Свойства косинуса: Ошибка 403 — доступ запрещён

Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Справочник по математике

Тригонометрия

Содержание

Знаки тригонометрических функций

Периодичность тригонометрических функций

Четность тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Рис.1. Знак sin α	Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α	Рис.4. Знак ctg α

Рис.1. Знак sin α

Рис.2. Знак cos α

Рис.3. Знак tg α

Рис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

Рассмотрим рисунок 5.

Рис.5

Если луч OM₁, изображенный на рисунке 5, повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или 2π радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 360°) = sin α°,   cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°,   cos (α° – 360°) = cos α°,

а также формулы:

sin (α + 2π) = sin α ,   cos (α + 2π) = cos α ,

sin (α – 2π) = sin α,   cos (α – 2π) = cos α .

      Поворачивая луч  OM₁ на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы   360° n, .

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа   2nπ, .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол 360°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число 2π .

Теперь рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

Если луч OM₁, изображенный на рисунке 6, повернуть по ходу или против хода часов на развернутый угол (180 градусов или π радиан), то он совместится с лучом OM₂ . Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 180°) = – sin α°,   cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°,   cos (α° – 180°) = – cos α°,

а также формулы:

sin (α + π) = – sin α ,   cos (α + π) = – cos α ,

sin (α – π) = – sin α,   cos (α – π) = – cos α.

Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, полупериодом синуса и косинуса является число π.

СЛЕДСТВИЕ. Поскольку

то справедливы формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы 180° n,

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа   nπ, .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол 180°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число π.

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Рис.7

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,

откуда вытекают формулы:

tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .

Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Свойства тригонометрических функций

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Тригонометрия Свойства тригонометрических функций

Свойства синуса

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область изменения (множество значений) – отрезок .
3. Функция – нечетная, то есть .
4. Функция периодическая, с периодом .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и имеет производную при любом значении аргумента:

      

8. Функция возрастает при , и убывает при .
9. Функция имеет минимальные значения, равные , при , и максимальные значение равные 1, при .

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

Свойства косинуса

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область изменения (множество значений) – отрезок .
3. Функция – четная, то есть .
4. Функция периодическая, с периодом .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и имеет производную в любом значении аргумента

      

8. Функция возрастает при , и убывает при .
9. Минимальные значения функции равные принимает при , а максимальные значение равные 1, при .

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Свойства тангенса

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
3. Функция – нечетная, то есть .
4. Функция периодическая, её период равен .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

      

8. Функция возрастает в каждом из промежутков .

Свойства котангенса

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
3. Функция – нечетная, то есть .
4. Функция периодическая, её период равен .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

      

8. Функция убывает в каждом из промежутков .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

9.1 Свойства синуса и косинуса

9.1 Свойства синуса и косинуса
Следующий: 9.2 Расчет Up: 9. Тригонометрические функции Предыдущий: 9. Тригонометрические функции &nbsp Индекс 9.1 Определение () Мы определяем функцию

следующим образом.

Если , то точка на единичной окружности такая, что длина из дуга, соединяющаяся с (измеряется против часовой стрелки) является равно . (Есть оптическая иллюзия на рисунке. Длина отрезка равна длине дуга.)

Таким образом, чтобы найти , вы должны начать с и двигаться дальше в двигайтесь по кругу против часовой стрелки, пока не пройдете расстояние. Поскольку длина окружности равна , мы видим, что . (Здесь мы предполагаем, что Архимеда результат, что площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус. ) Если , мы определяем

(9.2)

где – отражение относительно горизонтальной оси. Таким образом, если , то является в точка, полученная путем старта и движения по единичной окружности в в по часовой стрелке.

Замечание : Определение зависит от нескольких идей, которых у нас нет. определенный или сформулированные предположения о, например, длине дуги и против часовой направление . Я считаю, что объем работы, необходимый для формализации этих идеи в этом точка не стоит усилий, так что я надеюсь, что ваша геометрическая интуиция поможет ты через эту главу. (В этой главе мы будем допускать довольно много евклидовой геометрии и некоторые свойства площади, которые не следуют из наших предположений, изложенных в главе 5.)

Более автономное рассмотрение тригонометрических функций можно найти в [44, глава 15], но трактовка, данная используются идеи, которые мы рассмотрим позже (например, производные, обратные функции, теорема о промежуточном значении и основная теорема исчисления) чтобы определить тригонометрические функции.

