Свойства степени с одинаковым основанием: Свойства степеней, действия со степенями

Урок 13. Свойства степени с натуральным показателем

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Английский язык
  • Математика

• 3 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика

• 5 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 6 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология

• 7 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 8 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 9 класс

  • Русский язык
  • Английский язык
  • Математика
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 10 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Физика
  • Химия

• 11 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия

7 КЛАСС

Урок 13.

Свойства степени с натуральным показателем

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, а основание переписывают один раз.  Зная результат, можно найти степень второго множителя, вычитанием из 25 показателя степени первого множителя.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.   Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем. Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

При произведении степеней  одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Чётная степень всегда положительна, нечётная степень сохраняет знак основания степени.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем. 

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем. При произведении - показатели складываем.
Подбирайте показатели таким образом, чтобы в результате сложения или вычитания показателей слева получился показатель справа от равно.

Сначала в левой части уравнения применим свойство деления степеней. Затем приравниваем показатели, т. к. основания одинаковые, и решаем линейное уравнение.

Делимое : Делитель = Частное

1) чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
2) чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Используем свойства степени:
1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;
2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.
Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

Используем свойства степени:

1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;

2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

Используем свойства степени:

1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;

2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем. 

Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Применяем все известные свойства степени.

Сначала приведем все к одному основанию степени, затем применим все известные свойства степеней.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Применяем свойства:
1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

Применяем свойства произведения и деления степеней с одинаковым основанием.

Используем свойство возведения степени в степень.

Используем свойства:

1) При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

Применяем свойства:

1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.

2) При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

Примените все известные вам свойства степеней.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Сначала в левой части уравнения упростите выражение с помощью свойств степеней. Затем уравнение можно решить подбором корней.

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Вопрос:

Пары:

Пропуски:

вычитаютумножаютскладываютвычитаютумножаютскладываютвычитаютумножаютскладывают

Последовательности:

7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства. — Возведение в степень .

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы изучим возведение степени в степень. Вначале вспомним определение степени и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковым основанием. Далее будет сформулирована теорема о возведении степени в степень. Затем мы приведем примеры ее использования на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач и будем решать типичные примеры с помощью всех теорем.

 

 

На­по­ми­на­ние:

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a – ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

n – по­ка­за­тель сте­пе­ни,

– n-ая сте­пень числа.

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k, таких, что  n > k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

На этом уроке будет рас­смот­ре­на сле­ду­ю­щая тео­ре­ма.

Тео­ре­ма 3. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность фор­му­лы . До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных n и k.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

 

При­ме­ним тео­ре­му 1:

 

Итак, мы до­ка­за­ли: , где а – любое число, n и k – любые на­ту­раль­ные числа.

Дру­ги­ми сло­ва­ми, чтобы воз­ве­сти сте­пень в сте­пень по­ка­за­те­ли нужно пе­ре­мно­жить, а ос­но­ва­ние оста­вить неиз­мен­ным.

При­мер 1: Упро­стить.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся свой­ством .

а) 

б)

в) 

Ком­мен­та­рий к при­ме­ру 1.

Мы на­пи­са­ли, что , но в то же время , так как .

Ана­ло­гич­но,   .

В ка­че­стве ос­но­ва­ния может быть любое до­пу­сти­мое ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние:

При­мер 2:Упро­стить.

а) 

б) 

При­мер 3: Вы­чис­лить.

а)  

б)  

в) 

г). Ком­мен­та­рий:

д). Ком­мен­та­рий:

е). Ком­мен­та­рий:

При­мер 4: Упро­стить.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров будем поль­зо­вать­ся тео­ре­ма­ми 1, 2, 3.

а) 

б) 

в) 

г)

д) или быст­рее 

е) = 

При­мер 5: Вы­чис­лить:

а)= 

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

 

 

Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

Урок: Умно­же­ние и де­ле­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми

На­по­ми­на­ние:

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a — ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

 n — по­ка­за­тель сте­пе­ни,

— n-ая сте­пень числа.

