и с повторениями.
Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Число подмножеств конечного множества.

5. Комбинаторные задачи в начальном курсе математики.

Литература: (1) гл. I, § 2 пп. 8-11; (2) гл. I, § 6, с. 142-149; (3) гл. I, § 2 пп.6-8; (4) гл. V, с. 151-155; (5) гл. IV, §§ 4.1 – 4.7.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Как раздел математики комбинаторика возникла в 16 веке. Ее возникновение и развитие связано с именами ученых Н. Тарталья (1500-1557гг), Б. Паскаля (1623-1662гг), П. Ферма (1601-1665гг). Позднее крупный вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (1646-1716гг), я. Бернулли (1654-1705 гг), л. Эйлером (1707-1783гг).

Решение большинства комбинаторных задач основано на применении двух основных правил: правила суммы и правила произведения.

Задача 1: В вазе лежит 8 слив и 6 абрикосов. Сколькими способами можно выбрать из вазы один плод?

Переведем задачу на язык теории множеств. Имеются 2 множества: . Эти множества не имеют общих элементов: Ø. Требуется узнать, сколько существует способов выбора одного элемента, принадлежащего множеству

А или множеству В, т.е. объединению этих множеств.

Элемент из множества А можно выбрать 8-ю способами, из множества В – 6-ю способами. А так как эти множества не имеют общих элементов, то выбрать один элемент, принадлежащий А или В можно 8+6 =14 способами.

Таким образом, задача свелась, к нахождению числа элементов в объединении двух непересекающихся множеств: .

Правило суммы: если элемент а можно выбрать n способами, а элемент b – m способами, причем ни один из способов выбора элемента а не совпадает со способом выбора элемента b, то выбор элемета «а либо b» можно осуществить (n+m) cпособами.

Задача 2: В столовой имеется 4 вида первых блюд и 6 видов вторых. Сколькими способами можно выбрать обед, состоящий из одного первого и одного второго блюда?

Решение такого вида задач сводится к подсчету числа упорядоченных пар, когда известно число способов выбрать первую компоненту и вторую компоненту.

Пусть . Множество всех упорядоченных пар элементов, состоящих из элементов множеств А и В, образует декартово произведение этих множеств. Известно, что . Тогда наша задача будет иметь решение: (способа).

Правило произведение: если элемент а можно выбрать n способами, а элемент b – m способами, то пару (а; b) можно выбрать способами.

Правило суммы и произведения легко распространяется на тот случай, когда множеств не два, а «

n».

Пусть даны множества Ø . Тогда

Замечание: если множества А и В пересекаются, то

Декартово произведение

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято записывать, используя круглые скобки: (а; b). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b — второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; b) и (с; d) равны в том и только в том случае, когда a =c и b = d.

В упорядоченной паре (а; b) может быть, что а = b. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, 4 = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая- множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество:

{(1;3),(1;5),(2;5),(3;3),(3;5)}.

Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств Аи В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают Ах В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:

А х В= {(х;у) |х А и у В}.

З а д а ч а 1. Найдите декартово произведение множеств А и В, если:

a)A = {m;p},B={e,f,k};

б)А=В={3,5}.

Решение. а) Действуем согласно определению- образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая — из В:

А х В= {( m; е), (m; f), (m; k), (p; e), (p;f), (p; к)}.

б) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества:

А х А={(3;3), (3;5), (5;3), (5;5)}

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением. Выясним, какими свойствами обладает эта операция. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств А и В свойством коммутативности не обладает.

Можно доказать, что для декартова умножения не выполняется и свойство ассоциативности. Но декартово произведение дистрибутивно относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А В) х С = (А х С) (В х С),

(А \ В) х С = (А х В) \ (В х С).