У нас есть следующие значения для:

			(9.3)
			(9.4)
			(9.5)
			(9.6)
			(9. 7)

В общем

(9.8)

9,9 Определение (Синус и косинус.) В координатах пишем

(Мы читаем «» как « косинус от ‘, а «’ читаем как « синус «.)

Так как находится на единичной окружности, мы имеем

и

Уравнения (9.3) — (9.8) показывают, что

и

В уравнении (9.2) мы определили

Таким образом, для ,

и отсюда следует, что

С точки зрения компонентов


и следовательно

Пусть — произвольные действительные числа. Тогда существуют целые числа и такой, что и . Позволять

Затем , так

Предполагать (см. рисунок). Тогда длина дуги, соединяющей это что то же самое, что и длина дуга, соединяющаяся с . Поскольку равные дуги в окружность равные хорды, мы имеем

и поэтому

(9.10)

Вы можете убедиться, что это же соотношение выполняется, когда . 9.11 Теорема (Законы сложения для синуса и косинуса.) Для всех действительных чисел и ,

			(9.12)
			(9. 13)
			(9.14)
			(9.15)

Доказательство: Из (9.10) мы знаем

то есть,

Следовательно

Раскладывая квадраты и используя тот факт, что для все , мы заключаем, что

(9.16)

Это уравнение (9.13). Чтобы получить уравнение (9.12), замените на в (9.16). Если мы возьмем в уравнении (9.16) мы получать

или

Если мы заменим на в этом уравнении получаем

Теперь в уравнении (9. 16) заменить на и получить

или

которое представляет собой уравнение (9.14). Наконец, замените на в этом последнем уравнение к получить (9.15).

В процессе доказательства последней теоремы мы доказали следующее:

9.17 Теорема (Закон отражения для sin и cos.) Для всех ,

(9.18)

9.19 Теорема (Формулы двойного угла и половинного угла.) Для всех у нас есть

9.20 Упражнение. А Докажите четыре формулы теоремы 9.19.

9.21 Теорема (Произведения и разности sin и cos.) Для всех в ,

			(9. 22)
			(9.23)
			(9.24)
			(9.25)
			(9.26)

Доказательство: у нас есть

и

Складывая эти уравнения, получаем (9.22). Вычитая первое из второй, получаем (9.24).

В уравнении (9.24) заменить на и заменить на получить

или

Это дает уравнение (9. 25).

9,27 Упражнение. Докажите уравнения (9.23) и (9.26).

Из геометрического описания синуса и косинуса следует, что как увеличивается для , увеличивается от до и уменьшается от до . Тождества

указывают на то, что отражение относительно вертикальной линии через несет график sin на график cos и наоборот. Состояние указывает на то, что отражение о вертикальная ось несет график на себя.

Отношение показывает, что

т. е. граф переносится на себя поворотом на о происхождении.

У нас есть

и , так и
(примерно).

Имея эту информацию, мы можем сделать разумный набросок графика и (см. рисунок выше)

9,28 Упражнение. Покажи, что

9,29 Упражнение. А Заполните следующую таблицу синусов и косинусов:

Включите объяснение того, как вы нашли и (или и ). Для оставшиеся значения вам не нужно включать объяснение.

Большая часть материала из этого раздела обсуждался Клавдием Птолемеем (фл. 127-151 ОБЪЯВЛЕНИЕ). Функциями, рассматриваемыми Птолемеем, были не синус и косинус, а хорда , где хорда дуги — это длина отрезка, соединяющего его конечные точки.

(9.30)

Аккорды Птолемея являются функциями дуг (измеряемых в градусах), а не чисел. Птолемея закон сложения для was (грубо)

где диаметр окружности, а Птолемей составил таблицы, эквивалентные таблицам для в интервалах . Все расчеты производились с точностью до 3-х шестидесятеричных (базовых) знаков.