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n иk спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k, таких, что n > k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 3. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n иk спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Все пе­ре­чис­лен­ные тео­ре­мы были о сте­пе­нях с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми, на этом уроке будут рас­смот­ре­ны сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми.

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие при­ме­ры:

Рас­пи­шем вы­ра­же­ния по опре­де­ле­нию сте­пе­ни.

1) 

2) 

Вывод: из при­ме­ров можно за­ме­тить, что , но это еще нужно до­ка­зать. Сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му и до­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для любых а и b и лю­бо­го на­ту­раль­но­го n.

Тео­ре­ма 4

Для любых чисел а и b и лю­бо­го на­ту­раль­но­го n спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

До­ка­за­тель­ство тео­ре­мы 4.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли, что .

Чтобы пе­ре­мно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, до­ста­точ­но пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния, а по­ка­за­тель сте­пе­ни оста­вить неиз­мен­ным.

Сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му для де­ле­ния сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми.

Тео­ре­ма 5

Для лю­бо­го числа а и b () и лю­бо­го на­ту­раль­но­го n спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

До­ка­за­тель­ство тео­ре­мы 5.

Рас­пи­шем  и по опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

Итак, мы до­ка­за­ли, что .

Чтобы раз­де­лить друг на друга сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, до­ста­точ­но раз­де­лить одно ос­но­ва­ние на дру­гое, а по­ка­за­тель сте­пе­ни оста­вить неиз­мен­ным.

При­мер 1: Пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния сте­пе­ней.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 4.

а) 

б)

в) 

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­ще­го при­ме­ра вспом­ним фор­му­лы:

г) 

д) 

е) 

ж) 

Обоб­ще­ние тео­ре­мы 4:

з) 

и) 

к) 

л) 

При­мер 2: За­пи­ши­те в виде сте­пе­ни про­из­ве­де­ния.

а) 

б) 

в)

г) 

При­мер 3: За­пи­ши­те в виде сте­пе­ни с по­ка­за­те­лем 2.

а)  

б)  

При­мер 4: Вы­чис­лить самым ра­ци­о­наль­ным спо­со­бом.

а) 

б) 

 

Источник конспекта: http://interneturok. ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/vozvedenie-stepeni-v-stepen-formula-a-sup-n-sup-sup-k-sup-a-sup-nk-sup?konspekt&chapter_id=2

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/umnozhenie-i-delenie-stepeney-s-odinakovymi-pokazatelyami?konspekt&chapter_id=2

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=YgxoKBgwok0

Уравнения первой степени, неравенства… Пошаговое решение математических задач

7.1  Уравнения первой степени

  Уравнения первой степени, если их можно записать в виде ax + b = c, где x — переменная, а a, b и c — известные константы, a a!=0. Мы обсуждали методы решения уравнений первой степени в разделе 3.4 и снова в разделе 3.5, когда речь идет о формулах. Кроме того, нахождение решений пропорций, обсуждавшихся в разделах 6.6 и 6.7, включало решение уравнений первой степени.

  Эта тема является одной из самых основных и важных для любого начинающего изучать алгебру и снова представлена ​​здесь для положительного подкрепления и подготовки к решению различных приложений в разделах 7. 3, 7.4 и 7.5.

  У уравнения первой степени с одной переменной существует ровно одно решение. Это утверждение можно доказать методом от противного. Доказательство здесь не приводится. Уравнения, имеющие более одного решения, будут обсуждаться в главах 8, 9 и 10.

Примеры

   Решите следующие уравнения.

  1. 3x+14=x-2(x+1)  Запишите уравнение.
   3x+14=x-2x-2  Используйте распределительное свойство, чтобы удалить скобки.

   3x+14=-x-2  Упрощение.

   4x+14=-2  Прибавьте x к обеим сторонам.

   4x=-16  Добавьте -14 к обеим сторонам.

   x=-4  Поделите обе части на 4.

  2. 1+2x+3-3x=20-x+6x  Запишите уравнение.
   4-x=20+5x  Упрощение.

   4=20+6x  Прибавьте x к обеим сторонам.

   -16=6x  Добавьте -20 к обеим сторонам.

   -8/3=x  Поделить обе части на 6 и уменьшить.

  3. (3x)/4-7=-1  Запишите уравнение.
   (3x)/4=6  Добавьте +7 к обеим сторонам.

   3x=24  Умножьте обе части на 4.

   x=8  Поделите обе части на 3 и уменьшите.

  Поскольку (3x)/4=3/4*x/1=3/4x, мы можем решить такое уравнение, как (3x)/4=6, за один шаг, умножив обе части на 4/3, обратное 3 /4 следующим образом:

   (3x)/4=6

   (4/3*3/4)x=4/3*6

   x=8

  Пример 3 также можно решить, умножив сначала на 4 вместо добавления +7 сначала. Однако в этой процедуре мы должны обязательно умножать каждый член на 4 в обеих частях уравнения.

   (3x)/4-7=-1  Запишите уравнение.
   (3x)/4*4-7*4=-1*4  Умножьте каждое слагаемое на 4.
   3x-28=-4  Упростите.

   3x=24  Добавьте +28 к обеим сторонам.

   x=8  Поделить обе части на 3 и уменьшить.

  Этот последний метод имеет то преимущество, что оставляет только целые коэффициенты и константы. Если дробей больше одной, то каждое слагаемое следует умножить на НОК знаменателей дробей.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу

Пример

    (2x)/5+1/4=-(1/2)

   (2x)/5*20+1/4*20=- (1/2)*20  Умножьте каждое слагаемое на 20 НОК 5, 4 и 2. (15/8)

7,2 Линия действительных чисел и неравенства первой степени

   Мы обсудили целые числа, которые включают целые числа и их противоположности,

  …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4… (целые числа)

   и дроби, образованные с использованием целых чисел в числителе и знаменателе без знаменателя, равного 0. Формальное название таких дробей — рациональные числа. Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде

  a/b  , где a и b — целые числа, а b!=0

   В десятичной форме все рациональные числа можно записать в виде повторяющихся десятичных дробей. Например, 92=4/9

Символ √ называется подкоренным знаком, а число под подкоренным знаком называется подкоренным знаком.

Не все корни являются целыми или рациональными числами. Такие числа, как корень (5), корень (7), корень (39) и -корень (10), называются иррациональными числами. В десятичной форме все иррациональные числа можно записать как неповторяющиеся десятичные дроби. Другие примеры иррациональных чисел:

  корень(2)=1,4142136…  (квадратный корень из 2)
  корень(3,4)=1,5874011…  (кубический корень из 4)
  PI=3,14159265358979…  (пи, отношение длины окружности к диаметру)

  E=2,718281828459045…  (основание натуральных логарифмов)

  Иррациональные числа так же важны, как и рациональные числа, и столь же полезны при решении уравнений, как мы увидим в главе 10. Числовые линии имеют точки, соответствующие как иррациональным, так и рациональным числам (см. рис. 7.1).

  

Рисунок 7.1

  Рассмотрим круг диаметром 1 единицу, катящийся по прямой. Если окружность касается прямой в точке 0, то в какой точке прямой та же самая точка окружности снова коснется прямой?
  Точка будет в PI на числовой прямой, потому что PI — это длина окружности. (См. рис. 7.2.)

  Вместе рациональные и иррациональные числа образуют действительные числа. То есть каждое рациональное число и каждое иррациональное число также является действительным числом. Свойства действительных чисел при сложении и умножении перечислены ниже на рис. 7.2 на стр. 181.

  

  Рис.0002   Для действительных чисел a,b и c,

  

Дополнение	Собственность	Умножение
a+b — действительное число	крышка	a*b — реальное число
а+б=б+а	коммутативный	а*б=б*а
а+(б+в)=(а+б)+в	ассоциативный	а*(б*в)=(а*б)*в
а+0=а	личность	*1=
а+(-а)=0	обратный	а*1/а=1 (а!=0)

  Распределительное свойство: a(b+c)=ab+ac

  Числовые линии теперь называются линиями действительных чисел, потому что для каждого действительного числа есть одна соответствующая точка на линии, и для каждой точки на линии есть одно соответствующее действительное число.

  Теперь нас интересует решение неравенств первой степени и графическое отображение их решений на прямой с действительными числами. Неравенство, которое можно записать в виде ac+bor ax + b <= c, где x — переменная, a, b, c — константы, a!=0, называется неравенством первой степени.
Решение неравенства, такого как 2x + 1 < 7, похоже на решение уравнения первой степени. Цель состоит в том, чтобы найти эквивалентное неравенство (с теми же решениями), но более простое по форме.

    2x+1<7

    2x+1-1<7-1

    2x<6

    (2 x)/2<6/2

    x<3

    Заштрихованы все действительные числа меньше 3 , Незакрашенный кружок вокруг цифры 3 означает, что цифра 3 не включена в график.

  Важным различием между решением уравнений и решением неравенств является умножение или деление на отрицательные числа. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число меняет смысл неравенства на противоположный; «меньше чем» становится «больше чем» и наоборот. Например (стрелки указывают, где неравенство меняется на противоположное)

  Решение неравенства первой степени зависит от следующей аксиомы:

  1. Если к обеим частям неравенства добавить ненулевую константу, новое неравенство эквивалентно исходному неравенству.

   2. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на положительную константу, новое неравенство того же смысла эквивалентно исходному неравенству.

   3. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательную константу, новое неравенство противоположного смысла эквивалентно исходному неравенству.

Примеры

   Решите следующие неравенства и нарисуйте решения

  1. 5x+4<=-1  Запишите неравенство.

   5x+4-4<=-1-4  Добавьте -4 к обеим сторонам.

   5x<=-5  Упрощение.

   (5x)/5<=-5/5  Поделите обе части на 5.

   x<=-1  Упростите.

     (Примечание: сплошная точка означает -1 включено. )

Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу  1>=3-3x

     1-3>=3 -3x-3

     -2>=-3x

     -2/-3<=(-3x)/-3

     2/3<=x 9000 5

      

   Альтернативная процедура.

      x+1>=3-2x

     x+1+2x>=3-2x+2x

     3x+1>=3

     3x+1-1>=3-1

     3x>=2

     (3x)/3>=2/3

     x>=2/3  Обратите внимание, что два неравенства, 2/3<=x и x>=2/3, идентичны по смыслу.

   Мы также можем использовать числовую прямую для построения графика чисел, удовлетворяющих более чем одному неравенству. Например, 3 < x < 4 говорит, что x меньше 4 и больше 3. Также x>=2 или x < 0 говорит, что x больше или равно 2 или меньше 0. Графики этих неравенств приведены ниже в качестве примеров.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решите похожую задачуВведите свою задачу

Примеры

   Нарисуйте решения каждого из следующих неравенств

  1. 3 < x < 4  

  2. x>=2 или x<0  

   ( Затенение круга вокруг 2 означает, что 2 включено.)

  3. который вы решаете Конкретная проблема зависит от многих факторов, включая ваш личный опыт и общие способности к рассуждению. Например, предположим, что вам дали следующую задачу:

  «Автомобиль проезжает 170 миль за 3 часа. Какова была средняя скорость?»
  В задаче прямо не говорится о УМНОЖЕНИИ, ДЕЛЕНИИ, СЛОЖЕНИИ или ВЫЧИТАНИИ. Вы должны знать, что скорость, умноженная на время, равна расстоянию или r*t=d. Вам дано расстояние (170 миль) и время (3 часа). Вам нужно найти среднюю скорость. Инструмент, который вам нужен, — это формула r*t=d.
Пусть r = средняя скорость. Тогда

  3*r=170

  r=56*2/3 миль в час

Пример 1: Расстояние

   Мужчина уезжает в командировку, а в это же время его жена везет детей к бабушке и дедушке. Автомобили, движущиеся в противоположных направлениях, через 3 часа находятся на расстоянии 360 миль друг от друга. Если средняя скорость мужчины на 10 км/ч больше, чем у его жены, какова ее средняя скорость?

  Позвольте x = средняя скорость жены

  скорость*время=расстояние

  

Жена	х	3	3x
человек	(х+10)	3	3(х+10)

  

  

расстояние для жены	+	расстояние для человека	=	расстояние друг от друга
3x	+	3(х+10)	=	360

  3x+3x+30=360

  6x=330

  x=55 миль в час

  Средняя скорость жены 55 миль в час

Пример 2: Расстояние

   Два поезда, A и B, находятся на расстоянии 540 километров друг от друга и движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Поезд А движется со скоростью 40 км/ч, а поезд В — со скоростью 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

  Позвольте x = время

  скорость*время=расстояние

поезд А	40	х	40x
поезд Б	50	х	50x

  

  40x+50x=540

  90x=540

  x=6 часов

900 02   Поезда встретятся через 6 часов.

Пример 3: Геометрия

  Прямоугольник с периметром 140 метров имеет длину, которая на 20 метров меньше, чем удвоенная ширина. Найдите размеры прямоугольника.

  Нарисуйте диаграмму и используйте формулу P=2l+2w.

  Let  w= ширина

  2w-20= длина

  

  2(w)+2(2w-20)=140

9000 2   2w+4w-40=140

  6w=180

  w=30 метров

  2w-20=40 метров

  Ширина 30 метров, длина 40 метров.

7.4  Заявки (проценты, работа)

  Люди в бизнесе знают несколько формул, включающих основную сумму (сумма вложенных денег), ставку (процент или процентная ставка) и процент (фактическая прибыль или полученный процент). Эти формулы могут зависеть от таких связанных тем, как способ выплаты процентов по кредиту (ежемесячно, ежедневно, ежегодно и т. д.), предусмотрены ли штрафы за досрочное погашение кредита или оговорки о повышении, если инвестиции особенно важны. прибыльный.

  В этом разделе мы будем использовать только основную формулу, которая вычисляет проценты на годовой основе: P * R = {Iota}, или основная ставка, умноженная на проценты.

Пример 1: Проценты

  Человек инвестирует в определенную облигацию с доходностью 9%, а затем вкладывает 500 долларов в акции с высоким риском, доходность которых составляет 12%. Через год его общий процент от двух инвестиций составляет 240 долларов. Какую сумму он вложил в облигацию?

  Пусть основная сумма вложена в размере 9%.

  основная*ставка=проценты

  

облигация	P	0,09	0.09P
акции высокого риска	500	0,12	0,12(500)

проценты по облигации	+	проценты на акции	=	общий доход
0.09P	+	0,12(500)	=	240

  0,09P+60=240

  0,09P=180

  (0,09P)/(0,09)=(180)/(0,09) 9000 5

  P=2000$

  Он вложил 2000$ в облигацию с доходностью 9% интерес.

Пример 2: Проценты

  У женщины есть 7000 долларов. Она решает разделить свои средства на две инвестиции. Один дает процентную ставку 6%, а другой 10%. Если она хочет, чтобы годовой доход от инвестиций составлял 580 долларов, как ей разделить деньги?

  Поскольку мы знаем, что общая сумма инвестиций составляет 7000 долларов, если одна инвестиция равна х долларов, то другая должна быть равна 7000-х долларов.

  Позвольте  x = сумма инвестиций под 10%
      7000 — x = сумма инвестиций под 6% 0005

10% инвестиции	х	0,10	0,10x
6% инвестиции	(7000-х)	0,06	0,06(7000-х)

проценты на 10% инвестиции	+	проценты на 6% инвестиции	=	общий доход
0,10x	+	0,06(7000-х)	=	580

  10x+6(7000-x)=5800  Умножьте каждое слагаемое на 100, чтобы убрать десятичные дроби.

  10x+42000-6x=5800

  4x=16000

  x=4000$@10%

  7000-x=300$ 0@6%

  Она должна инвестировать 4000 долларов под 10% и 3000 долларов под 6%.

  Задачи, связанные с «работой», могут быть очень сложными и требуют вычислений и физики. Проблемы, которые нас будут интересовать, связаны со временем, затрачиваемым на выполнение работы по конкретному заданию. Эти проблемы связаны только с представлением о том, какая часть работы выполняется за единицу времени (часы, минуты, дни, недели и т. д.). Например, если человек может вырыть канаву за 4 часа, какую часть (работы по копке канавы) он сделал за один час? Ответ: 1/4. Если бы работа заняла 5 часов, он сделал бы 1/5 за один час. Если бы работа заняла x часов, он сделал бы 1/x за один час.

Пример 3: Работа

  Майк может почистить семейный бассейн за 2 часа. Его младшая сестра Стейси может сделать это за 3 часа. Если они будут работать вместе, сколько времени им понадобится, чтобы очистить бассейн?

  Позвольте x = количество часов совместной работы

	часов	часть в 1 час
Майк	2	1/2
Стейси	3	1/3
вместе	х	1/х

часть выполнена Майком за 1 час	+	часть сделана за 1 час Стейси	=	часть делается за 1 час вместе
1/2	+	1/3	=	1/х

  1/2(6x)+1/3(6x)=1/x(6x)  Умножьте каждый член в обеих частях уравнения на 6-кратный НОК знаменателей.

  3x+2x=6

  5x=6

  x=6/5ч

  Вместе они могут очистить бассейн за 6/5 часов или 1 час 12 минут.

Пример 4: Работа

  Мужчине сказали, что его новый бассейн с джакузи наполнится через впускной клапан за 3 часа. Он понял, что что-то не так, когда бассейн наполнился за 8 часов. Он обнаружил, что оставил сливной клапан открытым. Сколько времени потребуется, чтобы осушить бассейн?

  Позвольте t = время слить бассейн.

  (Примечание: в этом случае впускной и выпускной клапаны работают против друг друга.)

  

	часов	часть в 1 час
вход	3	1/3
выход	т	1/т
вместе	8	1/8

часть, заполненная входом	-	часть опорожняется выпускным отверстием	=	заполненная часть
1/3	—	1/т	=	1/8

  1/3(24t)-1/t(24t)=1/8(24t)

  8t-24=3t

  5t=24

  t=24/5

  Бассейн будет сливаться через 24/5 часов или 4 часа 48 минут.

7.5  Применения (Смесь, Неравенства)

   Задачи, связанные со смесями, встречаются в физике и химии, а также в таких местах, как кондитерская или табачная лавка. Необходимо смешать два или более предметов с различным процентным содержанием химического вещества, такого как соль, хлор или антифриз; или два или более видов табака должны быть смешаны для получения конечной смеси, которая удовлетворяет определенным условиям процентной концентрации.

  Основной план состоит в том, чтобы написать уравнение, которое имеет дело только с одной частью смеси. Следующие примеры объясняют, как это можно сделать.

Пример 1: Смесь

  Для конкретного химического эксперимента требуется 10% раствор кислоты. Если у лаборанта есть 9 унций 5% раствора, сколько кислоты нужно добавить, чтобы получить 10% раствор? (Подсказка: напишите уравнение, которое имеет дело только с количеством кислоты.)

  Позвольте x = количество добавляемой кислоты.

  количество раствора ⋅ процент кислоты = количество кислоты

  

исходный раствор	9	0,05	0,05(9)
добавленный раствор	х	1,00	1,00(х)
окончательный раствор	(х+9)	0,10	0,10(х+9)

 

кислота в 9 унциях	+	добавлена ​​кислота	=	кислота в конечном растворе
0,05(9)	+	1,00(х)	=	0,10(х+9)

  5(9)+100(x)=10(x+9)

  45+100x=10x+90  Умножить каждый член на 100.

  90 х=45

  х=45/90

  х =0,5 унции кислоты

Чек:

  

кислота в 9 унциях	+	добавлена ​​кислота	=	кислота в конечном растворе
0,05(9)	+	0,5	=	0,10(0,5+9)

  0,45+0,5=0,10(9,5)

  0,95=0,95

  10% раствор можно получить, добавив 0,5 унции кислоты.

Пример 2: Смесь

  Сколько галлонов 20% раствора соли нужно смешать с 30% раствором соли, чтобы получить 50 галлонов 23% раствора? (Подсказка: напишите уравнение, которое имеет дело только с количеством соли.)

  Позвольте  x количество 20% раствора  Примечание: Поскольку общее количество галлонов известно. одна сумма находится путем вычитания другой суммы из общей суммы.
  50-x = количество 30% раствора

  количество раствора ⋅ процент соли = количество соли

20% раствор	х	0,20	0,20x
30% раствор	50-х	0,30	0,30(50-х)
23% раствор	50	0,23	0,23(50)

 

Соль в 20% растворе	+	Соль в 30% растворе	=	Соль в 23% растворе
0,20x	+	0,30(50-х)	=	0,23(50)

  20x+30(50-x)=23(50)

  20x+1500-30x=1150

  -10x=1150-1500 90 005

  -10x=-350

  x=35 гель 20% раствор

Чек:

Соль в 20% растворе	+	Соль в 30% растворе	=	Соль в 23% растворе
0,20(35)	+	0,30(50-35)	=	0,23(50)

  7,0+0,30(15)=11,5

  7,0+4,5=11,5

  11,5=11,5

  К 15 галлонам 30% раствора нужно добавить 35 галлонов 20% раствора.

  Следующий пример с использованием неравенств не требует пояснений. Внимательно изучите его.

Пример 3: Неравенства

  Студент-физик имеет оценки 85, 98, 93 и 90 на четырех экзаменах. Если он должен в среднем 90 или лучше, чтобы получить пятерку за курс, Какие баллы он может получить на выпускном экзамене и получить пятерку?

  Пусть x = балл на выпускном экзамене.

  (Среднее значение находится путем сложения баллов и деления на 5.)

  (85+98+93+90+x)/5>=90

  (366+x)/5>=90

  

  366+x>=450

  x>=450-366

  x>=84

  пятёрка по физике.

Правильные многоугольники — Свойства

Многоугольник

Многоугольник представляет собой плоскую форму (двумерную) с прямыми сторонами. Примеры включают треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее.

Обычный

«Правильный многоугольник» имеет: все стороны одинаковые и все углы равны. В противном случае неправильный .

Обычный пятиугольник   Неправильный пятиугольник

Здесь мы рассматриваем только правильных многоугольников .

Свойства

Итак, что мы можем знать о правильных многоугольниках? Прежде всего, мы можем работать с углами.

Внешний уголок Внешний угол — это угол между любой стороной фигуры, и линия, продленная с соседней стороны.

Все внешние углы многоугольника в сумме дают 360°, поэтому:

Каждый внешний угол должен быть равен 360°/n

(где n — количество сторон)

900 02  

Нажмите кнопку воспроизведения кнопку, чтобы увидеть.

Угол внешний
(правильного восьмиугольника)

Пример.

Каков внешний угол правильного восьмиугольника?

 

Восьмиугольник имеет 8 сторон, поэтому:

Внешний угол = 360° / n

= 360° / 8

= 45°

90 160

Внутренние уголки Внутренний угол и Внешний угол измеряются от одной линии, поэтому их в сумме дают 180° .

Внутренний угол = 180° − Внешний угол

Мы знаем Внешний угол = 360°/n , поэтому:

Внутренний угол = 180° − 360°/n

Которые можно переставить следующим образом:

Внутренний угол = 180° − 360°/n

 = (n × 180°/n) − (2 × 180°/n)

  = (n−2) × 180°/n

Таким образом, у нас также есть это:

Внутренний угол = (n−2 ) × 180° / n

 

Пример. Каков внутренний угол правильного восьмиугольника?

У правильного восьмиугольника 8 сторон, поэтому:

Внешний угол = 360 ° / 8 = 45°

Внутренний угол = 180° − 45° = 135°

Внутренний угол
(правильного восьмиугольника) 91 202

Или мы могли бы использовать:

Внутренний угол = (n − 2) × 180° / n

= (8−2) × 180° / 8

= 6 × 180° / 8

= 135° внешние углы правильного шестиугольника?

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, значит:

Внешний угол = 360 ° / 6 = 60°

Внутренний угол = 180 ° − 60° = 120°

А теперь некоторые имена:

«Окружность, вписанная окружность, радиус и апофема.

..»

Звучит довольно музыкально, если повторить несколько раз, но это всего лишь названия «внешней» и «внутренней» окружностей (и каждого радиуса), которые можно нарисовать на многоугольнике вот так:

 

«Внешний» круг называется описывает окружность и соединяет все вершины (угловые точки) многоугольника.

Радиус описанной окружности также равен радиусу многоугольника.

 

«Внутренняя» окружность называется вписанной окружностью , и она касается каждой стороны многоугольника в своей средней точке.

Радиус вписанной окружности равен апофеме многоугольника.

 

(этими свойствами обладают не все многоугольники, но треугольники и правильные многоугольники).

Разбиение на треугольники

Мы можем многое узнать о правильных многоугольниках, разбив их на треугольники следующим образом:

Обратите внимание, что:

• «основание» треугольника — это одна сторона многоугольника.
• «высота» треугольника является «Апофемой» многоугольника

Теперь площадь треугольника равна половине основания, умноженному на высоту, поэтому:

Площадь одного треугольника = основание × высота / 2 = сторона × апофема / 2

Чтобы получить площадь всего многоугольника, просто добавьте площади всех маленьких треугольников (n из них):

Площадь многоугольника = n × сторона × апофема / 2

А поскольку периметр равен всем сторонам = n × сторона, мы получаем:

Площадь многоугольника = периметр × апофема / 2

Меньший треугольник

Разрезав треугольник пополам, мы получим:

(Примечание: углы указаны в радианах, а не в градусах)

 

Маленький треугольник прямоугольный, поэтому мы можем использовать найти как сторона , радиус , апофема и n (число сторон) связаны:

sin(π/n) = (сторона/2) / радиус		Сторона = 2 × радиус × sin(π/n)
cos(π/n) = Апофема / Радиус		Апофема = Радиус × cos(π/n)
tan(π/n) = (Сторона/2) / Апофема		Сторона = 2 × Апофема × тангенс (π/n)

Таких отношений гораздо больше (большинство из них просто «перестановки»), но пока что хватит и этих.

Другие формулы площади

Мы можем использовать это для вычисления площади, когда мы знаем только Апофему:

Площадь малого треугольника = ½ × Апофема × (Сторона/2) Формула выше), что:

Сторона = 2 × Апофема × тангенс (π/n)

Итак:

Площадь малого треугольника = ½ × apothem × (apothem × tan (π/n))

= ½ × apothem ² × tan (π/n)

, и есть 2 такие треугольные весь многоугольник :

Площадь многоугольника = n × Apothem ² × tan(π/n)

Когда мы не знаем Apothem, мы можем использовать ту же формулу, но переработанную для радиуса или для Сторона:

Площадь многоугольника = ½ × n × радиус ² × sin(2 × π/n)

Площадь многоугольника = ¼ × n × сторона ² / tan(π/n)

Таблица значений

А вот таблица сторон, апофем и площадей в сравнении с радиусом «1», используя формулы, которые мы разработали:

Тип	Имя, когда Обычный	стороны (н)	Форма	Внутренний уголок	Радиус	Боковой	Апофема	Район
Треугольник (или Тригон)	Равносторонний Треугольник	3		60°	1	1,732 (√3)	0,5	1,299 (¾√3)
Четырехугольник (или Тетрагон)	Площадь	4		90°	1	1,414 (√2)	0,707 (1/√2)	2
Пентагон	Обычный Пентагон	5		108°	1	1,176	0,809	2,378
Шестигранник	Обычный Шестигранник	6		120°	1	1	0,866 (½√3)	2,598 ((3/2)√3)
Семиугольник (или септагон)	Обычный Семиугольник	7		128,571°	1	0,868	0,901	2,736
Октагон	Обычный Октагон	8		135°	1	0,765	0,924	2,828 (2√2)
. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт