Как правильно сложить и вычесть корни?
Определение
Квадратным корнем или корнем 2-ой степени числа X называется число, которое при умножении само на себя даёт число b, т. е. a*a = b.
В статье мы поговорим о таких действиях с квадратными корнями, как сложение и вычитание.
Свойство 1.
Корень, взятый от умножения двух корней равен произведению корней от указанных множителей, если они больше нуля:
√(a*b) = √a*√b, где a и b – неотрицательные числа.
Свойство может быть распространено на большее число множителей, т. е. √(a*b*…*d) = √a*√b* …*√d. При этом, если число отрицательных множителей чётное, то их произведение всё равно даст положительное число, а значит свойство останется справедливым.
Свойство 2.
Корень отношения из отношения членов выражения равен отношению корней:
√(a/b) = √a/√b, где a – неотрицательное, не равное нулю число, число и b – неотрицательные число.
Свойство 3.
√a2n= an, где a – неотрицательное, натуральное, не равное нулю число.
Правило
Сложение и вычитание корней возможно только если выражение под корнем у них одно и то же. В частности, можно сложить или вычесть один из другого 2√7 и 5√7, а вот такие же действия с 2√7 и 5√8 или с 2√2 и 5√7 провести уже не получится. В частности, невозможно вычисление суммы или разности типа 5 + √X или 5 — √X. Если число целое, значит подкоренным числом является 1. Фактически любое число можно записать как N или как N √1.
Общие правила сложения и вычитания корней
Правила
В общем случае порядок действий при сложении и вычитании квадратных корней следующий:
- Соединяем корни посредством знаков, обозначающих соответствующие операции. Допустим нам нужно из корня X вычесть корень Y. Записываем выражение √X — √Y. Если нам требуется сложить, то выражение будет √X + √Y
- Приводим выражения к простейшей форме, т.
е. если между ними имеются подобные, то делаем приведение. Так называется математическая операция, при которой коэффициенты подобных членов берутся со знаками соответствующих членов, заключаются в скобки, затем общий корень выводится за их пределы. Упрощение полученного коэффициента происходит по общим правилам математики.
е. если между ними имеются подобные, то делаем приведение. Так называется математическая операция, при которой коэффициенты подобных членов берутся со знаками соответствующих членов, заключаются в скобки, затем общий корень выводится за их пределы. Упрощение полученного коэффициента происходит по общим правилам математики.Вся сложность заключается в упрощении подкоренного выражения. Когда приступаешь к этому, не известно получится ли его упростить. Окончательно решить вопрос можно лишь попробовав подобное сделать.
Сложение и вычитание квадратных корней, простейшие случаи
Пример 1. Сложить √4 + √64. Казалось бы числа под знаком корня разные, и складываться не должны, но √4 = 2, а √64 = 8. Получаем 2√1 + 8√1 или 2 + 8. Результат равен 10. Ответ: √4 + √64 = 10. Это один из примеров того, как складывать разные корни. К сожалению, так легко получается далеко не всегда.
Пример 2. Сложить 7√3 + 5√3. Выносим √4 за скобки, получаем (7+5) √3 или 12√3.
Ответ: 7√3 + 5√3 = 12√3.
Пример 3. Вычесть √64 — √4.
Т. к. √64 = 8, а √4 = 2, получаем √64 — √4 = 8 – 2 = 6.
Ответ: √64 — √4 = 6.
Пример 4. Вычесть 7√3 — 5√3.
Выносим √3 за скобки, получаем (7-5) √3 = 2√3.
Ответ: 7√3 — 5√3 = 2√3.
Пример 5. Сложить √45 + 4√5.
Число √45 можно представить в виде √(9*5). Как известно √9 = 3, выносим это число из-под знака корня. Получаем 3√5. Нам нужно будет выполнить сложение 3√5 + 4√5. Подкоренное выражение одинаковое, поэтому действие допустимо. Выносим √5 за скобки и получаем (3+4)√5 = 7√5.
Ответ: √45 + 4√5 = 7√5.
Пример.6. Вычислить выражение 6√40 — 3√10 + √5.
Упрощаем число 6√40. Разлагаем √40 на множители: 6√(4*10). Выносим 4 из-под корня: 6*2√10. Перемножаем 6 и 2, в результате имеем 12√10.
Выражение 6√40 — 3√10 + √5 записываем в виде 12√10 — 3√10 + √5. У первых двух членов общее подкоренное число √10, выносим его за скобки и получаем (12-3)√10 + √5 = 9√10 +√5.
Больше упрощать некуда.
Ответ: 6√40 — 3√10 + √5 = 9√10 +√5.
Вычитание и сложение квадратных корней с помощью сокращения знаменателя
Это часто бывает нужно, когда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Нам дано выражение N/(√X +√Y). Умножаем обе части дроби (числитель и знаменатель) на √X -√Y. Вспомните формулу сокращённого умножения. (a+b)*(a-b) = a2 – b2. Применительно к нашему случаю это будет (√X +√Y)*(√X -√Y) = X-Y.
Пример 7. Вычислить 4 / (√3 + √5). Умножаем всё на (√3 — √5). В результате получаем
4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) =
= 4 * (√3 — √5) / (3-5) = 4 * (√3 — √5) / (-2) =
=2 * (√5 — √3).
Далее задача посложнее.
Пример 8. Нужно вычислить выражение 12 / (√2 + √3 + √5). Поступить можно только одним образом – умножить обе части дроби на (√2 + √3 — √5). Обратите внимание, последний знак в выражении минус, а не плюс, как в исходном.
В результате мы имеем:
12*(√2 + √3 — √5)/[(√2 + √3 + √5)* (√2 + √3 — √5)].
После последовательного перемножения всех чисел получаем 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6). Упрощаем выражение далее и в итоге получаем: 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Ответ: 12 / (√2 + √3 + √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Теперь вы знаете, как складывать квадратные корни при действиях с дробями.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Приближённое вычисление квадратного корня
Приближённое сложение и вычитание корней проводится следующим образом:
Сначала на калькуляторе вычисляем точное значение каждого из корней, округляем их до требуемой степени точности, после чего проводим сложение приближённых чисел.
Иногда это является единственным доступным способом решить задачу, а иногда используется в качестве проверки результата, полученного иным путём.
Пример 9.
Сложить √7 + √5. Сложение этих квадратных корней проводим, используя калькулятор точное значение √7 = 2,645751, и точное значение √5 = 2,236067.
Округляем полученные числа и складываем их 2,65 + 2,24 = 4,89.
Важно. Выражения √(X+Y) = √X +√Y и√(X-Y) = √X — √Y абсолютно не верны. Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем сколько будет √(9+16) = √25 = 5.
Если складывать, числа как отдельные корни, то, √9 +√16 = 3 + 4 = 7.
Посмотрите, сколько будет, если √(16-9) = √7 ≈ 2,65, При вычитании чисел, как отдельных корней √16 — √9 = 4 – 3 = 1.
Дополнительные примеры
Приведём ряд дополнительных примеров по сложению и вычитанию корней.
Пример 10. Вычислить √9 + √4 — 3√2. Из 9 и 4 квадратные корни вычисляются очень легко. √9 = 3, √4 = 2. В результате имеем 3 + 2 — 3√2 = 5 — 3√2. Это выражение дальше уже никак нельзя сделать проще, т. е. окончательным будет результат 5 — 3√2.
Ответ: √9 + √4 — 3√2 = 5 — 3√2.
Пример 11.
Вычислить (√2)/4 + (√2)/2. Сначала находим наименьший знаменатель указанных дробей. Не сложно понять, что он равен 4. Чтобы привести к наименьшему знаменателю вторую дробь, умножаем её на 2/2 и получаем (2√2)/4. Теперь нам остаётся сложить лишь числители, знаменатель остаётся прежним. В итоге получаем (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4.
Ответ: (√2)/4 + (√2)/2 = (3√2)/4.
Пример 12. Посчитать выражение (√X+√Y)/ (√X-√Y). Умножаем указанное выражение на дробь (√X+√Y)/(√X+√Y), В результате будем иметь
[(√X+√Y)*(√X+√Y)]/[(√X-√Y)*(√X+√Y)] = (√X+√Y)2/(X-Y).