З а д а ч а 2. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова умножения относительно объединения, если:

А = {3; 4; 5}, В ={5; 7}, С ={7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: А В = {3,4,5,7}. Далее перечислим элементы множества (А В) х С, используя определение декартова произведения: (А В) х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (А х С) (В х С), перечислим сначала элементы множеств А х С и В х С:

А х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В х С={(5;7),(5;8),(7;7),(7;8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений: (А х С) (В х С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (А В) х С и (А х С) (В х С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (А В) х С = = (А х С) (В х С).

Выясним теперь, как можно наглядно представлять декартово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке 17(а, б).

В А
	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,3)
	(3,3)	(3,3)

б) Рис. 17

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение А хВ множеств А = {1, 2, 3} и В = = (3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке 18.

0 1 2 3 х Рис.18

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В — на оси Оу.

Такой способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение Ах В, если:

а) А = {1,2,3},В = [3,5];

б) А = [1,3], В = [3,5];

в) A = R, В = [3,5];

г) А = R, В = R.

Р е ш е н и е, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества нар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая-любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками (рис. 19).

0 1 2 3 х Рис. 19

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой пары, принадлежащей множеству Ах В, может быть любое число из промежутка [1,3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат (рис. 20).

0 1 2 3 х Рис. 20

Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т. е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А х В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3,5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 21).

0 х Рис. 21

г) Декартово произведение R x R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R x R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367- это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» — это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа — это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) — это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) — это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще и множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств A₁, А₂,…, А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству A₁, вторая — множеству А₂,…, n-я — множеству An.

Декартово произведение множеств A₁, А₂,…, А_nобозначают так: A₁ х А₂ х… х А_n.

З а д а ч а 4. Даны множества: A₁ = {2, b), А₂ = {3, 4, 5}, А₃ = {6,7}. Найти A₁х А₂х А₃.

Ре ш е н и е. Элементами множества A₁х А₂х А₃будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству A1, вторая — множеству А₂, третья — множеству А₃.

A₁х А₂х А₃= {(2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7),

(2, 5, 6), (2, 5,7), (3,3,6), (3,3, 7),

(3,4, 6), (3,4,7), (3,5,6), (3,5,7)}.

Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 16468; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Свойства операции нахождения декартова произведения

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 74Следующая ⇒

1) Так как декартовы произведения А´B и В´А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

2) Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.

3) Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).

Пример

Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = {3; 4; 5}, В = {5; 7}, С = {7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: AÈB = {3; 4; 5;7}. Далее перечислим элементы множества (AÈB) ´ С, используя определение декартова произведения: (AÈB) ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (A ´ С) È (B ´ С), перечислим сначала элементы множеств А ´ С и В ´ С:

А ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В ´ С = {(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений:

(A ´ С) È (B ´ С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (AÈB) ´ С и (A ´ С) È (B ´ С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С).

Выясним теперь, как можнонаглядно представить декартово произведение множеств.

· Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графа.

Пример

1· 2· 3·

Рис. 2

Декартово произведение множеств А = {1; 2; 3} и В = {3; 5} можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2


	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,3)
	(3,3)	(3,3)

Рис. 1

· Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите на координатной плоскости декартово произведение A ´ В, если:

а) А = {1; 2; 3} и В = [3; 5];

б) А = [1; 3], В = [3; 5];

в) А = R, В = [3; 5];

г) А = R, В = R.

Решение

а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение A ´ В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка [3; 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка [1; 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

1 2 х

в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества A ´ В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу.

г) Декартово произведение R´R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R´R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

Кортеж. Длина кортежа

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» – это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежамии различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А_1,вторая – множеству А₂, …, n – я – множеству А_n.

Декартово произведение множеств А₁, А₂, …, А_nобозначают так: А₁´ А₂´ …´ А_n.

Пример

Даны множества: А₁= {2, 3}, А₂= {3, 4, 5}, А₃ = {6, 7}. Найти А₁´ А₂ ´А₃.