Этимология слова синус такова. довольно любопытно[42, с. 615-616]. Функция, которую мы называем синусом, была первой имя, данное Арьябхатой в начале шестого века нашей эры. Название означало «половина аккорда». и позже был сокращен до jya означает «аккорд». Индус слово было переведено на арабский язык как jîba , что было бессмысленным слово фонетически происходит от jya , но (поскольку гласные по-арабски не писались) было написано так же, как jaib , что значит грудь. Когда араб был в переводе на латынь это стало sinus . ( Jaib означает грудь, залив, или грудь: sinus означает грудь, залив или складку тоги вокруг грудь.) английское слово sine происходит от sinus фонетически.

9.31 Развлечение (Вычисление синусов.) Разработайте компьютерную программу, которая будет воспринимать как введите а число между и , и рассчитает . (Я выбираю вместо того чтобы делать а не нужно знать значение делать этот.)

---

Следующий: 9.2 Расчет Up: 9. Тригонометрические функции Предыдущий: 9. Тригонометрические функции Индекс

Рэй Майер 2007-09-07

Косинус — График, Значение, Период, Примеры

Косинус — одно из основных математических тригонометрических соотношений. Отношение длин стороны, прилежащей к углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется функцией косинуса, которая изменяется при изменении угла. Он определяется в контексте прямоугольного треугольника для острых углов. Косинус используется для моделирования многих реальных сценариев — радиоволн, приливов и отливов, звуковых волн, музыкальных тонов, электрических токов.

Функция косинуса обозначается просто как cos x, где x — угол. В этой статье мы изучим основные свойства косинуса, его график, область определения и диапазон, производную, интеграл и разложение косинуса в степенной ряд. Cos x является периодической функцией и имеет период 2π.

1.	Что такое косинус?
2.	Косинус Значение
3.	График косинуса
4.	Значения косинуса
5.	Свойства функции косинуса
6.	Косинусные тождества
7.	Часто задаваемые вопросы о функции косинуса

Что такое косинус?

Косинус или cos x — это периодическая функция в тригонометрии. Рассмотрим единичный круг с центром в начале координат плоскости. Переменная точка P движется по окружности этой окружности. Из рисунка видно, что P находится в первом квадранте, а OP образует острый угол x радиан с положительной осью x. PQ — перпендикуляр, опущенный из точки P на горизонтальную ось. Таким образом, треугольник образуется путем соединения точек O, P и Q, как показано на рисунке, где OQ — основание, а PQ — высота треугольника.

Следовательно, функция косинуса для приведенного выше случая может быть математически записана как:

cos x = OQ/OP, Здесь x — острый угол, образованный между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника.

Косинус Значение

Косинус можно определить как отношение длины основания к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Математически формула функции косинуса относительно сторон прямоугольного треугольника записывается как:

cos x = Смежная сторона/Гипотенуза = Основание/Гипотенуза, где x — острый угол между основанием и гипотенузой.

График косинуса

Как показано на изображении выше, мы отмечаем, что cos x = OQ/OP = OQ/1 = OQ. Поскольку x изменяется, значение косинуса изменяется с изменением длины OQ. Теперь изучим изменение функции косинуса в четырех квадрантах координатной плоскости.

Случай 1: Изменение OQ в первом квадранте.

Предположим, что изначально P находится на горизонтальной оси. Рассмотрим движение P на 90° или π/2 рад. На следующем рисунке показаны различные положения Q для этого движения. Ясно, что длина OQ уменьшилась от начального значения 1 (когда x равно 0 радианам) до конечного значения 0 (когда x равно π/2 радианам).

Случай 2: Изменение OQ во втором квадранте.

Теперь мы проверим положение P во втором квадранте, как мы делали это в первом квадранте, и проверим, как изменяется значение функции косинуса. P впоследствии перемещается из 9от 0° до положения 180°. В этой фазе движения длина или величина OQ увеличивается, а значение косинуса уменьшается со значения 0 при 90° до минимума -1 при 180°.

Случай 3: Изменение OQ в третьем квадранте.

Когда P перемещается из положения 180° в положение 270°, хотя длина или величина OQ уменьшается. Но поскольку направление вдоль отрицательной оси y, фактическое значение cos x увеличивается с -1 до 0. Таким образом, значение косинуса для угла x увеличивается.

Случай 4: Изменение OQ в четвертом квадранте.

Наконец, когда P перемещается из положения 270° в положение 360°, OQ увеличивается с 0 до 1 (снова). Длина или величина OQ увеличивается вместе с увеличением алгебраического значения OQ. Таким образом, значение функции косинуса для угла x увеличивается.

Теперь мы можем изобразить это изменение на графике. Горизонтальная ось представляет входную переменную x как угол в радианах, а вертикальная ось представляет значение функции косинуса для x. Объединив реакцию изменения значения PQ для всех четырех квадрантов, мы получили полный график зависимости cos x от x для одного полного цикла от 0 до 2π радиан (от 0° до 360°). Полученный таким образом график показан ниже:

Значения косинуса

Мы изучаем значение функции косинуса для некоторых конкретных углов, так как их легко запомнить. Эти значения косинуса используются при решении различных математических задач. Некоторые из этих значений косинуса перечислены ниже в тригонометрической таблице:

Градусы косинуса	Косинус радианы	Значение функции косинуса (cos x)
соз 0°	соз 0	1
cos 30°	cos π/6	√3/2
cos 45°	cos π/4	1/√2
cos 60°	cos π/3	1/2
cos 90°	cos π/2	0
cos 120°	cos 2π/3	-1/2
Кос 150°	cos 5π/6	-√3/2
Кос 180°	потому что π	-1
cos 270°	cos 3π/2	0
cos 360°	потому что 2π	1

Свойства функции косинуса

Свойства косинуса зависят от квадранта, в котором находится угол. Функция косинуса является специальной тригонометрической функцией и имеет множество свойств. Некоторые из них перечислены ниже:

• График cos x повторяется после 2π, что предполагает периодичность функции с периодом 2π.
• Cos x — четная функция, поскольку cos(−x) = cos x.
• Областью определения функции косинуса являются все действительные числа в диапазоне [-1,1]. 9{2n}}{(2n)!}\)

Тождества функции косинуса

В тригонометрии есть несколько тождеств, связанных с функцией косинуса. Эти тождества очень полезны при решении различных математических задач. Некоторые из них перечислены ниже:

• cos x = 1/сек x
• Функция, обратная косинусу = cos ^-1 x = arccos x, где x лежит в [-1, 1]
• sin ² х + cos ² х = 1
• cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y
• cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y
• cos 2x = cos ² x — sin ² x = 2 cos ² x — 1 = 1 — 2 sin ² x
• Производная от cos x: d(cos x)/dx = -sin x
• Интеграл функции косинуса: ∫cos x dx = sin x + C, где C – постоянная интегрирования.

Связанные темы

• Синусоидальная функция
• Обратные тригонометрические отношения
• Тригонометрическая таблица
• Тригонометрические отношения

Важные замечания о функции косинуса

• Функция косинуса может быть математически записана как:
  cos x = смежная сторона/гипотенуза = основание/гипотенуза
• Функция косинуса — это периодическая функция с периодом 2π.
• Область определения cos x равна (−∞, ∞), а диапазон равен [−1,1].

Часто задаваемые вопросы о функции косинуса

Что такое косинус в тригонометрии?

Косинус угла является тригонометрической функцией. Отношение длин стороны, прилежащей к углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется функцией косинуса, которая изменяется при изменении угла. Обычно его обозначают cos x, где x — угол между основанием и гипотенузой.

Каковы свойства косинуса?

Некоторые свойства функции косинуса: 9{2n}}{(2n)!}\)

Что означает косинус?

Косинус можно определить как отношение длины основания к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Он дает значение функции косинуса для угла x, обозначаемое как cos x.

Что такое обратная тригонометрическая функция функции косинуса?

Функция, обратная косинусу = cos ^-1 x = arccos x, где x лежит в [-1, 1]. Это функция, обратная косинусу, и произносится как «арккосинус» или «арккосинус».

Как записать функцию косинуса?

Функция косинуса может быть записана как cos x = Смежная сторона/Гипотенуза = Основание/Гипотенуза

Как выглядит график косинуса?

Кривая функции косинуса представляет собой кривую вверх-вниз, которая повторяется через каждые 2π радиан.

Что такое период функции косинуса?

Период функции — это когда функция имеет определенное горизонтальное смещение P, в результате чего получается функция, равная исходной функции, т. е. f(x+P) = f(x) для всех значений x в пределах домен ф. Период функции косинуса равен 2π.

Является ли функция косинуса четной или нечетной?

Функция f(x) является четной функцией, если f(-x) = f(x) для всех x, и нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех x.