Свойства умножения матриц: определение, свойства и примеры решения задач

определение, свойства и примеры решения задач

Содержание:

• Определение
• Свойства произведения матриц

Определение

Произведением матрицы $A_{m \times n}$ на матрицу $B_{n \times k}$ называется матрица $C_{m \times k}$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $c_{ij}$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Замечание

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Пример

Задание. Вычислить $AB$ и $BA$, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right) $

Решение. Так как $ A=A_{3 \times 2} $ , а $ B=B_{2 \times 2} $ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C=C_{3 \times 2} $ , а это матрица вида $ C=\left( \begin{array}{ll}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right) $ .

Вычислим элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{32}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right)_{3 \times 2} \cdot \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{ccc}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $

Найдем теперь произведение $ D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2} $. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $ A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

1. Ассоциативность $ (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) $
2. Ассоциативность по умножению $ (\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B) $
3. Дистрибутивность $ A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$, $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C $,
4. Умножение на единичную матрицу $ E_{m} \cdot A_{m \times n}=A_{m \times n} \cdot E_{n}=A_{m \times n} $
5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $ A B \neq B A $
6. $ E A=A $

Читать дальше: транспонирование матрицы.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Автор Ольга Андрющенко На чтение 7 мин. Просмотров 5.6k. Опубликовано 10 октября 2021

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Объяснение урока: Свойства умножения матриц

В этом объяснении мы научимся определять свойства матрицы умножение, включая транспонирование произведения двух матриц, и как они соотносятся со свойствами умножения чисел.

Чтобы начать обсуждение свойств умножения матриц, начнем напомнив определение общей матрицы.

Определение: умножение матриц

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 и что 𝐵 — матрица с порядок 𝑛×𝑝 такой, что 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎… 𝑎𝑎𝑎… 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎… 𝑎⎞⎟⎟⎠, 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏… 𝑏𝑏𝑏… 𝑏 ⋱ ⋮ 𝑏𝑏… 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Тогда произведение матрицы равно 𝐶 с порядком 𝐶 𝑚×𝑝, с формой 𝐴𝐵=⎛⎜⎜⎝𝑐𝑐…𝑐𝑐𝑐…𝑐⋮⋮⋱⋮𝑐𝑐…𝑐⎞⎟⎟⎠, где каждая запись 𝑐 представляет собой попарную сумму записи от 𝐴 и 𝐵 предоставлены 𝑐=𝑎𝑏=𝑎𝑏+⋯+𝑎𝑏.

Уже должно быть очевидно, что умножение матриц — это операция, является гораздо более строгим, чем его реальный числовой аналог. Во-первых, мы знаем что произведение матриц 𝐴𝐵 может существовать только в том случае, если 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, что означает, что количество столбцов в 𝐴 должно совпадать с количеством строк в 𝐵.

Следует также учитывать, что многие свойства, применимые к умножение действительных чисел не применяется к матрицам. Например, для любого два действительных числа 𝑎 и 𝑏, мы имеем 𝑎𝑏=𝑏𝑎.

Это известно как свойство коммутативности .

Если бы умножение матриц также было коммутативным, это означало бы, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴 для любых двух матриц 𝐴 и 𝐵. Предполагая, что 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то вычисление 𝐵𝐴 будет означает попытку объединить матрицу с порядком 𝑛×𝑝 и матрица порядка 𝑚×𝑛. Это означает, что 𝐵𝐴 корректно определено только в том случае, если 𝑚=𝑝. Сразу же это показывает нам, что умножение матриц не всегда может быть коммутативным по той простой причине, что обратный порядок не всегда может быть возможный.

Предположим, что у нас была ситуация, когда 𝑚=𝑝. Рассмотрим две матрицы 𝐴=2310809,𝐵=−6−45104.

Так как 𝐴 является матрицей 2×3 и 𝐵 — матрица 3×2, произведение 𝐴𝐵 существует и является матрицей 2×2. Продемонстрируем вычисление первой записи, где мы вычислили 2⋅(−6)+3⋅5+10⋅0=3. Мы можем продолжить это обработайте другие записи, чтобы получить следующую матрицу: 𝐴𝐵=2310809−6−45104=335−484.