Далее нужно раскрыть скобки. Тогда мы получим [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y).
Ответ: (√X+√Y)/(√X-√Y) = [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y). Проще исходного полученное выражение назвать сложно. Скорее это наглядный пример того, что упрощение возможно далека не всегда. Его попытка имеет смысл лишь для того, чтобы в последнем убедить себя окончательно.
Пример 13. Вычислить выражение (√2 +√3)*(√2-√3)3/(2-2√6+3).
Раскладываем второй множитель числителя на два множителя
(√2-√3)3 = (√2-√3)2*(√2-√3). После этого будем иметь выражение [(√2-√3)2*(√2-√3)*(√2 +√3)]/(2-2√6+3), но ведь (√2-√3)2 = 2 -2√6+3 и оно совпадает со знаменателем дроби, а значит может быть сокращено. Мы имеем (√2-√3)*(√2 +√3), по известной формуле (a+b)*(a-b) = a2 – b2 в результате мы получаем (√2-√3)*(√2 +√3) = 2 – 3 = -1.
Казалось бы, очень сложное выражение получилось равным (-1). Результат абсолютно точен. Вычисляя выражение через приближённые значения корней, мы пришли бы к тому же самому результату, то в его точности сомнения тогда могли бы остаться. Сейчас же их совершенно нет. Надеемся, что статья была для вас понятной и полезной.
Действия с корнями в формуле разности квадратов. Извлечение корня. Урок 11. Алгебра 8 класс
12+
2 месяца назад
Математика от Баканчиковой152 подписчика
Алгебра 8 класс.
Как работать с корнями в формуле разности квадратов? Сегодня мы ответим на этот вопрос. Если Вы не видели наши предыдущие уроки по теме «Извлечение корней», то обязательно посмотрите их, тогда этот урок будет Вам очень понятен. Мы напомним Вам формулы разности квадратов двух выражений. Обратим Ваше внимание на то, что иррациональные числа работают в формулах сокращенного умножения точно так же, как и рациональные числа. На примере 5 выражений мы покажем Вам все нюансы действий с корнями в формуле разности квадратов. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео.
00:00 Начало видео.
00:31 Вспомним формулу разности квадратов двух выражений.
01:54 (√2 — y) (√2 + y).
02:57 (√x — √y) (√x + √y).
04:06 (√10 + √7) (√7 — √10).
05:48 (3√2 — 2√3) (2√3 + 3√2).
08:28 Упростим выражение: 8 — (√7 — √5) (√7 + √5) + (√6 + √2) (√2 — √6).
Если Вы впервые на нашем канале или не смотрели предыдущие уроки, то рекомендуем Вам посмотреть следующие видео:
Действия с корнями в формулах квадрата суммы и квадрата разности.
Объяснение урока: Сложение и вычитание квадратных корней
В этом объяснении мы узнаем, как складывать и вычитать квадратные корни и как использовать это для упрощения выражений.
Прежде чем мы сможем упростить подкоренные выражения (т. е. выражения, содержащие корни), нам сначала нужно рассмотреть, что означает упрощение подкоренных выражений. и какие выражения на самом деле могут быть упрощены. Например, мы можем заметить, что для любого действительного числа 𝑥 аддитивное обратное свойство говорит нам, что число −𝑥 действительно и что 𝑥+(−𝑥)=0, или, точнее, 𝑥−𝑥=0. Мы можем использовать это, чтобы упростить подкоренные выражения: √2−√2=0.
Мы можем комбинировать это с распределительным свойством умножения над сложением, чтобы комбинировать подкоренные выражения. Например, напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐 имеем 𝑎𝑏+𝑐𝑏=(𝑎+𝑐)𝑏. Поэтому, если мы хотим оценить 3√2+2√2, мы можем вычесть общий множитель √2, чтобы получить 3√2+2√2=(3+2)√2=5√2.
Давайте рассмотрим пример применения этого свойства для упрощения выражения, включающего радикалы.
Пример 1. Упрощение сложения и вычитания квадратных корней
Упростить −2+√6+8−√6.
