Связь тангенса и косинуса формула: Связь между тригонометрическими функциями. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Связь между тригонометрическими функциями. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Да, конечно. Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул — колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:

Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание — найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует.) Например:

Найти значение sinx, если х — острый угол, а cosx=0,8.

Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 — 0,64

Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.

Задачка почти элементарная. Но словечко «почти» здесь не зря стоит… Дело в том, что ответ sinx= — 0,6 тоже подходит… (-0,6) 2 тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй — неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: …если х — острый угол… А в заданиях каждое слово смысл имеет, да… Эта фраза — и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол — это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции — и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом — положительные. Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.

Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°… И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом…

А вот старшеклассникам без учёта знака — никак. Многие знания умножают печали, да…) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:

Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.

Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.

Итак, отметим самое главное:

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию — значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.

А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно…)

1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.

2. β — угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.

3. Найти значение выражения:

6sin 2 5° — 3 + 6cos 2 5°

4. Найти значение выражения:

(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3

5. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)

Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ — лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)

6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а

7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; — 450°).

8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.

Ответы (в беспорядке):

0,8; 0,5; -2,4.

Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно… А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили — одно верное задание «В» гарантировано!

В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы.

..

Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) — сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы… Пропал синус…

Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций — ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились — в следующем уроке.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

1. Выражение синуса через косинус

Примечание: Знак перед радикалом в правой части зависит от того, в какой четверти находитсяугол α . Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.

2. Выражение синуса через тангенс

3. Выражение синуса через котангенс

4. Выражение косинуса через синус

5. Выражение косинуса через тангенс

6. Выражение косинуса через котангенс

7. Выражение тангенса через синус

8. Выражение тангенса через косинус

9. Выражение тангенса через котангенс

10. Выражение котангенса через синус

11. Выражение котангенса через косинус

12. Выражение котангенса через тангенс

21. Тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, их свойства и графики.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

22. Тригонометрические функции y=tg x, y=ctg x, их свойства и графики.

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

23. Основные свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность. Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.

Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а .

Синус — функция числа x . Ее область определения — множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений синуса — отрезок от -1 до 1 , так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период синуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак синуса:

1. синус равен нулю при , где n — любое целое число;

2. синус положителен при , где n — любое целое число;

3. синус отрицателен при

Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла

На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением

• x 2 +y 2 =1.

Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:

• sin(a) = у,
• cos(a) = х.

Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство

• (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.

Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.

Например.

Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi

Воспользуемся формулой приведенной выше:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Так как pi

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = — √(1 – 9/25) = — 4/5.

Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла

Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.

По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.

Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.

Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.

Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы. {2} \alpha=1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. {2} \alpha = 1. Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14.

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12 : \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3}.

ТРИГОНОМЕТРИЯ ДЛЯ СТАТИКИ. Часть 1

ТРИГОНОМЕТРИЯ

 

 

Области внимания:

 

0 9 по сравнению с радианами

Тригонометрический функции

Тригонометрический отношения между дополнительными углами

Пифагорейский Теорема

фундаментальное соотношение между синусом и косинусом

единичный круг и визуализация тригонометрических функций

Обратный тригонометрических функций

Закон синусов

Закон косинусов

Значения тригонометрических под определенными углами

Тригонометрический личности

Кривые синуса, косинуса и тангенса

Приближение для малых углов: синус, косинус и тангенс

 

 

Градусы по сравнению с Радианы:

 

Один оборот равен 360 ^o , а также равен 2 радианам. Таким образом, из-за к линейной пропорциональности двух масштабов, преобразование из x градусов до y радиана:

Один радиан равен 3,14159… и обычно округляется до 3,14. В следующей таблице приведены эквивалентные углы в градусах, радианах и оборотах.

 

градусов	Радиан	оборотов
0 или	0	0
30 или
45 или
60 или
90 или
180 или
270 или
360 или		1

 

  Тригонометрический Функции:

 

Тригонометрические функции называются синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Тригонометрический функция имеет один аргумент, который является углом и будет обозначаться «». При записи тригонометрических функций используются сокращенные формы: , , , , , и , соответственно. Также, иногда они записываются как , , , , , и соответственно.

 

Значение каждой тригонометрической функции для острый угол (<90 ^o ) может быть напрямую связан с сторон прямоугольного треугольника. Рассмотрим угол на следующем рисунке. значения тригонометрических функций для этого угла задаются как:

 

 

Примечание: и показателя тригонометрических функций подчиняются специальному правилу. Если показатель степени « n » положительный, то один пишет вместо . Например,

Это же правило не применяется к отрицательным показателям. так как показатель «-1» зарезервирован для обратного тригонометрическая функция.

 

 

Функции Дополнительные углы:

 

На этом рисунке и являются дополнительными углами, значение . Изучение основного соотношения между тригонометрическими функции и стороны треугольника выявляют следующие соотношения между дополнительные углы и.

 

 

 

Так как , мы можем также написать:

 

Пифагорейский Теорема:

 

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника, как показано, существует Существует соотношение между длинами сторон, заданное как

 

a ² + b ² = c ²

 

(a,b,c), такие как (3,4,5), (5,12,13) ​​и (7,24,25) треугольники со сторонами, и все постоянные кратные этих троек (например, (6,8,10)).

 

Основные Отношения между тригонометрическими функциями:

 

Из теоремы Пифагора плоской геометрии мы знаем, что x ² + у ² = г ² . Это можно использовать для получения основного соотношения между функциями синуса и косинуса.

 

 

  ПЕРЕЙДИТЕ К ЧАСТИ 20001

Приложения

Конечно, эти функции очень полезны в геометрии. Однако они широко используются в математике, физике и технике.

Прямоугольный треугольник

Функции синуса, косинуса и тангенса показывают, как отношение сторон прямоугольного треугольника изменяется в зависимости от угла. Они могут быть определены прямоугольным треугольником в двух измерениях следующим образом:

Пусть: а = длина ребра напротив прямого угла b = длина ребра, противоположного углу c = длина ребра, прилегающего к углу

Отношение этих длин зависит от угла θ и мы можем определить следующие функции для каждого из отношений:

функция синуса	грех(θ) = б/у
функция косинуса	соз (θ) = с/у
функция касания	загар (θ) = б/к
косеканс	косек(θ) = а/б
секанс	сек(θ) = а/к
котангенс	детская кроватка(θ) = с/б

эти функции связаны друг с другом следующим образом:

tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

cosec(θ) = 1 / sin(θ)

sec(θ) = 1 / cos(θ)

cot(θ) = 1 / tan(θ)

Терминология и обозначения

Угол

Рассматриваемый угол обычно обозначается греческой буквой тета: θ. Мы также можем обозначить угол тремя точками, которые определяют этот угол, например, на приведенной выше диаграмме: θ = АВС Где средняя точка — это место, где измеряется угол между двумя другими точками.

Стороны

Стороны можно обозначать по-разному:

• мы часто используем названия: гипотенуза, противолежащая и прилежащая.
• мы могли бы использовать буквы a,b и c
• мы могли бы использовать заглавные буквы для двух точек, которые соединяет линия: AB, BC и AC.

г. до н.э.

гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу	и	г. до н.э.
напротив — сторона, противоположная рассматриваемому углу	б	АС
смежный — сторона, примыкающая к рассматриваемому углу	с	АБ

Вершины

Точки треугольника, вершины, здесь обозначены прописными буквами A, B и C

Триггерные функции

Основные тригометрические функции: синус, косинус и тангенс. Их часто сокращают до sin, cos и tan.

Есть еще три косеканса, секанса и котангенса. Они используются не так часто, потому что они обратны синусу, косинусу и тангенсу. Они сокращены до cosec, sec и cot.

Триггерные идентификаторы

Значения sin, cos и tan связаны друг с другом, например,

• tan A = sin A / cos A
• cos ² А + sin ² А = 1

Эти «тождества» можно доказать, используя стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

tan A = b / c = (b / a) / (c / a) = sin A/cos A

Из Пифагора мы знаем:

b ² + c ² = a ²

Разделив обе стороны на ² . 1

Дополнительные и дополнительные углы

Два угла, сумма которых равна 90°, называются дополнительными, каждый из которых является дополнительным по отношению к другому. Если сумма равна 180°, то углы называются дополнительными.

sin(θ — 90°) = БА / ВС = cos (θ) cos(θ — 90°) = АС / ВС = sin(θ) тан(θ — 90°) = AC / AB = детская кроватка (θ)

Непрямоугольные треугольники.

Правило синусов

Мы начали с прямоугольных треугольников, но мы также можем использовать триггерные функции для других треугольников:

Остроугольный треугольник

AD = h, тогда sin B = ч/с ч = с sin B аналогично, sin С = ч/б h = b sin C

объединение этих дает:

c sin B = b sin C

Итак,

b / sin B = c / sin C

Аналогично, если мы проведем перпендикуляр из B на AC, мы можем показать, что:

a / sin A = c / sin C

Таким образом, объединяя их, мы получаем:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

где:

• sin A = синус угла A
• sin B = синус угла B
• sin C = синус угла при угле C
• а = длина стороны а
• b = длина стороны b
• c = длина стороны c

Тупоугольный треугольник

На этот раз нам нужно продолжить линию из B в C на D так, чтобы она пересекалась с перпендикуляром из A. sin B = ч/с ч = с sin B аналогично, sin ACD = ч/б h = b sin ACD

, объединяя их, дает:

c sin B = b sin ACD

но sin ACD = sin(180° — ACD) = sin c

поэтому,

b / sin B = c / sin C

аналогично если провести перпендикуляр из В на АС, то можно показать, что:

a / sin A = c / sin C

Таким образом, объединяя их, мы получаем:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

где:

• sin A = синус угол в углу А
• sin B = синус угла B
• sin C = синус угла при угле C
• а = длина стороны а
• b = длина стороны b
• c = длина стороны c

Пример 1

решить треугольник ABC, если:

• A = 70°
• С = 58°16′
• б = 6м

Углы треугольника в сумме дают 180°, поэтому

B = 180° — (70° + 58°16′)

B = 51°74′

так как: a / sin A = b / sin B тогда ,

a = b * sin A/ sin B

a = 6m * sin 70°/ sin 51°74′

a = 6,63 м

Пример 2

решить треугольник ABC, если:

• c
• б = 70,25
• В = 40°

b / sin B = c / sin C

sin C = sin B * c / b

C = 51°44′

однако это неоднозначный случай, поскольку существует решение при sin(180°- 51°19′)

Непрямоугольные треугольники — правило косинуса

Мы можем использовать это для решения треугольников, где правило синусов неприменимо (когда мы знаем 2 стороны и угол между ними). Создадим перпендикуляр к стороне b, отметим точку его соединения как D.

Мы можем применить Pythagoras к двум внутренним треугольникам:

H ² = C ² — N ²

A ² = (B -N) ² 112 A ² = (B -N) ² — H ² 9 2 19 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 19 2 9 2 9 2 2 9 2 = (B -N)

A ² = (B -N) второе и подстановка первого вместо h дает:

a ² = b ² — 2bn + n ² + c ² — n ²

10

^{a 2 90 2} — 2сбн+с ² , но n = c cos A, что дает

a ² = b ² + c ² — 2*b*c*cos A

, мы можем сделать аналогичные построения на основе других сторон:

b ² = c ² + a ² — 2*c*a*cos B

c ² = a ² + b ^{2 900*s}

преобразование этих уравнений дает:

cos A = (b ² + c ² — a ² )/2*b*c

cos B = (c ² + a ² — b ² )/2*c*a

cos C = (a ² + b ² — c ^{2) *a*b}

Площадь треугольников

Площадь треугольника равна: 1/2 основания * высота перпендикуляра

Следовательно: площадь = 1/2 а * ч , но h = c*sin B, следовательно, площадь = 1/2 a * c*sin B

Аналогичным образом мы можем сделать такое же построение для других сторон:

площадь = 1/2 a * b*sin C

площадь = 1/2 b * c*sin A

Это половина произведения двух стороны и грех прилежащего угла.