Решение

Элементами множества А₁´ А₂ ´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1,вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

А₁´ А₂ ´А₃={(2,3,6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)}.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Читайте также:

Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология

Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; просмотров: 621; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.008 с.)

Декартово произведение множеств, его свойства. Понятие кортежа. Примеры заданий из начального курса математики, связанных с образованием декартова произведения множеств.

Декартово произведение множеств.

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1,2,3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают
11 12 13
21 22 23
31 32 33

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.
В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (a;b) образованные из элементов a и b. Это (1;2), (1;3), (1;4) и тд. Первый элемент аназывают первой координатой пары, элемент b – второй.
Значит в нашей задаче мы оперировали множеством A={1,2,3} и образовали всевозможные пары.
Рассмотрим другой пример. Пусть А={1,2,3}, B={4,5}. Образуем всевозможные пары (a;b) так, что a A, b B. Получим некоторое новое множество { (1;5), (1;4), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств A и B.
Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом А В ={(х;у) |х А, у В}
Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножениемэтих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А В= {(2;3),(2;5), (2;6), (3;3), (3;5), (3;6)}.Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, вторая множеству В, то данные множества имеют следующий вид А={2,3}, В={3,5,6}.
Перечислим элементы принадлежащие множеству А В, если А={a,b,c,d}, В=А. Декартово произведение А В={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,a), (c,b), (c,c), (c,d), (d,a), (d,b), (d,c), (d,d)}

Количество пар в декартовом произведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(A B)=n(A) n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и тд. элементов.

Такие упорядоченные наборы называют кортежами.Так, набор (1,5,6) есть кортеж длины 3, т.к в нем три элемента. Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А1, А2….Аn называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А1, вторая А2, n-ая множеству А: А1 А2 …. Аn.

Пусть даны множества А1 ={2,3} ; А2={3,4,5}; А3={7,8}. Декартово произведение А1 А2 А3 ={(2,3,7), (2,3,8), (2,4,7), (2,4,8),(2,5,7),(2,5,8),(3,3,7),(3,4,7),(3,3,8),(3,4,8),(3,5,7),(3,5,8)}

Примеры из начального курса математики.
Например: построй четырехугольник ABCD по координатам его вершин. Если возможно, проведи его оси симметрии. А(0;1), В(2;5), С(6;5) и D(8;1).

Для изображения декартового произведения нечисловых множеств используется таблица. Например: «Фабрика верхнего трикотажа изготавливает мужские пуловеры, женские костюмы, кофты, платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая,зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую каких цветов могут быть данные изделия».

5.Особенности математический понятий. Объем и содержание понятий. Отношение между понятиями. Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие.

Термин понятие соединяет в себе целый класс объектов или отношений произвольной природы, обладающий определенным характеристическим свойством или целым набором таких свойств.

Например понятие четырехугольник обозначает класс всевозможных многоугольников, обладающих свойствами: иметь четыре стороны; иметь четыре вершины; иметь; иметь четыре угла. Понятия условимся обозначать строчными буквами латинского алфавита: a b c

Понятия, изучаемые в начальном курсе математики, представляют в виде четырех групп:

Понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, меньше и др.

Выражение, равенство, уравнение

Геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник

Понятия, связанные с величинами и их измерениями.

Особенности математических понятий: 1)математические объекты, о которых необходимо составить понятия, в реальности не существуют, а существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык

2)в математике рассматриваются не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых ( например, понятие переменной является абстракцией конкретных переменных величин, т. е. абстракцией от абстракции).

Объем и содержание понятия.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.

Существенное свойство- свойство, без которого объект не может существовать.

Несущественное свойство- свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.

Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия.

Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином.

Совокупность всех объектов, обозначенное одним термином, составляет объем понятия.

Например, содержание понятия «квадрат»- это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров.

Итак, любое понятие характеризуется:

-термином( название)

-объемом( совокупность всех объектов, называемых этим термином)

-содержанием( совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).