Ответ
Сначала напомним, что сложение действительных чисел ассоциативно и коммутативно, поэтому мы можем складывать члены в этом выражении в любом порядке. Таким образом, −2+√6+8−√6=(−2+8)+√6−√6=6+√6−√6.
Затем мы вспоминаем, что свойство аддитивной идентичности сложения действительных чисел говорит нам, что для любого действительного числа 𝑥 мы имеем 𝑥−𝑥=0. Установив 𝑥=√6, мы увидим, что √6−√6=0. Следовательно, 6+√6−√6=6+0=6.
Этот метод упрощения квадратных корней позволяет нам упростить корни неотрицательных целых чисел и использовать аддитивное обратное свойство дополнение для упрощения сложения и вычитания радикалов с одинаковым основанием. Есть еще один способ упростить подкоренные выражения, и мы это увидим. со следующим примером.
Рассмотрим 2√3+√3. Мы знаем, что число 3 не имеет делителей больше 1, поэтому мы не можем упростить ни один из терминов. Вместо этого мы можем вспомнить, что,
для любого действительного числа 𝑥 имеем
2𝑥=𝑥+𝑥.
В частности, если 𝑥=√3, имеем 2√3=√3+√3.
Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом: 2√3+√3=√3+√3+√3.
Тогда мы можем заметить, что для любого действительного числа 𝑥 имеем 3𝑥=𝑥+𝑥+𝑥. Следовательно, √3+√3+√3=3√3.
Это дает нам связь между сложением и вычитанием квадратных корней с одинаковым основанием и целочисленным умножением. Имеем следующий результат.
Свойство: сложение и вычитание целых чисел, кратных квадратным корням с одинаковым основанием
Для любых целых чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, где 𝑐 неотрицательно, имеем 𝑎√𝑐+𝑏√𝑐=(𝑎+𝑏)√𝑐.
Этот результат также верен для любых действительных чисел 𝑎 и 𝑏 при рассмотрении дистрибутивного свойства произведения действительных чисел над сложением действительных чисел, в котором говорится, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐 у нас есть 𝑎×(𝑏+𝑐)=(𝑎×𝑏)+(𝑎×𝑐).
Теперь рассмотрим пример применения этого свойства для упрощения суммы радикалов с одинаковым основанием.
Пример 2. Упрощение сложения двух квадратных корней с одинаковым основанием
Упростить 12√5+3√5.
Ответ
Напомним, что для любых целых чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, где 𝑐 неотрицательно, у нас есть 𝑎√𝑐+𝑏√𝑐=(𝑎+𝑏)√𝑐.
Следовательно, 12√5+3√5=(12+3)√5=15√5.
Следовательно, 12√5+3√5=15√5.
Важно отметить, что мы не можем просто складывать или вычитать основания квадратные корни. Вместо этого мы упрощаем коэффициенты.
Рассмотрим 5+6√3. Очень распространенной ошибкой является упрощение до 11√3, тогда как на самом деле выражение не может быть еще больше упростил. Точно так же распространенной ошибкой является упрощение √2+√3 до √5. Опять же, мы не можем объединить эти радикалы, так как подкоренные (выражения под корнем) разные.
В следующем примере мы рассмотрим упрощение суммы двух подкоренных выражений.
Пример 3. Упрощение сложения двух алгебраических выражений с квадратными корнями
Учитывая, что 𝑎=6−7√3 и 𝑏=−7−7√3, найдите значение 𝑎+𝑏.
Ответ
Сначала подставим выражения для 𝑎 и 𝑏, чтобы увидеть, что 𝑎+𝑏=6−7√3+−7−7√3.
Затем мы можем использовать коммутативность и ассоциативность сложения действительных чисел, чтобы изменить порядок сложения к следующему: 6−7√3+−7−7√3=(6+(−7))+−7√3−7√3.
Заметим, что 6+(−7)=6−7=−1, и напомним, что для любых целых чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐 где 𝑐 неотрицательно, имеем 𝑎√𝑐+𝑏√𝑐=(𝑎+𝑏)√𝑐. Это означает, что −7√3−7√3=(−7−7)√3=−14√3.
Следовательно, 𝑎+𝑏=−1−14√3.
