Табличные значения углов: Таблица значений тригонометрических функций

Таблица тригонометрических функций

Опять возвращаемся к пройденному: зная тригонометрическую функцию мы знаем соответствующий угол и наоборот.

Мы уже вскользь касались таблиц Брадиса. Между тем, эти таблицы бывают разные. Есть даже такие, где есть возможность узнать, например, sin49⁰8^,, достаточно выбрать необходимый угол и получить искомый результат. На сегодняшний день с помощью хорошего калькулятора можно вычислить любую тригонометрическую функцию за несколько секунд, но все-таки среди огромного количества таблиц и значений существует таблица с особыми углами. Об этих углах мы изучаем в школьной программе практически все, на них построена вся геометрия и тригонометрия, это их «основа основ». Если Вас спросят, например, чему равен sin40⁰, и вы не сможете ответить – не страшно, но если вы не будете знать значение синуса угла из числа особых, например, sin30⁰ — готовьтесь к плохой оценке.

Значения тригонометрических функций для таких особых углов свели в таблицу, широко известную как таблица тригонометрических функций. Таких особых углов насчитывается семнадцать, но их можно разделить на 3 группы. Рассмотрим их поближе.

Первая группа углов.

Сюда входят пять углов: 0⁰, 90⁰, 180⁰, 270⁰, 360⁰.

Вот так выглядит таблица с тригонометрических функций для этих углов:

Эту таблицу желательно знать наизусть, но гораздо проще и, главное, полезнее для ума уметь выводить их самостоятельно. Как? – спросите Вы. Воспользовавшись тригонометрическим кругом, который представляет собой обычный круг с центром, находящимся в нуле системы координат XY, с отмеченными табличными углами 0⁰, 90⁰, 180⁰, 270⁰, 360⁰:

Как видно из рисунка, особенность этих углов заключается в том, что они в точности попадают на оси координат. Так как круг занимает все 360⁰, углы 0⁰ и 360⁰ сходятся в одной точке, надеюсь, это понятно. Из этого вытекает одно очень полезное обстоятельство, что собственно и видно в таблице – тригонометрические функции у этих углов абсолютно одинаковы.

Допустим идет экзамен, и вот в ответственный момент Вас посетили смутные сомнения – синус 0⁰ равен 0 или 1? Вот тут-то Вас и спасет один чудный прием, с помощью которого Вы получите абсолютно правильный ответ, без каких бы то ни было сомнений.

Возьмем тот же злополучный sin0⁰, заодно и cos0⁰ посчитаем (именно с этими значениями обычно и случается путаница). Воспользуемся нашим кругом и нарисуем любой понравившийся угол х, но такой, который бы лежал в первой четверти. Далее отмечаем на осях sin и cos этого угла:

А теперь возьмем и уменьшим наш угол, вот так:

Что нам подсказывает логика? При уменьшении угла х синус также уменьшается. А косинус? Правильно – увеличивается. Что же произойдет с синусом, когда угол превратится в 0 и точка А окажется на оси Х? Он также исчезнет, т.е. станет равен 0. При этом косинус вырастет до длины подвижной части угла (радиуса тригонометрического круга), т.е. 1!

Вот мы и вычислили искомые синус и косинус нуля, причем быстро, а главное – надежно. Правда – очень удобно?

Аналогично можно вычислить синус 180⁰ или косинус 270⁰.

Как видите, эта группа углов не нуждается в заучивании, достаточно воспользоваться волшебным кругом, это ведь проще, чем искать таблицу или вспоминать – правильно или неправильно.

Это же касается тангенса и котангенса. Нарисуем на круге линию тангенса или котангенса и нам всё становится видно — где он равен нулю, а где — не существует.

Идем дальше.

Вторая группа углов.

Сюда относятся следующие углы: 30⁰, 45⁰ и 60⁰. Для них также существуют табличные значения тригонометрических функций:

Я вставил сюда значения для 0⁰ и 90⁰ для завершённости первой четверти круга, мы используем это в дальнейшем.

Эти значения также необходимо знать наизусть. Но и здесь есть одна полезная особенность. Значения синусов и косинусов совпадают с точностью до наоборот, т.е. при возрастании угла от 0⁰ до 90⁰ его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус наоборот – уменьшается от 1 до 0. Это же правило касается тангенсов и катангенсов, только значения другие. Получается, что достаточно записать это правило в память и учить станет намного меньше. Для остальных углов не из этой компании это правило уже не работает, скажем для 20⁰ или 40⁰.

Переходим к следующей группе.

Третья группа углов.

Сюда входят углы:120⁰, 135⁰, 150⁰, 210⁰, 225⁰, 240⁰, 300⁰, 315⁰, 330⁰. Для них просто надо твердо знать таблицу sin и cos.

Присмотревшись к этой группе углов, мы заметим, что она состоит из углов первых двух групп. Давайте проверим:

120⁰ = 90⁰ + 30⁰

135⁰ = 90⁰ + 45⁰

150⁰ = 90⁰ + 60⁰ и т.д.

Можно для разнообразия использовать не сумму, а разность:

120⁰ = 180⁰ — 60⁰

150⁰ = 180⁰ — 30⁰ и т. д.

Однако не будем спешить. Если Вы подумали, что это же правило действует и для синусов и косинусов, то Вы ошибаетесь. Синус суммы углов совсем не равен сумме синусов каждого угла. Но разложив угол третьей группы на сумму или разность углов из первой и второй групп мы упростим себе задачу нахождения соответствующей ему тригонометрической функции, причем не используя таблицу sin и cos.

Посмотрим, как это работает на практике. Допустим, надо найти cos150⁰.

Смотрим внимательно – из каких особых углов состоит наш угол. Советую выбирать в качестве угла из первой группы 180⁰ или 360⁰, потом станет понятно почему. Ближе всех расположен угол 180⁰:

150⁰ = 180⁰ — 30⁰

Далее нарисуем знакомый тригонометрический круг, отмечаем угол 150⁰ и получаем точку А на круге и смежный угол 30⁰. Другими словами, мы взяли подвижную сторону угла, на которой уместилась точка А, когда она находилась на оси Х, и отмотали по часовой стрелке на 30⁰. При этом получили вот такую картину:

Зелёным цветом мы обозначили угол 150⁰ и его cos, а красным — вспомогательный угол в 30⁰, правда отметили его мы не по правилам, что легко поправимо:

Правильные 30⁰ отсчитаны от положительной полуоси Х. Этот угол, как и его косинус, отметим синим цветом.

Сразу становится видно, что cos150⁰ равен cos30⁰, но с противоположным знаком, ведь треугольники справа и слева одинаковы. А уж cos30⁰ мы знаем, как табличный, и тогда:

cos150⁰ = — cos30⁰ = — /2

Аналогично можно найти sin150⁰. Снова воспользуемся тригонометрическим кругом, только теперь отмечаем синус угла синус на оси У:

И снова отмечаем правильный угол в 30⁰ и его синус. Опять мы видим, что sin 150⁰ и 30⁰ равны. Пускай углы в 30⁰ находятся вне треугольников, ведь всё равно, треугольники — одинаковые.

Получаем:

sin150⁰ = sin30⁰ = 1/2

Итак, к чему же мы пришли? Любой угол из третьей группы легко разлаживается на сумму или разность углов 180⁰ (или 360⁰) и 30, 45, 60 (смотря что подойдёт). Значит, мы всегда получим на тригонометрическом круге вспомогательный угол 30⁰, 45⁰ или 60⁰. И нет абсолютно никакой разницы, в какой из 4-х четвертей получится вспомогательный угол. Достаточно лишь изобразить правильный угол, расположенный в первой четверти, и найти одинаковые треугольники и сравнить их синусы (косинусы). Вот и все. И не надо зубрить таблицу тригонометрических функций для этих углов.

Еще небольшой примерчик.

Необходимо найти cos240⁰. Обойдемся без таблицы тригонометрических функций. Разложим угол на два:

240⁰ = 180⁰ + 60⁰

Рисуем тригонометрический круг:

Мы видим, что вспомогательный угол 60⁰ находится в третьей четверти, треугольники одинаковые, поэтому ясно, что cos240⁰ = cos60⁰, но со знаком «минус», т. к. попадает на отрицательную полуось Х. Получаем:

cos240⁰ = — cos60⁰ = -1/2

заметка: для изучающих иностранные языки курсы английского языка (http://www.anglo-club.ru/napravleniya-obucheniya.html) придутся кстати.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Ещё немного о тригонометрии в вычислениях / Хабр

На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.

Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.

Математика

Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.

Начнём с простых:
(1)

• sin x = cos (90° - x)
• cos x = sin (90° - x)
• sin -x = -sin x
• cos -x = cos x
• В общем случае sin (90°N ± x) = ±cos x для нечётных N и ±sin x для чётных. -11.

  Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.

  Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.

  
  

  Пример

  Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.

  Итак, задача: вычислить значение sin x для произвольного x.

  Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x').

  Шаг 2. В зависимости от значения аргумента x' используя формулы (1) выберем нужную функцию таким образом, чтобы аргумент её был в диапазоне от 0 до 1 (включительно) (назовём x''. На этом шаге также нужно будет отметить знак получаемого результата.

  [предположим для примера, что получился синус]

  Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут «битовые поля» в двоичном представлении аргумента x'' — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.

  Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.

  Поскольку угол мы делили на pi/4, то чтобы получить остаток в радианах, его надо умножить на эту же величину. «Битовый» остаток, умноженный pi/4, обозначим как A. Тогда его синус будет равен A, а косинус — 1.

  Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:

  C12 = C1 C2 - S1 S2
  S12 = S1 C2 + C1 S2
  C123 = C12 C3 - S12 S2
  S123 = S12 C3 + C12 S3

  |sin x| = S123 + C123 A (если на шаге 2 получили синус)
  |sin x| = C123 - S123 A (если на шаге 2 получили косинус)

  Шаг 5.

  Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.
  
  

  Заключение

  Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.

  Cинус, косинус, тангенс и котангенс

  В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

  Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

  Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «

  … дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

  С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона.

  Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

  Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

  Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

  За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.

  За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

  Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

  Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

  Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

  В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

  среда, 4 июля 2018 г.

  Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

  Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

  Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

  Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

  Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

  В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

  А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

  Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

  Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

  воскресенье, 18 марта 2018 г.

  Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

  Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

  Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

  1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

  2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

  3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

  4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

  Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

  С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

  Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

  Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

  Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

  Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
  

  Открывает дверь и говорит:

  Ой! А это разве не женский туалет?
  — Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

  Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

  Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

  Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

  Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

  1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

  Всегда найдутся ученики, у которых есть проблемы с запоминанием табличных значений тригонометрических функций. Все дети разные. У одних хорошо запоминается логически построенная система знаний. Другие опираются на зрительные образы.

  В первом случае хорошо работает мнемонический способ запоминания значений тригонометрических функций. Легко увидеть закономерность: у синусов в числителях — корни целых последовательных чисел от нуля до четырех, в знаменателе — всегда число 2. У косинусов значения записываются в обратном порядке.

  Из чисел 0, 1, 4 квадратный корень легко извлекается, получаем рациональные числа.