Однако теперь рассмотрим умножение в обратном направлении (т.е. 𝐵𝐴). Поскольку 𝐵 — матрица 3 × 2 и 𝐴 — матрица 2×3, результатом будет Матрица 3×3. Для первой записи имеем где мы вычислили (−6)⋅2+(−4)⋅8=−44. Повторение этого процесса для остальных записей получаем 𝐵𝐴=−6−451042310809=−44−18−9618155932036.

Итак, хотя и 𝐴𝐵, и 𝐵𝐴 в порядке определены, две матрицы имеют порядок 2 × 2 и 3×3 соответственно, а это означает, что они не могут быть равны. В на самом деле, единственная ситуация, в которой приказы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 может быть равно, когда 𝐴 и 𝐵 являются квадратными матрицами одного порядка (т. е. когда 𝐴 и 𝐵 оба имеют порядок 𝑛×𝑛). Однако даже в этом случае нет гарантии, что 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 будет равно. Это общее свойство матрицы умножение, которое мы сформулируем ниже.

Свойство: некоммутативность матричного умножения

Если 𝐴 и 𝐵 матрицы порядков 𝑚×𝑛 и 𝑛×𝑚 соответственно, то обычно 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Другими словами, умножение матриц является некоммутативным .

Заметим, что хотя возможно, что матрицы могут коммутировать при определенных условиях, как правило, это не так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров, чтобы продемонстрировать некоммутативность матрицы умножение. В первом примере определим произведение двух квадратных матриц в обоих направлениях и сравнить их результаты.

Пример 1. Вычисление произведения двух матриц в обоих направлениях

Учитывая, что 𝐴=−422−4,𝐵=−3−3−11, найти 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴.

Ответ

В этом примере мы хотим определить матричное умножение двух Матрицы 2×2 в обоих направлениях.

Поскольку и 𝐴, и 𝐵 имеют порядок 2×2, их произведение в любом направлении будет иметь заказ 2×2. Рассмотрим расчет первый элемент матрицы 𝐴𝐵. У нас есть

, где мы вычислили (−4)⋅(−3)+2⋅(−1)=10. Мы продолжайте делать это для каждой записи 𝐴𝐵, что дает нам следующую матрицу: 𝐴𝐵=−422−4−3−3−11=1014−2−10.

Осталось вычислить 𝐵𝐴, что мы и можем сделать, поменяв местами матрицы вокруг, давая нам 𝐵𝐴=−3−3−11−422−4=666−6.

Заметим, что 𝐴𝐵 не равно 𝐵𝐴, означает, что в этом случае умножение не коммутирует.

Рассмотрим другой пример, где мы проверяем, меняется ли порядок умножение матриц дает тот же результат.

Пример 2. Проверка коммутативности умножения двух матриц

Рассмотрим матрицы 2×2 𝐴=1100 и 𝐵=0101. 𝐴𝐵=𝐵𝐴?

Ответ

В этом примере мы хотим определить матричное умножение двух Матрицы 2×2 в обоих направлениях для проверки коммутативность матричного умножения.

Вычисление умножения в одном направлении дает нам 𝐴𝐵=11000101=0200.

Между тем вычисление в другом направлении дает нам 𝐵𝐴=01011100=0000.

Если мы рассмотрим запись (1,2) обоих матрицы, мы видим, что 2 ≠ 0, что означает, что две матрицы не равны. Следовательно, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Увидев два примера, где умножение матриц не является коммутативным, мы могли бы задаться вопросом, существуют ли матрицы, которые коммутируют друг с другом. Напомним конкретный класс матриц, для которых это может иметь место.

Определение: диагональная матрица

Предположим, что 𝐴=𝑎 — квадратная матрица (т.е. матрица порядка 𝑛×𝑛). Тогда 𝐴 — диагональная матрица если все записи вне главной диагонали равны нулю, или, другими словами, если 𝑎=0 для 𝑖≠𝑗. То есть матрицы такого типа имеют следующий вид: 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎0⋯00𝑎⋯0⋮⋱⋮00⋯𝑎⎞⎟⎟⎠.

В случаях 2×2 и 3×3 (которые мы будем преимущественно рассматривать в этом объяснении), диагональные матрицы принимают формы 𝐴=𝑎00𝑎,𝐴=𝑎000𝑎000𝑎.

Теперь в следующем примере мы покажем, что хотя умножение матриц некоммутативна вообще, на самом деле она коммутативна для диагональных матриц.

В в частности, мы будем рассматривать диагональные матрицы 2×2.

Пример 3: Проверка утверждения о коммутативности матриц

Верно или неверно: если 𝐴 и 𝐵 оба матрицы 2×2, то 𝐴𝐵 никогда не бывает одинаковым как 𝐵𝐴.

Ответ

В этом примере мы хотим определить, является ли утверждение относительно возможность коммутативности при умножении матриц истинна или ложна.

Чтобы доказать, что утверждение ложно, нам нужно найти только один пример, где это не держится. Для этого рассмотрим два произвольных диагональные матрицы 𝐴 и 𝐵 (т.е. матрицы, у которых все недиагональные элементы равны нулю): 𝐴=1002, 𝐵=300−1.

Вычисление 𝐴𝐵, находим 𝐴𝐵=1002300−1=300−2.

Далее, если мы вычислим 𝐵𝐴, мы найдем 𝐵𝐴=300−11002=300−2.

Таким образом, поскольку обе матрицы имеют одинаковый порядок и все их элементы равны, имеем 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Это доказывает, что утверждение неверно: 𝐴𝐵 может быть таким же, как 𝐵𝐴.

Продемонстрированное выше явление не является уникальным для матриц 𝐴 и 𝐵 мы использовали в примере, и мы можем на самом деле обобщить этот результат, чтобы сделать утверждение о всех диагональных матрицы.

Свойство: коммутативность диагональных матриц

Если 𝐴 и 𝐵 обе диагональные матрицы с порядка 𝑛×𝑛, то две матрицы коммутируют. В другими словами, 𝐴𝐵=𝐵𝐴.

Чтобы доказать это для случая 2×2, рассмотрим два диагональные матрицы 𝐴 и 𝐵: 𝐴=𝑎00𝑎,𝐵=𝑏00𝑏.

Тогда их произведения в обоих направлениях равны 𝐴𝐵 =  𝑎00𝑎𝑏00𝑏𝐵𝐴 = 𝑏00𝑏𝑎00𝑎 = 𝑎𝑏00𝑎𝑏, = 𝑏𝑎00𝑏𝑎. 

Таким образом, 𝐴𝐵=𝐵𝐴 для любых двух 2×2 диагональные матрицы. Обратите внимание, что произведение двух диагональных матриц всегда приводит к диагональной матрице, где каждая диагональная запись является произведением два соответствующих диагональных элемента из исходных матриц. Таким образом, легко представить, как это может быть расширено за пределы 2×2 кейс.

Важно отметить, что это свойство выполняется только тогда, когда обе матрицы являются диагональными. Например, рассмотрим две матрицы 𝐴=700−3,𝐵=−10583, где 𝐴 — диагональная матрица, а 𝐵 — не диагональная матрица. В данном случае мы находим, что 𝐴𝐵=−7035−24−9,𝐵𝐴=−70−1556−9.

Таким образом, хотя диагональные элементы в конечном итоге равны, недиагональные записи не являются, поэтому 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Несмотря на то, что свойство коммутативности может выполняться не для всех диагональные матрицы в паре с недиагональными матрицами, на самом деле существуют определенные типы диагональных матриц, которые могут коммутировать с любой другой матрицей того же заказ. Давайте рассмотрим частный случай этого: идентификационная матрица .

Определение: Единичная матрица

Единичная матрица (также известная как единичная матрица) представляет собой диагональную матрицу, в которой все диагональных элементов равны 1. Другими словами, единичные матрицы принимают вид 𝐼=⎛⎜⎜⎝10⋯001⋯0⋮⋱⋮00⋯1⎞⎟⎟⎠, где 𝐼 обозначает единичную матрицу порядка 𝑛×𝑛 (если размер указывать не нужно, Вместо этого часто используется 𝐼).

В большинстве случаев, которые мы будем рассматривать, единичные матрицы принимать формы 𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠.

Ключевое свойство единичных матриц состоит в том, что они коммутируют с любой матрицей 𝐴 того же порядка. Однако у них есть и более мощное свойство, которое мы продемонстрируем в следующем примере.

Пример 4. Расчет матричных произведений с использованием единичной матрицы

Учитывая, что 𝐴=−14−111 и 𝐼 является единичной заказать как 𝐴, найти 𝐴×𝐼 и 𝐼×𝐼.

Ответ

Напомним, что единичная матрица — это диагональная матрица, в которой все диагональные записей 1. Учитывая, что 𝐴 является Матрица 2 × 2 и что единичная матрица имеет размер того же порядка, что и 𝐴, поэтому 𝐼 является Матрица 2 × 2 вида 𝐼=1001.

Нас попросили найти 𝐴×𝐼 и 𝐼×𝐼, поэтому давайте найдем их, используя матрицу умножение. Во-первых, у нас есть 𝐴×𝐼=−14−1111001=−14−111=𝐴.

Далее имеем 𝐼×𝐼=10011001=1001=𝐼.

Итак, мы показали, что 𝐴×𝐼=𝐴 и 𝐼×𝐼=𝐼.

Последний пример показал, что произведение произвольной матрицы на тождественная матрица привела к той же самой матрице и что произведение единичная матрица сама с собой была также единичной матрицей. В самом деле, если бы мы вычислив 𝐼𝐴, мы бы точно так же обнаружили, что 𝐼×𝐴=1001−14−111=−14−111=𝐴.

Таким образом, 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴 означает, что не только матрицы коммутировать, но произведение также равно 𝐴 в обоих случаях.

Можно заметить, что это свойство похоже на свойство числа 1. (иногда называемое мультипликативным тождеством). Для действительных чисел, а именно для любого действительного числа 𝑎 мы имеем 𝑎⋅1=1⋅𝑎=𝑎.

На самом деле это свойство работает почти так же для идентификации матрицы.

Свойство: Мультипликативное тождество для матриц

Единичная матрица 𝐼 является мультипликативной идентичностью для умножение матриц. То есть для любой матрицы 𝐴 порядка 𝑚×𝑛, тогда 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴, где 𝐼 и 𝐼 — 𝑛×𝑛 и 𝑚×𝑚 единичные матрицы соответственно.

Отметим, что использованные выше порядки единичных матриц выбраны чисто так. что умножение матриц корректно определено. В случае, если 𝐴 — квадратная матрица, 𝑚=𝑛, поэтому 𝐼=𝐼.

Докажем это свойство для случая 2×2 следующим образом: учитывая общую матрицу 2 × 2 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎.

Если мы вычислим произведение этой матрицы на единичную матрицу 𝐼, мы находим, что 𝐴𝐼=𝑎𝑎𝑎𝑎1001=𝑎𝑎𝑎𝑎=𝐴.

vers

vers 𝐼𝐴 = 1001𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐴.

Таким образом, действительно правда, что 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 для любого матрица 2×2 𝐴, и она равна можно показать это для случаев более высокого порядка.

До сих пор мы обнаружили, что, несмотря на то, что коммутативность является свойством умножение действительных чисел, это свойство не переносится на умножение матриц. Однако, несмотря на то, что это конкретное свойство не верно, существуют и другие свойства умножения действительных чисел которые мы можем применить к матрицам. Рассмотрим их сейчас.

Напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, у нас есть (𝑎𝑏)𝑐=𝑎(𝑏𝑐).

Это известно как ассоциативное свойство . Ассоциативное свойство означает, что в ситуациях, когда нам нужно выполнить умножение дважды, мы можем выбрать, в каком порядке это делать; мы можем найти 𝑎𝑏, тогда умножьте это на 𝑐, или мы можем найти 𝑏𝑐 и умножить на 𝑎, и оба ответа будут одинаковыми.

Чтобы выяснить, применимо ли это свойство к умножению матриц, давайте рассмотрим пример, связанный с умножением трех матриц.

Пример 5. Исследование ассоциативного свойства матричного умножения

Учитывая, что 𝐴=03−216−1,𝐵=−5−614,𝐶=−304−2, правда ли, что (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶)?

Ответ

В этом примере нам нужно вычислить произведение трех матрицы двух возможных порядков; либо мы можем вычислить 𝐴𝐵, а затем умножьте его справа на 𝐶, или мы можем вычислить 𝐵𝐶 и умножить это слева от 𝐴.

Начнем с поиска 𝐴𝐵. Так как 𝐴 3×2 и 𝐵 2×2, 𝐴𝐵 будет Матрица 3×2. Для демонстрации процесса возьмем детали умножения для первой строки. У нас есть

, где мы вычислили 0⋅(−5)+3⋅1=3. Для следующей записи в в строке у нас есть

, так как 0⋅(−6)+3⋅4=12. Повторение этого процесса для каждой записи в 𝐴𝐵 мы получаем 𝐴𝐵=03−216−1−5−614=3121116−31−40.

Далее, чтобы найти (𝐴𝐵)𝐶, мы умножаем эту матрицу справа от 𝐶. Это дает нам (𝐴𝐵)𝐶=3121116−31−40−304−2=39−2431−32−6780.

Теперь нам нужно найти 𝐴(𝐵𝐶), что означает, что мы необходимо сначала вычислить 𝐵𝐶 (2×2 матрица). Это дает нам 𝐵𝐶=−5−614−304−2=−91213−8.

Затем, чтобы найти 𝐴(𝐵𝐶), мы умножаем это на слева 𝐴. Это дает нам 𝐴(𝐵𝐶)=03−216−1−91213−8=39−2431−32−6780.

В заключение мы видим, что матрицы, которые мы вычислили для (𝐴𝐵)𝐶 и 𝐴(𝐵𝐶) эквивалентны. Таким образом, мы можем заключить, что свойство ассоциативности выполнено и заданное утверждение верно.

Как мы видели в предыдущем примере, матричная ассоциативность сохраняется для три произвольно выбранные матрицы. По сути, это общий свойство, справедливое для всех возможных матриц, для которых умножение справедливо (хотя полное доказательство этого довольно громоздко и не особенно поучительно, поэтому мы не будем его здесь освещать).

Свойство: ассоциативность матричного умножения

Пусть 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛, 𝐵 — матрица порядка 𝑛×𝑝, и 𝐶 — матрица порядка 𝑝×𝑞. Тогда у нас есть (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶).

Другими словами, умножение матриц ассоциативно.

Пока мы изучаем свойства умножения матриц и эквивалентны ли они умножению действительных чисел, давайте Рассмотрим еще одно полезное свойство.

Напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐 имеем 𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎𝑏+𝑎𝑐.

Это известно как свойство дистрибутива , и оно предоставляет нам простой способ расширения скобок в выражениях. На самом деле у нас есть уже видели, что это свойство выполняется для скалярного умножения матрицы. Напомним, что скалярное умножение матриц можно определить как следует.

Определение: Скалярное умножение

Для матрицы порядка 𝑚×𝑛, определяемой формулой 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎…𝑎𝑎𝑎…𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎…𝑎⎞⎟⎟⎠, скаляр, кратный 𝐴 на константу 𝑘 находится путем умножения каждой записи 𝐴 на 𝑘, или, другими словами, 𝑘𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑘𝑎𝑘𝑎… 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎… 𝑘𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑘𝑎𝑘𝑎… 𝑘𝑎⎞⎟⎟⎟⎠.

Как мы видели, свойство дистрибутивности выполняется для скалярного умножения так же, как и для действительных чисел: а именно, если задан скаляр 𝑎 и две матрицы 𝐵 и 𝐶 того же порядка имеем 𝑎(𝐵+𝐶)=𝑎𝐵+𝑎𝐶.

Что касается полного умножения матриц, мы можем подтвердить, что это действительно так. что дистрибутивное свойство все еще сохраняется, что приводит к следующему результату.

Свойство: дистрибутивность умножения матриц

Пусть 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 и 𝐵 и 𝐶 — матрицы порядка 𝑛×𝑝. Тогда у нас есть 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶.

Другими словами, умножение матриц является дистрибутивным по отношению к матрице добавление.

Важно знать порядок матриц, приведенный выше. свойство, так как и сложение 𝐵+𝐶, и умножения 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 и 𝐴(𝐵+𝐶) должны быть четко определены.

Обратите внимание, что, как и в случае с ассоциативностью, конкретное доказательство более занимает больше времени, чем интересно, так как это всего лишь случай, чтобы доказать это запись за записью, используя определения матричного умножения и сложения.

Давайте рассмотрим пример, где мы можем увидеть применение дистрибутивное свойство матриц.

Пример 6. Исследование распределительного свойства матрицы Умножение над сложением

Предположим, что 𝐴=1−3−42, 𝐵=201−1 и 𝐶=01−30.

1. Найдите 𝐴𝐵.
2. Найдите 𝐴𝐶.
3. Найти 𝐴(2𝐵+7𝐶).
4. Экспресс 𝐴(2𝐵+7𝐶) в пересчете на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶.

Ответ

Часть 1

Для начала нас попросили вычислить 𝐴𝐵, что мы можем сделать, используя матричное умножение. 𝐴 и 𝐵 — матрицы 2×2, поэтому их произведение также будет матрицей 2×2. Демонстрировать расчет нижней левой записи, мы имеем

, где мы вычислили (−4)⋅2+2⋅1=−6. Повторяем это для оставшихся записи, мы получаем 𝐴𝐵=1−3−42201−1=−13−6−2.

Часть 2

Мы можем вычислить 𝐴𝐶 почти так же, как мы это делали 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 также будет Матрица 2 × 2, поскольку 𝐴 и 𝐶 обе матрицы 2×2. Выполняя умножение матриц, получаем 𝐴𝐶=1−3−4201−30=91−6−4.

Часть 3

Для следующей части нас попросили найти 𝐴(2𝐵+7𝐶). Чтобы вычислить это непосредственно, мы необходимо сначала найти скалярные множители 𝐵 и 𝐶, а именно 2𝐵 и 7𝐶. Мы делаем это, умножая каждый элемент матрицы на соответствующий скаляр. Таким образом, у нас есть 2𝐵=2201−17𝐶=701−30=402−2,=07−210.

Следующим шагом является добавление матриц с помощью сложения матриц. Мы делаем это по добавление записей в одних и тех же позициях вместе. Это дает нам 2𝐵+7𝐶=402−2+07−210=47−19−2.

Наконец, чтобы найти 𝐴(2𝐵+7𝐶), мы умножаем эту матрицу на 𝐴. Как и прежде, мы получим Матрица 2×2, так как мы берем произведение двух Матрицы 2×2. Мы получаем 𝐴(2𝐵+7𝐶)=1−3−4247−19−2=6113−54−32.

Часть 4

В заключительной части мы должны выразить 𝐴(2𝐵+7𝐶) через 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Самый простой способ сделать это — использовать распределительное свойство матричного умножения. То есть для матриц 𝐴, 𝑋 и 𝑌 соответствующих Заказ, у нас есть 𝐴(𝑋+𝑌)=𝐴𝑋+𝐴𝑌.

В этом случае, если мы подставим 𝑋=2𝐵 и 𝑌=7𝐶, мы находим, что 𝐴(2𝐵+7𝐶)=𝐴(2𝐵)+𝐴(7𝐶)=2𝐴𝐵+7𝐴𝐶.

Таким образом, мы выразили 𝐴(2𝐵+7𝐶) через из 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Тем не менее, мы можем хотим убедиться, что наше решение верно и что законы дистрибутивность держится. Поскольку мы уже вычислили 𝐴(2𝐵+7𝐶), 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в предыдущих частях это должно быть довольно легко сделать это. 2𝐴𝐵 и 7𝐴𝐶 можно найти с помощью скалярное умножение 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶; то есть, 2𝐴𝐵=2−13−6−27𝐴𝐶=791−6−4=−26−12−4,=637−42−28.

Наконец, мы можем сложить эти две матрицы вместе, используя сложение матриц, чтобы получить 2𝐴𝐵+7𝐴𝐶=−26−12−4+637−42−28=6113−54−32.

Так как это соответствует матрице 𝐴(2𝐵+7𝐶), которые мы вычислили в предыдущем часть, мы можем подтвердить, что наше решение действительно правильное: 𝐴(2𝐵+7𝐶)=2𝐴𝐵+7𝐴𝐶.

В заключительной части этого объяснения мы рассмотрим, как матрица транспонируется взаимодействует с умножением матриц. Начнем с того, что напомним определение.

Определение: транспонирование матрицы

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛. Транспонирование матрицы 𝐴 является оператор, переворачивающий матрицу по ее диагонали. Другими словами, он переключает индексы строк и столбцов матрицы. Эта операция создает другую матрицу порядок 𝑛×𝑚 обозначается 𝐴.

Если 𝑎 элементы матрицы 𝐴 с 𝑖=1,…,𝑚 и 𝑗=1,…,𝑛, то 𝑎 — элементы 𝐴, и он принимает форму 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎⋯𝑎𝑎𝑎⋯𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎⋯𝑎⎞⎟⎟⎠.0003

Например, рассмотрим матрицу 2×3 𝐴=5681−29.

Транспонирование этой матрицы 𝐴 следующее Матрица 3×2: 𝐴=516−289.

Как оказалось, матричное умножение и матричное транспонирование имеют интересное свойство при сочетании, которое мы рассмотрим в теореме ниже.

Свойство: умножение матриц и транспонирование

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 а 𝐵 — матрица порядка 𝑛×𝑝, гарантируя, что произведение матриц 𝐴𝐵 корректно определено. транспонировать 𝐴 и 𝐵 — матрицы 𝐴 и 𝐵 заказов 𝑛×𝑚 и 𝑝×𝑛 соответственно, поэтому их произведение в обратном направлении 𝐵𝐴 равно также хорошо определены.

Умножение матриц в сочетании с транспонированием удовлетворяет следующему свойству: (𝐴𝐵)=𝐵𝐴.

Еще раз, мы не будем включать полное доказательство этого, так как оно просто включает используя определения умножения и транспонирования по записи основа.

В последнем примере мы продемонстрируем свойство транспонирования матрицы умножение на заданное произведение.

Пример 7. Свойства умножения и транспонирования матрицы

Учитывая, что 𝐵𝐴=8−4−7−5, что такое 𝐴𝐵?

Ответ

В этом примере мы хотим определить произведение транспонирования двух матрицы, учитывая информацию об их произведении.

Напомним, что транспонирование матрицы 𝑚×𝑛 переключает строки и столбцы, чтобы создать другую матрицу порядка 𝑛×𝑚. Умножение матриц в сочетании с транспонирование удовлетворяет свойству (𝐵𝐴)=𝐴𝐵.

Следовательно, для расчета произведения 𝐴𝐵, нам просто нужно транспонировать 𝐵𝐴 с помощью этого свойства.

Отсюда имеем 𝐴𝐵=(𝐵𝐴)=8−4−7−5=8−7−4−5.

Давайте закончим повторением свойств умножения матриц, которые мы узнали в ходе этого объяснителя.

Ключевые моменты

• Умножение матриц в общем случае не является коммутативным; то есть, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.
• Если 𝐴 и 𝐵 являются диагональными матрицами того же порядка, то 𝐴𝐵=𝐵𝐴.
• Единичная матрица 𝐼 — диагональная матрица с 1 за каждый вход по диагонали. Матрицы идентичности (до порядка 4) принимают показанные формы ниже: 𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠.
• является квадратной матрицей того же порядка, то 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴.
• Умножение матриц ассоциативно; то есть для действительных матриц 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеем (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶).
• Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению, поэтому для допустимых матриц 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеем 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶.
• Для любого допустимого матричного произведения 𝐴𝐵 транспонирование матрицы удовлетворяет следующему свойству: (𝐴𝐵)=𝐵𝐴.

Свойства умножения матриц — с доказательством

Последнее обновление: Teachoo, 8 апреля 2019 г.

Рассмотрим некоторые свойства умножения матриц.

1. Коммутативность является нет истинный:

АВ ≠ БА

2. Нулевая матрица при умножении

Если АВ = О,

тогда возможно A ≠ O, B ≠ O

3. Ассоциативный закон:

(АВ) С = А (ВС)

4. Распределительный закон:

А (В + С) = АВ + АС

(А + В) С = АС + ВС

5. Мультипликативная идентичность:

Для квадратная матрица А

АИ = ИА = А

где I — единичная матрица того же порядка, что и A.

Давайте рассмотрим их подробно

Мы использовали эти матрицы

Коммутативность в умножении не правда

АВ ≠ БА

Давайте решим их

АБ

бакалавр

С

∴ АБ ≠ БА

Умножение нулевой матрицы

Мы видели это

Итак, АВ = О.

Но А ≠ О и В ≠ О

Следовательно,

Если две матрицы умножаются, чтобы стать нулевой матрицей,

тогда неверно, что А = О или В = О

Примечание: Это отличается от чисел

Если аб = 0,
 тогда либо a = 0, либо b = 0

Но это не верно для матриц

Ассоциативный закон

(АВ) С = А (ВС)

Давайте решим это

(АВ) С

Примечание: Любая матрица, умноженная на нулевую матрицу, является нулевой матрицей

(АВ) С = О × С

= О

А (БК)

.