Еще одно свойство квадратных корней иллюстрируется следующим. Сначала заметим, что √𝑎×𝑏 — неотрицательное число, что при возведении в квадрат дает 𝑎×𝑏. Заметим, что если 𝑎,𝑏≥0, то √𝑎×√𝑏=√𝑎×√𝑏×√𝑎×√𝑏=√𝑎×√𝑏=𝑎×𝑏.
×Таким образом, квадрат √√ также 𝑎×𝑏. Поскольку √𝑎×√𝑏 также неотрицательны, имеем следующий результат.
Свойство: Свойство произведения квадратных корней
Если 𝑎 и 𝑏 — неотрицательные действительные числа, то
√𝑎×𝑏=√𝑎×√𝑏.
Воспользуемся этим свойством, чтобы переписать √8, заметив, что √8=√2×2=√2×√2=2√2.
Неясно, какое (если есть) из √8 или 2√2 более простое выражение. Поэтому нам необходимо определить что мы подразумеваем под упрощенным выражением, включающим квадратные корни.
Определение: упрощенное подкоренное выражение
Если 𝑐 — целое неотрицательное число, мы можем переписать √𝑐=𝑎√𝑏, где 𝑎 — квадратный корень из наибольшего полного квадрата фактор 𝑐 и 𝑏 является другим несовершенным квадратный множитель 𝑐. Это называется упрощенной формой √𝑐.
Из этого следует, что упрощенная форма выражения, содержащего квадратные корни, предполагает запись каждого термина в упрощенной форме. Это позволяет нам сказать, что 2√2 — это упрощенная форма √8. Фактически это дает нам способ определения упрощенной формы квадратный корень из неотрицательного целого числа.
Мы можем упростить некоторые радикальные выражения, заметив, что если
𝑎>1 и 𝑎 делит 𝑐, скажем, 𝑐=𝑎×𝑏, тогда
√𝑐=√𝑎×𝑏=√𝑎×√𝑏=𝑎√𝑏.
Это означает, что мы можем упростить √𝑐, если оно имеет совершенные квадратные делители больше 1. Это означает, что мы определяем наибольший совершенный квадратный множитель 𝑐 упростить √𝑐.
В нашем следующем примере мы упростим сумму двух радикалов, где основание (или подкоренное число) каждого члена отличается.
Пример 4. Упрощение сложения двух квадратных корней с разными подкоренными знаменателями
Запишите √8+√2 в виде 𝑎√2, где 𝑎 — целое число.
Ответ
Сначала заметим, что основание каждого квадратного корня разное, поэтому мы не можем упростить это выражение в его нынешнем виде сложением. Вместо этого отметим, что 8=2×2, поэтому мы можем упростить √8, используя тот факт, что для любых неотрицательных целых чисел 𝑎 и 𝑏, мы имеем √𝑎×𝑏=√𝑎×√𝑏. Следовательно, √8=√2×√2=2√2.
Мы можем использовать это, чтобы переписать выражение, данное в вопросе, как √8+√2=2√2+√2.
Затем мы вспоминаем, что для любых целых чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, где 𝑐 неотрицательно,
у нас есть
𝑎√𝑐+𝑏√𝑐=(𝑎+𝑏)√𝑐.
Следовательно, 2√2+√2=(2+1)√2=3√2.
Наконец, отметим, что число 2 не имеет полных делителей квадрата больше 1, так что дальнейшее упрощение невозможно.
В следующем примере мы упростим сумму трех подкоренных выражений, каждое из которых имеет разное подкоренное число.
Пример 5. Упрощение сложения и вычитания трех квадратных корней с разными подкоренными числами
Упростить √12−2√3+4√27.
Ответ
Сначала заметим, что у каждого члена разные подкоренные числа, поэтому мы не можем напрямую комбинировать члены этого выражения в его текущей форме. Вместо, давайте упростим каждый термин в отдельности, используя тот факт, что для любых неотрицательных целых чисел 𝑎 и 𝑏 мы имеем √𝑎×𝑏=√𝑎×√𝑏.
Сначала заметим, что 12=2×3, поэтому √12=√2×√3=2√3.
Затем заметим, что число 3 не имеет полных делителей квадрата больше 1, поэтому √3 нельзя упростить дальше. Это означает, что мы не можем упростить этот термин
или второй член дальше.
