Свойства показателей степени: Свойства степеней, действия со степенями

Свойства степени с натуральным показателем

Репетиторы ❯ Математика ❯ Свойства степени с натуральным показателем

Автор: Владимир Л., онлайн репетитор по математике

●

20.10.2011

●

Раздел: Математика

I. Произведение степеней с одинаковыми основаниями.

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями всегда можно представить в виде степени с основанием х.

По определению степени х⁷ есть произведение семи множителей, каждый из которых равен х, а х⁹ – произведение девяти таких же множителей.

Следовательно, х⁷ · х⁹ равно произведению 7 + 9 множителей. Каждый из которых равен х, то есть

х⁷ · х⁹ = х⁷⁺⁹ = х¹⁶

Получается, если основание степени а – произвольное число, а m и n – любые натуральные числа, то верно равенство:

a^m · aⁿ = a^m+n

Это равенство выражает одно из свойств степени.

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Это свойство имеет место и в случаях, когда число множителей больше двух.

Например, в случае трёх множителей имеем:

a^m · aⁿ · a^k = (a^m · aⁿ)a^k = a^m+n · a^k = a^m+n+k

При выполнении преобразований удобно пользоваться правилом: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

х⁶ · х⁵ = х⁶⁺⁵ = х¹¹

Пример 2.

а⁷ · а^-8 = а^-1

Пример 3.

6^1.7 · 6^{— 0.9} = 6^{1.7+( — 0.9)} = 6^{1.7 — 0.9} = 6^0.8

II. Частное степеней с одинаковыми основаниями.

Частное двух степеней с одинаковыми показателями всегда можно представить в виде степени с тем же основанием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Частное х¹⁷ : х⁵ можно представить виде степени с основанием х:

х¹⁷ : х⁵ = х¹²

,

так как по определению частного и на основании свойства степени  х⁵ · х¹² = х¹⁷. Показатель степени частного (число 12) равен разности показателей делимого и делителя (17 – 5):

х¹⁷ : х⁵ = х^17-5

Пример 2.  

8 ¹⁶ : 8 ¹² = 8^16-12 = 8⁴

Пример 3.

а^-8 : а⁶ = а ^-8-6 = а^-14

Пример 4.

b⁵ : b^-4 = b^5-(-4) = b⁹         

Пример 5.

9^1.5 : 9^{— 0.5} = 9^{1.5 — (- 0.5)} = 9^{1.5 + 0.5} =  9²

При выполнении преобразований удобно пользоваться правилом: при делении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Пример 6.

а⁴ : а⁴ = а^4-4 = а⁰

Значение выражения а⁰ при всяком а ≠ 0 равно 1.

III. Возведение степени в степень.

Пусть требуется седьмую степень выражения а² представить в виде степени с основанием а.

По определению степени (а²)⁷ есть произведение семи множителей, каждый из которых равен а², то есть

(а²)⁷ = а² · а² · а² × а² · а² · а² · а².

Применяя  свойство степени, получим:

а² · а² · а² · а² · а² · а² · а

2 = а^{2+2+2+2+2+2+2} = a^2·7.

Получается, (а²)⁷ = а^2·7 = а¹⁴.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают:

(а^m)ⁿ = а^mn.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

(4³)⁴ = 4^3·4 = 4¹²

Пример 2.

((-2)²)⁵ = (-2)¹⁰ = 1024

© blog.tutoronline. ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Математика

Курсы по математике 10 класс

Математика

Курсы по математике 9 класс

Математика

Математика 11 класс

Математика

Курсы по геометрии 7 класс

Математика

Курсы по алгебре 7 класс

Математика

Алгебра 8 класс

Математика

Курсы по геометрии 8 класс

Французский язык

Курсы французского языка для начинающих

Свойства степени с рациональным показателем

Похожие презентации:

Свойства степени с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Свойства степени с рациональным показателем. 9 класс

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Степень с рациональным показателем. Определения и свойства степени с рациональным показателем

Свойства степени с рациональным показателем. 10 класс

Степени с рациональными показателями, их свойства

Степень с рациональным показателем.11 класс

Свойства степени с целым показателем

1. Свойства степени с рациональным показателем.

“Пусть кто-нибудь попробует
вычеркнуть из математики
степени, и он увидит, что без
них далеко не уедешь”.

2. Задание на дом.

1. п 34, № 437-440 абв
2. Софизм по теме:
• сформулировать,
• придумать док-во
• разбор софизма

3. Вспомним теорию

1
Вспомним теорию
Арифметическим корнем n – ой степени (n N, n 2) из
неотрицательного числа a называется такое
неотрицательное число, n – я степень которого равна а:
2 n 1
2n
a
2 n 1
a
nk
2n
a
a,
mn
n N
n N
a ,
k
a
m
,
при
a 0
2
1)
m
n
a
Если
n
Степень с рациональным
показателем.
m
0,
n
m Z , n N , a 0;
где
am ,
m
n
a n am
то
a 0.
при
2) При a > 0, b > 0, p и q — рациональные числа:
a a a
p
q
(a ) a
p q
p
a p a
( ) p
b
b
p q
pq
p
a
p q
a
q
a
(ab) a p b p
p
Вспомним теорию
П
О
К
А
ВОЗ ВЕ
А
Т
Е
Л
Ь
Ч
Е
ДЕНИ Е
Т
И
Ы
Н
И О Р
Ц СТ ЕП
Н
А
О
ПР ОИЗ ВЕ ДЕ
А
ДЕ ЛЕ НИЕ
И
Е
По горизонтали:
1.Действие, с помощью которого
вычисляется значение степени
2. Произведение, состоящее из
одинаковых множителей .
3. Действие показателей степеней при
возведении степени в степень .
ЕНЬ
Д
И
НИЕ
И
Ц
А
4. Действие степеней, при которых
показатели степеней вычитаются .
По вертикали:
5. Число всех одинаковых множителей
6. Степень с нулевым показателем .
7. Повторяющийся множитель .
8. Значение 105 : ( 23 • 55 ) .
9. Показатель степени, который обычно не
пишут .

6. Тренировочные упражнения

5
1) Вычислить:
2
3 3 27 9 5
64
3
3
2) Найдите значение выражения
3) Упростить выражение
c c
5
c
1
5
5
=-26,5
6 2 17 5 6 2 17 = -2
=1
4
4) Найдите значение выражения
(
2с
2с
d
d
5) Упростить выражение
2c
2c
d
) (
d
1
2
d
2c
1
3
1
2
2c
)
d
125 8 5 5 49
1
2
6) Упростить выражение
a 2 2 a 1 a 2 2 a 1
2
2
2
2
= 2
=
4
= 7 5 35

7. Дешифратор Фамилия немецкого математика, который ввел термин — “показатель степени”.

Л Т Н Р Ш О Ь И Е Ф К А Д Ю
9\4 9
5 11 -2 4\9 20 5\3 1\3 1
3
8 64 2
1) -81\3 2) 811\2 3) (3\5)-1 4) (5\7)0 5) 27-1\3 6) (2\3)-2 7) 161\2 * 1251\3
Слово: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
-2 9 5/3 1 1/3 9/4 20
ШТ И Ф Е Л Ь

8.

Михаэль ШтифельНемецкий
математик 15-16
века Один из
изобретателей
логарифмов

9. Дешифратор Фамилия французского математика, который ввел современную запись степеней.

Л Т Н Р Ш О Ь И Е Ф К А Д Ю
9\4 9
5 11 -2 4\9 20 5\3 1\3 1
3
8 64 2
1) Х1\3=4 2) у-1= 3 3) ( х+6)1\2 = 3 4) у1\3 =2 5) (у-3)1\3=2 6) а1\2 : а = 1\3
Слово: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
64 1/3 3 8 11 9
Д Е К А Р Т

10. РЕНЕ ДЕКАРТ (17 ВЕК)

11. ЛАБИРИНТ

Вариант 2
Число
-5
0,02
ВАРИАНТ 1
Число
Задание
Задание
Ответ 1
Ответ 40,5
Задания для самостоятельной работы
Вычислить: 1)
2)
3)
4)
5)
2
3) :
3
5( 27
(( 4 2 4 8 ) 2 6)(( 4 2 4 8 ) 2 6)
8 28 8 28
64
5
6
(0,125)
1
3
4
32 2 16
1
1
2
(3 ) 4
0 4
(3 100 23 5 23 2 )( 3 10 3 4 )
Упростить:
6)
3
b b
3
7)
(
0,5а
1
4
(2 а)
3
4
b
2
4
1
4
(2 а) а
2
3
4
) : ( 2а а 2 )
3
4
Проверка
1)
2)
2
5
(
3
3
3
)
3
5( 27 3 ) :
15
3
2
(( 2 8 ) 6)(( 2 8 ) 6)
4
2
4
4
4
2
( 2 8 2 2 8 6)( 2 8 2 2 8 6)
4
4
( 2 8 2)( 2 8 2) ( 2 8 ) 4
2
2 8 2 16 4 14
Проверка
3)
8 28 8 28
1 2 7 7 1 2 7 7 (1 7 ) 2 (1 7 ) 2
1 7 1 7 7 1 1 7 2
4)
5
6
1
3
64 (0,125) 32 2 4 16
5
6
6
(2 )
1
3 3
(0,5 )
4
1
1
2
(30 ) 4 4
3
4
2
2 2 (2 )
5
1 4
1 1
6
5
5
2 ( ) 2 2 4 2 2 2 4 2
2
5
5)
Проверка
3
3
3
3
3
( 100 2 5 2 2 )( 10 4 )
(а аb b )(a b) a b следует
3
3
3
3
( 10 ) ( 4 ) 10 4 6
По формуле
b3 b 2
6)
3
b
4
2
2
2 4
1
3 3
b
3
1
3
b
3
3
b
Проверка
(
7)
0,5а
1
4
(2 а )
1
4
3
4
3
4
1
4
2 0,5a (2 a) (2 a) a
2 (2 a)
3
4
2)
3
4
3
(2 а ) а
) : ( 2а а 2 ) 4
2
1
4
1)
1 a (2 a)
3
4
a (2 a)
3
4
3
4
1
3
4
3
4
1
1
3
4
a (2 a)
3
4
;

English     Русский Правила

правил экспоненты | Математика = Любовь

Ищете идеальное занятие для изучения экспонентных правил или законов экспонент? Вот 9 упражнений по правилам экспоненты, которые я использовал со своими студентами-математиками на протяжении многих лет.

Экспонент Правила Действия

Подробнее о 9 упражнениях по правилам Fun Exponent Rules

Я наткнулся на это упражнение по сопоставлению правил экспоненты в Связывании ресурсов инструктора по алгебре от Марии Андерсен. Он был опубликован Cengage в 2011 году. Я подумал, что он станет идеальным обзором правил экспоненты для моих студентов, изучающих алгебру 2. Я нашел копию упражнения, загруженную в Интернет (страница 7 из … 9).0003

Подробнее об упражнении по сопоставлению правил экспоненты

В феврале 2020 года я создал эту игру для проверки правил экспоненты. В ней учащиеся получают актуальные вопросы ACT из прошлых выпущенных экзаменов и дают учащимся возможность сыграть роль составителя экзамена, создавая хитрые отвлекающие факторы для каждого вопроса. Изначально я разработал эту обзорную игру для своих студентов, изучающих курс математического анализа. Я хотел…

Подробнее об игре «Обзор правил экспоненты» с вопросами ACT и отвлекающими факторами

Это прекрасное задание на показатель взято из книги «Математика для советов колледжей» Рича Барнетта (Авторское право, 1967 г. , AMSCO). Поскольку каждая проблема в задаче на сопоставление включает в себя переменную m и числа 2 и 3, задача действительно выясняет, понимают ли учащиеся роль, которую играют показатели степени и коэффициенты. Это же…

Подробнее о задаче Mmm Exponent Task и Card Sort Activity

Изучив порядок операций, мы заполнили этот графический органайзер негативов и показателей степени в нашей интерактивной тетради Алгебра 1. Я думаю, что в будущем я бы превратил это занятие в своего рода карточку. Я также хотел бы, чтобы у меня было место, где студенты официально записывали разницу между отрицательными …

Подробнее о графическом органайзере негативов и экспонентов

Вот заметки по правилам экспоненты, которые я использовал со своими студентами по алгебре 2. Мы склеили список правил экспоненты в наших интерактивных блокнотах. Каждый год я пытаюсь по-новому пересматривать правила экспоненты. Я дал своим ученикам по алгебре 2 список правил экспоненты. Мы написали сводку слов …

Подробнее о правилах экспоненты Примечания

После создания складной книги правил экспоненты моим ученикам потребовались некоторые практические задачи. Это было идеальное время, чтобы вытащить операцию сортировки карточек с правилами экспоненты. Деятельность по сортировке карт на самом деле подразумевается как игра под названием карута, но мы немного поговорим об игровой версии. Я убедился на собственном опыте…

Подробнее о деятельности по сортировке карточек правил экспоненты и игре карута

Чтобы начать обзор правил экспоненты, мы сыграли в игру с обзором правил экспоненты, которую я нашел в блоге Натана Крафта. Не сообщая ученикам, что мы делаем, я сказал им всем пойти написать свое имя на доске и нарисовать внизу четыре крестика. Первый час, один из моих учеников…

Подробнее об игре «Обзор правил экспоненты» — «Игра недовольства»

Я хочу поделиться складной книгой правил экспоненты, которую мы создали в Алгебре 1, чтобы вклеить ее в наши интерактивные тетради. Мы сделали «пуф-книжку» из одного листа копировальной бумаги. После вчерашней игры в «Игру обид» в качестве обзорной игры, чтобы узнать, что мы помним о правилах экспоненты, мои ученики были…

Подробнее о Складной книге правил экспоненты

Этот складной экспонент был вдохновлен To The Square Inch. Я попросил своих учеников по алгебре 1 создать задачу на показатель степени по своему выбору. Им пришлось проиллюстрировать это на своем экспоненте foldable. Мы обозначили показатель степени, основание и степень как слова нашего словаря. Exponent Foldable Мы приклеили нашу экспоненту foldable в нашей алгебре …

Подробнее о Exponent Foldable

Упрощение выражений переменных с использованием свойств экспоненты II

Результаты обучения

• Упрощение выражений с использованием частного свойства показателей

Упрощение выражений с использованием свойства показателей степени

Ранее в этой главе мы разработали свойства показателей степени для умножения. Мы суммируем эти свойства здесь.

Сводка свойств экспоненты для умножения

Если [latex]a\text{ и }b[/latex] — действительные числа, а [latex]m\text{ и }n[/latex] — целые числа, то 9{m}\hfill \end{array}[/latex]

Теперь посмотрим на свойства экспоненты для деления. Быстрое освежение памяти может помочь, прежде чем мы начнем. Из раздела «Дроби» вы узнали, что дроби можно упростить, выделив общие множители из числителя и знаменателя с помощью свойства «Эквивалентные дроби». Это свойство также поможет нам работать с алгебраическими дробями, которые также являются частными.

Свойство эквивалентных дробей

Если [latex]a,b,c[/latex] — целые числа, где [latex]b\ne 0,c\ne 0[/latex], тогда 9{3}}}\hfill \\ \text{Что они означают?}\hfill & & & \hfill {\Large\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{x\cdot x }}\hfill & & & & & & \hfill {\Large\frac{x\cdot x}{x\cdot x\cdot x}}\hfill \\ \text{Использовать свойство эквивалентных дробей.}\hfill & & & \hfill \frac{\overline{)x}\cdot \overline{)x}\cdot x\cdot x\cdot x}{\overline{)x}\cdot \overline{)x}\cdot 1} \hfill & & & & & & & \hfill \frac{\overline{)x}\cdot \overline{)x}\cdot 1}{\overline{)x}\cdot \overline{)x}\cdot x} \hfill \\ \text{Упростить. {3}\hfill & & & & & & & \hfill {\Large\frac{1}{x}}\hfill\end {массив}[/латекс]

Обратите внимание, что в каждом случае основания были одинаковыми, и мы вычли показатели степени. Итак, чтобы разделить два экспоненциальных члена с одним и тем же основанием, вычтите показатели степени.

• Когда больший показатель был в числителе, у нас остались множители в числителе и [латекс]1[/латекс] в знаменателе, которые мы упростили.
• Когда в знаменателе стоял больший показатель, у нас оставались множители в знаменателе и [латекс]1[/латекс] в числителе, что нельзя было упростить. 9{7}}[/latex]

  Показать решение

   

  попробуйте

  При делении членов, которые также содержат коэффициенты, разделите коэффициенты, а затем разделите переменные степени с тем же основанием, вычитая показатели степени.

  Посмотрите следующее видео, чтобы узнать больше о том, как упростить частное, содержащее показатели степени.

  No related posts.