Между объектом понятия и его содержанием существует связь: чем «больше» объем понятия, тем « меньше» его содержание, и наоборот. Объем понятия « треугольник» « больше», чем объем понятия « прямоугольный треугольник», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «треугольник» « меньше», чем содержание понятия «прямоугольный треугольник», так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Отношения между понятиями.

Определив объем понятия, можно рассмотреть, какие отношения могут существовать между различными их типами.

Отношение эквивалентности существует тогда и только тогда, когда объемы сравниваемых понятий полностью совпадают. Это означает, что отличительные и существенные признаки, присущие сравниваемым понятиям, принадлежат всем элементам множеств, составляющих их объемы. Так, понятия эквивалентности характеризует отношение между классами равносторонних и равноугольных треугольников, равноугольных ромбов и квадратов, понятий, все они принадлежат к одному классу элементов, т. е. имеют тот же самый объем. Обратите внимание на то, что все перечисленные понятия оказываются эквивалентными только по объему, содержание же их различию. Так, признаки « иметь равные стороны» или « обладать равными углами» отличаются друг от друга по смыслу.

Отношение перекрещивания (частичного совпадения) объемов понятий существует тогда и только тогда, когда часть объема одного понятия входит в объем другого, и в свою очередь часть объема второго понятия входит в объем первого. Таковы отношения между объемами понятий «студенты» и «спортсмены», «студенты» и «филателисты», ибо ясно, что не все студенты являются спортсменами или филателистами. Обычно для наглядного изображения отношений между объемами понятий употребляются диаграммы Эйлера, в которых объем понятий представляются кругом. Поскольку у эквивалентных понятий объемы совпадают, то отношение между ними изображается одним кругом. В случае частичного совпадения объемов отношение изображается пересечением двух кругов. Если обозначить объем одного понятия через A , другого через В, то графически отношения эквивалентности (Рис.1) и перекрещивания (Рис.2) можно представить соответствующими диаграммами.

Отношение субординации (подчинение объемов) понятий существует тогда и только тогда, когда объем одного понятия полностью входит в объем второго. Понятие меньше объема составляет часть, или, точнее, вид понятия с большим объемом, который по отношению к нему называют родом. На диаграмме Эйлера (рис.3) это отношение изображается включением меньшего круга в больший.
Все перечисленные выше отношения имеют место между совместными понятиями, объемы которых либо совпадают, либо перекрещиваются, либо составляют часть другого.

Несравнимые («неположенные») понятия – это понятия, объемы которых либо полностью исключают друг друга, либо находятся в отношении противоречия друг другу . Так объемы понятий «треугольник» и «растение» не содержит ни одного общего элемента, их пересечение – пусто. То же самое можно сказать о понятиях которые употребляются в хорошо известном утверждении, характеризующем несравнимость: «в огороде бузина, а в Киеве дядька». Особый интерес представляют понятия, объемы которых находится в отношении контрарности (противности) друг другу, как, например, «белый» и «черный», «холодный» и «горячий» «длинный» «короткий» и т.д, которые представляют собой свойства, расположенный на границе соответствующих множеств, свойств. Между «белым» и «черным» «холодным» и «горячим» и т.д располагаются промежуточные свойства. В силу этого объемы контрарных понятий занимают крайние положения на круговых диаграммах (рис.4).

Отношение контрадикторности (противоречивость) между объемами понятий существует тогда , когда они, с одной стороны, отрицают друг друга, а с другой стороны исчерпывают объем целого понятия (рис.5).
В языке противоречий выражается отрицательной частицей перед словом, выражающем свойство. Примерами могут служить свойства, выражающие такие понятий, как белый и не белый, холодный не холодный, черный и не черный и т. д. На диаграмме (рис.5) объемы таких понятий составляют две половины круга, хотя гораздо лучше представить объем положительного понятия кругом, а отрицательного – прямоугольником, в который входит этот круг, поскольку противоположное (отрицательное) понятие содержит обычно больше число элементов (рис.6).

Поскольку объемы понятий образуют классы (или множества) предметов, элементы которых обладают признаками, сформулированными в их содержании, то над этими классами (или множествами) можно производит определенные логические операции. Они тождественны операциям, которые изучаются в теории множеств.
Объединением классов (или множеств) называют класс, который содержит в своём составе те элементы, входящие в каждый отдельный класс. Если обозначить отдельные классы через , то объединенные множества можно представить как дизъюнкцию (или логическое сложение) всех перечисленных классов (или множеств):

Например, объединение плоских фигур будет состоять из класса треугольников, классы четырехугольников, окружностей и других фигур, класс деревьев – из классов хвойных, лиственных и др. деревьев.
Пересечение (или умножение) классов называется новый класс, который содержит в своём составе те и только те элементы, которые входят в каждый из отдельных классов. Иначе говоря, он содержит элементы, общие всем отдельным классам. Поэтому сама операция пересечения классов иногда называется взятием их общей части. Обозначив отдельные классы через , их пересечение можно представить в виде , где знак л обозначает операцию пересечения, умножения или конъюнкции классов.

Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие.

Контекстуальное (от лат. Contextus-«соединение», «связь») определение характеризуется тем, что она позволяет выяснить суть, значение слова, смысла которого мы не знаем, через контекст, т.е. через относительно законченный отрывок информации, которое сопровождает данное слово, относится к нему и содержит его признаки.

Остенсивное определение устанавливает значение термина, прибегая к демонстрации предмета, обозначаемого этим термином. Такие определения применяются при раскрытии сущности предмета чувственного мира, другими словами, предметов, которые доступны, для непосредственного восприятия.

Декартово произведение. Разбиение множеств на классы

КАРТА – СХЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

продолжительность — 90 минут

Тема занятия: Декартово произведение и разбиение множеств на классы

Цели занятия:

· расширить знания студентов с темы действия с множествами, рассмотреть Декартово произведение, разбиение множеств на классы;

· способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

· создать условия для применения полученных знаний при выполнении расчетных заданий.

Необходимое аппаратное и программное обеспечение:

· компьютер;

· экран;

· проектор.

Дидактическое обеспечение:

1. Карточки с заданиями самостоятельной работы

2. Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. — 4-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2014.

3. Информационные источники:

Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. — 4-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2014.

Тип и вид учебного занятия:

· лекция.

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

Этапы урока	Содержание и виды деятельности преподавателя	Примечания
1. Организационный этап	Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.
2. Актуализация ЗУН	Устный опрос. — Что такое множество? Что означает задать множество? — Способы задания множеств — Что такое подмножество? -какие действия выполняем над множествами? — Что такое пересечение? Объединение? — Какие свойства пересечения, объединения? Самостоятельная работа (с взаимопроверкой) 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В. 2. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ. 3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите а)(А∩В)∩С; б) )(АВ)С; в) (А В)∩С
3. Изучение нового материала	Теоретические сведения. — Декартово произведение. — разбиение множеств на классы
4. Первичное закрепление	Практическое выполнение заданий
5. Информация о домашнем задании	Самостоятельная работа	Методические рекомендации для самостоятельной работы
6. Подведение итогов урока	Подведение итогов работы группы, отдельных студентов. Корректирование пробелов знаний. Рефлексия

Декартово произведение

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.

Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А={1, 2, 3} и образовывали всевозможные пары.

Рассмотрим другой пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аА, bВ. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АВ. Таким образом АВ = {(x;y) | xA, yB}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что АВ={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству АВ, если
А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение АВ={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.

Количество пар в декартовом прoизведении АВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(АВ)=n(A)n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А, А,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – А, …, n-ая – множеству А: АА…A.

Пусть даны множества А={2, 3}; А={3, 4, 5}; A={7, 8}. Декартово произведение ААА={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

2. Множество четырехугольников разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат – частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества не получено.