  Образ числовой окружности помогает ученикам с развитой зрительной памятью. Чтобы легче запомнить, что значения sin α находим на оси Оу, а значения соs α — на оси Ох, применяем ассоциативный прием. Ученики придумывают подсказку — какое-нибудь слово, которое позволит «привязать» косинусы к оси Ох, а синусы — к оси Оу. Например, слово «коса» позволяет объединить кос инус и ось а бсцисс.

  Уточняем положительное направление — против часовой стрелки и отрицательное направление — по часовой стрелке).

  Ученики должны знать, где на единичной окружности находятся углы, для которых находим значения синуса и косинуса.

  На оси Ох находим точку пересечения единичной окружности и оси Ох — начальную точку. В криволинейной системе координат эта точка соответствует углу 0 радиан (0 0). В прямоугольной системе координат находим значения sin0= 0 и cos0= 1.

  Чтобы на окружности найти точку, соответствующую углу π /3 (60 0), на оси Ох находим точку с абсциссой ½ и проводим прямую, перпендикулярную оси Ох. Эта прямая пересекает окружность в точках, соответствующих углам π /3 и — π /3.

  Чтобы на окружности найти точку, соответствующую углу π /6 (30 0), на оси Оу находим точку с ординатой ½ и проводим прямую, перпендикулярную оси Оу. Эта прямая пересекает окружность в точках, соответствующих углам π /6 (30 0) и 5π /6 (150 0).

  Чтобы на окружности найти точку, соответствующую углу π /4 (45 0), проводим биссектрису I координатного угла.

  Глядя на единичную окружность, легко заметить, что точки, симметричные относительно оси Ох, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Поэтому синусы противоположных углов противоположны, а косинусы этих углов равны.

  Точки, симметричные относительно оси Оу, имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Поэтому косинусы этих углов противоположны, а синусы равны. Другими словами:

  • синусы углов равны, если сумма углов равна 180 0 ;
  • косинусы углов противоположны, если сумма углов равна 180 0 .

  Точки, симметричные относительно начала координат, имеют противоположные координаты. Поэтому углы, которые расположены диаметрально противоположно на окружности, имеют противоположные значения синусов и косинусов.

  А также видим, что синусы и косинусы острых углов равны, если сумма углов равна 90 0 .

  Рассматривая эти особенности, закрепляем также знания и по темам «Формулы приведения», «Четность функции».

  Значения тангенсов и котангенсов углов находим, используя данные таблицы, по формулам tgα = sinα / cosα, сtgα = cosα / sinα.

  Полезно запомнить расположения оси тангенсов и котангенсов для нахождения значения тангенсов и котангенсов углов, решения тригонометрических уравнений и неравенств.

  Эти методы помогают моим ученикам легко вспоминать или находить табличные значения тригонометрических функций. Надеюсь, что они помогут и другим учащимся.

  Запоминание таблицы значений тригонометрических функций — актуальная тема не только для старшеклассников, но и для самих учителей и репетиторов по математике, которые часто не могут правильно расставить акценты на особенностях таблицы и тем самым вносят дополнительные препятствия для ее использования. Чего только я не насмотрелся в тетрадях учеников за годы моей практики. Такое впечатление, что сами учителя и репетиторы не знают, как лучше действовать. Кто-то предлагает отдельные таблицы для прямых и отдельно для обратных тригонометрических функций. Кто-то предлагает тригонометр, записи с неудобным представлением самих значений функций и используют, например, вместо числа выбивающегося из общего правила . По моей статистике примерно детей не могут самостоятельно отследить закономерности математических формул и свойств, упрощающие запоминание. Школьные преподаватели не всегда обращают на них внимание и часто именно репетитор по математике открывает ребенку глаза на очевидное.

  Что должен делать репетитор по математике?

  Я запускаю на занятие некоего помощника – навигатора, позволяющего облегчить ученику запоминание важной для практического решения задач информации. Продумываются сопроводительные подсказки в теоретических шпаргалках, при которых:

  • максимально широкий охват сведений обеспечивается минимальным объемом записей.
  • информацию можно будет получать при помощи неких выявленных особенностей и закономерностей в поведении чисел

  Как этот принцип применить к запоминанию таблицы значений?

  1) Репетитору по математике следует провести своего рода экскурсию по таблице и рассказать о ее особенностях. Важно заметить, что для перевода углов из градусов в радианы, достаточно вспомнить о том, какой у этих радианов должен получиться знаменатель. это , а это .Если у ребенка хотя бы немножко работает ассоциативная память, то он будет помнить, что в «радианных знаменателях» располагаются только числа и 6. Они же стоят в разряде десятков соответствующей им градусной меры. Только тройка соответствует шестерке, шестерка тройке, а четверка (промежуточная цифра) при переходе к сохраняется. Я говорю так — тройка меняется на шестерку, шестерку на тройку, а четверка замирает и остается первой цифрой градусной меры угла .

  При переводе можно заметить, что данный угол 5 раз больше чем . Тогда, умножая радианы для на 5, получаем .

  Значения синусов и косинусов для основных углов лучше всего по таблице не смотреть, а вспомнить определение для их функций через тригонометрический круг.

  Модули значений функций углов больших cимметричны значениям для углов до . Надо только учесть отрицательные знаки косинуса, тангенса и котангенса во второй четверти.

  Репетитору по математике остается выучить с учеником главную часть таблицы. И здесь есть красивые закономерности. Если репетитор дал ученику для тригонометрической таблицы числа , то можно заметить, что если мы представим в виде , то получим единую структуру дробей и заучивать придется числа и . В этот момент ученику станет просто смешно и удивительно: почему он раньше не видел таких закономерностей.

  Осталось запомнить порядок. Так как синус в первой четверти возрастает, то большему углу соответствует большее число под корнем. Я говорю так: большему углу — больший синус. Слабому ученику я многократно повторяю: синус работает в прямом порядке: большему большее, а меньшему меньшее. Это повторение слов, как правило, откладывается в его голове.

  Легко понять. что с косинусом все наоборот: меньшему углу — больший косинус. Тоже самое выявляется у тангенсов, и котангенсов.

  В таблицу значений тангенсов репетитору по математике необходимо записать числа без выбивающегося числа , а именно так: , и . Тогда помимо соответствия меньшему — меньшее , а большему — большее тангенсы будут образованы всеми различными комбинациями действий деления чисел: 1 и . После таких аналогий 90-95 процентов учеников репетитора по математике не ошибаются в табличных значениях.

  Вычисление арксинусов, арккосинусов, арктангенсов…

  1. слово арксинус трудно и долго произносимое. Я намеренно проглатываю в некоторых ситуациях слово «синус» и говорю, например, так: для нахождения арка , требуется… Школьники понимают, о чем идет речь, а репетитор по математике при этом может акцентировать внимание на чем-то более важном.

  2. В таблице, которую вы видите ниже, специально выделена область красным цветом. Она используется для нахождения арков .

  Гениальное- просто!

  Чтобы запомнить значения синуса и косинуса, нам нужно создать табличку. Записываем в строчку градусную меру углов: ноль градусов, тридцать градусов, сорок пять градусов, шестьдесят градусов, девяносто градусов.

  2 шаг

  3 шаг

  Теперь делим каждый из этих корней на два. Все гениальное просто! Выполняем нехитрый расчет, и вот Вам пожалуйста – значения синусов.
  Согласитесь, нетрудно. Только нужно запомнить порядок выполнения действий. Записали градусы, извлекли корни и следующим этапом поделили все на два. Записываем числа, начиная с нуля.
  То есть такая своеобразная мнемоника.

  4 шаг

  А как же косинусы? Ну куда же без них! С косинусами дело обстоит не сложнее, чем с синусами. В первой строчке записываем градусную меру углов: ноль градусов, тридцать градусов, сорок пять градусов, шестьдесят градусов, девяносто градусов. Далее, подобно методу нахождения синусов, извлекаем из каждого числа корень. Делим все значения на два. Получили значения косинусов.

  5 шаг

  Также теперь, имея эти данные, можно найти тангенс угла. Напоминаю тем, кто забыл: тангенс – это отношение синуса к косинусу.

  • Согласитесь, интересный способ нахождения синусов и косинусов. Надеюсь, пригодится!) Интересная мнемоника. Кстати, есть разные способы запоминания информации, формул, в частности, и в физике. Подняло настроение): V= корень из 3 KT/M. Эту формулу можно запомнить как три кота на мясо xD)

  Табличка на двери

  Mathway | Популярные задачи

  1	Упростить	квадратный корень из s квадратный корень из s^7
  2	Упростить	кубический корень из 8x^7y^9z^3
  3	Упростить	arccos(( квадратный корень из 3)/2)
  4	Risolvere per ?	sin(x)=1/2
  5	Упростить	квадратный корень из s квадратный корень из s^3
  6	Risolvere per ?	cos(x)=1/2
  7	Risolvere per x	sin(x)=-1/2
  8	Преобразовать из градусов в радианы	225
  9	Risolvere per ?	cos(x)=( квадратный корень из 2)/2
  10	Risolvere per x	cos(x)=( квадратный корень из 3)/2
  11	Risolvere per x	sin(x)=( квадратный корень из 3)/2
  12	График	g(x)=3/4* корень пятой степени из x
  13	Найти центр и радиус	x^2+y^2=9
  14	Преобразовать из градусов в радианы	120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

  Урок геометрии в 8 классе «Значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов»

  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

  «Завет-Ленинская школа-детский сад»

  Джанкойского района Республики Крым

  Конспект урока геометрии

  в 8 классе

  «Значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов»

  учитель математики

  МБОУ «Завет-Ленинская школа-

  детский сад»

  Гординская Наталия Григорьевна

  с. Завет-Ленинский, 2022

  Тема урока: Значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов.

  Цели урока:

  Образовательные:

  • научить учащихся вычислять значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30^ᵒ, 45ᵒ, 60ᵒ;

  • формировать навыки решения прямоугольных треугольников, используя синус, косинус и тангенс острого угла;

  • научить использовать «Четырёхзначные таблицы» Брадиса, для нахождения значений синуса, косинуса и тангенса острых углов.

  Развивающие:

  • развивать логическое мышление учащихся;

  • внимание, память, культуру математической речи и записей.

  Воспитательные:

  • воспитывать интерес к математике, настойчивость, активность, трудолюбие.

  Оборудование: учебник, четырёхзначные таблицы Брадиса, пректор, интерактивная доска.

  Тип урока: усвоение новых знаний.

  План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний учащихся.

  3. Изучение нового материала.

  4. Физкультминутка.

  5. Закрепление изученного материала.

  6. Подведение итогов урока.

  7. Рефлексия.

  8. Домашнее задание.

  Ход урока.

  1. Организационный момент.

  Проверить готовность к уроку, присутствующих. Сообщить тему урока, сформулировать цели.

  Учитель. Ребята откройте свои тетради и запишите тему сегодняшнего урока «Значения синуса, косинуса, и тангенса стандартных углов.». Сегодня на уроке мы с вами заполним таблицу значений синуса, косинуса и тангенса углов 30^ᵒ 45ᵒ и 60ᵒ и выясним почему именно такие значения имеют эти углы.

  1. Актуализация опорных знаний учащихся.

  1. Проверка домашнего задания.

  Проверить устно домашние задачи № 591 (в, г), № 592 (в, г). Один из учащихся читает свое решение, остальные проверяют. Если возникли вопросы учитель на них отвечает.

  1. Решение задачи по готовому чертежу.

  Найти sin A, cos A, tg A, sin B, cos B, tg B.

  1. Фронтальный опрос.

  • Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?

  • Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

  • Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

  1. Изучение нового материала.

  Изобразите в тетради треугольник угол С=90^ᵒ, угол А=30ᵒ, угол В=60ᵒ.

  Приготовьте для заполнения таблицу:

  α	30ᵒ	45ᵒ	60ᵒ
  sin α
  cos α
  tg α		1

  Найдём сначала значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30ᵒ и 60ᵒ. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Так, как катет, лежащий против угла в 30ᵒ, равен половине гипотенузы, то = , но = sin A = sin 30ᵒ.

  С другой стороны = cos B = cos 60ᵒ.

  Итак sin 30ᵒ = , cos 60ᵒ = , занесём данные в таблицу.

  Из основного тригонометрического тождества sin² α + cos² α = 1, найдём:

  cos 30ᵒ = = =

  sin 60ᵒ = = = , занесём значения в таблицу.

  Найдём: tg 30ᵒ = = =

  tg 60ᵒ = = , занесём значения углов в таблицу.

  Найдём теперь sin 45ᵒ, cos 45ᵒ и tg45ᵒ. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, АС = ВС, угол А равен углу В и равен 45ᵒ.

  По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС² = 2 АС² = 2 ВС², откуда АС = ВС =

  sin 45ᵒ = sin A = = =

  cos 45ᵒ = cos A = = =

  tg 45ᵒ = tg A = = 1, занесём данные в таблицу.

  Мы с вами получили таблицу значений синуса, косинуса и тангенса стандартных углов. Эти значения ребята вам необходимо выучить, так как они будут встречаться чаще всего в задачах. Значения тех углов, которых нет в данной таблице вы найдёте в четырёхзначных таблицах Брадиса (рассказать учащимся, как использовать таблицы Брадиса для определения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов любой градусной меры.)

  Дополнительная информация по теме.

  Существует механическое правило вычисления значений синуса, косинуса и тангенса углов 0^ᵒ, 30ᵒ, 45ᵒ, 60ᵒ, 90ᵒ.

  1.В первой строчке таблицы записываются значения углов; во второй цифры от 0 до 4; в третьей цифры от 4 до 0.

  2. У каждой цифры ставится знак квадратного корня.

  3.Извлекается корень; ставится дробная черта и в знаменателях ставятся двойки

  .

  4. Выполняется деление чисел и затем вычисляются значения тангенса.

  Если у учащихся возникнут вопросы по поводу значений синуса, косинуса и тангенса углов 0ᵒ и 90ᵒ можно на примере единичной окружности объяснить почему именно такие значения имеют эти углы.

  1. Физкультминутка.

  «Мы ногами топ- топ,

  Мы руками хлоп-хлоп!

  Мы глазами миг-миг,

  Мы плечами чик-чик.

  Повернись вокруг себя

  Влево, вправо – раз и два!

  Раз – присели, два привстали

  Руки вверх мы все подняли.»

  1. Закрепление изученного материала.

  Коллективное решение заданий из учебника под руководством учителя.

  № 594

  Наводящие вопросы к задаче:

  • Как найти острый угол прямоугольного треугольника, если другой острый угол равен β?

  • Какая связь существует между катетом, противолежащим ему углом и гипотенузой?

  • Как взаимосвязаны два катета прямоугольного треугольника и один из его острых углов?

  • Как используя четырёхзначные таблицы Брадиса, найти sin 50ᵒ, tg 50ᵒ.

  Самостоятельно выполнить № 596.

  1. Подведение итогов урока.

  В конце урока учащимся предлагается наклеить в тетради стикер: зелёный – понравилось всё; красный – не понравилось; жёлтый – понравились отдельные моменты.

  1. Рефлексия.

  Ребята! На полях в тетради после каждого задания нарисуйте:

  Все понятно

  Понятно частично

  Ничего не понятно

  1. Домашнее задание.

  Пункт учебника 69 – изучить, табличные значения стандартных углов выучить, выполнить № 595

  Дополнительная задача:

  В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 11 см, меньшая боковая сторона равна 4 см. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла трапеции.

  Урок 7. Введение в тригонометрию.

  Практика 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

   

   

  Подготовка к ЕГЭ по математике 

   

  Эксперимент 

  Урок 7. Введение в тригонометрию. 

  Практика

  Конспект урока

  Давайте сразу договоримся, что не все задания, которые мы с вами рассмотрим в теме тригонометрия, будут типовыми для ЕГЭ, некоторые задачи мы необходимо научиться решать, т.к. они могут оказаться частью решения более сложного задания.

  Главным образом, рассматриваемые сегодня задачи, будут ориентированы на задания типа В7.

   

  Формулы перевода углов из градусов в радианы и наоборот

   

   

   

   

   Задача №1. Выразить в радианах углы: а) ; б) .

   

  Воспользуемся формулой

  а) ;

  б) .

   

  Задача №2. Выразить в градусах углы: а) ; б) .

  Воспользуемся формулой

  а) ;

  б) .

   

  Вычисление значений тригонометрических функций

   

   

  Одной из важнейших задач в тригонометрии является умение вычислять значения тригонометрических функций. Как правила задача сформулирована так, что для этого можно воспользоваться или таблицей значений тригонометрических функций или свести задачу к этому. Первый тип заданий мы из-за очевидности рассматривать не будем, а разберемся со вторым. 

   

  Задача №3. Вычислить .

  Как видим, угол не табличный, поэтому используя тот факт, что при изменении значения аргумента на период значение функции не меняется, преобразуем выражение к табличной форме:

  В конце получили табличное значение.

  К решению можно подойти и более рационально, если просто изначальный угол разделить на период, т.е. в нашем случае на 360, и выписать остаток от деления. Именно на этот остаток и можно заменить исходный угол в тригонометрической функции.

  Ответ. 0,5.

   

  Задача №4. Вычислить .

  Указанный угол опять не является табличным, уменьшим его на какое-то количество периодов тангенса, т.е. на несколько . Для этого в аргументе выделим целую часть:

   

  Ответ. 1.

   

  Выражение одних тригонометрических функций через другие

   

   

  Теперь рассмотрим типичные задания на получения значений одних тригонометрических функций через другие.

   

   

  Задача №5. Вычислить значение косинуса угла , если известно, что  и .

  Стандартная формула, которая устанавливает связь между синусом и косинусом одного аргумента – это так называемая «тригонометрическая единица». Из нее мы и выразим искомый косинус:

   

  Получить в последнем выражении  очень важно, т.к. значение арифметического корня только неотрицательно, а синус и косинус могут принимать отрицательные значения. Стандартная ошибка – это пропустить этот нюанс и, не задумываясь, найти положительное значение.

  На этом этапе решения пора обратить внимание на непонятное вначале ограничение на угол . Из него мы можем сделать вывод, каким по знаку будет значение косинуса. Это проще всего вспомнить с помощью тригонометрической окружности:

  Поскольку наш угол относится ко второй четверти, то знак косинуса будет отрицательным.

  Ответ: .

   

  Задача №6. Вычислить значение синуса угла , если известно, что  и .

  Взаимосвязь тангенса с синусом можно попробовать установить с помощью второго основного тригонометрического тождества: , однако в нем присутствует косинус, значение которого нам не известно. Но мы умеем выражать его через синус, как в предыдущем примере. Чтобы избежать извлечения корня, сразу возведем обе части тождества в квадрат:

  Выразим из этого тождества синус:

  Аналогично предыдущему примеру на этом этапе определяем знак синуса по тригонометрической окружности. Поскольку угол лежит в первой четверти, то можно даже не рисуя окружность мысленно представить, что значения всех тригонометрических функций для этого диапазона положительны.

  Ответ. 0,5.

   

  Тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических тождеств

   

   

  Сейчас мы рассмотрим тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических тождеств. Эти умения могут, например, пригодиться при упрощении сложных уравнений.

   

  Задача №7. Упростить выражение .

  Сначала раскроем скобки по формулам квадрата суммы и разности

  Воспользовались первым тригонометрическим тождеством.

  Ответ. 2.

  Задача №8. Упростить выражение .

  Воспользуемся четвертым основным тригонометрическим тождеством:

  Ответ. 1.

  Конечно же не всегда тригонометрические выражения удается упростить до вида чисел, мы просто привели самые яркие примеры.

  Задача №9. Вычислить значение выражения , если .

  Для приведения к тангенсам разделим числитель и знаменатель дроби на , это можно сделать, т.к. косинус не равен нулю, если существует значение тангенса.

  В этом решении стоит обратить внимание на способ получения тангенсов в выражениях, содержащих синусы и косинусы.

  Ответ. 3.

   

  Формулы приведения

   

   

  Теперь разберем несколько примеров на формулы приведения.

   

  Задача №10. Упростить выражение .

  В теоретической части урока мы обсуждали, какие выражения можно упростить с помощью формул приведения, и указанная функция к ним относится.

  Для решения нам необходимо выполнить два шага: определить какая функция останется в итоге, и какой у нее будет знак.

  Поскольку данное выражение содержит аргумент, измененный на половинное число частей , то функция меняется на кофункцию, т.е. на .

  Знак определяем с помощью тригонометрической окружности:

   

  Удобно сначала отложить в отрицательном направлении (по часовой стрелке) известный угол , а затем от него в положительном направлении (против часовой стрелки) произвольный острый угол . Как видим, сторона угла попала во вторую четверть, где синус положителен. Значит, положителен будет и упрощенный нами косинус:

  Важно обратить внимание на стандартную ошибку, когда путают знак какой из функций определять, той, что была до преобразований, или той, которая получилась после. Т.е. в нашем примере определять знак синуса или косинуса. Конечно же, определяем знак той функции, которая преобразовывается, т.е. была изначально (в нашем примере это синус).

  Ответ. .

  Рассмотрим теперь более сложный пример.

  Задача №11. Упростить выражение .

  Это выражение содержит тригонометрические функции, которые упрощаются с помощью формул приведения. Однако аргументы изменены не на привычные небольшие значения углов, а на большие значения. Упростим каждую из тригофункций отдельно, уменьшая значения изменений аргументов с использованием свойств периодичности.

  Вспомним, что период синуса и косинуса равен , а тангенса и котангенса . Функция при добавлении и вычитании этих значений не изменится.

   

  Последнее равенство объясняется и без использования формул приведения, а по свойству нечетности функции синус.

   

  Аргумент уменьшен на 12 периодов, после этого отмечаем, что функция меняется на кофункцию, т.к. произвольный угол  изменен на половину . Знак определяем по тригонометрической окружности. Угол попадает в первую четверть, а в ней тангенс положителен.

     

  Вычитаем два периода, меняем на кофункцию, угол попадает во вторую четверть, в которой косинус отрицательный.

   

  Вычли 17 периодов и воспользовались свойством нечетности котангенса.

  Подставим все упрощенные выражения в исходное:

  Ответ. .

   

  Заключение

   

   

  На практическом занятии мы рассмотрели основные типовые задачи на перевод углов из градусов в радианы и наоборот, на выражение одних тригофункций через другие, на преобразования тригофункций с использованием основных триготождеств и на формулы приведения.

   

  Таблицы синусов Диаграмма угла от 0° до 90°

  Расчет математических чисел онлайн, формулы, Расчет алгебры онлайн, формулы, Матричный расчет, формулы, Цифровой расчет, Статистические расчеты

  Таблицы синусов Таблица углов от 0° до 90°

  Тригонометрические онлайн-таблицы

  От 0° до 15°	от 16° до 31°	от 32° до 45°
  sin(0°) = 0	sin(16°) = 0,275637	sin(32°) = 0,529919
  sin(1°) = 0,017452	sin(17°) = 0,2		sin(33°) = 0,544639
  sin(2°) = 0,034899	sin(18°) = 0,309017	sin(34°) = 0,559193
  sin(3°) = 0,052336	sin(19°) = 0,325568	sin(35°) = 0,573576
  sin(4°) = 0,069756	sin(20°) = 0,34202	sin(36°) = 0,587785
  sin(5°) = 0,087156	sin(21°) = 0,358368	sin(37°) = 0,601815
  sin(6°) = 0,104528	sin(22°) = 0,374607	sin(38°) = 0,615661
  sin(7°) = 0,121869	sin(23°) = 0,3	sin(39°) = 0,62932
  sin(8°) = 0,139173	sin(24°) = 0,406737	sin(40°) = 0,642788
  sin(9°) = 0,156434	sin(25°) = 0,422618	sin(41°) = 0,656059
  sin(10°) = 0,173648	sin(26°) = 0,438371	sin(42°) = 0,669131
  sin(11°) = 0,1	sin(27°) = 0,45399	sin(43°) = 0,681998
  sin(12°) = 0,207912	sin(28°) = 0,469472	sin(44°) = 0,694658
  sin(13°) = 0,224951	sin(29°) = 0,48481	sin(45°) = 0,707107
  sin(14°) = 0,241922	sin(30°) = 0,5
  sin(15°) = 0,258819	sin(31°) = 0,515038

  854

  46° до 60°	от 61° до 75°	от 76° до 90°
  sin(46°) = 0,71934	sin(61°) = 0,87462	sin(76°) = 0,970296
  sin(47°) = 0,731354	sin(62°) = 0,882948	sin(77°) = 0,97437
  sin(48°) = 0,743145	sin(63°) = 0,8	sin(78°) = 0,978148
  sin(49°) = 0,75471	sin(64°) = 0,898794	sin(79°) = 0,981627
  sin(50°) = 0,766044	sin(65°) = 0,	sin(80°) = 0,984808
  sin(51°) = 0,777146	sin(66°) = 0,5	sin(81°) = 0,987688
  sin(52°) = 0,788011	sin(67°) = 0,
  sin(82°) = 0,9
  sin(53°) = 0,798636	sin(68°) = 0,	sin(83°) = 0,9
  sin(54°) = 0,809017	sin(69°) = 0,		sin(84°) = 0,994522
  sin(55°) = 0,819152	sin(70°) = 0,939693	sin(85°) = 0,996195
  sin(56°) = 0,829038	sin(71°) = 0,945519	sin(86°) = 0,997564
  sin(57°) = 0,838671	sin(72°) = 0,951057	sin(87°) = 0,99863
  sin(58°) = 0,848048	sin(73°) = 0,956305	sin(88°) = 0,999391
  sin(59°) = 0,857167	sin(74°) = 0,961262	sin(89°) = 0,999848
  sin(60°) = 0,866025	sin(75°) = 0,965926	sin(90°) = 1

  Работает на mymathtables. com

  Подробнее тригонометрические страницы

  Таблица котангента от 0 ° до 90 °

  Таблица котангента 91 ° до 180 °

  Таблица котангента от 181 ° до 270 °

  Таблица котангта 271 ° 360 ° 366666666666666666666666666666666666666666666666666666666.

  66666.

  6.

  6.

  6.

  .

  .

  .

  .

  .

  .

  .

  . Таблица касательной от 0° до 90°

  Таблица касательной от 91° до 180°

  Таблица касательной от 181° до 270°

  Таблица касательной 271 ° до 360 °

  Рекомендуемые страницы

  Таблица синуса от 0 ° до 90 °

  Таблица синуса 91 ° до 180 °

  Таблица сетки от 181 ° до 270 ° 9000 3

  6 3

  6 3

  6 3

  6 3

  666 3

  6 3

  6 3

  6 3

  6 3

  6 3

  6 3

  6 3

  6.666 3

  6 3

  6.666 3

  6 3

  6.

  . Таблица синуса от 271° до 360°

  Таблица косинуса от 0° до 90°

  Таблица косинуса от 91° до 180°

  Таблица косинуса от 181° до 270°

  Таблица косинуса от 271° до 360°

  Математические таблицы умножения

  Математическая таблица умножения для учащихся в простейшей форме.

  раза трюки и стратегии таблицы

  Таблица Table Self Test

  Math Symbol & Terminology

  Таблицы Таблицы

  Популярные математические диаграммы

  Типы обучения математических номеров

  Неограниченное время Times Table Generator

  Time Time Time Generator

  666 Один щелчок Таблица умножения Генератор ответов

  Интерактивный генератор викторин по таблице умножения

  Таблица сотен

  Другие таблицы

  Что такое синус в математике?

  Синус — тригонометрическая функция угла. Синус угла определяется в контексте прямоугольного треугольника: для указанного угла это отношение длины стороны, противоположной этому углу, к длине самой длинной стороны треугольника (деленное на нее). (так называемая гипотенуза).

  Что такое значение синуса 0°?

  = 0

  Что такое значение синуса 30°?

  = 0,5

  Значение синуса 90°?

  = 1

  Таблица синуса в радианах

  команда table angular_style — документация LAMMPS

  Варианты ускорителя: стол/комп

  Синтаксис

   стиль таблицы angle_style N
   

  Примеры

   Angle_style table linear 1000
  angle_coeff 3 файл. таблица ENTRY1
   

  Описание

  Стиль таблица создает интерполяционные таблицы длины N из угла потенциальные и производные значения, перечисленные в файле (файлах) как функция angle Файлы читаются с помощью функции angle_coeff. команда.

  Таблицы интерполяции создаются путем подгонки кубических сплайнов к значений файлов и интерполяции значений энергии и производных в каждом из N уголки. Во время моделирования эти таблицы используются для интерполяции значения энергии и силы на отдельных атомах по мере необходимости. интерполяция выполняется в одном из 2-х стилей: линейный или сплайновый .

  Для линейного стиля угол используется для нахождения 2 окружающих таблиц. значения, из которых энергия или ее производная вычисляются линейным интерполяция.

  Для стиля сплайна вычисляются коэффициенты кубического сплайна и хранятся в каждом из значений N в таблице. Угол используется для найти соответствующий набор коэффициентов, которые используются для оценки кубический многочлен, который вычисляет энергию или производную.

  Следующие коэффициенты должны быть определены для каждого типа угла через angular_coeff, как в примере выше.

  • имя файла

  • ключевое слово

  Имя файла указывает на файл, содержащий табличные значения энергии и производные значения. Ключевое слово указывает раздел файла. формат этого файла описан ниже.

  ---

  Формат табличного файла следующий (без комментарии в скобках):

   # Угловой потенциал гармоники (один или несколько комментариев или пустых строк)
  HAM (ключевое слово — первый текст в строке)
  N 181 FP 0 0 EQ 90.0 (параметры N, FP, EQ)
                                (пустая строка)
  1 0,0 200,5 2,5 (индекс, угол, энергия, производная)
  2 1,0 198,0 2,5
  ...
  181 180,0 0,0 0,0
   

  Раздел начинается с непустой строки, первый символ которой не является «#»; пустые строки или строки, начинающиеся с «#», могут использоваться в качестве комментариев между разделами. Первая строка начинается с ключевого слова, которое идентифицирует раздел. Строка может содержать дополнительный текст, но исходный текст должен соответствовать аргументу, указанному в команда angular_coeff. В следующей строке перечислены (в любом порядок) один или несколько параметров для таблицы. Каждый параметр представляет собой ключевое слово, за которым следует одно или несколько числовых значений.

  Параметр «N» является обязательным и его значение является номером таблицы записи, которые следуют. Обратите внимание, что это может отличаться от N . указанный в команде таблицы angle_style. Позволять Ntable = N в команде angle_style и Nfile = «N» в табличный файл. Что делает LAMMPS, так это предварительная интерполяция создание сплайнов с использованием табличных значений Nfile в качестве узловых точек. Это использует их для интерполяции по мере необходимости для генерации энергии и производной значения в Ntable разных точках. Полученные таблицы длины Затем Ntable используются, как описано выше, при вычислении энергии и силы для отдельных углов и их атомов. Это означает, что если вы хотите, чтобы интерполяционные таблицы длины Ntable точно соответствовали тому, что находится в табличном файле (фактически без предварительного интерполяции), вы должны установить Ntable = Nfile.

  Параметр «FP» является необязательным. Если используется, за ним следуют два значения fplo и fphi, которые являются вторыми производными в самой внутренней и настройки крайнего угла. Эти значения нужны сплайну строительные будни. Если не указано параметром «FP», они оцениваются (менее точно) по первым двум и двум последним значения производных в таблице.

  Параметр «EQ» также является необязательным. Если используется, за ним следует значение угла равновесия, которое используется, например, командой fix shake. Если не используется, угол равновесия равен установить на 180,0.

  После пустой строки в следующих N строках перечислены табличные значения. В каждой строке первое значение — это индекс от 1 до N, второе значение — это значение угла (в градусах), третье значение – энергия (в энергии единиц), а четвертая -dE/d(тета) (также в энергетических единицах). Третий терм – энергия 3-атомной конфигурации для заданного угол. Последний член представляет собой производную энергии по угол (в градусах, а не в радианах). Таким образом, единицы последнего слагаемого по-прежнему являются энергией, а не силой. Значения углов должны увеличиваться с единицы очередь к следующей. Значения углов также должны начинаться с 0,0 и заканчиваться с 180,0, т.е. охватывает весь диапазон возможных углов.

  Обратите внимание, что один файл может содержать множество разделов, каждый из которых имеет табличное потенциал. LAMMPS читает файл раздел за разделом, пока не найдет тот, который соответствует указанному ключевому слову.

  ---

  Стили с суффиксом gpu , intel , kk , omp или opt функционально такой же, как соответствующий стиль без суффикса. Они были оптимизированы для более быстрой работы в зависимости от доступных оборудование, как обсуждалось в пакетах Accelerator страница. Ускоренные стили принимают те же аргументы и должны дают те же результаты, за исключением проблем с округлением и точностью.

  Эти ускоренные стили являются частью GPU, INTEL, KOKKOS, Пакеты OPENMP и OPT соответственно. Они включаются, только если LAMMPS был создан с использованием этих пакетов. Дополнительную информацию см. на странице сборки пакета.

  Вы можете явно указать ускоренные стили в своем сценарии ввода. включив их суффикс, или вы можете использовать ключ командной строки -suffix при вызове LAMMPS, или вы можете использовать suffix в вашем сценарии ввода.

  Дополнительные сведения см. на странице пакетов ускорителей. инструкции по эффективному использованию ускоренных стилей.

  ---

  Перезапуск, fix_modify, вывод, запуск/остановка, минимизация информации

  Этот стиль угла записывает настройки для «таблицы стиля угла» команда для двоичного перезапуска файлов, поэтому angular_style команду не нужно указывать во входном скрипте, который читает перезапустить файл. Однако информация о коэффициенте не сохраняется в файл перезапуска, так как он указан в потенциальных файлах. Таким образом, Команды angular_coeff необходимо указывать во входных данных перезапуска. сценарий.

  Ограничения

  Этот стиль угла можно использовать только в том случае, если LAMMPS был создан с Пакет МОЛЕКУЛА. См. страницу документации пакета сборки. для получения дополнительной информации.

  По умолчанию

  нет

  Таблица тригонометрических соотношений — функции, таблица углов | Физика Валлах

  Математика Сомнения

  Слово тригонометрия происходит от греческих слов Trigonometria, означающих измерение треугольника. По сути, тригонометрия — это наука о соотношении сторон и углов треугольника. В этой главе мы изучим некоторое отношение сторон прямоугольного треугольника к его острым углам, называемое тригонометрическим отношением угла. Мы ограничим наше обсуждение только острым углом. Однако эти отношения можно распространить и на другие углы. также. Мы также определим тригонометрические отношения для углов измерения 0 ^o и 90 ^o . Мы вычислим тригонометрические соотношения для некоторых конкретных углов и установим некоторые тождества, включающие эти соотношения, называемые тригонометрическими тождествами.

  Тригонометрия является вспомогательной ветвью математики. Он в основном включает изучение углов, длин и взаимосвязей с другими углами. Много раз студенты сталкиваются с серьезными проблемами в понимании всех этих аспектов. Здесь команда Physics Wallah представила исчерпывающую таблицу тригонометрии для студентов. Эта таблица в основном состоит из прямых углов и других вспомогательных углов.

  Значение таблицы тригонометрии восходит к древним временам и имеет решающее значение даже сегодня. Эта таблица имеет большое значение как в научных, так и в математических расчетах. Этот расчет можно легко рассчитать, изучив эту таблицу. Во многих геометрических вычислениях можно легко разобраться, используя таблицу Тригонометрических функций , а также формулы.

  Содержание

  Почему важна тригонометрия? Как эффективно изучать тригонометрическую таблицу? Почему Physics Wallah лучше всего подходит для тригонометрических трюков? Таблица тригонометрических соотношений 0 и 90 О таблице тригонометрии Использование тригонометрической таблицы Тригонометрические функции дополнительных углов Тригонометрические тождества Уголок Различные единицы измерения углов Важные формулы тригонометрии Часто задаваемые вопросы (FAQ)

  Эти приложения к этой таблице ограничены не только 12-м классом, но и профессиональными курсами, такими как инженерное дело. Учащимся необходимо знать, что на основе этих таблиц были заложены основы первых механических устройств.

  Тригонометрические значения могут быть очень полезны при рассмотрении сложных вычислений. Даже сегодня очень сложные расчеты спутников и ракет выполняются на основе тригонометрических величин. Простота определения значений для разных углов сделала эту таблицу наиболее популярной. Запоминание этих тригонометрических таблиц является важным аспектом для того, чтобы студент явился на экзамены. Эта таблица не только поможет вам точно ответить, но и сделает ваши расчеты достаточно быстрыми. Через него можно узнать, насколько взаимосвязаны тригонометрические величины и формулы.

  С помощью таблицы тригонометрии можно легко найти значения 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Эти таблицы были очень эффективны, когда не было электронных калькуляторов. Эти формулы очень легко запомнить, и учащиеся держат все значения на кончиках языка. Основные функции, такие как Cos, Sine, Tan, Cot, Cosec, Sec, могут быть легко определены с помощью этой таблицы. Команда Physics Wallah состоит из экспертов с огромным опытом оказания качественной помощи студентам. Решите Тригонометрические вопросы подготовлены экспертами.

  Как эффективно изучать тригонометрическую таблицу?

  Эта тригонометрическая таблица полезна не только для школ или экзаменов, но и для конкурсных экзаменов. Студенты с полным знанием таблицы тригонометрии могут получить более высокие оценки по сравнению со своими сверстниками. Команда Physics Wallah состоит из экспертов, успешно сдавших различные экзамены национального уровня. С помощью этой таблицы учащиеся могут существенно повлиять на свои общеиндийские рейтинги.

  Команда не только предоставила учащимся полную таблицу тригонометрии, но и дала советы по ее запоминанию. Большинство учащихся не могут вспомнить значения таблицы и в конечном итоге теряют легкие оценки.

  Почему Physics Wallah лучше всего подходит для тригонометрических трюков?

  Студенты могут напрямую загрузить полную и точную таблицу с веб-сайта Physics Wallah. Для того, чтобы студенты могли комфортно изучать каждый аспект. Команда также предоставила секретные советы и приемы для решения критических проблем с тригонометрическими значениями.

  Сама идеология сделать образование доступным для всех. Команда Physics Wallah проверила все значения в таблице тригонометрии на наличие расхождений. Мы предоставили полную таблицу бесплатно. Студенты могут загрузить полную таблицу одним щелчком мыши. Все, что нужно сделать студентам, это зарегистрироваться у нас. Поднимитесь по лестнице к успеху с Physics Wallah.

  Таблица тригонометрических отношений 0 и 90

  Посмотрим, что происходит с тригонометрическими отношениями угла А, если в прямоугольном треугольнике АВС становится все меньше и меньше. Точка c приближается к точке B и, наконец, когда РA становится очень близкой к 0 ^или , AC становится почти таким же, как AB.

  Углы (в градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
  Углы (в радианах)	0	№/6	№/4	№/3	№/2	№	3π/2	2π
  грех	0	1/2	1/√2	3/√2	1	0	-1	0
  потому что	1	√3/2	1/√2	1/2	0	-1	0	1
  желтовато-коричневый	0	1/√3	1	√3	Не определено	0	Не определено	1
  детская кроватка	Не определено	√3	1	1/√3	0	Не определено	0	Не определено
  косек	Не определено	2	√2	2/√3	1	Не определено	-1	Не определено
  сек	1	2/√3	√2	2	Не определено	-1	Не определено	1

  О тригонометрической таблице

  Тригонометрия является одним из самых древних предметов, изучаемых учеными всего мира. Астрономы использовали тригонометрию для расчета расстояния от Земли до планет и звезд. Тригонометрия также используется в географии для построения карт, определения положения острова относительно к долготе и широте и т. д.

  Темы для обсуждения

  • Тригонометрические соотношения
  • Тригонометрические тождества
  • Углы тригонометрии
  • Дополнительные отношения
  • Другие соотношения тригонометрии
  • Высота и расстояние

  Пусть А будет вершиной башни, а С будет глазом человека, откуда он наблюдает за вершиной башни, тогда АС называется линией визирования. Угол, образованный линией визирования с горизонтальным уровнем, равен называется углом возвышения вершины башни от глаз человека. Прочитайте учебник NCERT и решите вопросы, возьмите справку из Physics Wallah Решения NCERT для 10 класса по математике .

  Следовательно, линия визирования — это линия, проведенная от глаза наблюдателя к точке на объекте, наблюдаемом наблюдателем, т. е. угол возвышения рассматриваемой точки — это угол, образованный линией визирования с горизонтом при наблюдаемая точка находится выше горизонтального уровня. Пусть С — объект, а А — глаз человека, откуда он наблюдает объект С, тогда АС называется линией зрения. Угол, образованный таким образом линией зрения прицеливания с горизонтальным уровнем называется углом наклона предмета от глаза человека. Следовательно, линией прицеливания называется линия, проведенная от глаза углового наблюдателя к точке на предмете, наблюдаемом наблюдателем, т. е. угол, образуемый таким образом линией визирования с горизонтальным уровнем, называется углом депрессии. Угол наклона точки на просматриваемый объект — это угол, образованный линией взора с уровнем горизонта, когда точка находится ниже уровня горизонта, т. е. случай, когда мы опускаем голову, чтобы посмотреть на просматриваемую точку .

  Теперь в правой △ABC у нас есть

  до нашей эры || AD и AC — трансверсаль

  ∠ACB = ∠CAD

  ∠θ = ∠θ

  Следовательно, угол возвышения = угол падения

  Использование тригонометрической таблицы

  Академическая группа Physics Wallah разрабатывает использование таблицы тригонометрии в следующем PDF-файле. как решить числовое значение, используя правильное использование таблицы тригонометрии. Настоятельно рекомендуется, чтобы учащиеся запомнили таблицу тригонометрии для дальнейшего использования. Таблица тригонометрии используется почти во всех главах тригонометрии во всех классах, поэтому подробно ознакомьтесь с теорией тригонометрии. . См. таблицу тригонометрии и вопросы по тригонометрии, подготовленные Physics Wallah.

  Тригонометрические функции дополнительных углов

  Перед началом лучше постараться запомнить эти значения и знать следующие тригонометрические формулы. Потому что, если вы заранее хорошо знаете шаблоны, вам будет легко попытаться задать вопросы. Каждая функция связана с соответствующей функцией. Как и в приведенных ниже формулах, вы обнаружите, что функция sin связана с функцией cos и наоборот. Кроме того, функция is связана с функцией tan и наоборот. Вторая функция секи также связана с функцией кроватки и наоборот.

  • sin x = cos (90°- x)
  • cos х = грех (90°- х)
  • загар х = кроватка (90°- х)
  • кроватка х = загар (90°- х)
  • сек х = раскладушка (90°- х)
  • кроватка х = сек (90°- х)
  • 1/sin x = 1/cos x = sin x
  • 1/cos х = сек х
  • 1/сек х = cos х
  • 1/загар х = детская кроватка х
  • 1/детская кроватка х = загар х

  Тригонометрические тождества

  Слово «тригонометрия» означает «измерение трех углов». Оно происходит от греческих слов три, гония, метрон, три означает три, гония означает угол, а метрон означает мера.

  Уголок

  Угол — это величина поворота вращающейся линии по отношению к неподвижной линии.

  Примечание: Если вращение происходит по часовой стрелке, измеренный угол будет отрицательным, а при вращении против часовой стрелки он будет положительным.

  Решите ли вопросы тригонометрии для практики.

  Различные единицы измерения углов

  Шестидесятеричная система (или) Британская система

  В шестидесятеричной системе прямой угол делится на 90 равных частей, называемых градусами. Кроме того, каждый градус делится на шестьдесят равных частей, называемых минутами, а каждая минута делится на шестьдесят равных частей, называемых секундами.

  Таким образом, 1 прямой угол = 90 градусов (90°)

  1° = 60 минут (60 центов)

  1¢ = 60 секунд (60¢¢)

  Столетняя система или французская система

  1 прямой угол делится на 100 равных частей. Каждая часть называется классом.

  1 прямой угол = 100 градаций (100 ^г )

  1 класс = 100 минут (100 центов)

  1 минута = 100 секунд (100¢¢)

  Радиан

  Угол, образованный дугой, длина которой равна радиусу данной окружности в ее центре, называется одним радианом.

  Связь между градусом и радианом.

  Если D — градусная мера угла, а R — его мера в радианах.

  Важные формулы тригонометрии

  1. В прямоугольном треугольнике

  ON = x, NP = y и OP = r, ∠PON = θ, ∠PNO = 90

  • sinθ = противоположная сторона / гипотенуза = NP/OP = y/r
  • cosθ = соседняя сторона / гипотенуза = ON/OP = x/r
  • tanθ = Противоположная сторона / Смежная сторона = NP/ON = y/x
  • cosecθ = Гипотенуза / Противоположная сторона = OP/NP = r/y
  • secθ = Гипотенуза / Смежная сторона = OP/ON = r/x
  • cotθ = Смежная сторона / Противоположная сторона = ON/NP = x/y

  2. sinθ.cosecθ = 1 = sinθ = 1/cosecθ = 1/sinθ

  3. cosθ.secθ = 1 = cosθ = 1/secθ = cotθ = 1/cosθ

  4. tanθ.cotθ = 1 = tanθ = 1/cotθ = cotθ = 1/tanθ

  5. tanθ = sinθ/cosθ

  6. cotθ = cosθ/sinθ

  Для всех значений θ

  • sin ² θ + cos ² θ = 1
  • сек ² θ — загар ² θ = 1
  • cosec ² θ — раскладушка ² θ = 1

  Часто задаваемые вопросы (FAQ)

  Q1. Как выучить таблицу тригонометрии

  Ответ. Прочтите следующие шаги, упомянутые ниже:

  1. Составьте таблицу тригонометрии. Нарисуйте свою таблицу так, чтобы она имела шесть строк и шесть столбцов.
  2. Заполните значения для столбца синуса. Используйте значение √x/2, чтобы заполнить пустые записи в этом столбце.
  3. Теперь поместите записи столбца синуса в столбец косинуса в обратном порядке. Математически sin x° = cos (90-x)° для любого значения x.
  4. Разделите ваши значения синуса на значения косинуса, чтобы заполнить столбец тангенса. мы знаем, тангенс = синус/косинус.
  5. Поменяйте местами значения записей в столбце синуса, чтобы найти косеканс угла.
  6. Поместите значения записей из столбца косинуса в обратном порядке в столбец секущей.
  7. Теперь заполните столбец котангенса, поменяв местами значения из столбца касательной.

  Q2. Как вы помните тригонометрическую таблицу?

  Ответ. Чтобы запомнить тригонометрическую таблицу, используйте аббревиатуру «СОХКАТОА». Полная форма «SOHCAHTOA» — это синус, противоположный гипотенузе, прилежащий косинус гипотенузы, тангенс, противоположный прилежащему. Например, если вы хотите вычислить синус угла или треугольника, вы должны знать, что синус — это «синус, противоположный гипотенузе», полностью основанный на «SOHCAHTOA».

  Q3. Каковы соотношения тригонометрической таблицы?

  Ответ. Тригонометрическая таблица состоит из следующих тригонометрических соотношений: синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса, котангенса. Следующие соотношения могут быть записаны как sin, cos, tan, cosec, sec и cot.

  Тригонометрическая таблица: формулы, приемы, примеры

  • Автор Priya Wadhwa
  • Последнее изменение 20 июля 2022 г.
  • Автор Прия Вадва
  • Последнее изменение 20 июля 2022 г.

  Тригонометрия Таблица:  Тригонометрия — популярный раздел математики, изучающий треугольники и отношения между длинами сторон и углов в треугольнике. Он имеет широкий спектр применения в астрономии, архитектуре, аэрокосмической отрасли, обороне и т. д. В этой статье мы предоставили тригонометрические таблицы, содержащие значения всех тригонометрических соотношений для наиболее часто используемых углов.

  Таблица тригонометрии является полезным инструментом для нахождения значений тригонометрических соотношений для стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 9°.0°. Он содержит значения тригонометрических отношений – синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса, котангенса, также известных как sin, cos, tan, cosec, sec и cot соответственно. Используя формулу таблицы тригонометрии, учащиеся могут вычислять тригонометрические значения для различных других углов, понимая закономерности, наблюдаемые в тригонометрических соотношениях и между углами.

  Последнее обновление ? Результаты 1 семестра 10 класса CBSE были объявлены 11 марта 2022 г., а результаты 1 семестра 12 класса были объявлены 15 марта 2022 г. Учащиеся могут ввести свои номера и проверить результаты на своем официальном веб-сайте — cbseresults.nic.in . ? Экзамены CBSE на второй семестр для классов 10 и 12 начнутся 26 апреля 2022 г.  ? Обычные студенты могут проверить Таблицу дат экзамена CBSE 2022 на официальном сайте CBSE — cbse.nic.in и cbse.gov.in .

  Проще говоря, тригонометрическая таблица представляет собой набор значений тригонометрических соотношений для широко используемых стандартных углов, включая 0°, 30°, 45°, 60° и 9°.0°. Иногда он также используется для поиска значений других углов, таких как 180 °, 270 ° и 360 °, в виде таблицы. Различные закономерности существуют в тригонометрических соотношениях и между соответствующими им углами. Поэтому легко предсказать значения тригонометрической таблицы, а также использовать таблицу в качестве справочной информации для расчета тригонометрических значений для других нестандартных углов. Различные тригонометрические функции в математике — это функция синуса, функция косинуса, функция тангенса, функция кроватки, функция сек и функция косек. 9{\circ}-x\right)\)

• \(\frac{1}{\sin x}=\operatorname{cosec} x\)
• \(\frac{1}{\cos x}=\ sec x\)
• \(\frac{1}{\tan x}=\cot x\)

Тригонометрические значения

Тригонометрия – это наука о соотношении сторон треугольника (прямоугольного треугольника) и его углов. Термин тригонометрическое значение используется для коллективного определения значений различных отношений, таких как синус, косинус, тангенс, секанс, котангенс и косеканс в тригонометрической таблице. Каждое тригонометрическое отношение связано со сторонами прямоугольного треугольника, и с помощью этих отношений находятся тригонометрические значения.

Стандартные угловые тригонометрические столы

Таблица тригонометрических соотношений представляет собой табличный набор значений тригонометрических функций для различных обычных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, а также необычных углов, таких как 180°, 270°, и 360°. Из-за шаблонов, которые существуют в пределах тригонометрических отношений и даже между углами, легко предвидеть значения тригонометрических отношений в тригонометрической таблице и использовать таблицу в качестве справочной информации для вычисления тригонометрических значений для различных других углов.

Тригонометрические отношения – синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс – приведены в таблице. Sin, cos, tan, cosec, sec и cot — сокращения для этих соотношений. Лучше всего запоминаются значения тригонометрических отношений этих стандартных углов.

Изучение концепций экзамена на Embibe

Шаги по созданию тригонометрической таблицы

Учащиеся могут выполнить приведенные ниже шаги, чтобы составить таблицу sin cos tan.

Шаг 1 9{\ circ} = \ frac {1} {1} = 1 \).

Аналогично, таблица для сек показана ниже.

 

Следовательно, необходимая тригонометрическая таблица для всех тригонометрических соотношений выглядит следующим образом:

Практические экзаменационные вопросы

Советы по запоминанию тригонометрической таблицы

Таблица тригонометрии может быть полезна в самых разных ситуациях, и ее легко запомнить. Запомнить тригонометрическую таблицу просто, если вы знаете формулу таблицы тригонометрии и трюк с таблицей тригонометрии, поскольку формулы тригонометрии используются для создания таблицы соотношений тригонометрии.

Давайте научимся вызывать таблицу триго одной рукой! Как показано на изображении, придайте каждому пальцу стандартный угол. Мы будем считать пальцы при заполнении таблицы синусов, но мы просто заполним данные в обратном порядке для таблицы cos.

1-й шаг: Чтобы вычислить стандартный угол для таблицы синусов, посчитайте пальцы на левой стороне.

2-й шаг: Разделите количество пальцев на четыре.

3-й шаг: Извлеките квадратный корень из соотношения. 9{\ circ} = \ frac {1} {2} \).

Ознакомьтесь с нашими математическими решениями NCERT для классов 10, 11 и 12:

Сводка тригонометрической таблицы

В этой статье мы обсудили таблицу тригонометрических значений в градусах и радианах. Мы изучили шаги по созданию таблицы, приемы для запоминания значений в ней и таблицы тригонометрических значений для единичного круга, а также решили несколько примеров. Также мы решили несколько важных вопросов по таблице тригонометрии 10 класс.

Попытка пробных тестов

Часто задаваемые вопросы по тригонометрии

Здесь мы собрали некоторые из наиболее важных часто задаваемых вопросов, связанных с таблицей тригонометрических значений. Кандидаты должны прочитать эти вопросы и ответы, чтобы прояснить свои сомнения по одному и тому же предмету.

Q1. Что такое тригонометрия?
Ответ . Тригонометрия – это раздел математики, изучающий отношения между сторонами треугольника (прямоугольного треугольника) и его углами. 9{\circ}\) в верхней строке и все тригонометрические функции \(\sin , \cos , \tan , \operatorname{cosec}, \sec\) и кроватка в первом столбце.
2-й шаг: Определите значение \(\sin\). {\circ}\) и \(9{\circ}\) находятся в этой таблице.

Q.4. Как узнать значения в тригонометрии?
Ответ: Вам просто нужно запомнить значение синуса, тогда значение косинуса можно определить, поставив данные синуса в обратном порядке. Значение тангенса можно определить, разделив синус на косинус. Значение секанса можно определить, взяв обратную величину косинуса, а значение косеканса можно определить как обратную величину синуса.

Q.5. Какой коэффициент для синуса?
Ответ: Отношения синусов представляют собой отношения длины противоположной стороны угла к гипотенузе.
\(\sin\theta=\frac{\text{Противоположная сторона}}{\text{Гипотенуза}}\)

В.6. Каковы три основных тригонометрических соотношения?
Ответ: Существуют три основных тригонометрических соотношения: синус, косинус и тангенс.
Используя их, мы можем определить значения трех других тригонометрических соотношений, используя соотношение
\(\frac{1}{ \sin x}=\operatorname{cosec} x\)
\(\frac{1} {\ cos x} = \ sec x \)
\ (\ frac {1} {\ tan x} = \ cot x \)

Пройдите бесплатные пробные тесты CBSE Class 10 прямо сейчас!

Ссылки по теме:

Теперь, когда вы знаете все о формуле таблицы тригонометрии, попробуйте создать свою собственную таблицу sin cos tan и учтите все советы и рекомендации. Вы можете обратиться к решенным примерам, перечисленным в этой статье, во время прохождения тестов по тригонометрии.

Мы надеемся, что эта подробная статья о таблице тригонометрии поможет вам. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время. А пока следите за обновлениями на Embibe , чтобы получать все новости о таблице тригонометрии, советы по подготовке к экзаменам и последние академические статьи!

Пройдите бесплатные пробные тесты по тригонометрии

Раздел 4.

4: Опорные углы | Предварительный расчет

Опорные углы

Опорный угол угла является мерой наименьшего положительного острого угла [латекс]t[/латекс], образованного конечной стороной угла [латекс]t[/латекс] и горизонтальной осью. . Таким образом, положительные опорные углы имеют конечные стороны, лежащие в первом квадранте, и могут использоваться в качестве моделей для углов в других квадрантах. См. Рисунок 1 для примеров опорных углов для углов в разных квадрантах.

Рисунок 1

A ОБЩЕЕ ПРИМЕЧАНИЕ: ОПОРНЫЕ УГЛЫ 9\circ [/latex], как показано на рисунке 2.

Рисунок 2

Показать решение

Попробуйте

Найдите исходный угол [латекс]\фракция{5\пи }{3}[/латекс].

Показать решение

Использование базовых углов

Базовые углы позволяют вычислять тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для нахождения [латексных]\левых(х,у\правых)[/латексных] координат для этих углов. Мы будем использовать опорный угол .0368 угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором лежит конечная сторона угла. Мы можем найти точное триггерное значение любого угла в любом квадранте, если применим триггерную функцию к эталонному углу. Знак зависит от квадранта исходного угла.

Значения тригонометрической функции для исходного угла будут такими же, как и для эталонного угла, за исключением положительного или отрицательного знака, который определяется значениями x – и y в исходном квадранте. На рис. 3 показано, какие функции в каком квадранте положительны.

Чтобы помочь нам вспомнить, какие из шести тригонометрических функций положительны в каждом квадранте, мы можем использовать мнемоническую фразу «Все учащиеся проходят исчисление». Каждое из четырех слов во фразе соответствует одному из четырех квадрантов, начиная с квадранта I. и вращая против часовой стрелки. В квадранте I, то есть « A », a все шесть тригонометрических функций положительны. В квадранте II «90 367 х 90 368 студентов» только 90 367 90 293 х 90 294 90 368 ин и его обратная функция, косеканс, положительны. В квадранте III « T ake», только t тангенс и его обратная функция, котангенс, положительны. Наконец, в квадранте IV « C исчисление» только c озин и его обратная функция, секанс, положительны.

Рисунок 3

Как найти тригонометрическое значение любого угла



1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол. 9\circ \right)[/латекс].

   б. Используйте опорный угол [латекс]\frac{2\pi }{3}[/latex], чтобы найти [латекс]\sec \left(\frac{2\pi }{3}\right)[/latex] и [латекс]\кроватка \влево(\фракция{2\пи} {3}\вправо)[/латекс].

   Показать решение

   Попробуйте

   Пример 5. Использование опорных углов для нахождения тригонометрических функций

   Используйте опорные углы для нахождения всех шести тригонометрических функций [латекс]-\frac{5\pi }{6}[/latex].

   Показать решение

   Попробуйте

   9\циркуляр[/латекс].

   Показать решение

   Попробуйте

   Пример 7. Использование единичного круга для поиска координат

   Найдите координаты точки на единичном круге под углом [latex]\frac{7\pi }{6}[/latex].

   Показать решение

   Попробуйте

   Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [latex]\frac{5\pi }{3}[/latex].

   Показать решение

   Пример 8. Нахождение точного значения, включающего тангенс

   Учитывая, что [латекс]\тан \тета =-\фрак{3}{4}[/латекс] и [латекс]\тета [/латекс] находится в квадранте II, найдите следующее:

   1. [латекс]\ грех \влево(\тета\вправо)[/латекс]
   2. [латекс]\csc \влево(\тета\вправо)[/латекс]
   3. [латекс]\cos\влево(\тета\вправо)[/латекс]
   4. [латекс]\сек\влево(\тета\вправо)[/латекс]
   5. [латекс]\кроватка \влево(\тета\вправо)[/латекс]

   Показать решение

   Попробуйте

   Учитывая, что [latex]\tan \theta =\frac{5}{12}[/latex] и [latex]\theta [/latex] находятся в квадранте III, найдите следующее:

   1. [латекс]\sin\left(\theta\right)[/латекс]
   2. [латекс]\csc \влево(\тета\вправо)[/латекс]
   3. [латекс]\cos\влево(\тета\вправо)[/латекс]
   4. [латекс]\сек\влево(\тета\вправо)[/латекс]
   5. [латекс]\кроватка \влево(\тета\вправо)[/латекс]

   Показать решение

   Ключевые уравнения

   .»> 9{2}t=1[/латекс]

   Косинус	[латекс]\cos t=x[/латекс]
   Синус	[латекс]\sin t=y[/латекс]

   Ключевые понятия

   • Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус исходного угла.
   • Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
   • Опорный угол угла — это угол размера, [latex]t[/latex], образованный конечной стороной угла [latex]t[/latex] и горизонтальной осью.
   • Опорные углы можно использовать для нахождения синуса и косинуса исходного угла.
   • Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.

    

   Раздел 4.4 Домашнее задание

   1. Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.

   2. Объясните, чем косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его исходного угла в единичной окружности.

   3. Объясните, чем синус угла во втором квадранте отличается от синуса его исходного угла в единичной окружности. 9\circ [/latex]

   24. [латекс]\frac{5\pi }{4}[/latex]

   25. [латекс]\frac{7\pi }{6}[/latex]

   26. [латекс]\frac{5\pi }{3}[/latex]

   27. [латекс]\frac{3\pi }{4}[/latex]

   28. [латекс]\frac{ 4\pi }{3}[/latex]

   29. [latex]\frac{2\pi }{3}[/latex]

   30. [latex]\frac{-19\pi }{6} [/latex]

   31. [latex]\frac{-9\pi }{4}[/latex]

   В следующих упражнениях найдите исходный угол, квадрант конечной стороны и точное значение тригонометрическая функция.

   32. [латекс]\tan \frac{5\pi }{6}[/latex]

   33. [латекс]\sec \frac{7\pi }{6}[/latex]

   34. [латекс]\csc \frac{11\pi }{6}[/латекс]

   35. [латекс]\cot \frac{13\pi }{6}[/латекс]

   36. [латекс]\ tan \frac{15\pi }{4}[/latex]

   37. [latex]\sec \frac{3\pi }{4}[/latex]

   38. [latex]\csc \frac{ 5\pi }{4}[/latex]

   39. [латекс]\cot \frac{11\pi }{4}[/latex]

   40.  [латекс]\tan \left(-\frac{ 4\pi }{3}\right)[/latex]

   9\circ\right) [/latex]

   В следующих упражнениях используйте прямоугольный треугольник, чтобы найти точное значение.

   52. Если [латекс]\текст{sin}t=\frac{3}{4}[/latex] и [латекс]t[/латекс] находится в квадранте II, найдите [латекс]\cos t, \sec t,\csc t,\tan t,\cot t[/latex].

   53. Если [latex]\text{cos}t=-\frac{1}{3}[/latex] и [latex]t[/latex] находится в квадранте III, найти [latex]\sin t ,\sec t,\csc t,\tan t,\cot t[/latex].

   54. Если [латекс]\tan t=\frac{12}{5}[/latex] и [латекс]0\le t<\frac{\pi }{2}[/latex], найдите [ латекс]\sin t,\cos t,\sec t,\csc t[/latex] и [латекс]\cot t[/латекс].

   55. Если [латекс]\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] и [латекс]\cos t=\frac{1}{2}[/latex], найти [латекс]\sec t,\csc t,\tan t[/латекс] и [латекс]\cot t[/латекс].

   В следующих упражнениях найдите точное значение, используя эталонные углы.

   56. [латекс]\sin\left(\frac{11\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{-5\pi}{6}\right)[/latex]

   57.  [латекс]\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)[/latex]

   58. [ латекс]\sin\left(\frac{-4\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)[/latex]

   59. [латекс]\sin\left(\frac{-9\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{-\pi}{6}\right)[/latex]

   60. [латекс]\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{-\pi}{3}\right)[/latex]

   61. [латекс ]\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{-2\pi}{3}\right)[/latex]

   62. [latex]\ cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)[/latex]

   63. [latex]\cos\left (\frac{-\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)[/latex]

   64. [latex]\sin\left(\frac{ -5\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)[/latex]

   65. [латекс]\sin\left(\pi\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)[/latex]