Затем мы находим, что 27=3×3, поэтому 4√27=4√3×√3=43√3=12√3.
Подстановка этих значений в данное выражение дает √12−2√3+4√27=2√3−2√3+12√3.
Затем мы можем упростить это, заметив, что −2√3 является аддитивной инверсией 2√3, так что 2√3−2√3=0.
Следовательно, 2√3−2√3+12√3=12√3.
Следовательно, √12−2√3+4√27=12√3.
В нашем последнем примере мы будем использовать этот метод для упрощения радикальных выражений, чтобы определить значение неизвестного в уравнении.
Пример 6. Нахождение пропущенного значения в сумме двух квадратных корней с разными подкоренными кантами
Учитывая, что 9√8+10√50=𝑥√2, найдите значение 𝑥.
Ответ
Поскольку правая часть уравнения имеет форму 𝑥√2 для некоторого действительного значения 𝑥, мы начнем с попытки
запишите левую часть уравнения в таком виде. Мы можем сделать это, упростив каждый член, используя тот факт, что для любых неотрицательных целых чисел 𝑎
и 𝑏, мы имеем √𝑎×𝑏=√𝑎×√𝑏.
Применяя это, мы видим, что
9√8=9√4×√2=92√2=18√2,10√50=10√25×√2=105√2=50√2.
Подстановка этих значений в уравнение дает 18√2+50√2=𝑥√2.
Мы можем упростить левую часть, разложив √2, чтобы получить (18+50)√2=𝑥√268√2=𝑥√2.
Следовательно, 𝑥=68.
Давайте закончим повторением некоторых важных моментов из этого объяснения.
Ключевые моменты
- Для любых целых чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, где 𝑐 неотрицательно, имеем 𝑎√𝑐+𝑏√𝑐=(𝑎+𝑏)√𝑐.
- Если 𝑎 и 𝑏 неотрицательные действительные числа, то √𝑎×𝑏=√𝑎×√𝑏.
- Если 𝑐 — целое неотрицательное число, мы можем переписать √𝑐=𝑎√𝑏, где 𝑎 — квадратный корень из наибольшего полного квадрата фактор 𝑐 и 𝑏 другой несовершенный квадратный множитель 𝑐. Это называется упрощенной формой √𝑐.
- Если неотрицательное целое число 𝑐 не имеет полных квадратных делителей больше 1, то √𝑐 нельзя упростить.
9.
3: Сложение и вычитание квадратных корней- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 15185
- OpenStax
- OpenStax
Цели обучения 93}\).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
Мы знаем, что должны соблюдать порядок операций, чтобы упростить выражения с квадратными корнями. Радикал — это группирующий символ, поэтому сначала мы работаем внутри радикала. Упростим \(\sqrt{2+7}\) таким образом:
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Добавить внутри корня.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{ Упростить.}}&{3}\\ \end{массив}\]
Таким образом, если нам нужно добавить \(\sqrt{2}+\sqrt{7}\), мы не должны объединять их в один радикал.
\(\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}\)
Пытаться складывать квадратные корни с разными подкоренными, все равно что пытаться складывать разные члены.
\[\begin{array}{llll} {\text{Но так же, как мы можем}}&{x+x}&{\text{мы можем добавить}}&{\sqrt{3}+\sqrt{ 3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{массив}\]
Сложение квадратных корней с одним и тем же основанием аналогично сложению одинаковых членов. Мы называем квадратные корни теми же подкоренными, что и квадратные корни, чтобы напомнить нам, что они работают так же, как и термины.
Определение: ПОДОБНЫЕ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Квадратные корни с одним и тем же основанием называются как квадратные корни .
Мы складываем и вычитаем, как квадратные корни, так же, как складываем и вычитаем одинаковые члены. Мы знаем, что 3x+8x равно 11x. Точно так же мы добавляем \(3\sqrt{x}+8\sqrt{x}\) и получаем \(11\sqrt{x}\).
Сложение и вычитание как квадратные корни
Подумайте о добавлении одинаковых членов с переменными, когда будете делать следующие несколько примеров.
Когда у вас есть подкоренные числа, вы просто добавляете или вычитаете коэффициенты. Когда подкоренные не похожи, вы не можете комбинировать термины.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Упрощение: \(2\sqrt{2}−7\sqrt{2}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Поскольку радикалы одинаковы, мы вычитаем коэффициенты.}}&{ −5\sqrt{2}}\\ \end{массив}\]
Пример \(\PageIndex{2}\)
Упрощение: \(8\sqrt{2}−9\sqrt{2}\).
- Ответить
\(-\sqrt{2}\)
Пример \(\PageIndex{3}\)
Упрощение: \(5\sqrt{3}−9\sqrt{3}\).
- Ответить
\(−4\sqrt{3}\)
Пример \(\PageIndex{4}\)
Упрощение: \(3\sqrt{y}+4\sqrt{y}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Поскольку радикалы одинаковые, складываем коэффициенты.
}}&{ 7\sqrt{y}}\\ \end{массив}\]
}}&{ 7\sqrt{y}}\\ \end{массив}\]Пример \(\PageIndex{5}\)
Упрощение: \(2\sqrt{x}+7\sqrt{x}\).
- Ответить
\(9\квт{х}\)
Пример \(\PageIndex{6}\)
Упрощение: \(5\sqrt{u}+3\sqrt{u}\).
- Ответить
\(8\sqrt{u}\)
Пример \(\PageIndex{7}\)
Упрощение: \(4\sqrt{x}−2\sqrt{y}\)
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Поскольку радикалы не похожи, мы не можем их вычесть. Мы оставляем выражение как есть.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Пример \(\PageIndex{8}\)
Упрощение: \(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\).
- Ответить
\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\)
Пример \(\PageIndex{9}\)
Упрощение: \(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\).
- Ответить
\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\)
Пример \(\PageIndex{10}\)
Упрощение: \(5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Поскольку радикалы похожи, мы добавляем коэффициенты.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{массив}\]
Пример \(\PageIndex{11}\)
Упрощение: \(4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}\).
- Ответить
\(9\кв{11}\)
Пример \(\PageIndex{12}\)
Упрощение: \(6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}\).
- Ответить
\(11\кв{10}\)
Пример \(\PageIndex{13}\)
Упрощение: \(2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Поскольку первые два радикала похожи, мы вычитаем их коэффициенты.
}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}\]Пример \(\PageIndex{14}\)
Упрощение: \(5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}\).
- Ответить
\(\sqrt{5}+2\sqrt{6}\)
Пример \(\PageIndex{15}\)
Упрощение: \(3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}\).
- Ответить
\(−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}\)
Пример \(\PageIndex{16}\)
Упрощение: \(2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Поскольку радикалы похожи, мы объединяем их.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Упростить.}}&{0}\\ \end{массив}\]
Пример \(\PageIndex{17}\)
Упрощение: \(\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}\).
- Ответить
\(−2\sqrt{7x}\)
Пример \(\PageIndex{18}\)
Упрощение: \(4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}\).
- Ответить
\(−3\sqrt{y}\)
Когда радикалы содержат более одной переменной, если все переменные и их показатели одинаковы, радикалы подобны.
Пример \(\PageIndex{19}\)
Упрощение: \(\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Поскольку радикалы похожи, мы объединяем их .}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{массив}\]
Пример \(\PageIndex{20}\)
Упрощение: \(\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}\).
- Ответить
\(−2\sqrt{5xy}\)
Пример \(\PageIndex{21}\)
Упрощение: \(3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}\).
- Ответить
0
Сложение и вычитание квадратных корней, требующих упрощения
Помните, что мы всегда упрощаем квадратные корни, удаляя наибольший множитель идеального квадрата.
Иногда, когда нам нужно сложить или вычесть квадратные корни, которые, кажется, не имеют подобные радикалы , мы находим подобные радикалы после упрощения квадратных корней.
Пример \(\PageIndex{22}\)
Упрощение: \(\sqrt{20}+3\sqrt{5}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{По возможности упростите радикалы.}}&{\sqrt{4} ·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Объедините одинаковые радикалы.}}&{5 \sqrt{5}}\\ \end{массив}\]
Пример \(\PageIndex{23}\)
Упрощение: \(\sqrt{18}+6\sqrt{2}\).