3. Дано множество прямых в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

4. Дано множество , которое можно разделить на два класса: и , где – множество натуральных четных чисел, а – множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество разбито на три класса: , и . множество чисел, которые делятся на , – множество чисел, которые делятся на , множество чисел, которые делятся на . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на , и . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Практические задания

Пример 1. Даны множества: А₁= {2, 3}, А₂= {3, 4, 5}, А₃ = {6, 7}. Найти А₁´ А₂ ´А₃.

Решение. Элементами множества А₁´ А₂ ´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1,вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

А₁´ А₂ ´А₃={(2, 3, 6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)}.

Пример 2. Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение X´X. Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».

Решение.

Декартово произведение X ´ Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:

X ´ Х= {(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7)}.

Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:

W={(3;5),(3;7),(5;7)}.

В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения X´X. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения X´X. Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения WÌ X´X.

2) Декартово произведение двух множеств X ´ Y.

Пример 3.

Пусть заданы два множества: X= {2, 6, 1}, Y= {7, 4, 8}.

Записать декартово произведение X ´ Y .

Решение.

Декартово произведение двух множеств равно:

X ´ Y={(2, 7), (2, 4), (2, 8), (6, 7), (6, 4), (6, 8), (1, 7), (1, 4), (1, 8)}.

Аналогично можно найти декартово произведение трёх множеств: X ´ Y´ Z.

Декартово произведение множеств

Математика Декартово произведение множеств

просмотров — 746

Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств

Понятия множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации – действии распределения объектов по классам.

Классификацию мы выполняем достаточно часто. Так, натуральные числа представляем как два класса – четные и нечетные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Х разбито на классы Х₁, Х₂, …, Хn,…, если:

1) подмножества Х₁, Х₂, …, Хn,… попарно не пересекаются;

2) объединение подмножеств Х₁, Х₂, …, Хn, … совпадает с множеством Х.

В случае если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. К примеру, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы.

Рассмотрим, к примеру, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим,. что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, ᴛ.ᴇ. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса.

N N

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый — ϶ᴛᴏ класс объектов, обладающий этим свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. К примеру, «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А – подмножество чисел, кратных 3, и В – подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Проанализируем получившийся рисунок (справа). Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей – на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II – из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IY – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. К примеру, при помощи двух таких свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса: I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3; но не кратных 6; III — класс чисел, не кратных 3.

Используя две цифры, к примеру, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято записывать, используя круглые скобки: (а; b). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b – второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; b) и (с; d) равны в том и только в том случае, когда а = с и b = d.

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, к примеру, А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая компонента – множеству В. В случае если мы перечислим все такие пары, то получим множества:

{(1; 3), (1; 5) (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.

Видим, что, имея два множества А.и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В принято называть множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, записывают:

А х В = {х; у) / х ∈ А и у∈ В}.

Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения декартова произведения. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, ᴛ. ᴇ. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А∪В) х С = (А х С) ∪ (В х С),

(А / В) х С = (А х С) / (В х С).

Доказывать эти свойства мы не будем, но проверить их можно на конкретных примерах.

Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств.

В случае если множества А и В конечны и содержат небольшое количество элементов, то его можно изобразить при помощи графа или таблицы. К примеру, декартово произведение множеств

А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке.

А В

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изобразить на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. К примеру, декартово произведение выше названных множеств на координатной плоскости будет выглядеть так:

1 2 3

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В – на оси Оу.

Такой способ наглядного изображения декартова произведения множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. К примеру, запись числа 367 — ϶ᴛᴏ упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» — это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа — ϶ᴛᴏ число элементов, из которых он состоит. К примеру, (3; 6; 7) — ϶ᴛᴏ кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) — ϶ᴛᴏ кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, Аn принято называть множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂, …, n-я — множеству Аn.

Декартово произведение множеств А₁, А₂, …, Аn обозначают так:

А₁ х А₂ х …х Аn.