Формулы сложения

Мы хотим выразить sin(A+B) через тригонометрические отношения

sin(A+B)

Из диаграммы видно, что площадь целого равна сумма площадей внутренних треугольников: область LMP = область LMN + область LNP 0,5 p m sin(A+B) = 0,5 n p sin A + 0,5 m n sin B

, что дает:

sin(A+B) = (n/m) sin A + (n/p) sin B

, но n/m = cos B и n/p = cos A

, заменяя эти дает:

sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B

cos(A+B)

применить правило cos:

cos(A+B) = (p ² + m ² — (к+г) ² )/2*m*p

cos(A+B) = (p ² + m ² — q ² — 2*q*r- r ² )/2*m *p

cos(A+B) = ((p ² — q ² )+(m ² — r ² )- 2*q*r) / 2*m*p

cos(A+B) = (n ² +n ² — 2*q*r) / 2*m*p

cos(A+B) = (n ² — q*r) / m*p

cos(A+B) = n ² /m*p — q*r/m*p

cos(A+B) = n/p * n/m — q/p * r /m

cos(A+B) = cos A cos B — sin A sin B

tan(A+B)

tan(A+B) = sin(A+B)/cos(A+B)

tan(A+B) = (sin A cos B + cos A sin B) /(cos A cos B — sin A sin B)

разделить верх и низ на cos A cos B

tan(A+B) = ((sin A cos B/cos A cos B) + (cos A sin B /cos A cos B))/((cos A cos B/cos A cos B) — (sin A sin B/cos A cos B))

tan(A+B) = ((sin A /cos A) + (sin B/cos B))/(1 — (sin A sin B/cos A cos B))

tan(A+B) = (tan A + tan B)/(1 — tan A tan B)

Формулы двойного угла

из формул сложения, если A=B

• sin(2A) = 2 sin A cos A
• cos(2A) = cos ² A — sin ² A = 1 — 2*sin ² A
• тангенс(2A) = 2 тангенс А/(1 — тангенс ² А)

Вторая форма формулы cos(2A) может быть доказана следующим образом:

из формул сложения, если A=B получаем:

cos(2A) = cos ² A — sin ² A

, но мы можем объединить это с тождеством:

cos ² A + sin ² A = 1

подставляя

cos(2A) = (1 — sin ² A) — sin ² A 9(0)2 cos 9(00105 ) *sin ² A

Я поместил дополнительную информацию о формулах двойного и половинного углов на странице здесь.

Формулы вычитания

из формул сложения, если A=B

• sin(A-B) = sin A cos B — cos A sin B
• cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• тангенс (A-B) = (тангенс A — тангенс B)/(1 + тангенс A тангенс B)

Углы любой величины

До сих пор мы определяли тригонометрические функции с помощью прямоугольных треугольников и, следовательно, использовали углы от 0 до 90 градусов, однако мы можем расширить концепцию синуса, косинуса и т. д. и использовать углы за пределами этого диапазона. Если мы изобразим угол () поперек (слева направо) и отношение сторон вверх (снизу к вершине), то мы получим волнообразную функцию, подобную этой, которая непрерывно повторяется в обоих направлениях:

Знак угла

Если OP образован вращением вокруг O и вращение против часовой стрелки, говорят, что оно положительное. Если по часовой стрелке говорят, что отрицательно.

Результаты

Поскольку триггерные функции повторяются таким образом, мы можем получить значения за пределами 0°-90° из значений внутри диапазона 0°-90°.

No related posts.