- Ответить
\(9\кв{2}\)
Пример \(\PageIndex{24}\)
Упрощение: \(\sqrt{27}+4\sqrt{3}\).
- Ответить
\(7\кв{3}\)
Пример \(\PageIndex{25}\)
Упрощение: \(\sqrt{48}−\sqrt{75}\)
- Ответ
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Упростите радикалы.
}}&{\sqrt{16}·\sqrt{ 3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Объедините одинаковые радикалы.}}&{ −\sqrt{3}}\\ \end{массив}\]
}}&{\sqrt{16}·\sqrt{ 3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Объедините одинаковые радикалы.}}&{ −\sqrt{3}}\\ \end{массив}\]Пример \(\PageIndex{26}\)
Упрощение: \(\sqrt{32}−\sqrt{18}\).
- Ответить
\(\sqrt{2}\)
Пример \(\PageIndex{27}\)
Упрощение: \(\sqrt{20}−\sqrt{45}\).
- Ответить
\(-\sqrt{5}\)
Точно так же, как мы используем ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить 5(3x) и получить 15x, мы можем упростить \(5(3\sqrt{x})\) и получить \(15\sqrt{x}\). Мы будем использовать ассоциативное свойство, чтобы сделать это в следующем примере.
Пример \(\PageIndex{28}\)
Упрощение: \(5\sqrt{18}−2\sqrt{8}\).
- Ответ
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Упростите радикалы.
}}&{5·\sqrt{9} ·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ { }&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Объедините одинаковые радикалы.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
}}&{5·\sqrt{9} ·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ { }&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Объедините одинаковые радикалы.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}\]Пример \(\PageIndex{29}\)
Упрощение: \(4\sqrt{27}−3\sqrt{12}\).
- Ответить
\(6\кв{3}\)
Пример \(\PageIndex{30}\)
Упрощение: \(3\sqrt{20}−7\sqrt{45}\).
- Ответить
\(−15\sqrt{5}\)
Пример \(\PageIndex{31}\)
Упрощение: \(\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Упростить радикалы.}} & {\ frac {3} {4} \ sqrt {64} · \ sqrt {3} − \ frac {5} {6} \ sqrt {36} · \ sqrt {3}} \\ { }&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}-\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}- 5\sqrt{3}}\\ {\text{Объедините одинаковые радикалы.
}}&{\sqrt{3}}\\ \end{массив}\]
}}&{\sqrt{3}}\\ \end{массив}\]Пример \(\PageIndex{32}\)
Упрощение: \(\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}\).
- Ответить
\(-\sqrt{3}\)
Пример \(\PageIndex{33}\)
Упрощение: \(\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}\).
- Ответить
0
Пример \(\PageIndex{34}\)
Упрощение: \(\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}\).
- Ответить
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Упростить радикалы.}} & {\ frac {2} {3} \ sqrt {16} · \ sqrt {3} − \ frac {3} {4} \ sqrt {4} · \ sqrt {3}} \\ { } & {\ frac {2} {3} · 4 · \ sqrt {3} − \ frac {3} {4} · 2 · \ sqrt {3}} \\ {} & {\ frac {8} {3 }\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Найдите общий знаменатель, чтобы вычесть коэффициенты одинаковых радикалов.
}}&{\frac{16}{ 6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Упрощение}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end {массив}\]
}}&{\frac{16}{ 6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Упрощение}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end {массив}\]Пример \(\PageIndex{35}\)
Упрощение: \(\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}\)
- Ответить
\(\frac{14}{15}\sqrt{2}\)
Пример \(\PageIndex{36}\)
Упрощение: \(\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}\)
- Ответить
\(\frac{1}{12}[\sqrt{5}\)
В следующем примере мы удалим из квадратных корней постоянные и переменные множители. 92}\).
- Ответить
\(−5x\sqrt{2}\)
Доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики сложения и вычитания квадратных корней.
- Сложение/вычитание квадратных корней
Глоссарий
- как квадратные корни
- Квадратные корни с одинаковыми подкоренными называются квадратными корнями.