   Атрибут угла поворота столешницы — стандартный браузер DICOM

   U44 2449122.24449994449121 (30021).0022444444444444017 SR Радиофармация 900u0022

   CR Image		CIOD
   CT Image		CIOD
   MR Image		CIOD
   NM Image		CIOD
   US Image		CIOD
   Многокадровое изображение США		CIOD
   Secondary Capture Image		CIOD
   Multi-frame Single Bit SC Image		CIOD
   Multi-frame Grayscale Byte SC Image		CIOD
   Multi -frame Grayscale Word SC Image		CIOD
   Multi-frame True Color SC Image		CIOD
   Рентгеновское ангиографическое изображение		CIOD
   X-Ray Radiofluoroscopic Image		CIOD
   RT Image		CIOD
   RT Dose		CIOD
   RT Structure Set		CIOD
   План ЛТ		CIOD
   Пациент	M	Модуль — Пациент
   Субъект клинического исследования	0021 Модуль — Пациент
   Общее исследование	M	Модуль — Исследование
   Исследование пациента	U	Module — Исследование
   MODULE — Исследование
   Серия RT	M	Модуль — Серия
   Серия клинических испытаний	U	Модуль — Серия
   Система координат	U	Module — Frame of Reference
   General Equipment	M	Module — Equipment
   RT General Plan	M	Module — Plan
   RT Prescription	U	Модуль — план
   Таблицы допусков RT	U	Модуль — план
   Настройка пациента RT	U	Модуль — план
   Схема фракции РТ	U	Модуль — План
   RT Beams	C	Модуль — План
   (300A 00B0B022 2
   (300A, 00B0). , 0070) Производитель	3	Long String
   (0008 0080) Наименование учреждения	3	Донкая строка
   (0008 0081). Адреса
   (0008 0081).0022	Short Text
   (0008,1040) Institutional Department Name	3	Long String
   (0008,1041) Institutional Department Type Code Sequence	3	Sequence
   (0008, 1090) Название модели производителя	3	Длинная строка
   (0018,1000) Серийный номер устройства	3	Длинная строка
   (3002 0050). Первичная режима
   (3002 0050). Первичная режима
   (3002 0050). Первичная режима
   (3002 0050).0022	3	Sequence
   (300A,00B2) Treatment Machine Name	2	Short String
   (300A,00B3) Primary Dosimeter Unit	3	Code String
   (300A , 00B4) Расстояние оси источника	3	Десятичная строка
   (300A, 00B6) Последовательность устройства ограничивающего луча	1	.0022	1	Integer String
   (300A, 00C2). 00C4) Тип луча	1	Кодовая строка
   (300A, 00C6) Тип радиации	2	Строка кода
   (300A, 00C7) High-Dosecle Dose
   (300A,00CA) Planned Verification Image Sequence	3	Sequence
   (300A,00CE) Treatment Delivery Type	3	Code String
   (300A,00D0) Number of Wedges	1	Integer String
   (300A, 00D1). 0022
   (300A,00E2) Total Compensator Tray Factor	3	Decimal String
   (300A,00E3) Compensator Sequence	1C	Sequence
   (300A,00ED) Number of Boli	1	Integer String
   (300A, 00F0) Количество блоков	1	Integer String
   (300A, 00F2).0022
   (300A,00F4) Block Sequence	1C	Sequence
   (300A,0107) Applicator Sequence	3	Sequence
   (300A,010E) Final Cumulative Meterset Weight	1C	Десятичная строка
   (300A, 0110) Количество контрольных точек	1	Integer String
   (300A, 0111) последовательность контрольной точки	1	(300A, 0111) последовательность	1	(300A, 0111). 0022
   (300A,0112) Control Point Index	1	Integer String
   (300A,0114) Nominal Beam Energy	3	Decimal String
   (300A,0115) Dose Rate Set	3	Десятичная строка
   (300A, 0116) Последовательность положения клина	1C	Последовательность
   (300A, 011A) Последовательность устройства
   (300A, 011A).0021 Последовательность
   (300A, 011E) Угол Гантри	1C	ДЕКАКАЛЬНАЯ СТРАНА
   (300A, 011F). Угол устройства	1C	Десятичная строка
   (300A, 0121) Направление оборащения устройства	1C	Кодовая строка
   (300A, 0122). Угол для опоры
   (300A, 0122).0022	1C	Десятичная строка
   (300A, 0123) Направление поддержки пациента	1C	Код Строка
   (300A, 0124).
   (300A,0125) Угол эксцентрика столешницы	1C	Десятичная строка
   (300A,0126) Код направления вращения эксцентрика столешницы	12C 0022
   (300A, 0128) Табличная вертикальная позиция	2C	Десятичная строка
   (300A, 0129). Верхняя боковая позиция	2C	Десятичная строка
   (300A, 012C) Положение изоцентра	2C	Десковетная строка
   (300A, 012E). 2094 3	Десятичная строка
   (300A, 0130) Источник на поверхность расстояние	3	Десятичная струна
   (300A, 0132). Источник. (300A, 0133) Точка входа в внешнюю контуру	3	Одиночный
   (300A, 0134) Совокупный вес метромета	2	Decimal String
   	Decimal String
   1C	Одиночный
   (300A, 0142) Направление поворота вершины	1C	Кодовая строка
   (300A, 0144). (300A, 0146) Направление вращения рулона в верхней части	1C	Кодовая строка
   (300A, 014A) Угол палочки	3
   (300ATARIATION
   (300ATARIATION
   (300ATARIATION
   . 0022	3	Code String
   (300C,0050) Referenced Dose Reference Sequence	3	Sequence
   (300C,0080) Referenced Dose Sequence	1C	Sequence
   (300A , 0420) Общая последовательность аксессуаров	3	Последовательность
   (300C, 0042) Ссыловая последовательность изображения	3	последовательность
   (300C, 0050).0022	3	Sequence
   (300C,006A) Referenced Patient Setup Number	3	Integer String
   (300C,0080) Referenced Dose Sequence	3	Sequence
   (300C , 00A0) ссылка на толерантность №	3	Integer String
   (300C, 00B0). Ссылка болюсная последовательность	1C	Sequence
   RACHY SEQUENCE
   RACHY.0022	C	Модуль — План
   Одобрение	U	Модуль — План
   Общий эталон	U	Мод	.
   Ссылка на общий экземпляр	U	Модуль — план
   Изображение ПЭТ		CIOD
   Цифровое изображение X-0Ray0021 CIOD
   Цифровая маммография рентгеновское изображение		CIOD
   Цифровой интраоральный рент. Протокол лечения		CIOD
   Протокол лучевой терапии		CIOD
   Эндоскопическое изображение VL		2 CIOD
   VL Microscopic Image		CIOD
   VL Slide-Coordinates Microscopic Image		CIOD
   VL Photographic Image		CIOD
   Video Endoscopic Image		CIOD
   Video Микроскопическое изображение		CIOD
   Видео Фотографическое изображение		CIOD
   VL Микроскопия всего предметного стекла Изображение		CIOD
   Real-Time Video Endoscopic Image		CIOD
   Real-Time Video Photographic Image		CIOD
   Grayscale Softcopy Presentation State		CIOD
   Color Softcopy Состояние представления		CIOD
   Состояние представления псевдоцветной электронной копии		CIOD
   Состояние представления 9 смешанной электронной копии0022		CIOD
   Basic Structured Display		CIOD
   XA/XRF Grayscale Softcopy Presentation State		CIOD
   Advanced Blending Presentation State		CIOD
   Basic Voice Audio Waveform		CIOD
   ЭКГ в 12 отведениях		CIOD
   Общая ЭКГ		2 CIOD
   Ambulatory ECG		CIOD
   Hemodynamic Waveform		CIOD
   Basic Cardiac Electrophysiology Waveform		CIOD
   Arterial Pulse Waveform		CIOD
   Respiratory Waveform		CIOD
   Общий аудиосигнал		CIOD
   Аудиосигнал реального времени		CIOD
   Basic Text SR		CIOD
   Enhanced SR		CIOD
   Comprehensive SR		CIOD
   Key Object Selection Document		CIOD
   Маммографический CAD SR		CIOD
   Chest CAD SR		CIOD
   Протокол процедур	CIOD
   X-Ray Radiation Dose SR		CIOD
   Spectacle Prescription Report		CIOD
   Colon CAD SR		CIOD
   Macular Grid Thickness and Volume Report		CIOD
   План имплантации Документ SR		CIOD
   Комплексный 3D SR		CIOD
   	CIOD
   Extensible SR		CIOD
   Acquisition Context SR		CIOD
   Simplified Adult Echo SR		CIOD
   Patient Radiation Dose Structured Report		CIOD
   Запланированное администрирование агента обработки изображений SR		CIOD
   Выполненное администрирование агента обработки изображений SR		CIOD
   Rendition Selection Document		CIOD
   Enhanced MR Image		CIOD
   MR Spectroscopy		CIOD
   Enhanced MR Color Image		CIOD
   Необработанные данные		CIOD
   Улучшенное изображение КТ		CIOD
   Пространственная регистрация		CIOD
   Deformable Spatial Registration		CIOD
   Spatial Fiducials		CIOD
   Ophthalmic Photography 8 Bit Image		CIOD
   Ophthalmic Photography 16 Bit Image		CIOD
   Стереометрические отношения		CIOD
   Протокол подвески		CIOD
   Encapsulated PDF		CIOD
   Encapsulated CDA		CIOD
   Real World Value Mapping		CIOD
   Enhanced XA Image		CIOD
   Enhanced XRF Image		CIOD
   RT Ion Plan		CIOD
   Протокол лечения ионными пучками RT		CIOD
   Segmentation		CIOD
   Ophthalmic Tomography Image		CIOD
   X-Ray 3D Angiographic Image		CIOD
   X-Ray 3D Craniofacial Image		CIOD
   Изображение томосинтеза молочной железы		CIOD
   Улучшенное изображение ПЭТ		CIOD
   Сегментация поверхности		CIOD
   Color Palette		CIOD
   Enhanced US Volume		CIOD
   Lensometry Measurements		CIOD
   Autorefraction Measurements		CIOD
   Keratometry Measurements		CIOD
   Субъективные измерения рефракции		CIOD
   Измерения остроты зрения		CIOD
   Ophthalmic Axial Measurements		CIOD
   Intraocular Lens Calculations		CIOD
   Generic Implant Template		CIOD
   Implant Assembly Template		CIOD
   Группа шаблонов имплантатов		CIOD
   Инструкция по доставке балок RT		CIOD
   Ophthalmic Visual Field Static Perimetry Measurements		CIOD
   Intravascular Optical Coherence Tomography Image		CIOD
   Ophthalmic Thickness Map		CIOD
   Surface Scan Mesh		CIOD
   Облако точек сканирования поверхности		CIOD
   Прежнее преобразованное улучшенное изображение КТ		CIOD
   Legacy Converted Enhanced MR Image		CIOD
   Legacy Converted Enhanced PET Image		CIOD
   Corneal Topography Map		CIOD
   Breast Projection X-Ray Image		CIOD
   Параметрическая карта		CIOD
   Широкоугольная офтальмологическая фотография Стереографическая проекция изображения		CIOD
   Wide Field Ophthalmic Photography 3D Coordinates Image		CIOD
   Tractography Results		CIOD
   RT Brachy Application Setup Delivery Instruction		CIOD
   Planar MPR Volumetric Presentation State		CIOD
   Volume Rendering Volumetric Presentation State		CIOD
   Content Assessment Results		CIOD
   CT Performed Procedure Protocol		CIOD
   CT Defined Procedure Protocol		CIOD
   Protocol Approval		CIOD
   Ophthalmic Optical Когерентная томография En Face Image		CIOD
   Офтальмологическая оптическая когерентная томография B-скан Объемный анализ		CIOD
   Encapsulated STL		CIOD
   Encapsulated OBJ		CIOD
   Encapsulated MTL		CIOD
   RT Physician Intent		CIOD
   RT Аннотация сегмента		CIOD
   Комплект RT		CIOD
   Фотонно-электронное излучение C-Arm		CIOD
   Tomotherapeutic Radiation		CIOD
   Robotic-Arm Radiation		CIOD
   Basic Directory		CIOD

   • Report Error
   • View in Standard

   Атрибут угла наклона столешницы

   Тег	(300A,0144)
   Тип	Условно требуется (1C)
   Ключевое слово	TabletoProllangle
   Угол поворота столешницы, т. е. поворот системы координат СТОЛА IEC вокруг оси Y системы координат СТОЛА IEC (в градусах). Если этого требует устройство подачи лечебных средств, он должен присутствовать для первого элемента последовательности контрольных точек. Если этого требует устройство для доставки облучения и если угол поворота столешницы изменяется во время луча, он должен присутствовать во всех последующих элементах последовательности контрольных точек. См. раздел C.8.8.14.12 и раздел C.8.8.14.13. Сообщить об ошибке Просмотр в стандартном режиме Свернуть Раздел C.8.8.14.12 C.8.8.14.12 Шаг верхней части стола и ролик верхней части стола Системы координат по тангажу и крену столешницы определены в IEC 61217 Edition 1.2 2008-04. Эти углы определяются как повороты настольной системы IEC, как указано ниже. Угол наклона столешницы определяется как поворот осей координат Yt, Zt вокруг оси Xt на угол ψt; См. рисунок C.8.8. 14-1. Увеличение значения угла ψt соответствует повороту Стола по часовой стрелке, если смотреть из начала системы координат Стола, вдоль положительной оси Xt. Угол наклона столешницы определяется как поворот осей координат Xt, Zt вокруг оси Yt на угол ψt; См. рисунок C.8.8.14-2. Увеличение значения угла ψt соответствует повороту Стола по часовой стрелке, если смотреть из начала системы координат Стола, вдоль положительной оси Yt. Важно отметить, что точка вращения является исходной точкой системы столешницы после поворота системы ОПОРЫ ПАЦИЕНТА вокруг Zs на θs после поворота системы эксцентрического вращения столешницы (e) вокруг Ze на θe и после перевода Table top (t) системы по Xe Ye Ze. Это означает, что точка вращения углов тангажа и крена обычно не является изоцентром. Значения поступательного движения Xt Yt Zt может потребоваться отрегулировать, чтобы сохранить положение пациента в изоцентре. например, поворот угла наклона на положительный угол в положении, изначально равном Xt=0, Yt=100 и Zt=0, приведет к отрицательному значению Zt и немного более низкому Yt, если положение пациента в изоцентре должно сохраняться. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт