Связь между биекцией и обратным отображением: инъекция, сюръекция и биекция. Обратные функции. Композиция функций

Содержание

Отображения на множество (сюръективные отображения) — КиберПедия

Определение.

Пусть – некоторые множества, .

Будем говорить, что отображает множество на множество , если

Определение.

Пусть – некоторые множества, .

Будем говорить, что – отображение на множество (= сюръективное=эпиморфное), если

(для любого его прообраз не пуст.)

Пример.

Указать все подмножества , которые отображаются на множество

Определение.

Пусть , будем говорить, что – отображение на множество (сюръективное отображение=эпиморфное), если

(т.е. образ множества содержит всё )

и обозначать

Замечание №1.

(т.е. у любого его прообраз не пуст.)

Свойство эпиморфности: прообраз любого не пуст.

Замечание №2.

Так как для любого отображения , то для отображения на (т.е. ), имеем

Замечание №3.

Между инъективностью и сюръективностью никакой связи нет.

Изоморфизмы (биективные отображения)

Определение изоморфизма (биективного отображения)

Определение.

Пусть – некоторые множества, .

Если является отображением на (сюръективным отображением) и является взаимно-однозначным (инъективным), то говорят, что отображение является биективным (=биекцией множества на множество = изоморфизмом множеств )

Замечание.

Биективность означает, что для любого является одноэлементным множеством, т. е.

Примеры.

I. Построить биекцию отрезков и .

II. Пусть – произвольное множество.

Тождественным отображением множества на себя называют отображение

и обозначают

III. Перестановка множества.

Перечислите все перестановки трёхэлементного множества .

Замечание.

Для конечных множеств биекция множества на множество существует в том и только в том случае, когда оба множества имеют одинаковое число элементов.

Для бесконечных множеств можно установить биекцию множества на его собственное подмножество.

Пример №1.

IV. Построить биекцию между множеством натуральных чисел и множеством чётных натуральных чисел .

V. Построить биекцию между множеством целых чисел и множеством чётных целых чисел .

VI. Построить биекцию между интервалом и действительной прямой .

Пример №2.

Какие из следующих отображений являются, инъективными, какие сюръективными, какие биективными?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) ;

31) ;

32) ;

33) ;

34) ;

35) ;

36) ;

37) ;

38) ;

39) ;

40) ;

41) ;

42) ;

43) ;

44) ;

45) ;

46) ;

47) ;

48) ;

49) ;

50) ;

51) ;

52) ;

53) ;

54) ;

55) ;

56) ;

57) ;

58) ;

59) ;

60) ;

Конечные и бесконечные множества.

Определение.

Говорят, что множество является конечным, если существует натуральное число , такое что можно осуществить биекцию множества на множество , т.е. “пронумеровать” все элементы множества (каждый по одному разу) натуральными числами (от 1 до n):

Такое число существует единственное и называется количеством элементов множества

Все остальные множества – бесконечные.

Мощность множества

Определение.

Пусть – произвольные множества, говорят, что множества имеют одинаковую мощность (являются равномощными), если существует биекция множества на множество .

Замечание.

Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда имеют одинаковое число элементов.

Замечание.

Бывают неравномощные бесконечные множества. К примеру, множество неравномощно множеству .

Определение.

Множество, равномощное множеству , называют счётным.

Определение.

Множество – не более чем счётное, если – конечно или счётно.

Теорема.

Множество счётно.

Доказательство.

Теорема.

Бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Доказательство.

Замечание.

Любые 2 счётных множества равномощны.

Доказательство.

Теорема.

Прямое (декартово) произведение счётных множеств счётно.

Теорема.

Множество всех рациональных чисел счётно.

Композиция отображений

Определение.

Пусть – некоторые множества.

Композицией отображений и называется отображение

такое что

Обозначение композиции

Композиция отображений и

Замечание №1.

Выражение имеет смысл, т.к. .

Замечание №2.

Переставлять и местами вообще говоря нельзя.

Пример.

Пусть

Замечание №3.

Аналогично можно определить композицию не 2-х, а 3-х и более отображений.

Придумайте примеры.

Обратное отображение

Пусть – биекция множества на множество .

Рассмотрим отображение , которое каждому сопоставляет , такое что , т.е.

(существование и единственность такого элемента следует из определения биекции)

Такое отображение называется обратными обозначается символом

(т.е. )

Примеры.

I. Пусть .

II. Пусть .

Замечание.

Пусть – отображения

Тогда

Функции и действия над ними

Сумма функций.

Определение.

Пусть – функции

Суммой функций называется функция

такая что

Пример.

Тогда

Разность функций.

Определение.

Пусть – функции

Разностью функций называется функция

такая что

Произведение функций.

Определение.

Пусть – функции

Произведением функций называется функция

такая что

Частное функций.

Определение.

Пусть – функции

Пусть

Частным функций называется функция

такая что

Степень функции.

Замечание.

Используя определения произведения и частного можем определить натуральную и целую степени функции.

Определение.

Пусть

(функция определена, т.к. .)

Замечание.

Нельзя путать

с обратным отображением и обозначением прообраза.

Виды отображений. Обратное отображение — Мегаобучалка

Рис. 6

Рис. 7

X=R, Y=R, y = x³

Определение 1.Отображение f множества X в Y называется отображением множества XнаY, илисюръективным, или сюръекцией, если для любого yÎ Y найдется такой элемент xÎ X, что f(x) =y .

Таким образом, f: X®Y сюръекция тогда и только тогда, когда E(f) = Y .

Например, отображение f: R®[0, +¥), f: xax², является сюръекцией, см. также рис. 6, 7 . Отметим, что отображения на рис 2, 3 не являются таковыми.

Определение 2. Отображение f множества X в Y называется

взаимно однозначным отображением множества X в Y , или инъективным, или инъекцией, или вложением, если для любых x₁, x₂Î X из x₁¹ x₂следует, что f(x₁) ¹ f(x₂).

Рис. 9

Рис. 8

Например, отображение f: R\{0}®R, f: xa1/x, является инъекцией, см. также рис. 7, 8, 9. Отметим, что отображения на рис.2,3 , 6 не являются таковыми.

Определение 3. Отображение f множества X в Y называется взаимно однозначным отображением множества X на Y , или биективным

, или биекцией, если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Иными словами биективное отображение взаимно однозначно и является отображением X на Y. Взаимно однозначное отображение множества X на Y обозначается также символом f: X«Y .

В геометрии взаимно однозначные отображения множества X на себя называются преобразованиями множества. В математическом анализе взаимно однозначные отображения множества X на Y называются взаимно однозначными соответствиями между X и Y.

Например, отображение f: (0,+¥)®R, f: xalg x, является биекцией, см. также рис. 7., 9. Отметим, что отображения на рис 1., 1., 6., 8 не являются таковыми.

Теорема 1. 1. Композиция двух сюръекций f и g есть сюръекция.

2. Композиция двух инъекций f и g — инъекция.

3. Композиция двух биекций f и g — биекция.

Доказательство. Композиция двух отображений f: X®Y , g: Y®W есть отображение X®W. Если f и g сюръекции, то f(X) = Y , g(Y) = W. Поэтому и — сюръекция.

Пусть x₁, x₂Î X и x₁¹ x₂. Пусть f и g инъекции. Тогда f(x₁) ¹ f(x₂). Отсюда и — инъекция.

Третье утверждение теоремы следует из первых двух по определению 3.

8. Обратное отображение

Определение 1. Отображение f: X®Y называется обратимым, если обратное для его бинарное отношение f ^-1является отображением множества Y в X

. Тогда обратное бинарное отношение f ^-1называется обратным отображением для отображения f и обозначается тем же символом f ^-1.

Рис. 10

Например, для отображения f: (0,+¥)®R, f: xalg x, обратное отображение f ^-1: R®(0, +¥), f ^-1: xa10^x. Отображения на рис. 7. и 9 обратимы (см. также рис. 10).

Отметим, что не каждое отображение обратимо. Например, отображения представленные на рис. 6., 8 не обратимы.

Теорема 1. Пусть отображение f: X®Y — обратимо, f ^-1 – обратное отображение. Тогда y = f(x) тогда и только тогда, когда x = f ^-1

(y) для любых xÎ X и yÎ Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y) Î f тогда и только тогда, когда (y, x) Î f ^-1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть отображение f: X®Y — обратимо. Тогда .

Доказательство. Следует из определений 5, 6 и теоремы 2.

Теорема 3. Отображение f: X®Y — обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. (Þ) Пусть отображение f: X®Y обратимо и f ^-1: Y®X^{обратное ему отображение. По определению отображения для любого y Î Y существует единственный элемент xÎ X такой, что x = f ^-1(y) и по теореме 2 y = f(}

x). По определению 2.1 f — сюръекция.

Доказывая, что f биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x₁, x₂Î X , x₁¹ x₂, что f(x₁) = f(x₂), y₁= f(x₁), y₂= f(x₂). Тогда y₁= y₂и по теореме 2 x₁= f ^-1(y₁) = f ^-1(y₂) = x₂, а это противоречит предположению.

(Ü) Пусть отображение f: X®Y — биективно, f ^-1 — обратное бинарное отношение для f. По определению 2.1 для каждого y Î Y существует такой элемент xÎX, что y = f(x), т.е. такой, что (y, x)Î

f ^-1. Покажем, что такой элемент xÎ X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента x₁, x₂Î X , x₁¹ x₂ , (y, x₁)Îf ^-1, (y, x₂)Îf ^-1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x₁, y)Îf , (x₂, y)Îf и f(x₁) = y = f(x₂), а это противоречит тому, что f — биективно.

Если f ^-1: Y ® X обратное отображение для отображения f: X®Y, то область определения Y отображения f ^-1 равна множеству значений отображения f, D(f ^-1) = E(f), и наоборот E(f

^-1) = D(f). Если области определений отображений f и f ^-1изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой y==x .

Например, для функции sin: [-p/2,p/2]®[-1,1] обратной является функция arcsin: [-1,1]® [-p/2,p/2]. По теореме 3 для любых xÎ[-p/2,p/2]и yÎ[-1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Упражнения: 1. Даны функции cos x, tg x, ctg x, x², log₂x . Какие из этих функций являются отображениями R в R , сюръекциями, инъекциями, биекциями?

Сузить их области отправления и прибытия так, чтобы они стали обратимыми, найти обратные функции и построить их графики.

Рис. 11

y = sin x

y = arcsin x

В каждом случае написать тождества теоремы 3.4.

3.2. Доказать теорему 3.3.

3.3. Доказать, что графики функций y = f(x) и y = f^-1(x) симметричны относительно прямой y = x.

4.6 Биекции и обратные функции

Функция $f\colon A\to B$ биективна (или $f$ является биекцией ), если каждая $b\in B$ имеет ровно один прообраз. С «не менее одного» + «не более одного» = «ровно один» , $f$ является биекцией, если и только если это и инъекция, и сюръекция. А биекция также называется взаимно однозначной переписка .

Пример 4.6.1. Если $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{r,s,t,u\}$, то 9x$ — биекции. $\квадрат$

Пример 4.6.3. Для любого множества $A$ тождественная функция $i_A$ является биекцией. $\квадрат$

Определение 4.6.4 Если $f\colon A\to B$ и $g\colon B\to A$ являются функциями, мы говорим, что $g$ является число , обратное к $f$ (а $f$ является обратным к $g$), тогда и только тогда если $f\circ g=i_B$ и $g\circ f=i_A$. $\квадрат$

Пример 4.6.5. Если $f$ — функция из примера 4.6.1 и

$$ \начать{массив}{} г(г)=2&г(т)=3\\ г(с)=4&г(и)=1\\ \конец{массив} $$ 9{\пер х}=х. $$ $\квадрат$

Пример 4.6.8 Функция тождества $i_A\colon A\to A$ является собственной обратный. $\квадрат$

Если вы понимаете эти примеры, следующее не должно вызывать удивления.

Теорема 4.6.9 Функция $f\colon A\to B$ имеет обратную тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Предположим, что $g$ является обратным к $f$ (мы доказываем, что импликация $\Rightarrow$). Поскольку $g\circ f=i_A$ инъективен, то $f$ (согласно 4. 4.1(а)). Так как $f\circ g=i_B$ сюръективен, как и $f$ (согласно 4.4.1(b)). Следовательно, $f$ инъективен и сюръективен, т. е. биективен.

Наоборот, предположим, что $f$ биективно. Пусть $g\colon B\to A$ — это псевдообратный к $f$. Из доказательства теоремы 4.5.2 мы знаем, что поскольку $f$ сюръективно, $f\circ g=i_B$, а поскольку $f$ инъективен, $g\circ f= i_A$. $\qed$

Мы говорили об обратном к $f$, но на самом деле существует только один.

Теорема 4.6.10. Если $f\colon A\to B$ имеет обратную функцию, то обратной является уникальный.

Доказательство. Предположим, что $g_1$ и $g_2$ обратны к $f$. затем $$ g_1=g_1\circ i_B=g_1\circ (f\circ g_2)=(g_1\circ f)\circ g_2=i_A\circ g_2= g_2, $$ доказательство теоремы. (См. упражнение 7 в раздел 4.1.) $\qed$ 9{-1}$ всегда определяется для подмножеств кодовый домен, но он определен только для элементов кодового домена если $f$ биекция.

Завершим парой простых замечаний:

Теорема 4. {-1}$ — биекция.$\qed$

Пример 4.6.1 Найдите пример функций $f\colon A\to B$ и $g\colon B\to A$ такой, что $f\circ g=i_B$, но $f$ и $g$ не обратные функции.

Пример 4.6.2 Предположим, что $[a]$ — фиксированный элемент $\Z_n$. Определите $A_{{[ a]}}\colon \Z_n\to \Z_n$ на $A_{{[a]}}([x])=[a]+[x]$. Покажите, что это биекция, найдя обратную $A_{{[a]}}$.

Пример 4.6.3 Предположим, что $[u]$ — фиксированный элемент $\U_n$. Определите $M_{{[ u]}}\colon \Z_n\to \Z_n$ на $M_{{[ u]}}([x])=[u]\cdot[x]$. Покажите, что это биекция, найдя обратную $M_{{[u]}}$.

Пример 4.6.4 Покажите, что для любых $m, b$ в $\R$, $m\ne 0$, функция $L(x)=mx+b$ является биекцией путем нахождения обратной.

Пример 4.6.5 Предположим, что $f\colon A\to A$ — это функция, а $f\circ f$ — это биективный. Обязательно ли $f$ биективно?

Пример 4.6.6 Покажите, что существует биекция $f\colon \N\to \Z$. (Намекать: определите $f$ отдельно для нечетных и четных натуральных чисел. {-1}$. 9{-1}(f(X))=X$.

6.6: Обратные функции — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 8419

Харрис Квонг
Государственный университет Нью-Йорка во Фредонии через OpenSUNY

A биекция — это функция, которая является одновременно и взаимно однозначной, и on. Естественно, если функция является биекцией, мы говорим, что она биективна . Если функция $f :A \to B$ является биекцией, мы можем определить другую функцию $g$, которая существенно меняет правило присваивания, связанное с $f$. Тогда, применяя функцию $g$ к любому элементу $y$ из домена $B$, мы можем получить элемент $x$ из домена $A$ такой, что \ (f(x)=y\). {-1}( x) = \cases{ \mbox{???} & если $x\leq 3$, \cr \mbox{???} & если $x > 3$. \cr} \nonumber\] Далее определяем формулы в двух диапазонах. Мы находим 9{-1}(n) = \cases{ \frac{2}{n} & если $n$ четно, \cr -\frac{n+1}{2} & если $n$ нечетно. \cr} \номер\]

Проверьте это на числовых примерах.

Практическое упражнение $\PageIndex{5}\label{he:invfcn-05}$

Функция $f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}}$ определяется как \[f(n) = \cases{ -2n & если $n < 0$, \cr 2n+1 & если $n\geq0$. \cr} \nonumber\] Найдите его обратное.

Пусть $A$ и $B$ — конечные множества. Если существует биекция $f : {A}{B}$, то элементы $A$ и $B$ находятся во взаимно однозначном соответствии через $f$. Следовательно, $|A|=|B|$. Эта идея дает основу для некоторых интересных доказательств. 9{1-2x}\).

$p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$, $p(x)=|1-3x|$.

$q:{[\,2,\infty)}\to{[\,0,\infty)}$, $q(x)=\sqrt{x-2}$.

Упражнение $\PageIndex{2}\label{ex:invfcn-02}$

Для тех функций, которые не являются биекциями в последней задаче, можем ли мы изменить их кодовые области, чтобы превратить их в биекции?

Упражнение $\PageIndex{3}\label{ex:invfcn-03}$

Пусть $f$ и $g$ будут функциями от $(1,3)$ до \ ((4,7)\) определяется как \[f(x) = \frac{3}{2}\,x+\frac{5}{2}, \qquad\mbox{and}\qquad g(x) = -\frac{3}{2}\,x+\frac{17}{2}. \nonumber\] Найдите их обратные функции. Обязательно опишите их домены и кодомены. 9{-1}\) правильно и правильно.

Упражнение $\PageIndex{5}\label{ex:invfcn-05}$

Функция $g :{[\,1,3\,]}\to{[\,4,\, 7]}$ определяется согласно формуле \[g(x) = \cases{ x+3 & if $1\leq x< 2$, \cr 11-2x & if $2\leq x\leq 3$. \cr} \nonumber\] Найдите его обратную функцию. Убедитесь, что вы описали его правильно и правильно.

Упражнение $\PageIndex{6}\label{ex:invfcn-06}$

Найдите обратную функцию $r :{(0,\infty)}\to{\mathbb{R}} $ определяется как $r(x)=4+3\ln x$. 9{2x}\).

Упражнение $\PageIndex{8}\label{ex:invfcn-08}$

Найдите инверсию каждой из следующих биекций.

$h:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$, $h(1)=e $, $h(2)=c$, $h(3)=b$, $h(4)=a$, $h(5)=d$.
$k :{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}$, $k(1)=3$ , $к(2)=1$, $к(3)=5$, $к(4)=4$, $к(5)=2$.

Упражнение $\PageIndex{9}\label{ex:invfcn-09}$

Найдите инверсию каждой из следующих биекций.

$u:{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}$, $u(x)=3x-2$.
$v:{\mathbb{Q}-\{1\}}\to{\mathbb{Q}-\{2\}}$, $v(x)=\frac{2x}{x -1}$.
$w:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$, $w(n)=n+3$.

Упражнение $\PageIndex{10}\label{ex:invfcn-10}$

Найдите инверсию каждой из следующих биекций.

$r :{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{12}}$, $r(n)\equiv 7n$ (мод. 12).
$s :{\mathbb{Z}_{33}}\to{\mathbb{Z}_{33}}$, $s(n)\equiv 7n+5$ (мод. 33).
$t :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}\cup\{0\}}$, $t(n) = \cases{2n-1 & if $n > 0 $, \cr -2n и если $n\leq0$,\cr}$

Упражнение $\PageIndex{11}\label{ex:invfcn-11}$

Образы биекции ${\alpha}:{\{1,2,3,4,5,6, 7,8\}}\to{\{a,b,c,d,e,f,g,h\}}$ приведены ниже. \[\begin{array}{|c||*{8}{c|}} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \alpha(x)& g & a & d & h & b & e & f & c \\ \hline \end{array} \nonumber\] Найдите его обратную функцию.

Отображения на множество (сюръективные отображения) — КиберПедия

Виды отображений. Обратное отображение — Мегаобучалка

4.6 Биекции и обратные функции

6.6: Обратные функции — Математика LibreTexts

Добавить комментарий Отменить ответ