Свойства определенных интегралов: Основные свойства определенного интеграла | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане

Свойства определенного интеграла

Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.

Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b.

Основные свойства определенного интеграла

Определение 1

Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству ∫aaf(x)dx=0.

Доказательство 1

Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [a; a] и любого выбора точек ζi равняется нулю, потому как xi-xi-1=0, i=1, 2,…, n, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

Определение 2

Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие ∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx.

Доказательство 2

Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х=b.

Определение 3

∫abfx±g(x)dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dxприменяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a;b].

Доказательство 3

Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζi: σ=∑i=1nfζi±gζi·xi-xi-1==∑i=1nf(ζi)·xi-xi-1±∑i=1ngζi·xi-xi-1=σf±σg

где σf и σg являются интегральными суммами функций y = f(x) и y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ=maxi=1, 2,…, n(xi-xi-1)→0 получаем, что limλ→0σ=limλ→0σf±σg=limλ→0σg±limλ→0σg.

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Определение 4

Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [a; b] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫abk·f(x)dx=k·∫abf(x)dx.

Доказательство 4

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему: 

σ=∑i=1nk·fζi·(xi-xi-1)==k·∑i=1nfζi·(xi-xi-1)=k·σf⇒limλ→0σ=limλ→0(k·σf)=k·limλ→0σf⇒∫abk·f(x)dx=k·∫abf(x)dx

Определение 5

Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с a∈x, b∈x, получаем, что ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.

Доказательство 5

Свойство считается справедливым для c∈a; b, для c≤a и c≥b. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

Определение 6

Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [a; b], тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c; d∈a; b.

Доказательство 6

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться,  а верхняя не будет увеличиваться.

Определение 7

Когда функция интегрируема на [a; b] из f(x)≥0 f(x)≤0 при любом значении x∈a; b, тогда получаем, что ∫abf(x)dx≥0 ∫abf(x)≤0.

Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζi с условием, что f(x)≥0 f(x)≤0, получаем неотрицательной.

Доказательство 7

Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx, если f(x)≤g(x) ∀x∈a;b∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx, если f(x)≥g(x) ∀x∈a;b

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

Определение 8

При интегрируемой функции y=f(x) из отрезка [a; b] имеем справедливое неравенство вида ∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx.

Доказательство 8

Имеем, что -f(x)≤f(x)≤f(x). Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно  и ему соответствует неравенство вида -∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx. Данное двойное неравенство  может быть записано в другой форме: ∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx.

Определение 9

Когда функции y = f(x) и y = g(x) интегрируются из отрезка [a; b] при g(x)≥0 при любом x∈a; b, получаем неравенство вида m·∫abg(x)dx≤∫abf(x)·g(x)dx≤M·∫abg(x)dx, где m=minx∈a; bf(x) и M=maxx∈a; bf(x).

Доказательство 9

Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f(x), определенной из отрезка [a; b], тогда m≤f(x)≤M. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g(x), что даст значение двойного неравенства вида m·g(x)≤f(x)·g(x)≤M·g(x). Необходимо проинтегрировать его на отрезке [a; b], тогда получим доказываемое утверждение.

Следствие: При g(x)=1 неравенство принимает вид m·b-a≤∫abf(x)dx≤M·(b-a).

Первая формула среднего значения 

Определение 10

При y = f(x) интегрируемая на отрезке [a; b] с m=minx∈a;bf(x) и M=maxx∈a; bf(x) имеется число μ∈m; M, которое подходит ∫abf(x)dx=μ·b-a.

Следствие: Когда функция y = f(x) непрерывная из отрезка [a; b], то имеется такое число c∈a; b, которое удовлетворяет равенству ∫abf(x)dx=f(c)·b-a.

Первая формула среднего значения в обобщенной форме

Определение 11

 Когда функции y = f(x) и y = g(x) являются интегрируемыми из отрезка [a; b] с m=minx∈a; bf(x) и M=maxx∈a; bf(x), а g(x)>0 при любом значении x∈a; b. Отсюда имеем, что есть число μ∈m; M, которое удовлетворяет равенству ∫abf(x)·g(x)dx=μ·∫abg(x)dx.

Вторая формула среднего значения

Определение 12

Когда функция y=f(x) является интегрируемой из отрезка [a; b],  а y=g(x) является монотонной, тогда имеется число, которое c∈a; b, где получаем справедливое равенство вида ∫abf(x)·g(x)dx=g(a)·∫acf(x)dx+g(b)·∫cbf(x)dx

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Деление смешанных чисел

Следующая статья

Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница, виды интегрируемых функций

• Вычисление определенного интеграла.
  Формула Ньютона-Лейбница
• Вычисление площади фигуры в полярных координатах
• Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой
• Геометрический смысл определенного интеграла. Выражение площади криволинейной трапеции интегралом
• Интегрирование иррациональных функций
• Все темы по математике

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Эссе

Узнать подробнее

Теоретикомножественный и информационный анализ

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  10 января 2023 г.

• Стоимость:

  3 700 руб

Заказать такую же работу

контрольная по математике онлайн

• Вид работы:

  Онлайн-помощь

• Выполнена:

  29 ноября 2022 г.

• Стоимость:

  2 400 руб

Заказать такую же работу

Высшая математика

• Вид работы:

  Онлайн-помощь

• Выполнена:

  23 ноября 2022 г.

• Стоимость:

  2 400 руб

Заказать такую же работу

Практические работы штук

• Вид работы:

  Практическая работа

• Выполнена:

  28 октября 2022 г.

• Стоимость:

  10 600 руб

Заказать такую же работу

Контрольная работа

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  20 октября 2022 г.

• Стоимость:

  2 900 руб

Заказать такую же работу

сделать информационную базу

• Вид работы:

  Практическая работа

• Выполнена:

  10 октября 2022 г.

• Стоимость:

  3 800 руб

Заказать такую же работу

Смотреть все работы по дискретной математике

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы. Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.). Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. n при n целом и положительном § 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23. x, sin x, cos x Упражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента § 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных § 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов § 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6. Интегрирование по частям § 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9. Формула Чебышева § 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII

Свойства определенного интеграла

Результаты обучения

• Использование геометрии и свойств определенных интегралов для их оценки

Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов. 92 f(x) dx[/латекс].

Показать решение

Иногда изображение может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция [latex]f(x)[/latex] находится выше другой функции [latex]g(x)[/latex], то площадь между [latex]f(x)[/latex] ] и ось [latex]x[/latex] больше площади между [latex]g(x)[/latex] и осью [latex]x[/latex]. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, [латекс]аb[/латекс]. Однако следующие свойства относятся только к случаю [латекс]а \le b[/латекс] и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}[/latex] и [latex]g(x)=\sqrt{1+x}[/latex] на интервале [latex][0,1][/latex].

Показать решение

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение примера: сравнение двух функций за заданный интервал.

Скрытые субтитры и расшифровка информации для видео

Свойства определенных интегралов

Дата последнего обновления: 25 марта 2023 г.

•

Всего просмотров: 310,5 тыс.0009

Мы изучим некоторые жизненно важные свойства определенных интегралов и вывод доказательств в этой статье, чтобы получить более глубокое понимание этой концепции.